δ A α ...

1.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Общие методические указания изложены в [1].
Обозначим : A - точное число; a - приближенное число.
Абсолютная погрешность
 aA.
Относительная погрешность
δ

.
A
Десятичная запись числа
a  α1  10  α2  10  ...  αn  10 mn1  ...,
где α i - цифры числа ( i  1,2,..., n ) ; α1  0 ; m – старший десятичный разряд.
Значащие цифры
Значащими цифрами приближенного числа a называются все цифры в его
десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они содержатся между
значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение
разряда точности.
Пример 1.1. В числе 0.001405 значащими являются четыре цифры:
1, 4, 0, 5.
Верные знаки в узком смысле
Приближенное число a  α1  10 m  α 2  10 m1  ...  α n  10 mn1  ... содержит
n верных знаков в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не
превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n -ой значащей
цифрой, считая слева направо, т.е. если выполняется неравенство
  0.5  10 mn1 .
Пример 1.2. Приближенное число a  7.21508 имеет абсолютную
погрешность   0.00007 .
m
m1
  0.00007  0.5  10 3 ; разряд 103 указывает позицию последней справа
верной значащей цифры, т.е. число a имеет четыре верных знака в узком смысле: 7,
2, 1, 5.
Верные знаки в широком смысле
Приближенное число
a  α1  10 m  α2  10 m1  ...  αn  10 mn1  ...
содержит n верных знаков в широком смысле, если абсолютная погрешность этого
числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого n -ой значащей
цифрой, считая слева направо, т.е.
  1  10 mn1 .
П р и м е р 1.3. a  7.21508 ;   0.00007 .
  0.00007  1  10 4 ; разряд 10 4 указывает позицию последней справа
верной значащей цифры, т.е. число a имеет пять верных знаков в широком смысле:
1
7, 2, 1, 5, 0.
Предельная абсолютная погрешность
Предельная абсолютная погрешность может быть вычислена по формуле
   ω  10 mn1 ,
где m – верхний разряд; n – количество верных значащих цифр;
ω  0.5 , если верные значащие цифры указаны в узком смысле;
ω  1, если верные значащие цифры указаны в широком смысле.
Предельная относительная погрешность
Предельная относительная погрешность может быть вычислена по формуле
δ a 
ω
,
α1  10 n1
где α1 - первая значащая цифра числа a ; n – количество верных значащих цифр;
ω  0,5, если верные значащие цифры указаны в узком смысле ;
ω  1, если верные значащие цифры указаны в широком смысле.
Пример 1.4. Определить, какое равенство точнее: a1  13 / 19  0,684 или
a 2  52  7 ,21 ?
Находим предельные абсолютные погрешности чисел a1 и a 2 . Для этого берем
числа a1 и a 2 с большим числом десятичных знаков: 13 / 19  0.68421 ; 52  7.2111 .
Определяем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:
 a1  0.68421  0.684  0.00022 ;
 a 2   7.2111  7.21  0.0012 .
Находим предельные относительные погрешности:
δ a1   a1 / a1  0,00022 / 0.684  0.00033  0.033% ;
δ a 2    a 2  / a 2  0.0012 / 7.21  0.00017  0.017 % .


Второе равенство является более точным , поскольку δ a 2  δ a1 .
Пример 1.5. Определить предельные абсолютную и относительную
погрешности приближенного числа a  96.387 , если оно содержит только верные
цифры в узком смысле.
Так как для числа a  96.387 последняя верная значащая цифра 7 стоит в
разряде тысячных долей (10 3 ), то  a  0.5  10 3 , т.е.  a  0.0005 , или
 a   0.0005 . Тогда число a можно записать 96.387  0.0005 .
Предельная относительная погрешность
δ a 
1
2.9  10
51
 0.000005  5  10 6 .
Пример 1.6. Определить предельные абсолютную и относительную
погрешности приближенного числа b  6.32 , если оно содержит только верные
цифры в широком смысле.
2
Последняя цифра приближенного числа b  6.32 стоит в разряде сотых долей
(10 ). Так как это число содержит верные цифры в широком смысле, то,
следовательно,  b  1  10 2 , т.е.  b  0.01 , или  a   0.01. Тогда число b можно
записать 6.32  0.01.
