Лекции - Введение в математическую логику №2

34
2. Элементы логики предикатов
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
2.1. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Сводка теории
Функция n переменных (n = 1,2,...) с непустой областью определения, множество значений которой содержится во множестве {1,0}, называется n-местным предикатом.
п
Если область определения n-местного предиката имеет вид М , т.е. все независимые переменные пробегают одно и то же множество, то говорят, что предикат определен на множестве М.
n-местный предикат может, в частности, принимать для всех наборов значений
независимых переменных одно и то же значение, т.е. быть тождественно-истинным
или тождественно-ложным.
Если в многоместном предикате фиксировать значения некоторых, но не всех независимых переменных, получается новый предикат с меньшим числом мест.
Если F – свойство элементов множества M и F(x) – соответствующий этому свойству предикат (определенный на M), то предложение: «все элементы множества M обладают свойством F» или «каждый (или любой, или всякий) элемент множества M обладает свойством F»- записывается в виде: xF ( x ) ; а предложение: «во множестве
M существует (или есть, или имеется, или найдется) элемент, обладающий свойством
F» – в виде  xF ( x ) .
Читаются эти выражения так: «Для всякого (или для всех) x F ( x ) »; «Существует x такое, что F(x)».
Выражения x и  x называются квантором общности (или всеобщности) и
квантором существования соответственно. При этом обычно говорят: «квантор по
переменной x».
Можно рассматривать постановку квантора общности и квантора существования
перед знаками предикатов («навешивание» кванторов или «квантификация») как особые операции.
Навешивание квантора общности есть операция, сопоставляющая одноместному
предикату F(x) высказывание xF ( x ) – истинное, если F(x) тождественно-истинен,
и ложное в противном случае. Навешивание квантора существования есть операция,
сопоставляющая одноместному предикату F(x) высказывание  xF ( x ) – ложное,
если F(x) тождественно ложен, и истинное в противном случае.
Операции навешивания кванторов общности и существования сопоставляют каждому
n-местному
предикату
F ( x1 , ..., xn ) (n-1)-местные предикаты
хi F ( x1 , ..., xn ) и  хi F ( x1 , ..., xn ) соответственно. В последних двух предикатах
переменная
хi называется связанной, остальные переменные
x1 , ..., xi  1 , xi  1 ,..., xn – свободными (или параметрами).
Логико-математический язык первого порядка (первой ступени) L задается
набором из четырех множеств:
a) (индивидные) переменные x, y, z, ...;
b) n-местные (индивидные) функциональные символы F, G, H, ... для каждого n;
c) n-местные (индивидные) предикатные символы P, B, S, ... для каждого n;
2. Элементы логики предикатов
35
d) логические связки и кванторы.
Любой 0-местный функциональный символ является (индивидной) константой, 0местный предикатный символ – логической (пропозициональной) константой.
Если задан язык L, то можно определить некоторые правильно построенные тексты, составленные из символов L и вспомогательных символов – скобок и запятых. Эти
тексты называются выражениями языка L и подразделяются на термы и формулы.
Определение
i) Переменная языка L есть терм;
ii) если Fk – k-местный функциональный символ языка L и t1 , t2 , ..., tk - термы, то выражение F( t1 , t2 , ..., tk ) есть терм языка L. Коротко это запишем в виде
правила вывода:
t1 , t2 , ..., tk
.
F ( t1 , t2 , ..., tk )
Это обобщенное индуктивное определение показывает, что каждый терм имеет
один и только один вид из следующих двух: переменная или константа (из правила ii
как 0-местная функция) языка L, либо функция от термов. Таким образом, термы –
это те выражения языка, значениями которых являются индивиды. Роль термов состоит
в том, чтобы описывать именные формы и имена индивидов.
Определение
Если P – k-местный предикатный символ языка L, а t1 , t2 , ..., tk суть термы, то
выражение P( t1 , t2 , ..., tk ) называется атомарной (или элементарной) формулой.
В частности, если P – пропозициональная буква (0-местный предикатный символ), то P сама по себе является атомарной формулой.
Определение
i) Каждая атомарная формула есть формула;
ii)
А
, т.е. если уже построена формула A, то разрешается построить новую форА
А ; подобным образом следует трактовать и следующий пункт:
А, В
iii)
, где  – любая логическая связка;
( АВ )
А, х
iv)
, т.е. если уже построена формула A, и x – произвольная переменная
хА
языка L, то разрешается построить новую формулу xА ; так же следует трактовать
мулу
и следующий пункт:
v)
А, х
.
 хА
В формулах вида xА ,  xА выражение x или  x называют кванторной
приставкой, x – переменной кванторной приставки, а формулу A – областью действия кванторной приставки.
36
2. Элементы логики предикатов
Как уже отмечалось, вхождение переменной x в формулу A может быть связанным (если оно попадает в область действия квантора по x или в саму кванторную приставку с переменной x) или свободным.
Заметим, что одна и та же переменная может иметь и свободные, и связанные
вхождения в одну и ту же формулу. Переменная x называется свободной переменной
формулы A, или параметром A, если x входит (хотя бы один раз) свободно в A. Формула,
не содержащая параметров, называется замкнутой (она является высказыванием).
Свободные и связанные переменные играют различные роли в формуле. Вопервых, вместо связанной переменной нельзя подставить конкретное значение – получится бессмысленное выражение. Во-вторых, связанная переменная не имеет самостоятельного значения, ее можно заменить на другую переменную, и смысл формулы от
этого не изменится.
Все формулы:  y P ( x , y , z ) , и P ( x , и , z ) , v P ( x , v , z ) - выражают
один и тот же предикат, одну и ту же функцию от x, z. Такая операция называется переименованием связанной переменной.
При переименовании связанной переменной смысл формулы не меняется, если
при этом никакая свободная переменная в любой подформуле данной формулы не может после переименования оказаться связанной.
Например, если в формуле  y P ( x , y , z ) мы решим заменить переменную y на
 х P ( x , х , z ) , которая имеет совершенно
иной смысл, чем исходная формула. Формула  х P ( x , х , z ) зависит уже лишь от
переменную x, то получится формула
одного параметра z, а не от двух. Причина состоит в том, что после неудачного переименования связанной переменной y первое вхождение переменной x, которое раньше
было свободным, стало связанным. Это явление называют коллизией переменных при
переименовании связанных переменных. Коллизия переменных недопустима.
Главным рабочим инструментом в логике предикатов, как и в логике высказываний, служит понятие равносильности формул.
Определение
Формулы Ф и Y равносильны (Ф  Y), если:
 множества их свободных переменных совпадают;
 при любом замещении входящих в формулы Ф и Y предикатных символов
конкретными предикатами эти формулы переходят либо в один и тот же предикат, либо в высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение (последнее – в случае, когда Ф и Y замкнуты, т.е. множества их свободных переменных пусты).
Разумеется, все вхождения одного и того же предикатного символа как в Ф, так и
в Y должны замещаться одним и тем же предикатом.
Определение
Формула называется тождественно-истинной (тождественно-ложной), если
при любом замещении входящих в нее предикатных символов конкретными предикатами она переходит в тождественно-истинный (тождественно-ложный) предикат (если
она не замкнута) или в истинное (ложное) высказывание (если она замкнута).
Замечания
1) Тождественно-истинная формула и тождественно-истинный предикат – не одно
и то же. Тождественная истинность конкретного предиката относится только к его области определения, в то время как тождественная истинность формулы – это «абсолют-
2. Элементы логики предикатов
37
ная истинность», истинность для любых предметных областей. Аналогично – для тождественной ложности.
2) Из определения непосредственно следует, что формула F ( x1 , ... ..., xn )
x1 , ..., xn тождественно-истинна тогда и только тогда,
когда тождественно-истинна формула x1 ... xn F ( x1 , ..., xn ) .
со свободными переменными
3) Отрицание тождественно-истинной формулы есть, очевидно, формула тождественно-ложная, а отрицание тождественно-ложной – тождественно-истинная.
Для расширения возможностей тождественных преобразований формул логики
предикатов используются основные свойства кванторов.
