t - Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Математическое моделирование
многомерных квазистационарных
электромагнитных полей в канале
электродинамического ускорителя
Галанин Михаил Павлович
ИПМ им. М.В. Келдыша РАН
«Научный сервис в сети Интернет»
Абрау-Дюрсо, сентябрь 2015 г.
2
Доклад основан на материалах совместных работ с
Юрием Петровичем Поповым,
Алексеем Павловичем Лотоцким,
Андреем Дмитриевичем Лебедевым,
Станиславом Станиславовичем Храмцовским ,
Константином Константиновичем Миляевым ,
Сергеем Сергеевичем Уразовым
3
Содержание
Введение
1. Исследование эрозии высокоскоростного электрического контакта
методами математического моделирования в трехмерном случае
2. Численное моделирование качественных особенностей распределений
трехмерных полей в неоднородных подобластях электродинамического
ускорителя
3. Численное моделирование квазистационарных электромагнитных полей
в многосвязных областях и областях с изменяющимися во времени
границами
4.
Методы
численного
моделирования
квазистационарных
электромагнитных полей в областях с негладкими границами проводящих и
диэлектрических подобластей
Заключение
Публикации
Благодарности
Введение
РАЗГОН ПРОВОДЯЩЕГО МАКРОТЕЛА В
КАНАЛЕ РЕЛЬСОТРОНА
Принцип ускорения.
Схема рельсотрона.
Генерация ускоряющей силы и принципиальная схема рельсотрона. 1 направляющий и токоподводящий рельс, 2 - ускоряемое тело (якорь или иная
токовая арматура), 3 - силовой бандаж канала, 4 – изолятор
4
Математическая модель процесса электромагнитного ускорения
твердых тел1
5
H
 rot u  H E,
t
rot H  4σ E  4 j, div H  0
Уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. СЭЛ - переменные, D/Dt
= ∂/∂t + (v, ),
∂/∂t – эйлерова производная, D/Dt – СЭЛ, v – скорость движения
области – равна скорости якоря. После введения векторного потенциала A:
H  rot A , E  u  rot A 
DA
 ( v  )A ,
Dt
DA


4 u  rot A  
  v,   A   rot rot A   ( ) grad div A ,
Dt


A t 0,rG  0 ,
1
 rot A t rГ
2
 Ψt (r, t ), At
rГ1
0 ,
div A r  0 , A n rГ  0 .
12
22
G – пространственная
область, G = G1UG2
G1 - проводник,
G2 – диэлектрик,
∂G1 и ∂G2 – границы G1 и G2.
Здесь θ (σ) = 0 в G1, θ (σ) = 1 в G2.
∂G = Г1UГ2,
Г1 – часть границы ∂G с заданным At,
Г2 – часть ∂G, с заданным Ht,
Г12 = Г1∩∂G2, ∂G12 = ∂G1 ∩ ∂G2,
γ12 = ∂G12UГ12.
1М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах: Математическое
моделирование. М. Наука. Физматлит. 1995. 320 с.
Определение граничных условий на торцах.
Ищем решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям,
которое обеспечивает протекание через поперечное сечение заданного тока .
 E y dS  I k
S
k
k  1,2, N
Граничный векторный потенциал – решение задачи:


 A 
4     
 t  S

 k




A
dS  I  /   dS  A
k S
t



 k
A  0 в G ,
2
A
t 0
в S , k  1, 2  N,
k
 0, A  0 на S , A G  0.
k
Уравнение энергии с учетом фазовых переходов и уравнение движения якоря:
D
  (w, )  ( j, E)  div(  grad T)  Q fr
Dt
du
m arm   [ j, H]y dV  F fr
dt
arm

