Novak_Mihailovax - Всероссийский фестиваль

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2015/16 учебный год)
Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся
Математика/Общая математика
Исследовательская работа
Удивительный мир симметрии
Автор работы:
Новак Марина Владимировна,
ученица 6 «В» класса
МБОУ Самарская СШ № 1
им. П.А. Половинко
Азовского района
Руководитель:
Михайлова Татьяна Юрьевна
учитель математики
МБОУСамарская СШ № 1
им. П.А. Половинко
Азовского района
Самарское
2015
Оглавление
Введение…………………………………………………….. …...........3
Основная часть
1. Понятие симметрии ……………………………………. ….................5
2. Симметрия и красота.........……………………………….....................8
3. Применение законов симметрии человеком.......................................11
4. Симметрия в мире растений............…………………………….........12
5. Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц...........................................13
6. Симметрия в неживой природе............................………………........14
7. Практическая часть.
7.1. Симметрия вокруг меня.................................................................15
7.2. Поделка «Снежинка»………………………………………. ……16
Заключение.………………………………………………………........18
Библиографический список.………………………………………….19
2
Введение
В 6-м классе на уроках математики мы познакомились с центральной и
осевой симметрией, рассматривали в учебнике рисунки, приводили личные
примеры фигур, имеющих ось симметрии; научились строить симметричные
отрезки и фигуры.
Наша учительница Татьяна Юрьевна рассказала, что с симметрией мы
встречаемся везде – в природе, технике, науке, искусстве, быту. Симметрией
обладают не только геометрические фигуры или вещи, сделанные рукой
человека, но и многие творения природы: бабочки, стрекозы, листья, морские
звезды, снежинки. Симметричны формы автомобиля и самолёта,
симметрично ритмическое построение стихотворения, симметричны многие
предметы быта, окружающие нас: шкафы, ковры, вазы, музыкальные
инструменты. Нас восхищают своей симметричностью и красотой
архитектурные сооружения: храмы, соборы, дворцы.
Актуальность исследования:
Меня очень заинтересовала эта тема. Для меня стало актуальным
рассмотреть применение проявления симметрии в природе и дома, заняться
исследованием, поучаствовать в создании симметричных рисунков, фигур.
Увидеть, как она привносит в наш мир красоту и гармонию. При поддержке
моего руководителя, учителя математики Михайловой Татьяны Юрьевны, я
приступила к работе, которую назвала «Удивительный мир симметрии».
Цель исследования:
-исследовать проявление симметрия в живой и неживой природе.
Задачи исследования:
-изучить литературу, СМИ и Интернет-ресурсы по данной теме;
-рассмотреть основные виды симметрии;
-рассмотреть примеры применения симметрии в литературе, архитектуре,
искусстве, живой и неживой природе;
-показать применение полученных знаний и наблюдений при изготовлении
поделки "Снежинка".
Предмет исследования: Симметрия.
Объект исследования: понятие и виды симметрии, симметрия в жизни
растений, животных и человека.
Гипотеза: симметрия широко используется во всех проявлениях
жизнедеятельности человека, мы сталкиваемся с ней повседневно, она
окружает нас.
Методы исследования:
-подборка, анализ, систематизация материала о симметрии, о различных
видах симметрии;
-исследование симметрии в быту;
3
-анализ использования симметрии в природе;
-изготовление поделки "Снежинка".
По данной теме мною были изучена литература:Большая Советская
Энциклопедия. (Прохоров А.М. – изд. 3-е. Москва), Детская энциклопедия
для среднего и старшего возраста. (– изд. 3-е. Москва: «Педагогика»),
Справочник школьника по математике (Маслова Т.Н., Суходский А.М.,
Москва), Я познаю мир. Математика: энцикл./авт. – сост. А.П. Савин, А.Е.
Шабельник, А.О. Хоменко. – Москва.
Опираясь на изученную литературу, я рассмотрела в работе понятие и виды
симметрии. Показала гармонию и красоту симметрии в литературе,
архитектуре, искусстве, живой и неживой природе. Рассказала о примерах
симметричных предметов, окружающих меня. Поделилась своим умением в
изготовлении снежинки.
4
1. Понятие симметрии
Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из
наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и
общества. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю
человеческого творчества. Его широко используют различные направления
современной науки. С симметрией мы встречаемся буквально на каждом
шагу: в природе, технике, искусстве, науке.