I) Перестановка одноименных кванторов:
xуF ( x , у )  уxF ( x , у ) ;
(I.1)
 x уF ( x , у )   у xF ( x , у ) .
(I.2)
2) Связь между разноименными кванторами:
хF ( x )   xF ( x ) ;
 хF ( x )  xF ( x ) .
(II.1)
(II.2)
3) Вынесение кванторов за скобки:
  xF ( x )  x(   F ( x )) ;
  xF ( x )  x(   F ( x )) ;
   xF ( x )   x(   F ( x )) ;
   xF ( x )   x(   F ( x )) .
(где Ф не содержит
свободной переменной x)
(III.1)
(III.2)
(III.3)
(III.4)
Замечание
Условие, чтобы формула Ф не содержала свободной переменной x, в соотношениях (III.1 – III.4) является существенным: если оно не выполнено, то соотношения могут нарушаться (после вынесения квантора переменная x в формуле Ф из свободной
может превратиться в связанную).
4) Переименование связанных переменных:
(вместо x и y (IV.1)
xF ( x )  уF ( у ) ;
 xF ( x )   уF ( у ) .
можно
брать
любые другие
переменные)
(IV.2)
Замечание
Все введенные равносильности останутся справедливыми, если заменить в них
F(x) (соответственно F(x, y)) любой формулой G, содержащей свободную переменную
x (соответственно x и y) и, возможно, также и другие свободные переменные.
Отметим в общем виде самый простой из частных случаев, когда для доказательства равносильности формул логики предикатов удается воспользоваться средствами
логики высказываний.
Утверждение 2.1
Если в равносильных формулах логики высказываний заменить элементарные высказывания произвольными предикатными символами так, чтобы одно и то же элементарное высказывание заменялось в обеих формулах одним и тем же символом, то возникающие при этом формулы логики предикатов будут также равносильны.
2. Элементы логики предикатов
38
Утверждение 2.2
Если в тождественно-истинной формуле логики высказываний заменить элементарные высказывания произвольными предикатными символами, то возникающая при
этом формула логики предикатов также тождественно-истинна (то же справедливо для
тождественно-ложных формул).
С помощью свойств кванторов можно производить над формулами логики предикатов тождественные преобразования, причем ввиду утверждения 2.1 в этих преобразованиях можно использовать также любые равносильности логики высказываний.
Производя тождественные преобразования в определенном порядке, можно для каждой
формулы получить ей равносильную, имеющую особенно простое строение.
Примеры
Пример 2.1
Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения
используемых предикатов:
а) если х делится на у и у делится на z, то х делится на z;
б) х – простое число.
Решение
а) Разбивая фразу на простые предложения, видим, что используется только одно
свойство двух объектов, поэтому введем предикат Р ( х , у ) = « х делится на у «. Речь
идет, очевидно, о делимости нацело, поэтому областью определения предиката будет
множество целых чисел: x , y  Z .
Структура всей фразы описывается конструкцией «если..., то...», значит, самой
внешней (последней) связкой нашей формулы будет импликация. Посылка этой импликации описывается конъюнкцией простых предложений, поэтому итоговая формула
имеет вид:
Р( х , у )  Р( у, z )  Р( х , z ) .
б) Самый простой подход: ввести предикат Р ( х ) = « х – простое число», который и описывает всю фразу.
Но математические термины должны быть определены однозначно (что такое
«простое» число, которое записывается одной цифрой? или которое записано с помощью повторения одной цифры? или которое можно легко запомнить или записать?),
поэтому точный смысл этой фразы может быть воспроизведен с помощью строгого
определения. То есть « х делится только на 1 и на себя» или, еще точнее, «либо х  1 ,
либо х  1 и если х делится на любое z , то, или z  1 , или z  х «.
В последней фразе использован предикат делимости Р ( х , у ) (см. пункт а),
предикат равенства Q( z , x ) = « z  х « и квантор всеобщности. Поскольку понятие
простого числа обычно вводят только для натуральных чисел, то x , z N . Формула,
описывающая последнюю фразу, имеет вид:
Q( x ,1 )  ( Q( x ,1 )  z( P ( x , z )  Q( z ,1 )  Q( z , x ))) .
Пример 2.2
Указать свободные и связанные вхождения переменных в формулы:
а) х3 ( х1 А( х1 , х2 )  А( х3 , х1 )) ;
б)
х2 А( х3 , х2 )  х3 А( х3 , х2 )) ;
2. Элементы логики предикатов
в)
39
( x2  x1 A( x1 , x2 , F( x1 , x2 )))  x1 A( x2 , G( x1 )) .
Решение
Проанализируем область действия каждого квантора, отмечая связанные вхождения общей прямой с засечками снизу, а свободные вхождения переменных стрелочкой
сверху. Отметим, что в третьей формуле F и G – функциональные символы (в теориях
первого порядка аргументом предиката не может выступать другой предикат).


а) х3 ( х1 А( х1 , х2 )  А( х3 , х1 )) ;

б)

х2 А( х3 , х2 )  х3 А( х3 , х2 )) ;

в)
( x2  x1 A( x1 , x2 , F( x1 , x2 )))  x1 A( x2 , G( x1 )) .
Пример 2.3
Доказать тождественную истинность формул:
а) x( F ( x )  F ( x )) ;
б) xyz(( F ( x )  G ( y ))  ( G ( y )  H ( z ))  ( F ( x )  H ( z ))) .
Решение
Будем преобразовывать бескванторную часть формул, используя основные логические законы.
а) F ( x )  F ( x )  F ( x )  F ( x )  1 . Значит, исходная формула тождественно истинна.
б) ( F ( x )  G ( y ))  ( G ( y )  H ( z ))  ( F ( x )  H ( z )) 
 ( F ( x )  G ( y ))  ( G ( y )  H ( z ))  ( F ( x )  H ( z )) 
 ( F ( x )  G( y ))  ( G( y )  H ( z ))  ( F ( x )  H ( z )) 
 F ( x )  G( y )  G( y )  H ( z )  ( F ( x )  H ( z )) 
 ( F ( x )  G( y ) )  ( G( y )  H ( z ) )  F ( x )  H ( z ) 
 ((( F ( x )  G ( y ) )  F ( x ) )  (( G ( y )  H ( z ) )  H ( z )) 
 (( F ( x )  F ( x ) )  ( G ( y )  F ( x ) )) 
 (( G ( y )  H ( z ))  ( H ( z )  H ( z ))) 
 ( 1  ( G ( y )  F ( x ) ))  (( G ( y )  H ( z ))  1 ) 
 ( G ( y )  F ( x ) )  ( G ( y )  H ( z ))  ( G ( y )  G ( y ))  F ( x )  H ( z ) 
 1 F( x ) H( z )  1.
Значит, исходная формула тождественно истинна.
Пример 2.4
Доказать тождественную ложность формул:
а) ›( F ( x )  ( F ( x )  G ( y ) )) ;
б) ›—(( F ( x , y )  G( x , y )  F ( x , y ) )  ( H ( x )  H ( x )  N ( y ))) .
2. Элементы логики предикатов
40
Решение
Будем преобразовывать бескванторную часть формул, используя основные логические законы.
а) F ( x )  ( F ( x )  G ( y ) )  F ( x )  F ( x )  G (
Значит, исходная формула тождественно ложна.
б)
y )  0  G( y )  0 .
( F ( x , y )  G ( x , y )  F ( x , y ) )  ( H ( x )  H ( x )  N ( y )) 
 F ( x , y )  G ( x , y )  F ( x , y )  ( H ( x )  H ( x )  N ( y )) 
 ( F ( x , y )  G ( x , y )  F ( x , y ))  ( H ( x )  H ( x )  N ( y )) 
 ( 0  G ( x , y ) )  ( 0  N ( y ))  0  0  0 .
Значит, исходная формула тождественно ложна.
