прямые и обратные задачи переноса тепла в почве

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В ПОЧВЕ
Микайылов Ф.Д.
Ерол А.С.
• В работе разработаны методики определения
коэффициента
температуропроводности
почвы,
основанные на решении обратных задач уравнения
теплопереноса, при учете граничных условий на
поверхности, описываемых двумя гармониками. Эти
методы позволяют оценивать температуропроводность
в почве в естественных условиях, что должно
увеличить адекватность и расширить границы
использования математических моделей теплового
режима почв.
ВВЕДЕНИЕ
• Для всестороннего знания тепловых свойств почвы необходимо
иметь данные, с помощью которых можно было бы найти
значения тепловых характеристик для данного состава и
состояния почвы. Основными тепловыми характеристиками
почвы
являются
коэффициенты
теплопроводности,
температуропроводности, и теплоемкости. Знание этих
характеристик почвы может приблизить разрешение такой
острой проблемы современности как прогноз теплового режима
почв. При решении многих воросов, связанных с тепловыми
процессами в почве, приходится иметь дело с коэффициентом
температуропроводности
(к)
последней.
Определению
коэффициента температуропроводности почвы посвяшено
немало теоретических и экспериментальных работ [2,7,9,15].
• Для определения теплофизических характеристик почвы
используются две основные группы методов: расчетные и
экспериментальные.
Расчетные
методы
определения
коэффициентов температурапроводности и теплопроводности
некоторые исследователи считают наиболее простыми и
удобными. Чаще всего это метод анализа температурной волны
[7]. В большинство случаев них рассматривается решение
уравнений теплопереноса, полученных без начального условия
и с учетом того факта, что Т(∞,t)=Т0. Однако, при выполнении
практических расчетов нет возможности в качестве исходных
данных задать величины температуры почвы на бесконечности,
так как они неизвестны. Поэтому обычно в таких случаях вместо
Т(∞,t) должна задаваться температура на некоторой глубине х=L,
начиная с которой при x>L величина Т(х,t)=const. В связи с этим,
представляет интерес вычисление коэффициента к по
формулам, которые получены на основе решения модели
теплопереноса при условии на нижней границе в почве, Т(L,t)= Т0.
• Целью настоящей работы является разработка
методики
определения
коэффициента
температуропроводности (к) почвы, основанной на
решении обратных задач уравнения теплопереноса с
последующим сравнением существующих методов.
Результаты расчетов апробированы на некоторых
типах почв провинции Конья.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР МОДЕЛИ
ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЧВЕ
• Для анализа нахождения температурного поля в
почвенном профиле можно не применять систему
уравнений
кондуктивной,
радиационной
и
массообменной проводимости, а ограничаться лишь
уравнением теплопроводности с учетом известных
коэффициентов теплопереноса [5, 15]:

 
 
cv  x, t 


x
,
t

 

t
x 
x 
• Возможно существенное упрощение этого уравнения, если
принимать постоянным коэффициент теплоемкости, а
коэффициенты тепло- и температуропроводности – в глубь
почвы постоянными. В этом случае, что одномерное
распростронение тепла в почве описывается классическим
уравнением теплопроводности, которое (при отсутствии
фазовых переходов влаги в почве и переноса тепла с влагой
и в предподожении, что температурные градиенты связаны
только с вертикальным переносом тепла, а также при
отсутствии внутренних источников), имеет следующий вид
[1-3, 8-12]:


2 

 
  2 ,  


t
x

C
C
b m
v 

0  x  L ; t  0
и рассматривают его аналитические решения, полученные
без начального и при периодическом граничном условии на
m
поверхности, т.е.:
  0, t    (t )  0    j  cos  j t   j 
j 1
а также при условии, что температура почвы на нижней
границе (в бесконечности) постоянна, т.е.:
lim   x, t   0
x 
Здесь температура почвы в точке в момент времени t;
коэффициент теплопроводности;
объемная теплоемкость.
плотность почвы,
коэффициент температуропроводности,
средне суточная (или годовая) температура деятельной
поверхности почвы;
амплитуда
колебаний
температуры
деятельной
поверхности почвы;
Решение задачи (1)-(3), в безразмерных переменных имеет
вид [2, 14, 17-18]:
( y, )  0    j  y, b j   cos  j   j  j  y, b j 
m
j 1
где y  x / L    t / L2 b j  j / 2
 j  y, b j    j  e
b j y
   L2 /  и
 j  y, b j   b j y
Однако при выполнении практических расчетов нет возможности
[3] в качестве исходных данных задать величины температуры
почвы на бесконечности, так как они неизвестны. Поэтому в
таких случаях вместо (3) задается условие на нижней границе в
виде:
  L, t   0
которая более реально описывает процесс теплопереноса.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЧВЕ
Можно показать [11], что решение уравнения (1) при граничных
условиях (2) и (6) на нижней границе также имеет вид (4), где функции
 j  y, b j  и ,  j  y, b  в отличие от (5) определяются через:
 j  y, b j    j 
где
ch  d j   cos  d j 
ch  2b j   cos  2b j 
 Y2j  y, b j  
 j  y, b j   arctan 

