Плоскость ХОА -презентация

Решение задач с параметром
на плоскости ХОА
Уравнения и неравенства с двумя
переменными.
Алгоритм и примеры решения задач
в плоскости ХОА.
Уравнения с двумя переменными
Основные приемы построения графиков уравнений
с двумя переменными:
1) Стандартные графики.
2) Разложение на множители.
3) Выражение y через x (y=f(x)).
4) Симметрия.
5) Параллельный перенос.
6) Смена осей.
Стандартные графики.
x  y 9
2
2
Разложение на множители.
2
2
x  4y  0
( x  2 y )( x  2 y )  0
x  2 y  0
x  2 y  0 

x

y  2

y   x

2
Выражение у через x.
xy  12
12
y
x
Графики вида y  f (x ).
Симметрия.
y  x 4
2
Раскроем модуль:
x2  4  0

2

y

x
4


2
  y   ( x  4)
Графики вида y  f (x)
Параллельный перенос.
( x  2)2  ( y  4)2  9
(2; -4)
Параллельный перенос.
x 2  y 3  4
Сперва строим
график уравнения
x  y 4
Затем его
параллельно
переносим
(-2; 3)
Смена осей. Графики вида x  f ( y ).
x  y 4
2
X
Алгоритм.
1 шаг. «Поменять местами»
Переменные в формуле. И
построить график
полученной функции.
y  x2  4
2 шаг. Отобразить
полученный график
симметрично относительно
биссектрисы первой и
третьей четверти.
Y
Смена осей. Графики вида x  f ( y ).
Y
x  y2
y  x2
X
x
y2
Неравенства с двумя переменными
Основные приемы построения графиков неравенств
с двумя переменными:
1) Неравенства вида y>f(x), y<f(x) (x>f(y), x<f(y)).
2) Метод интервалов.
Неравенства вида y>f(x), y<f(x)
y  2x  4  0
Y
Алгоритм
1 шаг
Строим график
уравнения.
y  2x  4
2 шаг.
Выбираем
нужную
часть плоскости.
X
y  2x  4
Неравенства вида y>f(x), y<f(x)
Y
y x3 0
Алгоритм
1 шаг
Строим график
уравнения.
y  x3
2 шаг.
Выбираем нужную
часть плоскости.
3 шаг.
Исключаем
границу.
y  x3
X
Неравенства вида x>f(y), x<f(y)
Y
x  y  4y  0
2
Алгоритм
1 шаг
Строим график
уравнения.
x  y  4y
2
2 шаг.
Выбираем нужную
часть плоскости.
x  y2  4 y
X
Метод интервалов на плоскости
xy  6
Y
1) Вводим функцию
f(x,y)=xy-6.
+
2) Находим нули
функции. Строим
график уравнения
6
y
x
3) Определяем знак
функции на каждой
из частей плоскости.
_
6
y
x
+
X
Метод интервалов на плоскости
( x  2)2  ( y  1)2  25
1) Вводим функцию
f ( x, y )  ( x  2)2  ( y  1)2  25
2) Находим нули
функции. Строим
график уравнения
( x  2)2  ( y  1)2  25
3) Определяем знак
функции на каждой
из частей плоскости.
Y
+
_
X
Метод интервалов на плоскости
x  2  y 1  4
1) Вводим функцию
f ( x, y )  x  2  y  1  4
2) Находим нули
функции. Строим
график уравнения
x  2  y 1  4
3) Определяем знак
функции на каждой
из частей плоскости.
Y
+
_
X
Метод интервалов на плоскости
( x 2  y 2  9)( xy  2)  0
Y
1) Вводим функцию
+
_
f ( x, y )  ( x  y  9)( xy  2)
2
2
2) Находим нули
функции. Строим
график уравнения
+
_
( x 2  y 2  9)( xy  2)  0
3) Определяем знак
функции на каждой
из частей плоскости.
+
_
X
_
Решение уравнений с параметром
на плоскости ХОА
A
Идея.
Построим график
уравнения с
параметром как
график уравнения
с двумя
переменными.
F(x,а)=0
( x1, a1 )
a1
x1
Каждая точка контура показывает,
какое значение x
является решением при заданном
значении параметра.
X
Решение неравенств с параметром
на плоскости ХОА
Идея.
Построим график
неравенства с
параметром как
график
неравенства с
двумя
переменными.
Каждая точка внутри области
показывает, какое значение x
является решением при заданном
значении параметра.
A
F(x,а)=0
a1
( x1, a1 )
x1
X
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра, при
которых уравнение имеет два
корня.
xa  x
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения
параметра, при
которых уравнение
имеет два
различных корня.
xa  x
x  0
x  0