Метод конечных разностей 1 :
1
~
4π (0.5){[w (0.5)  H]3,λ  grad λ (A (0.5) , v (0.5) )3  (A λ ,  λ ) t } 
λ
rog (r~
od A)  θ(σ) grad (div A) (0.5)
Решение-метод сопряженных градиентов с неполным разложением Холесского.
6
7
Цели работы:
развитие
математических
моделей
для
описания
электромагнитных полей в трехмерных физически и
геометрически неоднородных областях канала ускорителей (в
том числе с несвязными, негладкими или изменяющимися во
времени границами подобластей);
- разработка вычислительных алгоритмов для моделирования
явлений в указанных областях;
- проведение комплекса расчетов с использованием
разработанного программного обеспечения для исследования
разгона макротел в ускорителях различной конфигурации
8
1. Исследование эрозии высокоскоростного электрического
методами математического моделирования в трехмерном случае
контакта
Экспериментальное исследование: схема и результаты 2
Величина тока и
выходного
напряжения при
ускорении
металлического
якоря до 2.7 км/с.
Размещение системы
диагностических
зондов в поперечном
сечении канала.
Вариант 1: ускорение до 1 км/с. 650 700 м/с задний фронт токового
распределения начинает
перемещаться
Вариант 2: ускорение до 2.3 - 2.7
км/с. 100 - 150 мкс надежный
металлический контакт, 350 мкс дуговая стадия.
2 Ю.И. Беляков, А.П. Лотоцкий, В.В. Савичев, Ю.А. Халимуллин. Исследование эрозии металлических контактов в
рельсотронном ускорителе. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Фундаментальные науки. 1999. № 2. С. 46 - 60. (и[1])
9
Алюминиевый якорь,
фотография контактной
поверхности (по стрелке А) со
следами эрозии и результат
металлографического
анализа. 1 - условно
прорисованная задняя
граница эрозионного следа, 2
– видимая передняя граница
зоны эрозии.
Схема сечения рельсотрона
плоскостями z = const (слева)
и y = const (справа): 1 рельс, 2 - U-образный якорь
Результаты численного моделирования для второго варианта ускорения
Входной ток (в МА).
Cкорость якоря (в км/с).
Максимальная температура якоря (в К).
Координата якоря (в м).
По оси абсцисс на всех рисунках время в мсек.
10
11
Jy t = 0.233 мс (плавление)
Jz t = 0.233 мс (плавление)
Контактная плоскость.
1 – рельс, 2 – якорь,
y – направление движения
Hx t = 0.233 мс (плавление)
12
Jx t = 0.233 мс (плавление)
Плотность тока на различные
моменты времени. Контактная
плоскость
Jx t = 0.366 мс (начало
кипения)
Jx t = 0.400 мс
(кипение)
13
T t = 0.233 мс
(плавление)
T t = 0.366 мс (начало кипения)
Распределения температуры на
различные моменты времени.
Контактная плоскость
T t = 0.400 мс (кипение)
14
T t = 0.450 мс (кипение)
T t = 0.480 мс (кипение)
Распределения температуры на
различные моменты времени.
Контактная плоскость
T t = 0.499 мс (кипение)
15
Изотермы в якоре
(выше 920 К) в
сечениях z = const при
t = 0.518 мс (конец
ускорения):
а - 1.04 мм (вблизи
плоскости симметрии
ускоряемого тела);
б - 1.84;
в - 2.70;
г - 3.67;
д - 4.72 (на краю
области, занимаемой
ускоряемым телом)
16
Основные результаты 1:
Время существования надежного электрического контакта
металлического типа, полученное в эксперименте, соответствует
расчетному времени начала плавления.
Момент появления кипения материала якоря соответствует
моменту разрушения металлической проводимости.
Получено подтверждение наличия тока на передней
поверхности металлического якоря.