Задачи
2.1. Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:
а) «Если произведение двух чисел делится на простое число, то на него делится
хотя бы один из сомножителей»;
б) «Через всякую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной»;
в) «Через каждые две точки можно провести прямую, причем, если эти точки различны, то такая прямая единственна»;
г) «Когда у некоего деятеля денег в избытке, он может воспевать что угодно, в том
числе и отсутствие денег»;
д) «Всякий кулик свое болото хвалит, а чужое хает».
1
2
3
2.2. Пусть f – одноместный, g – двухместный, h – трехместный функциональные символы. Являются ли термами следующие слова:
а)
f 1 ( g 2 ( v0 , v1 )) ;
б)
g 2 ( f 1 ( v2 ), h3 ( v0 , v1 , v2 )) ;
в)
f 1 ( g 2 ( v0 ), h3 ( v0 , v1 , v2 )) ?
1
2
3
1
2.3. Пусть f , g , h – те же, что и в задаче 2.2, Р – одноместный,
трехместный предикатные символы. Являются ли формулами следующие слова:
а)
Q 3 ( v0 , f 1 ( v1 ), h3 ( v0 , v1 , v2 )) ;
б)
( Р 1 ( v0 )  v1 ( Q 3 ( v0 , v1 , v2 )  Р 1 ( g 2 ( v0 , v1 )))) ;
в)
Q 3 ( Р1 ( v0 ), f 1 ( v1 ), f 1 ( v2 )) ;
г)
f 1 ( h3 ( v0 , v1 , v2 )) ?
2.4. Выписать все подформулы формулы:
а)
Q 2 ( f 1 ( v0 ), g 2 ( v0 , v1 )) ;
б)
(  v0Q 2 ( v0 , v1 )  Р 1 ( g 2 ( v0 , v1 ))  v2 Р 1 ( v2 ) .
Q3
–
2. Элементы логики предикатов
41
2.5.
а) Найти такие два замещения предикатного символа F конкретным предикатом
в формуле  xF ( x )  xF ( x ) , чтобы при одном замещении получилось истинное предложение, при другом – ложное.
б) То же для формулы  x ( F ( x )  G ( x ))  xH ( x ) .
в) То же для формулы
х  уF ( x , у )   уxF ( x , у ) .
2.6. Доказать тождественную ложность формул:
 х(( F ( x )  F ( x ) )  ( F ( x )  F ( x ))) ;
б)  x  y(( F ( x )  F ( y ))  ( F ( x )  F ( y ) )  F ( x )) .
а)
2.7. Доказать, что:
а) x( F ( x )  G ( x ))  xF ( x )  xG ( x ) ;
б)  x ( F ( x )  G ( x ))   xF ( x )   xG ( x ) .
2.2. ПРИВЕДЕНИЕ ФОРМУЛ К ПРЕДВАРЕННОЙ
НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ (ПНФ)
Сводка теории
Определение
Предваренной (или пренексной) формулой называется формула вида
Q1 x1 ...Qn xn A , где Qi суть кванторы, а формула A (называемая матрицей предваренной формулы) уже кванторов не содержит.
Если А  В и B – предваренная формула, то B называют предваренной (нормальной) формой (ПНФ) формулы A.
В частности, не исключается и случай n = 0, т.е. бескванторная формула также
считается предваренной.
Теорема 2.1
Для всякой формулы существует ПНФ.
Доказательство. С помощью основных логических законов устраняем в формуле
все знаки логических операций, кроме  ,  ,  (если таковые имеются).
К полученной формуле последовательно применяем в произвольном возможном
порядке преобразования двух типов: А и В.
Преобразование типа А. Находим в формуле некоторую часть (подформулу) Ф,
имеющую вид F  xG( x ) , или F  xG ( x ) , или F   x G ( x ) , или
F   x G ( x ) , где F, G(x) – какие-то формулы и G(x) содержит свободную переменную x. Пусть для определенности   F  xG ( x ) (в остальных случаях все
делается точно так же).
Преобразуем Ф следующим образом: проверяем, содержит ли F переменную x, и
если нет, то замещаем Ф на x( F  G ( x )) (соотношение (III.1)), если да, то заме-
2. Элементы логики предикатов
42
няем все вхождения x в x G ( x ) вхождениями какой-либо новой переменной, скажем, t, не встречающейся в нашей «боль-шой» формуле (соотношение (IV.1)), и затем
заменяем F  t G ( t ) на t ( F  G ( t )) . Таким же образом поступаем с подформулами остальных трех видов (это возможно ввиду коммутативности конъюнкции
и дизъюнкции).
Преобразование типа В. Находим в формуле некоторую подформулу, имеющую
x G ( x ) (или  x G ( x ) ), где G(x) – формула со свободной переменной x, и заменяем ее на  x G ( x ) (соответственно на x G ( x ) ) по соотношениям (II.1), (II.2).
вид
Применяя преобразования типов А и В, мы шаг за шагом «вытаскиваем наружу»
все кванторы и, в конце концов, приходим к формуле, в которой ни один квантор не
стоит внутри конъюнкции или дизъюнкции, или вслед за отрицанием. Но в такой формуле квантор может стоять только либо вслед за другим квантором, либо в самом начале формулы, т.е. получена ПНФ для исходной формулы.
Замечания
1) В доказательстве указан практический способ приведения формул к ПНФ.
При фактическом приведении удобно «по пути» устранять двойные отрицания всякий
раз, когда они возникают (а также производить любые другие упрощения, если они
возможны).
2) В силу соотношений II. 1 – II 2 отрицание формулы Q1 x1 ...Qn xn A равносильно формуле
Q'1 x1 ...Q'n xn А ,
где
Q'i
– квантор, «противоположный» Qi .
Помимо рассмотренных предваренных формул (и соответственно ПНФ), иногда
вводят и более специальные виды нормальных форм, например, нормальную форму
Сколема, которая имеет предваренный вид (т.е. все кванторы вынесены в начало формулы), не содержит функциональных символов и все ее кванторы всеобщности предшествуют кванторам существования либо, наоборот, все кванторы существования
предшествуют кванторам всеобщности (понятно, что к такой форме легко перейти от
ПНФ, используя свойства кванторов группы II).
Примеры
Пример 2.5
Привести формулы к ПНФ:
 xF ( x , z )  ( G ( x , y )  xH ( z , x )) ;
б) (  xF ( x , y , z )  xF ( x , x , x ))  F ( x , z , y ) .
а)
Решение
Преобразуем формулы, устраняя «лишние» логические связки и «опуская» отрицания на предикаты, а затем последовательно «вытаскива-ем» кванторы из-под логических связок с помощью преобразований типа А или типа В, при необходимости применяя переименование переменных.
а)
 xF ( x , z )  ( G ( x , y )  xH ( z , x ))  (В) 
 хF ( x , z )  ( G ( x , y )  xH ( z , x ))  (А) 
 › F ( x , z )  t ( G ( x , y )  H ( z , t ))  (А) 
 t ( › F ( x , z )  ( G ( x , y )  H ( z , t )))  (А) 
 ut ( F ( u , z )  ( G ( x , y )  H ( z , t ))) .
2. Элементы логики предикатов
43
б) ( xF ( x , y , z )  xF ( x , x , x ))  F ( x , z , y ) 
 ( ›F ( x , y , z )  xF ( x , x , x ))  F ( x , z , y ) 
 ( ›F ( x , y , z )  xF ( x , x , x ) )  F ( x , z , y )  (А, е) 
 ( Џ ( F ( Џ , y , z )   x F ( x , x , x ) ))  F ( x , z , y )  (е) 
 Џ ( ›( F ( Џ , y , z )  F ( x , x , x )))  F ( x , z , y ))  (е) 
 Џt ( F ( Џ , y , z )  F ( t , t , t )  F ( x , z , y )) .
Задачи
2.8. Привести к ПНФ:
а) ›F ( x , z )  ( G ( x , y )  zH ( z , x )) ;
б) ›—F ( x , y , z )  x yG ( y , x )  zH ( z ) ;
в) ( ›F ( x , y , z )  xF ( x , x , x ))  F ( x , y , z )) ;
г) ( zx( G ( x , y )  F ( x , z )  yH ( y , z )) ;
д) ›( F ( x )  y( F ( y )  z( F ( z )  uF ( u ) ))) ;
е) F ( x1 , x2 )  x1x2G( x1 , x2 , x3 )  x1 F ( x1 , x2 ) ;
ж) x1x2 ...xn F ( x1 ,..., xn )  x1 ...xn F ( x1 ,..., xn ) ;
з) x1 F ( x1 ,..., xn )  ( x2 F ( x1 ,..., xn )  ...