Слово «симметрия» греческое. В "Большой Советской Энциклопедии"
симметрия определяется как "красота, обусловленная пропорциональностью
частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией,
согласованностью". Люди давно обратили внимание на правильность формы
кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и
воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в
создаваемых ими предметах.
Слово «симметрия» имеет двойственное толкование.
В одном смысле
симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное.
Второй смысл этого слова - равновесие. Ещё Аристотель говорил о
симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением
крайностей. Об этой закономерности задумывались многие великие люди.
Например, Л. Н. Толстой говорил: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней
мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия
понятна глазу? Что такое симметрия?Это врождённое чувство. На чём же оно
основано?» Учебник «Математика 6 класс» знакомит нас с двумя видами
симметрии:
Осевая симметрия
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой
точки фигуры симметричная ей точка относительно прямойа также
принадлежит этой фигуре. Прямаяа называется осью симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. Примерами фигур,
обладающих осевой симметрией являются прямоугольник, ромб, окружность
(рис. 1).
а
аа
ааа
Рис. 1
5
Центральная симметрия
Фигура называется симметричной относительно точкиО, если для каждой
точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также
принадлежит этой фигуре. ТочкаО называется центром симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Примерами
фигур, обладающих центральной симметрией, являются квадрат,
окружность (рис. 2).
О
О
Рис. 2
Для того чтобы познакомиться с другими видами симметрии, я решила
изучить литературу, СМИ, Интернет-ресурсы по данной теме. Каково же
было моё удивление, когда я узнала о существовании множества видов
симметрии, применяемых как в растительном, так и в животном мире, но
самое главное - необходимых человеку.
Зеркальная симметрия
Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется
такое отражение пространства на себя, при котором любая точкаА переходит
в симметричную ей относительно этой плоскости точку А1 (рис. 3).
Рис. 3
У меня на правой щеке есть «ямочка». Если я встану боком к зеркалу, то в
зеркале появиться моё отражение. На первый взгляд, кажется, что
наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией меня? В
действительности же это совсем не так. Зеркало не просто копирует объект, а
меняет местами передние и задние по отношению к зеркалу части объекта.
Поэтому моя «ямочка» у зазеркального двойника оказывается на левой
щеке. Точно также, если мы положим перед зеркалом левую перчатку, то она
превратится в правую (рис. 4).
Рис.4
6
Кленовый лист симметричен. Если перегнуть его по среднему вертикальному
стебельку-прожилке, то получившиеся части совпадут друг с другом. Можно
провести опыт с зеркалом; отражение в зеркале дополнит половину листа до
целого. Поэтому кленовый лист обладает зеркальной симметрией (рис.
5)Зеркальная (билатеральная) симметрия – характерная симметрия всех
представителей животного мира. Эта симметрия хорошо видна у бабочки.
Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти
математической строгостью (рис. 6).
Рис. 5
Рис. 6
Винтовая или спиральная симметрия- композиция симметрии вращения и
параллельного переноса на некоторое расстояние параллельно оси
симметрии.
Встречаются левые и правые винты:
У самцов нарвала левый зуб вырастает в бивень. Бивень прокалывает
верхнюю губу и имеет длину два-три метра. Что любопытно: он завивается
по часовой стрелке и образовывает что–то вроде штопора. Почему бивень
прорезается только слева? Это одна из непостижимых тайн мира животных.
Бивень нарвала – левый винт (рис. 7); раковина улитки – правый винт (рис.8);
рог памирского барана – один рог левый винт, а другой правый винт (рис.9).
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Поворотная симметрия – это такая симметрия, при которой объект
совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 360/n,
где n=2,3,4,…
Поворотная симметрия встречается и в животном мире. Примерами могут
служить морская звезда и панцирь морского ежа. Однако в отличие от мира
7
растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко.
Фактически мы встречаемся с ней при изучении лишь некоторых
обитателейморя (рис. 10,11).
Рис. 10
Рис. 11
Скользящая симметрия - это преобразование, при котором
последовательно выполняется осевая симметрия и параллельный перенос
(рис.12).
Рис. 12
2. Симметрия и красота
Рассмотрим эстетическую ценность симметрии для человека.
Литература и симметрия - что может объединять эти далёкие друг от друга
области знаний? Литературу, с её интересом к духовному миру человека,
поисками нравственных ценностей и симметрию, предпочитающую строгий
научный подход и абстрактную форму интуиции.