Геометрическая картина волны испарения и скорость тела на
выходе, полученные численно, согласуются с полученными в
экспериментах.
2. Численное моделирование распределения трехмерных полей
в областях с цилиндрической геометрией
Первый вариант конфигурации
якоря. ( I )
Принципиальная схема
рельсотрона: (a)традиционная конфигурация
каналa, (b)-рельсы замкнуты в
передней части.
Второй вариант конфигурации якоря.
( II )
Третий вариант конфигурации якоря.
( III )
17
18
Основные результаты 2:
Получена картина, отражающая качественные особенности
пространственного распределения токов и сил Лоренца,
действующих на различные элементы якоря. Показана
концентрация силы Лоренца на элементах винтового крепления.
Получены результаты численного моделирования ускорения
якоря с односвязной и неодносвязной областью проводящей
части.
Исследовано
влияние
величины
тока замыкания на
компоненты магнитного поля и плотности тока в различных
сечениях расчетной области.
19
3. Математическое моделирование квазистационарных полей в областях
с изменяющимися во времени или несвязными границами
Проблема:
Потеря единственности решения в диэлектрических подобластях
(для квазистационарного приближения). Возможность вырождения
оператора задачи в указанных областях.
Цель:
Построение однородных по пространству моделей и алгоритмов,
позволяющих вести описание процессов в рассматриваемых
областях.
I.
Области с изменяющимися во времени границами ( случай
испарения материала ). Двумерный случай
1 – рельс,
2 – якорь,
y – направление
движения.
Конечно-разностные шаблоны для операторов:
rot rot,
rot rot - grad div,
(rot rot - grad div) на 12
20
21
Испарение ячеек вдоль границы 12 .
При введении для выделения
единственного решения 0 –нефизический
нагрев.
Преобразование шаблонов.
a – расчетная область после
испарения материала двух
ячеек (испарился материал
двух ячеек с общим ребром 2,
b - изменение шаблонов
разностной схемы для ребер 1
- 3,
c - изменение шаблона для
ребра 4
(div A = 0 в G2) .
Собственные значения матрицы (M) конечно-разностной
аппроксимации уравнений (MA = f)
Вариант
Наибольшее
собственное
значение
Наименьшее
собственное
значение
lmax / lmin
Нет
кипения
52.178
1.689·10 -2
3.088·103
=10-5
52.178
2.587·10
-6
2.016·107
0 =10-10
52.178
2.587·10 -11
2.016·1012
Преобраз
ованные
шаблоны
52.178
1.639·10 -2
3.181·103
Вариант
Наибольшее
собственное
значение
Наименьшее
собственное
значение
lmax / lmin
Нет
кипения
20.457
5.331·10 -5
3.837·105
0 = 10-
20.457
6.906·10 -9
2.963·109
20.457
5.326·10 -5
3.840·105
0
5
Преобраз
ованные
шаблоны
22
Двумерный
случай (v = 0).
Трехмерный
случай (v = 0).
23
II. Моделирование электромагнитных полей в
многосвязных областях
1
G1
G2
Неединственное решение E
в G2 в случае несвязной
границы 12 ,
Н – единственно.
1
2
ker (rot A) – не пусто.
1 – рельс , 2 – якорь.
24
Ax
Компоненты A (A = - grad f) .
A = - grad f - вектор, соответствующий
нулевому собственному значению матрицы
M: MA0= lminA0
Az
25
Способы получения единственного решения
1. (А, А0)=0
m
(MTM +A0A0T)A=MTf
(MTM +
T
A
A
 j j )A = MTf
j1
lmin = ((MTM A, A) + (A0A0TA, A))/(A, A) = (||MA||2 + (A0, A)2)/(A,A) > 0.
2. (А, А0)=0
(M +A0A0
T)A
m
=f
A A
(M +
j
T
j )A
=f
j1
lmin = ((M A, A) + (A0, A)2)/(A,A) > 0.
3. |А0(i) | >0, a >0
(M +
ae e T)A*
i i
A=(E-A0A0T)A*
m
=f
T
(E