...( x F ( x ,..., x )  G ( y ))...) .
n
1
n
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте общее определение предиката. Что такое «местность» предиката? тождественно-истинный предикат? тождественно-ложный предикат?
2. Как определяются логические операции над предикатами?
3. Чем отличается формула логики высказываний от формулы логики предикатов?
4. Что такое интерпретация формулы логики предикатов? Параметр формулы?
Замкнутая формула?
5. Что называют коллизией переменных?
6. Какие формулы логики предикатов называют равносильными? Конгруэнтными? Тождественно-истинными? Тождественно-ложными?
7. Дайте определение кванторов существования и всеобщности в случае одноместного и многоместного предиката.
8. Попробуйте доказать свойства кванторов.
9. Какие понятия формального языка выполняют роли, аналогичные тем, которые в естественном языке выполнятся: подлежащим? Сказуемым? Дополнениями?
Местоимением? Союзами?
10. Что такое терм? Функциональная сложность терма?
11. Что такое формула? Логическая сложность формулы?
12. Что такое предваренная нормальная форма?
44
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
3. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ИСЧИСЛЕНИЕ
ПРЕДИКАТОВ
3.1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Сводка теории
Таблицы истинности позволяют ответить на многие важные вопросы, касающиеся
логических связок: является ли данная формула тавтологией, противоречием или ни
тем и ни другим; влечет ли она логически другую данную формулу или являются ли две
формулы логически равносильными.
Более сложные вопросы логики уже не могут быть решены с помощью истинностных таблиц или каких-либо других подобных эффективных процедур. Поэтому
используется другой метод – аксиоматический.
При формализации математической теории полностью отвлекаются от ее содержания. Теоремы воспринимаются просто как формулы, которые могут быть выведены
по определенным правилам. Поэтому формальные теории иначе называют исчислениями. О знаках и формулах исчисления приходится, однако, рассуждать содержательно:
так, рядом с формальной теорией возникает «метатеория», которая тоже пользуется
некоторыми обозначениями. Эти обозначения метатеории следует строго отличать от
знаков и формул, относящихся к собственно формальной теории.
Существует много вариантов формализации логики высказываний. Опишем подробнее один из них; назовем его «теория L». Формальная (аксиоматическая) теория L
считается определенной, если выполнены следующие условия:
1) Задано некоторое счетное множество символов теории L (языка теории). Основные символы теории L суть: пропозициональные буквы Р1 , ..., Р п , ... ; логические связки  , ,  ,  ; скобки (, ).
Конечные последовательности символов теории называются выражениями теории L.
2) Имеется подмножество выражений теории L, называемых формулами теории и
определяемых индуктивно с помощью следующих двух пунктов:
i) пропозициональные буквы суть формулы L;
ii) если A и B – формулы, то формулами являются и следующие выражения:
( А  В ), ( А  В ), ( А  В ), А .
3) Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории L, в
рассматриваемом варианте теории их десять:
(ив1)
( Р1  ( Р2  Р1 )) ,
(( Р1  ( Р2  Р3 ))  (( Р1  Р2 )  ( Р1  Р3 ))) ,
(( Р1  ( Р2 )  Р1 ) ,
(( Р1  ( Р2 )  Р2 ) ,
( Р1  ( Р2  ( Р1  Р2 ))) ,
( Р1  ( Р1  Р2 )),
( Р2  ( Р1  Р2 )) ,
(( Р1  Р3 )  (( Р2  Р3 )  (( Р1  Р2 )  Р3 ))) ,
(( Р1  Р2 )  (( Р1  Р2 )  Р1 )) ,
(ив2)
(ив3)
(ив4)
(ив5)
(ив6)
(ив7)
(ив8)
(ив9)
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
( Р1  Р1 )
45
(ив10)
Здесь Р1 , Р2 , Р3 – конкретные пропозициональные переменные, так что (ив1) –
(ив10) есть список из десяти конкретных формул языка L.
4) Принимаются правила вывода, по которым можно из уже установленных теорем получать новые. В теории L – два таких правила вывода.
Первое правило имеет вид
(MP)
А, А  В
.
В
Это правило, называемое modus ponens (правило заключения), утверждает, что
если формулы А и А  В установлены как теоремы, то формула В также является
теоремой.
А
.
А( Q1 ,...,Qm ) B1 ,..., Bm )
Здесь А, B1 ,..., Bm суть формулы, Q1 ,...,Qm – попарно различные пропозициональные буквы. Через А( Q1 ,...,Qm ) B1 ,..., Bm ) обозначен результат одновременного замещения всех вхождений букв Q1 ,...,Qm в А на формулы B1 ,..., Bm соотВторое правило имеет вид:
(S)
ветственно. Отметим, что это правило подстановки (S) можно применять и к пропозициональным буквам Qi , которые вовсе не входят в А . В этом случае соответствующее
Bi
никуда не подставляется и просто не играет никакой роли.
Выводом назовем любую конечную последовательность формул А1 , А2 ,..., Ап ,
такую, что каждая формула этой последовательности есть либо аксиома, либо совпадает с какой-либо предыдущей формулой этой последовательности, либо получается из
каких-то предыдущих формул этой последовательности с помощью одного из правил
вывода. Скажем, что вывод А1 , А2 ,..., Ап является выводом своей последней формулы Ап , и формулу Ап назовем выводимой, или, что то же самое, теоремой теории.
Будем записывать это в виде: L
A или просто
A.
В дальнейшем будем употреблять сокращенный вывод, когда в качестве Аi могут
стоять теоремы теории L, полученные раньше, имея в виду, что мы всегда можем дополнить вывод, вставляя недостающие его отрезки.
Примеры
Пример 3.1
Вывести в теории L теорему (A  A).
Решение
Возьмем в качестве примера первой формулы вывода А1 аксиому (ив2). Применим к ней правило подстановки в виде:
( Р1 , Р2 , Р3 A, (A  A), A).
Получим
((A  ((A  A)  A))  ((A  (A  A))  (A  A))).
(а)
Из аксиомы (ив1) подстановкой ( Р1 , Р2 A, (A  A)) получим:
(A  ((A  A)  A)).
(б)
Применим правило (MP) к (а) и (б):
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
46
((A  (A  A))  (A  A)).
Из аксиомы (ив1) подстановкой ( Р1 , Р2 A, A) получим:
((A  (A  A))).
Применяя (МР) к (в) и (г), окончательно получим:
(A  A).
(в)
(г)
(д)
Пример 3.2
Построить вывод в ИП для формулы (A  A).
Решение
Для удобства вывод запишем сначала в виде столбцов формул, а затем в виде дерева. Столбцы формул:
А  ((А  А)  А),
(а)
это пример схемы аксиом (ип1);
(А  (( А  А)  А))  (( А  ( А  А))  ( А  А)),
(б)
это пример схемы аксиом (ип2);
(А  ( А  А))  ( А  А),
(в)
получается по (MP) из (а) и (б);
А  ( А  А),
(г)
это пример схемы аксиом (ип1);
А А
(д)
получается из (в) и (г) по (MP).
Соответствующее дерево вывода имеет вид:
(а); (б)
(в);
(г)
(д)
Задачи
3.1. Являются ли выводами в ИВ следующие последовательности формул:
а) ( А  ( А  е )) ;
б) ( А  ( А  е )) , (( А  ( А  е ))  ( е  ( А  ( А  е )))) , ( е  ( А  ( А  е ))) ;
в) ( А  ( е  А )) , (( А  ( е  А ))  е ) , В?
3.2. Вывести в ИВ формулы:
а) (( А  А )  А ) ;
б)
( А  А ) .