Предельная относительная погрешность
2
δ b 
1
α1  10 n 1

1
6  10 31
 0.0016667 .
Погрешности алгебраических действий
- cуммы
- разности
- произведения
- частного
 (a  b)   a   b ;
 (a  b)   a   b ;
 (a  b)   a   b ;
 (a / b)   a   b ;
 am  m   a ;
1
- корня m -ой степени
 m a   a.
m
Правила подсчета цифр
При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует
сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с
наименьшим числом десятичных знаков.
- m -ой степени
Пример 1.7. a  0.12 ; b  0.37401 ; a  b  0.49401  0.49 .
При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих
цифр, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом значащих цифр.
Пример 1.8. a  0.2 ; b  0.41; a  b  0.82  0.8 .
При возведении приближенного числа в квадрат или куб в результате следует
сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени.
Пример 1.9. a  9.5 ; a 2  90.25  90.
При извлечении квадратного или кубического корней из приближенного числа в
результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном
числе.
Пример 1.10. a  12.1 ; a  3.478505426 ...  3.48 .
При вычислении промежуточных результатов следует сохранить на одну цифру
больше, чем требуют правила. В окончательном результате эта “запасная” цифра
отбрасывается.
Задача 1
1). Найти количество верных значащих цифр
а) в узком смысле слова;
б) в широком смысле слова.
2). Определить предельные абсолютную и относительную погрешности, если все
знаки верные а) в узком смысле слова ,
3
б) в широком смысле слова.
3). Вычислить и определить погрешность результата.
Исходные данные к заданиям 1-2 задачи 1 приведены в табл. 1, а к заданию 3 – в
табл. 2.
Таблица 1. Исходные данные к заданиям 1-2 задачи 1
№
вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1)
а)
2)
б)
15,8175 ( 0, 0012 )
14, 283;   0, 5%
26, 4257 ( 0, 044 )
337, 2834;   0,8%
34,834;   0,1%
0, 5748 ( 0, 0034 )
20, 3485 ( 0, 042 )
0, 34484;   0, 5 %
1205, 435 ( 0, 28 )
10,8441;   1 %
23,55;   0,2 %
5,1234 ( 0,0011)
2984, 5643;   0, 7 %
122, 4543 ( 0, 0032 )
23,574;   0,2 %
908, 3445 ( 0, 022 )
21, 685603;   0,3 % 3, 7803409 ( 0, 0041)
13,537 ( 0,0026 )
787, 521;   0,12 %
500, 4157 ( 0, 21)
160, 2533;   0,5 %
10, 5555 ( 0, 0011)
5,145;   0,15 %
100,1301 ( 0, 0022 )
80,121;   0, 6 %
909,15255;   0,17 %
11,332 ( 0,0029 )
102,531 ( 0, 027 )
8, 7211;   0, 3 %
121, 531( 0, 027 )
9, 00721;   0,33 %
21, 05051;   0, 4 %
8, 354133 ( 0, 00025 )
17,871;   0, 5 %
0,884122 ( 0, 00027 )
9,24151;   0,25 %
0,88357 ( 0, 00037 )
50, 4151 ( 0, 002 )
100,8111;   0, 7 %
0,31471;   0,42 %
2,4488 ( 0,0042 )
330,134;   0,15 %
0, 67189 ( 0, 0031)
150,8175 ( 0, 0088 )
10, 283;   0,5%