2
2
x  a  x
a  x  x
A
a  x2  x
1
4
X

x0
 1 
Ответ : уравнение имеет два решениея при a    ;0.
 4 
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра, при
которых система неравенств имеет
единственное решение.
x  2x  a  0
 2
 x  4 x  6a  0
2
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения
параметра, при
которых система
неравенств имеет
единственное
решение.
x2  2 x  a  0
 2
 x  4 x  6a  0
a   x 2  2 x


x2  4 x
a 
6

A
1
x2  4 x
a
6
0
X
a   x2  2 x
Ответ : система имеет одно решениее при a 0; 1.
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра, при
которых уравнение имеет ровно три
корня.
(a  4 x  x  1)( a  1  x  2 )  0
2
Задачи-иллюстрации
Задача
(a  4 x  x 2  1)( a  1  x  2 )  0
Найти все значения
параметра, при
которых уравнение
a  x  2 1
имеет ровно три
корня.
a  x  4 x  1

a  x  2  1
A
a  x  2 1
-1
X
2
a  x2  4 x  1
Ответ : уравнение имеет три решения при a  1.
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра, при
которых множество решений
неравенства
( x  a )( a  2 x  8)  0
2
не содержат ни одного решения
неравенства x 2  4
Задачи-иллюстрации
A
Задача
Найти все значения
параметра, при
которых множество
решений неравенства
( x 2  a )( a  2 x  8)  0
12
не содержат ни одного
решения
неравенства x 2  4
a  x 2

a  2 x  8
-2
2
X
Ответ : неравенство не содержит указанные решения при a   ;0 12;.
Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра,
при которых уравнение имеет
единственное решение
x  3b  1x  2b  2
0
2
x  3x  4
2
2
Задачи-иллюстрации
Задача
Уравнение имеет
В
единственное
решение
x 2  3b  1x  2b2  2
0
2
x  3x  4
b=0,5
  x  2b  2

X
-1
4
 x  b  1
 2
b=-2
 x  3x  4  0

1
Единственное решение
b

x

1

2


 b  x 1
1


Ответ : уравнение имеет единственное решения при b   2; .
 x  4;  1
2

Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра,
при которых уравнение имеет
ровно два решения
x  4x  2 x  a  2  a  0
2
Задачи-иллюстрации
Задача
x2  4 x  2 x  a  2  a  0
Найти все
значения
параметра, при
которых
уравнение имеет
ровно два
решения
 x  a
 2
 x  2 x  a  2  0
 x  a

  x 2  6 x  3a  2  0
 x  a

2
a


x
 2x  2

 x  a


x2  6x  2
 a 
3

Задачи-иллюстрации
 a  x

2
a


x
 2x  2

 a  x


x2  6x  2
 a 
3

ax
A
2
7

3
X
ax
7

Ответ : уравнение имеет два решения при a    ;    2; .
3

Задачи-иллюстрации
Задача
Найти все значения параметра,
при которых неравенство имеет
хотя бы одно решение.
log a  x  x a  x   log a  x  x
Задачи-иллюстрации
Задача
log a  x  x a  x   log a  x  x
Найти все значения
параметра, при
которых
неравенство имеет
хотя бы одно
решение.
 a  x  1

  x(a  x )  0
  x ( a  x )  x

 0  a  x  1
  x(a  x )  x



  x  0
Задачи-иллюстрации
a  x 1
x(a  x )  0
 a  1 x
A
A
Границы :
x  0
a  x  0

1
X
X
Задачи-иллюстрации
x (a  x )  x  x(a  x  1)  0
Границы :
x  0
a  x  1

A
1
X
Задачи-иллюстрации
A
1
1
2
X
Ответ :
1

a   ; 
2

Задачи-иллюстрации
1)0  a  x  1
a  1  x

a   x
a  x  1

a  x  0
2) x ( a  x )  x  x (a  x  1)  0
Границы :
x  0
a  x  1

A
1
A
1
X
X
Задачи-иллюстрации
A
X>0
1
Ответ:
Нет решений
X