A
A

j
j )A*
A=
k 1
lmin = ((M + aeieiT)A, A)/(A, A) = ((MA, A) + a(A, ei)2)/(A,A) > 0.
26
M – связная граница
(пример m – рельсов)
Аm1 = - grad f1, , f = 0 (121), f = 0(122) , f = 1(123)
Аm2 = - grad f2, f = 0 (121), f = 1(122) , f = 0(123)
1 – рельс , 2 – якорь.
Аm1x,
Аm1z
Аm2x,
Аm2z
27
Основные результаты 3:
При моделировании испарения ячеек с перестроением
разностных схем
(в двумерном и трехмерном случаях)
обусловленность матриц улучшается на несколько порядков.
Устраняется эффект нефизического нагрева диэлектрика.
Построены
алгоритмы
нахождения
единственного
нормального
решения
в
области
c
многосвязными
подобластями, что
обеспечивает надежную
сходимость
итераций используемого алгоритма.
28
4. Методы численного моделирования квазистационарных электромагнитных
полей в областях с негладкими границами проводящих и диэлектрических
подобластей
Исследование влияния конвективных слагаемых на вид решения .
Преобразование
математической
калибровочных соотношений
модели
путем
изменения
E= - DA/Dt + (v, )A + [u, rot A] + grad f = - DA/Dt + grad (v, A) +[w, rot A] + grad f
f
Первый вариант калибровки
Второй вариант калибровки
и преобразованная модель
=
0
f = - (v,A)
4  (- DA/Dt +[w, rot A]) = rot rot A -  () grad div A
или
4  (- DA/Dt ) = rot rot A в якоре;
4  (- DA/Dt - [v, rot A]) = rot rot A в рельсе
(здесь w = u - v, w = 0 в движущейся части).
29
Ay , сетка 1
1 – рельс, 2 – якорь,
f =0
Использованные в расчетах сетки:
1) Nx = 10+10, Ny = 10+10+10;
2) Nx = 20+10, Ny = 20+10+10;
3) Nx = 40+10, Ny = 40+10+10.
Ay , сетка 3
f = - (v,A)
Сравнение
числа
итераций
для
моделирования в двумерном случае
различных
30
способов
№ сетки
Момент
времени
Число шагов по
времени с
калибровкой φ = 0
Число шагов по
времени
(φ = -(v,A))
1
t=0.755
705
25
2
t=0.524
570
22
3
t=0.432
415
35
t=0.428
681
97
3
(повышенная
точность)
Сетка 1
Суммарное количество итераций,
калибровка f = 0.
Суммарное количество итераций,
калибровка f = -(v,A).
Сравнение числа итераций для различных
моделирования в трехмерном случае
способов
Вариант конфигурации 1.
Вариант конфигурации 2.
Число шагов по
времени с
калибровкой
f = -(v,A)
№ сетки
Момент
времени
Число шагов по
времени с
калибровкой f = 0
1
t=0.500
243
77
2
t=0.650
236
89
31
32
Основные результаты 4:
Модель с измененной калибровкой позволяет увеличить шаг
по времени, необходимый для выполнения условий сходимости
итераций с учетом конвективных слагаемых.
При
этом
устраняются
экстремумы,
обусловленные
особенностью решения вблизи угловой точки. После проведения
преобразований модель остается однородной по пространству.
33
Основные результаты :
- разработаны методы математического моделирования
квазистационарных электромагнитных полей в неоднородных
областях канала ускорителя (в том числе с изменяющимися во
времени, несвязными и негладкими границами подобластей);
- построены и программно реализованы вычислительные
алгоритмы для моделирования процесса электромагнитного
ускорения в указанных областях;
- методами вычислительного эксперимента проведено
исследование эрозии металлического контакта, а также
качественных особенностей распределений электромагнитных
полей в канале ускорителя в процессе разгона.
34
Публикации:
1. М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое
моделирование. М., Наука, Физматлит, 1995, 320 с.
2. М.П. Галанин, В.П. Игнатко, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Пространственно трёхмерные расчеты электродинамического
ускорения проводящих макротел // ЖТФ. 1995, т. 65, вып. 6, с. 9-20.
3. Галанин М.П., Храмцовский С.С., Плеханов А.В., Попов Ю.П. О влиянии параметров внешнего проводящего экрана на
