Максимова Н.В., МБОУ СОШ №4, Лобня

Максимова Н.В., МБОУ СОШ №4, Лобня
Параллельность прямых а и b
обозначаются так : а // b . На рисунке
прямые а и b параллельны ,а прямые
а и с ,а и d не параллельны.
Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую
на этой прямой.
Через прямую а и точку М
проходит плоскость , и притом только одна.
Обозначим эту плоскость буквой α .
Прямая, проходящая через точку М
параллельно прямой а , должна лежать в одной плоскости
с точкой М и прямой а , т.е. должна лежать в плоскости α .
Но в плоскости α , как известно из курса планиметрии, через точку М
проходит прямая , параллельная прямой а , и притом только одна .
На рисунке эта прямая обозначена буквой b.
Итак, b – единственная прямая , проходящая через точку М
параллельно прямой а. Теорема доказана.
Если две прямые параллельны
третьей прямой , то они
параллельны.
Пусть aIIb и bIIc. Докажем, что aIIb. Для этого нужно доказать, что прямые а и
b:
1) лежат в одной плоскости и
2) не пересекаются.
1) Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и
обозначим буквой α плоскость, проходящую через
прямую а и точку К. Докажем, что прямая b лежит в
этой плоскости.
Действительно, если допустить, что прямая b
пересекает плоскость α, то по лемме прямая с также пересекает плоскость α.
Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость α,
что не возможно, ибо прямая а лежит в плоскости α.
2) Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их
пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные прямой с,
что не возможно. Теорема доказана.
Возможны три случая взаимного расположения прямой
и плоскости в пространстве :
1)прямая лежит в плоскости ;
2)прямая и плоскость имеют только одну общую точку
т.е. пересекаются;
3)прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямая и плоскость называются
параллельными , если они не имеют общих
точек.
ТЕОРЕМА
Если прямая , не лежащая в данной
плоскости , параллельна какой-нибудь
прямой , лежащей в этой плоскости , то
она параллельна данной плоскости .
а
b
b
α
α
Рассмотрим плоскость α и две параллельные
прямые a и b,
расположенные так, что прямая b лежит в
плоскости α,
а прямая а не лежит в этой плоскости.
Докажем, что а II α.
Допустим, что это не так. Тогда прямая а
пересекает плоскость α, а значит, по лемме о
пересечении плоскости параллельными прямыми
прямая b также пересекает плоскость α.
Но это невозможно,
так как прямая b лежит в плоскости α. Итак,
прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она
параллельна этой плоскости. Теорема доказана.
а
b
b
α
α
1°если плоскость проходит через
данную прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту
плоскость , то линия пересечения
плоскостей параллельна данной
прямой .
2°.Если одна из двух параллельных
прямых параллельна данной плоскости,
то другая прямая либо также
параллельна данной плоскости , либо
лежит в этой плоскости .