3.2. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРЕДИКАТОВ
Сводка теории
Аксиоматический метод, без которого можно было обойтись (ввиду наличия эффективного метода истинностных таблиц) при рассмотрении исчисления высказываний, становится необходимым для изучения формул, содержащих кванторы, поэтому
обратимся к теориям первого порядка (или, иначе, элементарным теориям).
Слова «первого порядка» указывают на отличие рассматриваемых теорий от таких
теорий, в которых либо допускаются предикаты, имеющие в качестве возможных значений своих аргументов другие предикаты и функции, либо допускаются кванторы по
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
47
предикатам или кванторы по функциям. Теорий первого порядка хватает для выражения известных математических теорий и, во всяком случае, большинство теорий высших порядков может быть подходящим образом «переведено» на язык первого порядка.
Фиксируем логико-математический язык первого порядка L. Аксиомами исчисления предикатов (ИП) в языке L называются формулы этого языка, имеющие один из
следующих видов:
(ип1)
А  ( В  А ),
(ип2)
( А  ( В  С ))  (( А  В )  ( А  С )) ,
(ип3)
А  ( В  А  В ),
А  В  А,
(ип4)
А В  В,
ип5)
(ип6)
( А  С )  (( В  С )  ( А  В  С )) ,
А А В ,
(ип7)
В  А В,
(ип8)
(ип9)
( А  В )  (( А  В )  А ) ,
А  А ,
(ип10)
хА  А( х t ) ,
(ип11)
х( С  А( х ))  ( С  хА( х )) ,
А( х t )   х А ,
х( А( х )  С )  (  х А( х )  С ) .
(ип12)
(ип13)
(ип14)
Здесь A, B, C – произвольные формулы языка L, так что каждая строка приведенного
списка задает схему аксиом ИП. Фиксируя A, B, C, из каждой из четырнадцати схем
аксиом можно получить бесконечное семейство конкретных аксиом. Далее А( х t )
означает правильную подстановку терма вместо переменной с необходимыми переименованиями связанных переменных. Вместо А( х t ) будем иногда несколько неточно
писать A(t). В схемах (ип12) и (ип14) формула C не содержит свободной переменной x.
С помощью уже рассмотренных нами методов нетрудно убедиться, что все аксиомы ИП суть логические законы, общезначимые формулы (т.е. тавтологии).
Фигуры следующих двух видов называются правилами вывода ИП:
(MP)
А, А  В
В
,
(Gen)
А
х А
.
Первое правило вывода носит традиционное латинское название – модус поненс
(modus ponens). Второе правило называется правилом обобщения (Gen – от английского слова «generalization»). Оба правила сохраняют логические законы: если выше черты
стоят тавтологии, то формула ниже черты также тавтология).
Дерево формул (в ИП) есть по определению некоторая двумерная фигура, составленная из формул языка по следующим трем индуктивным правилам:
1) каждая формула A сама по себе является деревом формул, нижней формулой
этого дерева формул считается по определению формула A;
2) если D1 и D2 – деревья формул с нижними формулами вида A и А  В
соответственно, то фигура
D1 , D2
B
есть дерево формул. Говорят, что формула B полу-
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
48
чена в этом дереве из A и А  В по правилу (MP); нижней формулой результирующего дерева является формула B;
3) если D1 – дерево формул с нижней формулой A и x – переменная, то фигура
D1
х А
есть также дерево формул. Говорят, что нижняя формула
х А этого дерева
получена из A по правилу (Gen).
Последовательность вхождений формул в дерево формул, начинающаяся с нижней формулы дерева и продолжающаяся без пропусков до одной из самых верхних
формул дерева, называется ветвью дерева формул. Количество формул в самой длинной ветви дерева называется высотой дерева формул. Верхние формулы дерева формул, не имеющие вида аксиом ИП, называются гипотезами, или открытыми посылками, дерева. Формула B, входящая в вывод, расположена выше формулы A, если существует
ветвь вывода, содержащая A и B, причем B в этой ветви встречается позже, чем A.
Деревом вывода, или просто выводом, в ИП называется дерево формул, удовлетворяющее некоторому дополнительному структурному требованию. А именно, если
формула х А получена в выводе из формулы A по правилу (Gen), то переменная x не
входит свободно в гипотезы, расположенные выше рассматриваемого вхождения формулы х А .
х А получена в дереве формул из формулы A по правилу (Gen),
а формула B расположена в дереве формул выше рассматриваемого вхождения х А
Если формула
и содержит свободно x, то говорят, что переменная x варьируется в формуле B. Тогда
структурное требование можно выразить следующим образом: в выводе параметры гипотез не варьируются, остаются свободными.
Структурное требование выполняется тривиально, если дерево формул не содержит правил (Gen), или если все гипотезы дерева формул суть замкнутые формулы, или
если дерево формул вовсе не содержит гипотез.
Пусть Г – конечный список формул и A – формула. Говорят, что формула A выводима в ИП из списка формул Г, и пишут Г A, если существует вывод D с нижней
формулой A такой, что всякая гипотеза D является членом списка Г. При этом, конечно, некоторые формулы из Г могут и не быть гипотезами D. Говорят, что вывод D
формулы A не зависит от таких членов Г.
Список Г может быть пуст. Тогда Г A означает, что имеется вывод A без гипотез; тогда пишут A и говорят: формула A выводима в ИП.
Саму фигуру Г A называют иногда выводимостью (или, в другой терминологии, секвенцией). Таким образом, чтобы обосновать секвенцию Г A, следует построить вывод в ИП с нижней формулой A, все гипотезы которого находятся среди членов
списка Г.
Непосредственно использовать выводы в ИП для установления логических законов на практике крайне неудобно. Выводы даже простых формул получаются очень
громоздкими, а главное, весьма непохожими на обычные способы рассуждения, применяемые в математике. Поэтому понятие вывода в ИП используется, главным образом, в
теоретических исследованиях, где существенно, чтобы выводы имели простую структуру.
Практически же выводимость формул и секвенций устанавливается с помощью
серии специально подобранных допустимых вспомогательных правил вывода, относящихся непосредственно к секвенциям. С их помощью можно установить, что секвенция
выводима, не строя для нее вывод в ИП. Указанные правила уже близко соответствуют
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
49
обычной практике математического рассуждения, что сильно облегчает доказательство
выводимости. Набор этих правил называется техникой естественного вывода.
Ключевым фактом здесь является следующая теорема.
Теорема 3.1 (о дедукции)
А
Если Г, A B, то Г
правила вывода:
В . Этот факт записывается в виде вспомогательного
Г, A
B
А В
Г
о дедукции показывает,
что для установления импликации
А  В достаточно показать Г, A B, что часто бывает гораздо проще. В матеГ
матической практике этому соответствует следующий пример рассуждения. Если нужно в некоторой ситуации установить, что А  В , то допустим (введем гипотезу),
что A верно, и докажем B, исходя из этой гипотезы.
Следующие правила называются структурными правилами техники естественного вывода:
1) закон тождества
A A;
Теорема
2) правило добавления
Г A
Г,B A;
3) правило перестановки
Г, B, C, D A
Г, C, B, D A;
4) правило сокращения
Г, B, B, C A
Г, B, C A;
5) правило сечения
Г A; B, A
Г, B C.
C
Правила 2 – 5 следует понимать как допустимые правила вывода. Это означает,
что если дан вывод для секвенций, расположенных выше черты, то можно построить
вывод и для секвенций, расположенных ниже черты. В технике естественного вывода
данные правила широко употребляются без явного упоминания.
Следующую группу образуют логические правила техники естественного вывода.