 Y1j  y, b j  
Y1j  y, b j   ch  q j  cos  b j y   ch  b j y  cos  q j 
Y2j  y, b j   sh  q j  sin  b j y   sh  b j y  sin  q j 
d j  2b j 1  y  , q j  b j  2  y 




и ch  z   e z  e  z / 2 , sh  z   e z  e  z / 2 
гиперболический косинус и синус соответственно.
Важным является также изучение средней температуры почвы,
поскольку, как и другие почвенные характеристики, значение
температуры по глубине варьирует в меньшей степени, чем
значения температуры на определенной глубине. Определим
среднюю в слое 0  y  1
температуры. Для этого
проинтегрируем решение (4) от нулья до единице по переменной
и получим среднеинтегральное решение уравнения (1) в
следующем виде:
1
m
0
j 1
( )   ( y, )dy  0    j  b j   cos  j   j ˆ j  b j  
 
 
где  j b j и ˆ j b j при граничных условиях (2) и (3) определяются через:
 j bj    j 
ch  b j   cos  b j 
b 2j e
bj
1  eb j

ˆ j  b j   arctan 
b j
1  e
sin  b j   cos  b j   



sin  b j   cos  b j   


при граничных условиях (2) и (6) определяются через:
 j bj  
 j  sh  b j   sin  b j 
2
2
2 b j ch  b j   cos  b j  
 sh  b j   sin  b j  
ˆ j  b j   arctan 

 sh  b j   sin  b j  
Частные случаи решений (4) и (9) с (7) и (10)-(11)
приводятся в работах [8-9, 14].
РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЧВЕ
Если температура поверхности почвы в течение суток (года) может
выражаться
одной
гормоникой,
то
коэффициент
температуропроводности  можно найти из величины уменьшения
суточной амплитуды температуры с глубиной или по запаздыванию
фазы температурной волны на разных глубинах [2, 4, 12, 15]. Такое
определение допускает ощутимые погрешности из-за того, что
температура почвы не всегда изменяется строго по синусоидальному
закону. Введение же второй гармоники в (2) приближает ход
температуры деятельной поверхности почвы к реальной картине.
Используя решение (4) и (7) для m=2 можно вывести формулу для
определения коэффициента температуропроводности
для
произвольного периода 0 и безразмерной глубины y. Для этого
необходимо знать распределение температуры в почвенном слое
0, L
для восьми моментов времен на расчетном интервале
времени .
Далее, используя решение (4) для :
( y, )  0  1  y, b1   cos   1   2  y, b2   cos  2  2 
сначала для произвольной безразмерной глубины и времени ti  i  0 / 8
следует написать следующие восемь уравнения:




  y, ti   0  1  y, b1   cos  i  1    2  y, b2   cos  i   2  , i  1,8
4

2


так как имеет место
 L2 
2  0
2
j i  j 
 2 ti  j   ti  j 
i   j 
i
 L
0
8
8
2

 i 
i  i
8
4
2 i 

2
i

После некоторых преобразований уравнений (13) имеем [10] (см.
Приложение ниже):
4
2

y
,
t


y
,
t

8








i
i4 
1  y , b1 
2
i 1
Учитывая обозначении (5) и (7)-(8) для функции 1  y, b1 
в равенстве (14) имеем следующие выражения, которые
соответствуют граничным условиям (3) и (6):
4
   y, t     y, t 
i 1
i 4
i
8
2
1
4
2
e
2 b1 y
   y, t     y, t 
i 1
i4
i
8
2
1
2

ch  2b1 1  y   cos  2b1 1  y 
ch  2b1   cos(2b1 )
0
• Аналогично, на основе решения (9) для
m2
можно вывести среднеинтегральную формулу для определения
коэффициента температуропроводности K для произвольного
периода T0.
• Сначала решение (9) для двух гармоник, т.е.
m2
преобразуем, а далее аналогично выводу уравнений (12) и (13)
получим следующую формулу:
4
2