ускорение тела в электромагнитном ускорителе // Журнал технической физики, 1996, том 66, вып. 10, стр. 198-206.
4. Галанин М.П., Плеханов А.В., Савичев В.В. Исследование поведения металлического контакта при электродинамическом
ускорении проводящего твердого тела // Теплофизика высоких температур, 1996, том 34, вып. 2, стр. 293-298.
5. М.П. Галанин, В.В. Савичев. Особенности электромагнитного поля и их проявления при моделировании электрического
контакта проводящих тел в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон // Теплофизика высоких температур, 1997, т. 35, № 4,
с. 517-523.
6. M.P. Galanin. S.S. Khramtsovsky, A.V. Plekhanov, and Yu.P. Popov. The use o currents induced within a conducting shield for
railgun performance control // IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 33, 1, 1997, pp. 544-548.
7. М.П. Галанин, А.П. Лотоцкий, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Численное моделирование пространственно трехмерных
явлений при электромагнитном ускорении проводящих макротел // Математическое моделирование. 1999. Т. 11. N 8. С. 3-22.
8. A.P. Lototsky, Yu.A. Kareev, A.A. Nikolashin, Yu.A. Halimullin, E.P. Polulyah, M.P. Galanin, S.S. Khramtsovsky. Recent Muzzle-Fed
Railgun Experiment on Metal Armature for Arcless Acceleration // IEEE Trans. On Magn., 1999, V. 35. N 1. P.p. 79-85.
9. M.P. Galanin, A.D. Lebedev, K.K. Milyaev. An Investigation of the Effects of Some Properties of Materials on the Characteristics of
Armature Acceleration in a Railgun // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 37. N. 1. January 2001. P.p. 411 – 415.
10. А.П. Лотоцкий, Ю.А. Халимуллин, М.К. Крылов, В.В. Кузнецов, В.В. Савичев, М.П. Галанин. Магнитная конфигурация канала
рельсотрона с обращенным токоподводом. Перенос тока в зоне якоря // Препринт ТРИНИТИ № 0083 – А. г. Троицк Моск. обл. 2001 г.
24 с.
11. М.П. Галанин. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии.
Задачи и модели // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2002. - № 4. - С. 109 - 123.
12. M.P. Galanin, Yu.A. Khalimullin, A.P. Lototsky, К.К. Milyayev. 3d Modelling of Electromagnetic Fields in Application to
Electromagnetic Launchers // IEEE Transactions on Magnetics. - 2003. - Vol. 39, №. 1. - P. 134 – 138.
13. М.П. Галанин. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии.
Решение задач // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2003. - № 1 - 2. - С. 112 – 127.
14. М. П. Галанин, А. П. Лотоцкий, С. С. Уразов Моделирование эрозии металлического контакта в ускорителе типа
рельсотрон // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2004. № 4(15). С. 81 – 97.
15. М.П. Галанин, Ю.П. Попов, С.С. Уразов Математическое моделирование электромагнитных и тепловых полей в
многосвязных областях и областях с изменяющимися во времени границами // Мат. моделирование. 2007. Т.19. №4. С. 3-18 .
16. М.П. Галанин, А.П. Лотоцкий, С.С. Уразов. Исследование теплового режима высокоскоростного электрического контакта
методами математического моделирования // Инженерно-физический журнал. 2007. Т.80. №3. С.169-176.
17. М. П. Галанин, С. С. Уразов. Численное моделирование квазистационарных электромагнитных полей в областях с
негладкими границами проводящих и диэлектрических подобластей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2007. – № 4. – С. 45 – 56.
Благодарности
Организаторам за приглашение
 Всем присутствующим за внимание
 Работа выполнена при частичной финансовой
поддержке РФФИ (проект № 15-01-03073)

Галанин Михаил Павлович
galan@keldysh.ru