Эти правила разбиваются на группы: для каждой логической связки и квантора – своя
группа правил. Кроме того, внутри группы правила делятся на два вида: правила введения, указывающие, как доказывать формулу с данным логическим символом, и правила удаления, указывающие, как использовать формулу с данным логическим символом для доказательства других формул:
Логические операции
Правила
и кванторы
Введение
Удаление
1) Импликация
Г, А В
Г A; Г A  В
Г A В
Г В
2) Конъюнкция
Г A; Г В
Г, A, B C
Г A^B
Г, A^B C
3) Дизъюнкция
Г A
Г B
Г, A C; Г, B C
Г AB
Г AB
Г, AB C
4) Отрицание
Г, A B; Г, A B
Г A
Г A
Г A
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
50
Логические операции
и кванторы
5) Общность
Правила
Введение
Г A(y)
Г x A(x)
Удаление
Г x A
Г A(x t)
(здесь y не входит свободно в Г, и
если x отлично от y, то x не входит
свободно в A(y));
6) Существование:
7) Эквивалентность
Г
Г, A(y) C
Г,  x A(x) C
A(x t)
Г
x A
Г, A
Г
B; Г, B
A B
(здесь y не входит свободно в Г и
C, и если x отлично от y, то x не
входит свободно в A(y), A(x) есть
A(y x))
A
Г
Г
A; Г A  B
Г B
B; Г A  B
Г A
На практике логические правила применяются, так сказать, в обратном порядке:
нужно установить секвенцию ниже черты, и мы замечаем, что для этого достаточно
установить секвенцию выше черты. В этом свете можно заметить, что все правила соответствуют довольно обычным приемам математического рассуждения.
Например:
-удаление соответствует разбору случаев. Если в некоторой ситуации из AB
нужно вывести C, то мы рассуждаем так: если верно AB, то либо A, либо B, и поэтому
достаточно разобрать случаи, вывести C из A и вывести C из B по отдельности;
 -удаление соответствует правилу единичного выбора (в другой терминологии,
правилу С). Допустим, что  x A(x), и выведем C. Раз существует x, такое, что A(x), то
можно рассмотреть (выбрать) одно из таких x. Обозначим его через y. Для этого y верно A(y). Таким образом, достаточно вывести формулу C из A(y).
Правило -введения соответствует рассуждению от противного, приведению к
абсурду (традиционное латинское название – reductio ad absurdum): чтобы установить
A, достаточно, допустив A, получить противоречие, т.е. вывести B и B одновременно для подходящего B.
Руководствуясь этими идеями, можно доказывать выводимость логических законов, исходя из их содержательного смысла. Разумеется, в технике естественного вывода можно использовать и другие секвенции, выводимости которых уже установлены,
или иные допустимые правила.
Еще одно полезное правило – правило подстановки:
Г A
Г( х1 ,..., хп t1 ,..., tп ) A( х1 ,..., хп t1 ,..., tп ) .
Примеры
Пример 3.3
Построить вывод в ИП для формулы х А  у (А(х у)), где А – формула, х и у –
различные переменные, причем у не входит свободно в А.
В более традиционной (но менее точной) записи это высказывание имеет вид: х
А(х)  у А(у).
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
Решение
Строим вывод:
х А(х) А(у),
51
(а)
это пример схемы аксиом (ип2);
(б)
у ( х А(х) А(у)),
по правилу (Gen) из (а), структурное требование выполняется, так как (а) – не гипотеза
(а аксиома ИП);
(в)
у ( х А(х) А(у)) ( х А(х) у А(у)),
это пример схемы аксиом (ип12) (существенно, что х А(х) не содержит свободно у);
(г)
х А(х)  у А(у)
вытекает из (б) и (в) по правилу (MP).
Соответствующее дерево вывода имеет вид:
(а)
(б)
;
(в)
(а)
Пример 3.4
Привести краткое обоснование пяти допустимых структурных правил вывода в ИП).
Решение
Правило 1 – из гипотезы A и ввиду А  A по (MP) A А.
Правила 2 – 4 – тривиально допустимы. Вывод, обосновывающий секвенцию выше черты, обосновывает и секвенцию ниже черты;
Правило 5 – из B, A C по теореме о дедукции B А  C. Отсюда и из Г А по
правилу добавления Г, B А  C; Г, B А. Применяя (MP), получим Г, B C.
Пример 3.5
Доказать логические правила техники естественного вывода в ИП (см. с. 59-60).
Решение
Приведем доказательства некоторых из правил (остальные доказываются аналогично).
 -введение. Это есть в точности теорема о дедукции.
 -удаление. Из данных выводов Г A, Г A  B вывод для Г B получим с
помощью (MP).
-введение. Имеем: Г A. Кроме того, A  AB (это аксиома). По (MP)
Г AB.
-удаление. Из данных Г,A C; Г,B C по теореме о дедукции Г A  C и
Г B  C. Кроме того,
(A  C)  ((B  C)  (AB  C)) (это аксиома). Дважды применяя (MP), получим: Г AB  C. По закону тождества (и правилу добавления)
Г,AB AB. По (MP) Г,AB C.
 -удаление. Из Г,A(y) C по теореме о дедукции следует, что Г A(y) C. По
правилу обобщения Г y(A(y)  C) (здесь существенно, что y не входит свободно в
Г). Имеем аксиому y(A(y)  C)  (  y(A(y)   C)). По (MP) Г  y A(y)  C. Аналогично
 x A(x)    yA(y). Отсюда Г,  xA(x)  yA(y). Следовательно, по (MP)
Г,  xA(x)
C.
 -введение. Из Г, A В и Г, B A по теореме о дедукции Г A B, Г B A,
Г (A  B)  (B  A), что и означает по определению эквивалентности Г A  B.
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
52
Пример 3.6
Доказать в ИП, что
AB  (A  B).
Решение
Согласно  -введению достаточно установить
AB
(A  B)
и
(A  B) AB.
Начнем с первой секвенции. Слева у нее стоит дизъюнкция, поэтому, разбирая
случаи согласно - удалению, достаточно установить два факта:
A (A  B)
и
B (A  B).
Установим только первый, второй устанавливается симметрично. Для вывода отрицания (A  B) достаточно допустить A  B и вывести противоречие, т.е. использовать -введение. Противоречие будет состоять в выводе A и A. Итак, для вывода A (A  B) с помощью -введения достаточно установить: A,A  B A и
A,A  B A.
Первая секвенция выводима по закону тождества. Для вывода второй согласно  удалению достаточно показать: A,A,B A, что также следует из закона тождества.
Теперь установим: (A  B) AB. Здесь наше рассуждение будет косвенным.
Согласно -удалению достаточно установить: (A  B)
(AB). А для этого согласно -введению следует, допустив (AB), вывести противоречие.
Мы докажем:
(A  B),(AB) (A  B) и (AB) A  B.
Первая секвенция, очевидно, выводима по закону тождества. Вторую секвенцию
получим по  -введению. Достаточно вывести:
(AB) A и (AB) B.
Мы выведем первую секвенцию, вторая выводится симметрично. Используя
- введение, достаточно вывести:
(AB),A (AB) и (AB),A AB.
Но первая из этих секвенций очевидна, а вторая получается с помощью
-введения из (AB),A A.
Пример 3.7
Вывести
AA.
Решение
Согласно -удалению достаточно вывести
(AA). С этой целью по
-введению допустим, что (AA), и получим противоречие: (AA) A,
(AA) A.
Для вывода первой секвенции (-введение) допустим A и получим противоречие:
(AA),A (AA), (AA),A AA.
Первая из этих секвенций очевидна, а вторая получается -введением. Аналогично, для получения секвенции: (AA) A достаточно вывести секвенции
(AA),A (AA), (AA),A AA, которые доказываются аналогично.
Пример 3.8
Вывести
 x A(x)   x A(x).
Решение
C этой целью допустим  x A(x) и выведем  x A(x), т.е. выведем:
 x A(x)  x A(x). Для этого согласно  -удалению выберем новую переменную у
и установим A(y)  x A(x). Это можно сделать с помощью - введения:
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
53
A(y), x A(x) A(y) и A(y), x A(x) A(y).
Первая секвенция есть закон тождества, а вторая получается -удалением.
Пример 3.9
Доказать
A  (A  B).
Решение
Расположим доказательство в технике естественного вывода прямым образом,
«сверху вниз»:
1) A, A, B A,
2) A, A, B A,
3) A, A B (-введение из 1. и 2.),
4) A, A B (-удаление из 3.),
5)
A  (A  B) (  -введение дважды).