В русском языке есть "симметричные" слова - палиндромы, которые можно
читать одинаково в двух направлениях: шалаш, казак, радар, Алла, Анна,
кок, поп.Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи
предложений. А роза упала на лапу Азора. Я иду с мечом судия. (Г.Р.
Державин).
Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.
Вертикальная ось симметрии: А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш.
8
Горизонтальная ось симметрии: В; Е; З; К; С; Э; Ю.
И вертикальные и горизонтальные оси симметрии: Ж; Н; Х.
Ни вертикальные, ни горизонтальные оси: Б; Г; И; Й; Р; У; Ц;Ч ;Щ; Я.
Рассмотрим, например, буквы А, М, Т, Ш. Если их разделить пополам, то
левая половина будет равна правой половине (рис.13).
Рис. 13
Если взять буквы В, Е, З, К, С, Э, то их можно разделить пополам на левую и
правую половинки (рис.14)
Рис. 14
А если мы возьмём букву О, проведём через её центр прямые и измерим
отрезки от одного края до противоположного, то окажется, что они равны
(рис. 15)
О
Рис. 15
С детства человек видит зеркальную симметрию в бабочках, птицах, рыбах,
животных, поворотную в стройных елях и волшебных узорах снежинок,
переносную – в оградах парков, решётках мостов, лестничных маршах,
бордюрах, которые издревле были любимым декоративным элементом
зеркальной
симметрии.
Разглядывание
соразмерных,
взаимно
уравновешенных, закономерно повторяющихся частей симметричного
объекта порождает ощущение покоя, порядка, стабильности. В результате
предмет воспринимается как красивый. Простой пример нас убеждает в
этом.
Чернильная клякса сама по себе некрасива. Но стоит перегнуть лист бумаги с
невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже
производит приятное впечатление (рис.16). Зеркальная симметрия новой
кляксы, то есть закономерное расположение её частей, и определяет красоту
нашей "рукотворной" кляксы.
9
Рис. 16
Симметрия воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как
внешнее проявления внутреннего порядка, начинает обладать эстетической
ценностью и воспринимается как красота.
На рисунке 17 изображены узоры, полученные с использованием различных
типов геометрической симметрии.
Рис. 17
Узор на рисунке б получен с помощью зеркальной симметрии, узоры
на рисунке в называется бордюром и представляет собой тип переносной
симметрии, когда предыдущая фигура совпадает с последующей при
поступательном перемещении вдоль бордюра на шаг симметрии. Нижний
бордюр имеет более сложный закон построения, чем простая переносная
симметрия. На рисунке гпоказаны так называемые «розетки», которые
получаются поворотом вокруг вертикальной оси на угол 360°/n (n=2,3,4, …),
то есть обладает поворотной симметрией. Верхняя розетка имеет поворотную
симметрию 6-го разряда, средняя – 8-го разряда, нижняя же сочетает
зеркальную и поворотную симметрию, но в то же время она имеет чисто
поворотную симметрию 3-го разряда. На рисунке д показаны два возможных
орнамента.
10
Идея связи прекрасного с симметрией пронизывала всю греческую
философию, все греческое искусство. Достаточно вспомнить строго
симметричные формы античных архитектурных памятников, изумительную
стройность греческих ваз, математическую строгость их орнамента.
Симметрия как объективный признак красоты проходит через всю историю
искусств. Она использовалась в архитектуре и скульптуре, симметрия
господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции
и Рима, Средневековья и Возрождения (рис. 18,19,20)
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
3. Применение законов симметрии человеком.
Увидев проявление симметрии в искусстве, мне захотелось узнать, как
применяет человек эти закономерности в своих творениях.
Люди привыкли видеть в природе вертикальные оси и плоскости симметрии,
поэтому вертикальные симметрии воспринимаются нами гораздо охотнее.
Мы нигде не увидим обои с горизонтальными осями симметрии, так как это
вызвало бы неприятный контраст с вертикальной симметрией растущих из
окна деревьев.
Во все времена люди стремились определить и измерить красоту, тем самым
сделав возможным её воссоздание. На протяжении веков стандарты красоты
постоянно менялись, но, несомненно, существуют определённые
соотношения и пропорции лица, которые определяют его привлекательность.
Для того чтобы нарисовать красивый портрет, человек изучает в каких
пропорциях состоит тело человека.