33, 2834;   0,8%
26, 4257 ( 0, 084 )
0, 05748 ( 0, 0064 )
34, 034;   0, 4%
1, 5371 ( 0, 0026 )
487, 521;   0,12 %
170, 2533;   0, 7 %
600, 4157 ( 0, 21)
5,145;   0, 25 %
10,1111( 0, 0031)
10,13051 ( 0, 0022 )
89,121;   0, 6 %
27, 332 ( 0, 0039 )
900,15255;   0, 37 %
а)
150,134
3, 75001
121, 405
6, 34045
800, 345
118, 222
0, 0374
200, 43
4110, 72
55, 034
2, 75122
0, 002545
5,1012
40,110
201,35
312, 20
4, 0015
700, 4302
141,2
72,500
60,53
1500, 43
150,104
3, 7500
120,185
15, 034
2, 70022
0, 20545
5,1100
40, 0018
б)
0,1098
0,537
2, 04377
10, 7051
0,288
0, 00543
40, 3481
0, 506
0, 608
0,0748
0, 5403
41,8801
0, 08071
0, 05209
0, 0376
0,0034
0, 2314
0,404
0, 50
0, 05033
0, 017802
0,19295
0,108
0, 401
2, 04077
0, 0718
0, 503
41,8
0, 04071
0, 05109
4
Таблица 2. Исходные данные к заданию 3 задачи 1
№ вар
1
Выражение
3
x1  (hВ1  hВ2 )  2  (h1  h1)
  (h   h  )
x2  1 1 2
(h2  h2 )
X 3  D0   K  (h0  hK ) , кВт
4
N i  D0  1  (h0  h1 ) , кВт
2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Ni
, кг/с
(h0  hК )  (1  1 )
Ni
D0 
, кг/с
(h0  hК )  (1  2 )
 6   OK  ( h6  hK ) /( h6  hK )
Д  (hД  hВ4 ) / (h3  hВ4 )
D0 
QТУ  D0  (h0  hПВ )  D0  (hП2  hП1 ) , кВт
QТУ  D0  (1  1  2 )  (hП2  hП1 ) , кВт
QПГ  D0  (h0  hПВ )  D0  (hП2  hП1 ) , кВт
QТУ  D0  (h0  hПВ )  2  (hП2  hП1 ) , кВт
QТУ  D0  (h0  hПВ )  2  (hП2  hП1 ) , кВт
i  ( h0  hK ) /( h0  hK )
В  1  (h3  hC ) / (h3  h3 )
В  (1  2 )  (h3  hС ) / (h3  h3 )
  (h  h )
i  1 1 K
(h0  h1)
  (h  h )  (h0  hK )
i  1 0 1
(h0  h1 )
(1  1 )  (h1  h2 )
i 
(h0  h1 )
  (h  h )  2  (h0  h2 )
i  1 0 1
(h0  h1)
Y1  ( h1  hK  hП2  hП1 ) /( h0  hK  hП2  hП1 )
Y2  ( h2  hK  hП2  hП1 ) /( h0  hK  hП2  hП1 )
Y3  ( h3  hK  hП2  hП1 ) /( h0  hK  hП2  hП1 )
Ni  D0  ( K  ( h0  hK )  1  ( h0  h1 )   2  ( h0  h2 )) , кВт
Ni
D0 
h h
( h0  hК )  (1  1  1 K )
h0  hK
5
Значения параметров в правой части выражений:
h0
h1
h2
h3
h4
h6
hC
hП1
hП 2
hК
hВ1
hВ2
hВ3
hВ 4
hПВ
=
=
=
=
=
3460
3320
3100
3260
3050
= 2910
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2540
3100
3560
2335
1232
993,4
759,4
589,5
1238
М = 0,995;
(  4)
(  4)
(  4)
(  4)
(  4)
кДж/кг;
кДж/кг;
кДж/кг;
кДж/кг;
кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
(  4) кДж/кг;
h0
h1
h2
h3
h3
hД
h6
hК
hПП
1
2
3
К
 ОК
В
D0
Г
=
=
=
=
=
1533
1268
1008
762,6
2777
= 697
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(  0,5)
(  0,4)
(  0,3)
(  0,5)
(  0,5)
кДж/кг;
кДж/кг;
кДж/кг;
кДж/кг;
кДж/кг;
(  0,5) кДж/кг;
321 (  0,5) кДж/кг;
121 (  0,5) кДж/кг;
3470 (  0,5) кДж/кг;
0,0754 (  0,0005);
0,0325 (  0,0005);
0,1014 (  0,0005);
0,5871 (  0,0005);
0,7943 (  0,0005);
(  0,0005);
0,204
50 (  1) кг/c;
0,999.
6