Пример 3.10
Доказать правило подстановки в технике естественного вывода в ИП.
Решение
Пусть для простоты Г есть список
В1 , В2 . Из В1 , В2
В1  В2  A. По
В1  В2 A, а по  -введению
х1 ... хk ( В1  В2  A).
Далее, х1 ... хk (( В1  В2  A)  ( В1  В2  A))'
здесь обозначена подстановка ( х1 ... хk t1 ... tk ).
По (MP)
( В1
 В2  A)', или, что то же самое,
Далее, по  -введению
бовалось доказать.
В'1 , В'2
A по  -удалению
правилу обобщения
есть аксиома; штрихом
В'1  В'2  A' .
В'1  В'2 . По (MP) В'1 , В'2
A' , что и тре-
Задачи
3.2. Являются ли выводами в ИП следующие последовательности:
а) ( хуU ( x , y )   yU ( x , y )) ;
б) ( xP ( x )  P ( y )) ,
предикатный символ;
в) ( U ( x )   хU ( x )) ,
( xP ( x )  уP ( y )) , где Р - одноместный
(( U ( x )   хU ( x ))  ( хU ( x )  ( U ( x )   хU ( x )))) ,
( хU ( x )  ( U ( x )   хU ( x ))) ?
3.3. Каким требованиям должна удовлетворять формула
щая последовательность была выводом в ИП:
а) ( U ( у )   хU ( x )) , (  уU ( у )   хU ( x )) ;
б)
( хU ( x )  U ( y )) , ( хU ( x )  уU ( y )) ?
3.4. Построить выводы формул:
а) ( хуU ( x , y )  yхU (
x , y )) ;
U ( x ),
чтобы следую-
3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
54
(  х  уU ( x , y )   y  хU ( x , y )) ;
в) (  х уU ( x , y )  y  хU ( x , y )) .
б)
3.5. Являются ли следующие последовательности формул выводами из
Г= ( С  В ( х )) , где С не содержит свободных вхождений х :


( С  В( х )) , ( С  х В ( х )) ;
б) (( С  В ( х ))  ( М ( у )  ( С  В ( х )))) , ( С  В( х )) ,
( М ( у )  ( С  В ( х ))) , (  у М ( у )  ( С  В ( х ))) , если С и
В ( х ) не содержат свободных вхождений у ?
а)
3.6. Построить выводы из Г=
х( С ( х )  В( х )) следующих формул:
(  х С ( х )   х В( х )) ;
б) ( yC ( y )  z B ( z )) .
а)
Индивидуальное задание (контрольная работа)
55
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА)
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
При выполнении контрольной работы следует строго придерживаться следующих
правил.
1. Выбор варианта для контрольной работы осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке группы (во избежание недоразумений рекомендуется согласовать номер варианта с преподавателем). В соответствии с номером варианта из
каждого задания 1-8 выбирается своя задача.
2. Контрольная работа оформляется в тонкой тетради чернилами любого цвета
(кроме красного). Для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради
указывается шифр академической группы, фамилия, имя, отчество студента, его учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), домашний адрес, а также наименование
дисциплины.
3. Решения задач следует располагать в порядке следования номеров задач, указанных в задании, сохраняя номера задач и записывая исходные условия.
4. Приступая к выполнению контрольной работы, необходимо изучить соответствующий теоретический материал и ознакомиться с практической частью пособия.
Решения задач контрольной работы следует оформлять аккуратно, подробно объясняя
ход решения. Текст решений должен быть написан разборчиво, без двухсмысленного
написания букв и символов. В конце работы необходимо привести список использованной литературы, указать дату выполнения работы и поставить свою подпись.
5. После получения проверенной, но не зачтенной работы следует исправить в
ней отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. Работа над ошибками, как правило,
делается в той же тетради, что и контрольная работа. При необходимости работу над
ошибками допускается выполнять в новой тетради, но при отсылке на повторное рецензирование необходимо приложить тетрадь с первоначальным вариантом решений и
предыдущей рецензией.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Задание 1. Записать следующие высказывания в виде формул логики высказываний, используя пропозициональные (логические) переменные для обозначения элементарных высказываний, т.е. таких, которые уже не могут быть построены из какихлибо других высказываний:
1. Пусть неверно, что если Джон – коммунист, то Джон – атеист; тогда
Джон – коммунист или атеист,
2. Необходимым, но не достаточным условием сходимости последовательности
( an )n  N является ее ограниченность.
3. Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер
Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива.
4. Или Сэм пойдет на вечеринку, и Макс не пойдет на нее; или Сэм не пойдет
на вечеринку, и Макс отлично проведет время.
5. Неверно, что ни Петров, ни Сидоров не выдержали экзамен.
6. Неверно, что если Иванов или Петров сдали экзамен, то и Сидоров его сдал.
56
Индивидуальное задание (контрольная работа)
7. Если в точке x 0 функция f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой
точке либо равна нулю, либо не существует.
8. Векторное поле является простейшим, если его дивергенция равна нулю, либо
его ротор равен нулю, либо равны нулю и дивергенция, и ротор.
9. Для того чтобы число было нечетным, достаточно, чтобы оно было простым,
но не наоборот.
10. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны или хотя бы один из них равен нулю.
11. Неверно, что ветер дует тогда и только тогда, когда нет дождя, и светит солнце.
12. Джо получит приз в том и только том случае, если он умен или если Джим глуп.
13. Если Джим глуп, а Джо не удастся получить приз, то или Джо не умен, или
Джим не глуп.
14. Планы на воскресенье не выполнены, если студент не закончил типовой расчет или не сходил ни в кино, ни на танцы, ни на пляж.
15. Прямая l, принадлежащая плоскости Р и перпендикулярная прямой n, перпендикулярна проекции m прямой n на плоскость P или самой прямой n.
16. Прямая l, принадлежащая плоскости Р и перпендикулярная проекции m прямой n на плоскость P, перпендикулярна прямой n.
17. Неверно, что если Сидоров не кассир, то Сидоров убил кассира; следовательно, фамилия кассира Сидоров.
18. Неверно, что и Петров, и Иванов не выдержали экзамена; значит, хотя бы
один из них сдал экзамен.
19. Если среднее время ожидания поезда метрополитена равно одной минуте, то
поезда идут с интервалом не три, а две минуты.
20. Знал бы прикуп – жил бы в Сочи, и кто не рискует, тот не пьет шампанское;
значит, знание прикупа гарантирует регулярное потребление шампанского.
21. Если прибор содержит два независимо работающих предохранителя, то он
выходит из строя тогда и только тогда, когда выходят из строя оба предохранителя.
22. Прядильный станок остановится, если оборвется нить хотя бы на одном из
трех веретен.
23. Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы и возникнет безработица; но если правительственные расходы не
возрастут, то налоги будут снижены; а если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возникнет.
24. Взятку платят тогда и только тогда, когда услуга оказана, поскольку если сначала заплатить, то услугу можно и не получить.
25. Если завтра я получу стипендию или займу деньги у товарища и если магазин
будет открыт, то я завтра куплю фотоаппарат нужной модели, если он будет в продаже.
26. Когда погода плохая, то или падает настроение, или портится самочувствие, и
в обоих случаях не хочется работать.
27. Коли взялся за гуж, то не говори, что не дюж, или вкалывай, вкалывай, вкалывай.
28. Параметры задачи определены полностью, если исходные данные однозначны
и в ответе нет произвольных постоянных.
29. Все я понимаю, только если спросят, то ответить не смогу и засмущаюсь.
30. Сессия – приятное времяпрепровождение, если весь семестр честно учился, но
если в семестре отдыхал, то худшей поры, чем сессия, нет.
Индивидуальное задание (контрольная работа)
57
Задание 2. Построить таблицу истинности для формулы.
Задание 3. По полученной таблице истинности привести исходную формулу к
дизъюнктивной нормальной форме.
Задание 4. Упростить полученную в задании 3 формулу, используя законы алгебры логики.
Задание 5. Доказать с помощью тождественных преобразований равносильность упрощенной формулы (задание 4) и исходной (задание 2).