t


t


8





 i
i4 
1  b1 
i 1
2
Функции в правой части уравнений (14) и (17), т.е.
и
в зависимости от граничных условий определяются
соответственно из (5) и (7) и (10)-(11).
Существует несколько способов определения параметра
по выходной кривой безразмерной температуру почв ( y, )
или
[1, 2, 4, 9, 12, 18], выраженного по формулам (4) или (9),
почвенного профиля. Более подробно описаны эти
методы, например в работе Микайылова и Шеина (2010)
для случая когда температура поверхности почвы
выражаться одной гормоникой.
• В настоящей работе предлагается определения коэффициента
температуропроводности почвы , основанные на решении
обратных задач уравнения теплопереноса, для случая, когда
температура поверхности почвы в течение суток (года) может
выражаться двумя гармониками.
• Для определения коэффициента температуропроводности
(с
использованием формулы (15) и (16)) необходимо знать:
амплитуды колебаний температуры деятельной поверхности
почвы; период (длина ) суточной (годовой) волны, выраженный в
сутках или в годах;


  y* , ti*  , i  1,8 
значения температуры почвенного слоя
0, L
на произвольной глубине y  y  x / L
*
*
для восьми моментов времени:

ti*  i  0* / 4 i  1,8
Например, если  0*  24 часа, то t *  3,6,9,..., 24 час.

• Имея эти данные, сначала подсчитываем разницы:
  y* , ti*     y* , ti*4 


для всех i  1,8
Далее, из формулы (15) находим значение коэффициента
температуропроводности на глубине x*  x через формулы:
 2 x* 

  
0
*
2
   x , t     x , t 
4
ln
2 i 1
*
*
i
*
8
2
1
*
i4
2
• так как имеет место:
x*
y* 
L
b1 

 L2

2
2

2
0
 1
2b1 y  2 x

0 
 1
b1  L

0 
Определения
с использованием формулу (16)
осуществляется методом
подбора на ЭВМ значения
параметра
из условия совпадения значения левой и
вычисленной по исходным данным правой части, т.е.:
  y* , t


i 1
4
*
i
    y* , t
*
i4
2

/
8

 1
2
• Из соотношения
b1*   L2 / 2
находим значение коэффициента температуропроводности K
на глубине x  x* который равен
 L
   * 
 0  b1 
2
*
Используя среднеинтегральное решение (9), возможно также
находить
коэффициент
температурапроводности  ,
экспериментальной основой которых являются данные по
температуре в почвенном слое 0, L , то есть  ti  , а также 1 ,
В этом случае
подбор значения параметра b1*
осуществляется по формулам, которые соотвествуют
граничным условиям (3) и (6) соответственно:
4
 
  t     t  
i 1
i4
i
8
2
1
2
4
ch  b1   cos  b1 

b12 eb1
 
  t     t  
i 1
i4
i
8
2
1
2

sh 2  b1   sin 2  b1 
2b12 ch  b1   cos  b1  
В отличие от ранее разработанных методов [9], здесь для
определения коэффициента температуропроводности,
,
требуется знать заранее распределение температуры
по
времени в почвенном слое на произвольной безразмерной
глубине и для восьми моментов времени, которое позволяет
с более высокой точностью определить параметр по формуле
(18)- (21).
2
ПАРАМЕТРЫ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ ПОЧВЫ
• Для определения параметров поверхности почвы в (2) приняли
одну и две гармоники. Используя результаты измерений, с
помощью метода наименьших квадратов определили параметры
распределения температуры поверхности исследуемых почв.
Предварительные результаты расчетов и сравнения их с
экспериментальными данным показывают, что введение второй
гармоники позволяет с более высокой точностью определить
параметры распределения температуры на поверхности почвы.
В дальнейшем планируется более подробное исследование
применения данного метода для расчета температурного режима
почв,
определения
теплофизических
параметров
и
характеристик (коэффициента температуропроводности почв и
его зависимости от влажности).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• На основе исследовании модели переноса тепла в почве
при учете динамики граничных условий на поверхности,
описываемых двумя гармониками получены
•
•
- точечные и среднеинтегральные решения;
предложены
теоретические
основы
методов
определения коэффициента температуропроводности почвы.
• В дальнейшем планируется осуществить экспериметнльную
проверку адекватности предложенных методик и их
сравнения с существующими методами.