От композиции здания в первую очередь зависит впечатление, которое
производит архитектурное сооружение. Сочетание различных объёмов высоких и низких, прямолинейных и криволинейных, чередование
пространств - открытых и закрытых - вот основные приёмы, которые
использует зодчий, создавая архитектурные композиции. Наиболее ясны и
уравновешены здания с симметричной композицией. Поэтому для создания
архитектурного сооружения человеку необходимо знать законы симметрии
(рис. 21,22).
Рис. 21
Рис. 22
11
И напротив, случайное отклонение от симметрии (обрушившийся угол
здания, оторванный кусочек буквы, необычно рано выпавший снег или его
долгое отсутствие) воспринимается, как правило, отрицательно – как
неожиданный эффект угрожающий нашей уверенности в стабильности и
упорядоченности окружающего мира. Но симметрия может вызывать и
отрицательные эмоции. Современные жилые кварталы, застроенные
одинаковыми симметричными домами, создают впечатление скучного
однообразия.
4. Симметрия в мире растений
Как же проявляется симметрия в живой природе?
Характерной для растений симметрией является симметрия конуса, которая
хорошо видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи
корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то
есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то
есть наверху. Поэтому направления вверх и вниз для дерева существенно
различны.
В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для
дерева практически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в
равной мере поступают воздух, свет и влага. В результате появляются
вертикальная поворотная ось (ось конуса) и вертикальные плоскости
симметрии. Для любого дерева можно указать основание и вершину, но в то
же время, у него нельзя назвать левую или правую, переднюю или заднюю
стороны.
Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы и плоды растений.
Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия
встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в
сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной
симметрии (веточки акации, рябины).
Центральная симметрия характерна для цветов плодов растений.
Рассмотрим разрез любой ягоды. В разрезе она представляет собой
окружность, а окружность имеет центр симметрии (рис. 23). Ромашка
обладает центральной симметрией, так как её сердцевина представляет собой
окружность. Весь цветок обладает центральной симметрией только в случае
чётного количества лепестков (рис. 24).
Рис. 23
Рис. 24
12
Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы
можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего,
цветок совместиться с самим собой. Минимальный угол такого поворота для
различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 1200, колокольчика,
незабудки, шиповника – 720,для нарцисса – 600 (рис. 25,26,27).
Рис. 25
Рис. 26
Рис.27
Стебель растения обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника
каждый листок появляется после поворота на 72о. Листья на стебле
располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать
солнечный цвет. Это интересное ботаническое явление носит название
филлотаксиса (буквально “Устроение листа”). Другим проявлением
филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи
еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и
винтовых линий (рис. 28,29,30).
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
В любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой,
центральной или винтовой симметрией, которая придаёт им красоту.
5. Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных
Для насекомых, рыб, птиц, животных характерно несовместимое с
поворотной симметрией различие между направлениями вперёд и назад.
Направление движения является принципиально выделенным направлением.
В этом направлении животное устремляется за пищей и спасается от
преследователей. Кроме направления движения, симметрию живых существ
13
определяет ещё одно направление – направление силы тяжести. Оба
направления существенны, они задают плоскость симметрии существа.
Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба, птица)
состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфами
являются также парные детали, одна из которых попадает в правую, а другая
в левую половину тела животного. Так, энантиоморфами являются правое и
левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог (рис. 31,32,33).
Рис. 31
Рис.32
Рис. 33
Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для
живых существ, для которых ведущим направлением является направление
движения “вперёд”, наиболее характерна зеркальная симметрия.
В живой природе встречается также поворотная, винтовая или спиральная
симметрия.
Симметрия форм, окраски насекомых, животных придаёт им красоту.
6. Симметрия в неживой природе.
Кто из нас не любовался снежинками? Каждая снежинка – это маленький
кристалл замёрзшей воды. Форма снежинок может быть очень
разнообразной, но все они имеют форму шестиугольника и обладают
симметрией – поворотной, зеркальной и осевой (рис.34).
Все твёрдые тела состоят из кристаллов. В большинстве случаев кристаллы
очень малы; однако в некоторых случаях они вырастают до внушительных
размеров и тогда они предстают во всей своей геометрически правильной
красоте.
Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней
симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве
атомов и молекул, иначе говоря, симметрия кристалла связана с
существованием так называемой кристаллической решётки. В процессе
свободного медленного роста кристалл всегда принимает строгую форму
многогранника.