Задание 6. Построить релейно-контактную схему, соответствующую упрощенной формуле (задание 4).
Задание 7. Составить функциональные схемы на базе электронных логических
элементов, реализующие логические функции из заданий 3 и 4.
Варианты формул для заданий 2 - 7:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
( A  B )  A  (C  ( A  C ))
(A  B)  A C  ( A  B)
( A  B)  ( A  C)  B
(( A  B)  ( B  C ))  ( A  C )
( A  B)  C)  A C
(( A  C)  B )  ( A  C )  B
(( A  B)  C )  A  A  C
B  C  (( A  B)  C )
( A  B)  ( A  B)  C
( A  B)  (( A  C )  B  C )
( A  B)  (( A  C )  B)
(A B  C)  (A BC)
(( A  B)  B)  ( A  C )
(( A  C )  C )  A  A  B
(C  A)  (C  B )  ( A  C )
A  (C  ( A  B)  ( A  B))
( A  C )  ( A  B  (C  A))
( A  B)  ( A  B)  C
(( A  C )  B)  A  ( A  C )
( A B)  ( A C)  (B  C)
(A  B  C)  A  C
Индивидуальное задание (контрольная работа)
58
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30. (
( A  B)  ( B  C)  ( A  C)
( A  B)  (( B  C )  ( A  C ))
( A  C )  (( B  C )  A)
( A  B)  ( A  C)  ( A  C)
( A  B)  ( A  B)  C
(A
 B)  (( A  C )  B  C )
A A B
( ( A C ) C ) 
  A
((A C)  B)
 (A  C)
A  C )  ( A  B  (C  A) )



Задание 8. Разбить высказывание на элементарные и записать в виде кванторной формулы логики предикатов, используя наименьшее возможное число предикатов
наименьшей местности; указать область определения использованных предикатов;
привести формулу к предваренной нормальной форме:
1. Либо каждый любит кого-то, и никто не любит всех, либо некто любит всех и
кто-то не любит никого.
2. Сумма любых двух чисел, имеющих различную четность, есть число нечетное.
3. Всякий друг Мартина есть друг Джона, а Питер не есть друг Джона; следовательно, Питер не есть друг всякого друга Мартина.
4. Если все рыбы, кроме акул, добры к детям, то найдутся дети, не любящие акул.
5. Если либо всякий любитель выпивки общителен, либо некий ростовщик честен и не пьет вина, то неверно, что всякий ростовщик общителен.
6. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
7. Поскольку не все птицы могут летать, то есть птицы, не умеющие плавать.
8. Если все школьники пошли в кино или в театр, то все школьники пошли в кино или некоторые школьники пошли в театр.
9. Иногда встречаются люди с глазами разного цвета, значит, есть кареглазые
люди или все люди голубоглазы или сероглазы.
10. Не все кошки серы, поэтому все кошки не серые.
11. Функция не имеет точек разрыва тогда и только тогда, когда функция непрерывна в любой точке области определения.
12. Последовательность не имеет конечного предела (сформулировать определение).
13. Если неверно, что всякое натуральное число четно или всякое натуральное
число нечетно, то имеются и четные числа, и нечетные.
14. Ты можешь обманывать кое-кого все время, ты можешь обманывать всех некоторое время, но ты не можешь обманывать всех все время.
15. Поскольку некоторые остроумны, только когда пьяны, то либо всякий остроумный пьян, либо пьяны все, его окружающие.
16. Через две различные точки проходит единственная прямая.
17. Ни один политик не честен, поэтому всякий человек – либо правдив, либо –
политик.
18. Два произвольных числа равны, если каждое из них делится на другое.
Индивидуальное задание (контрольная работа)
59
19. Через всякую точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной
прямой, параллельной данной.
20. Для любых двух различных действительных чисел найдется число, расположенное между ними.
21. Если всякий разумный философ – циник и только женщины являются разумными философами, то тогда, если существуют разумные философы, то некоторые из
женщин циничны.
22. Не всякий, в ком есть упорство, может изучить логику, но всякий, изучивший
логику, обладает упорством.
23. Если всякий предок предка данного человека есть также предок того же человека и никакой человек не есть предок самого себя, то существует некто, не имеющий
предков.
24. Если всякий друг моего друга – мой друг, то не всякий враг моего друга – мой враг.
25. Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать математику; ни один из
сыновей Гегеля не может понимать математику; сумасшедшие не допускаются к голосованию, следовательно, никто из сыновей Гегеля не допускается к голосованию.
26. Неверно, что не все фирмы уделяют внимание накоплению опыта всеми своими сотрудниками, значит, все сотрудники всех фирм опытны.
27. Теперь всякий скажет, что ничего не знает, но существует информация, которую любой с удовольствием передаст всем окружающим.
28. Когда я пьян, а пьян всегда я, ничто меня не устрашит и никакая сила ада мое
блаженство не смутит.
29. С юридической точки зрения все однотипные преступления похожи, следовательно, имеются стадии, которые возможны во всех преступлениях с материальным
составом.
30. Всегда имеются причины, не способствующие положительной мотивации всех
работников, но есть универсальные факторы для этого, поэтому в отдельные моменты
для некоторых работников надо, чтобы нашлись особые подходы к мотивации, и в любое время надо применять универсальные подходы.
Литература
60
ЛИТЕРАТУРА
1. Воротников С.М. Введение в математическую логику: Учеб. пособие. – Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т, 1996. – 128 с.
2. Воротников С.М., Егоров В.А., Матюшенко Л.Н. Практикум по введению в
математическую логику: Учеб. пособие. – Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т, 1998. – 74 с.
3. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М.: Наука,1972. – 288 с.
4. Гладкий А.В. Язык математической логики. – Калинин: Изд-во Калининского
гос. ун-та, 1977. – 84 с.
5. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука, 1987. – 336 с.
6. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику: Пер.
с англ. – М.: ИЛ, 1963. – 487 с.
7. Клини С.К. Математическая логика: Пер. с англ. – М.: Мир, 1973. – 368 с.
8. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.:
Изд-во МГУ, 1982. – 120 с.
9. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 480 с.
10. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 1984. – 224 с.
11. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. – М.: Наука,
1984. – 320 с.
12. Фрейденталь Х. Язык логики. – М.: Наука, 1969. – 214 с.
13. Черч А. Введение в математическую логику. Т.1: Пер. с англ. – М.: ИЛ, 1960. –
484 с.
14. Шенфилд Дж. Математическая логика: Пер. с англ. – М.: Наука, 1975. – 528 с.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ.........................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ВВЕДЕНИЕ ..........................................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ .............................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1.1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ, ФОРМУЛЫ................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1.2. УПРОЩЕНИЕ ФОРМУЛ. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАВНОСИЛЬНОСТИ,
ТОЖДЕСТВЕННОЙ ИСТИННОСТИ И ТОЖДЕСТВЕННОЙ ЛОЖНОСТИ ФОРМУЛ И БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙERROR! BOOKMARK NOT DEF
1.3. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ........................ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
1.4. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ В ТЕОРИИ ОДНОТАКТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТОВERROR! BOOKMARK
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .............................................................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ................................................................................................... 34
2.1. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ........................................................................................... 34
2.2. ПРИВЕДЕНИЕ ФОРМУЛ К ПРЕДВАРЕННОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ (ПНФ) .................................................................. 41
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................................................................................................................ 43
3. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ ........................................ 44
3.1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ...................................................................................... 44
3.2. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРЕДИКАТОВ ............................................................................................. 46
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА) ............................................................. 55
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.................................................................... 55
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ............................................................................................................................... 55
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................................................... 60
Сергей Михайлович Воротников
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ
Учебное пособие
Редактор Г.Н. Горькавая
ЛР № 020825 от 21.09.93
Подписано в печать 24.06.02.
Формат 60 х 84 1/8. Бумага 80 г/м2. Отпечатано на ризографе.
Усл. печ. л. 7,49. Уч.-изд. л. 3,79. Тираж 200.
Институт новых информационных технологий
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»
681013, Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27