Единственная горизонтальная симметрия, которую мы встречаем в природе, отражение в зеркале воды. Возможно, в необычности такой симметрии и
заключается её завораживающая сила (рис. 35).
14
Рис. 34
Рис.35
7.Практическая часть
7.1. Симметрия вокруг меня
Рассмотрев различные виды симметрий, я обратила внимание, что она
окружает меня повсюду.
На стене висит ковёр. Если сложить его пополам, то верхние квадратики
(орнаменты) совпадут с нижними, тоже произойдёт и с боковыми сторонами
(рис. 36).
Рис. 36
На входной двери стёкла симметричны друг другу (рис. 37). Барашки,
изображённые на сувенирной подушке, симметричны друг другу (рис. 38).
Ри
3.
Рис. 22
рис 222
3.
Рис. 37
Рис. 38
15
Симметрично расположены вертикальные полоски на обоях (рис. 39). Если
согнуть пополам, эти полоски совпадут. Плитка в углу ванной комнаты
(рис.40). Одна плитка является зеркальным отражением другой.
Рис. 39
Рис. 40
Лампочки на светильниках находятся на равном расстоянии, симметричны
относительно некоторой оси (рис. 41,42).
Рис. 41
Рис. 42
7.2. Поделка «Снежинка»
Когда я рассматривала
симметрию в природе, меня заинтересовала
снежинка - красивое творение природы. Форма снежинок может быть очень
разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной и зеркальной.
Характерная особенность: у снежинок всегда шесть углов, которые
соединяются между собой.
Я приготовила шесть листов бумаги, ножницы, клей, степлер и конечно
вдохновение. При желании снежинку можно сделать разноцветной,
изготовив отдельные элементы из цветной бумаги. Но мне нравится
белоснежная классическая снежинка.
16
Вначале делаю шесть квадратиков-заготовок для будущей снежинки.
Каждый квадрат складываю пополам по диагонали и делаю ножницами
надрезы, двигаясь от сгиба к центральной линии.
Раскрываю сложенный по диагонали квадрат с симметричными надрезами и
кладу перед собой.
Первый ряд полосок скручиваю трубочкой и скрепляю их степлером.
Переворачиваю снежинку на другую сторону и беру за следующие две
полоски: соединяю и скрепляю степлером. Продолжаю, переворачивая
снежинку и скрепляя оставшиеся полоски. В результате у меня получился вот
такие скрученные элементы.
Это один из лучиков моей будущей снежинки, а мне таких нужно ровно
шесть штук! Поэтому то же самое проделываю с оставшимися пятью
квадратными заготовками. Три лучика снежинки посредине соединяю
степлером. Оставшиеся три лучика соединяю аналогичным образом. Теперь
две большие части симметрично.соединяю между собой.
Осталось соединить снежинку с помощью степлера в тех местах, где лучики
соприкасаются друг с другом, чтобы снежинка получилась симметричной.
Моя красавица-снежинка готова!
17
18
Заключение
Подводя итог своей работы, я сделала вывод о том, что симметрия является
одним из основополагающих принципов красоты и гармонии. Во время
работы над проектом я узнала много нового и интересного о видах
симметрии:
-изучена литература, СМИ и Интернет-ресурсы по данной теме;
-рассмотрены основные виды симметрии;
-рассмотрены примеры применения симметрии в литературе, архитектуре,
искусстве, живой и неживой природе;
-показано применение полученных знаний и наблюдений при изготовлении
поделки "Снежинка".
19
Библиографический список
1. Большая Советская Энциклопедия. (Т. 23) Прохоров А.М. – изд. 3-е.
Москва: «Советская Энциклопедия», 1976.-640 с.: ил.
2. Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. (Т. 2) – изд. 3е. Москва: «Педагогика», 1971.- 480 с.: ил.
3. Зубарева И.И. Математика. 6 класс: учеб.для учащихся общеобразоват.
учреждений/И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 13-изд., испр. и доп. Москва: Мнемозина, 2013. - 264 с.: ил.
4. Справочник школьника по математике, Маслова Т.Н., Суходский А.М.,
Москва: Оникс, Мир образования, 2008.- 672 с.
5. Я познаю мир. Математика: энцикл./авт. – сост. А.П. Савин, А.Е.
Шабельник, А.О. Хоменко. – Москва: АСТ: Астрель: Люкс, 2005. –
475 с.
Интернет ресурсы
6. Электронный режим доступа: https://www. ru.wikipedia.org
20