угол между скрещивающимися

Задачи типа С2
• Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной
плоскости и не пересекаются.
a
b
Прямые, которые не пересекаются и не лежат
в одной плоскости, называются
скрещивающимися.
b
a
Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися
прямыми, которые параллельны данным
скрещивающимся прямым.
b
a1
a
Дан куб АBCA1B1C1D1.
Найдите угол между скрещивающимися прямыми АА1 и СВ1
D1
C1
A1
B1
Проведу через точку В1 в
плоскости (ВСС1) прямую,
параллельную АА1. Получу
прямую ВВ1.
Угол ВВ1С - искомый.
Ответ : 450
D
А
С
В
Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и СВ1
D1
C1
A1
B1
D
А
С
В
Проведу через точку В1
прямую, параллельную АВ.
получу прямую А1В1.
Угол А1В1С искомый
Ответ : 900
Найдите угол между скрещивающимися прямыми АD1 и СВ1
D1
C1
A1
B1
Проведу через точку В
прямую, параллельную АD1.
получу прямую BC1.
Угол BOC искомый
O
D
А
С
В
Ответ : 900
Найдите угол между скрещивающимися прямыми BC1 и СD1
D1
C1
A1
B1
Проведу через точку В
прямую, параллельную CD1.
получу прямую BA1.
Угол A1BC1 искомый
Так как стороны треугольника
являются диагоналями равных
квадратов, то этот треугольник
является равносторонним.
D
А
С
В
Ответ : 600
Переходим к задачам, содержащимся в материалах для подготовки к ЕГЭ.
В правильной шестиугольной призме A…F1, все рёбра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1 .
E1
F1
A1
D1
C1
B1
E
D
F
C
А
B
Построю прямую, параллельную АВ1 в плоскости (EDD1). Рассмотрю треугольник ВЕD1
Искомый угол ВD1Е.
ЕD1 =
2
, ВЕ=2, BD1 = 2.
Косинус искомого угла найду, используя теорему косинусов.
Ответ:
2
4
С2 В правильной шестиугольной призме A…F1, все рёбра которой равны 1,
Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВЕ1 .
E1
D1
C1
F1
A1
B1
E
D
F
С
А
В
Выполню перенос прямой ВЕ1 в плоскость (АА1F)
При этом FK = KF1. Угол В1АК – искомый. Рассмотрю треугольник В1АК
АВ1 = 2, АК =
5
2
В1 F 1 = 3
В1К =
13
2
E1
D1
C1
F1
A1
К
B1
E
D
F
С
А
В
Использую теорему косинусов для нахождения угла
Ответ: 90о
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1 . Найдите угол между прямыми
DM и CL, где М – середина ребра ВС, L – середина ребра АВ.
А
Построю в плоскости АВС прямую
МК параллельную СL
Рассмотрю
треугольник КМD
DM =
MK =
DK =
3
2
L
3
4
К
13
4
В
Выражу сторону КD по теореме
косинусов.
D
M
С
1
Ответ: arccos
6
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: SC = 17,
AB = 15 3. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей
через середины рёбер AS и ВС.
Угол МКА – искомый.
АК = 45/2, АО = 2/3 АК = 2/3
S
45/
2
= 15.
SO = 8
Опущу перпендикуляр из точки М на плоскость
основания МО1.
Рассмотрю треугольник
МКО1. 2
МО1 = ½ SO = 4
О1К = /3 АК = 15
M
A
C
О1
O
B
K
tg МКА = МО1 : КО1 = 4:15.
Ответ: arctg 4/15
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите угол между прямыми SВ и CD.
S
Прямые CD и ВE параллельны.
Значит, угол SBE – искомый.
Треугольник SBE
равносторонний
SB = SE = BE = 2.
Ответ: 60о
E
F
D
A
B
C
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите синус угла между прямыми ВМ и DE, где
М – середина ребра SC.
Так как АВ параллельна ED, то требуется
S
найти синус угла АВМ
Треугольник ВSE - равносторонний, BE = 2,
SO = 3 ,
Опущу перпендикуляр ММ1 на плоскость
основания.
ММ1 =
M
F
E
М1
B
ВМ1 =
3
2
Угол АВМ1 – прямой,
ВМ = 6
2
АМ1 =
7
2
Из треугольника АММ1 АМ =
O
A
3
2
D
C
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВМ прямоугольный с
гипотенузой АМ. Следовательно, угол АВМ – прямой.
Ответ: 1
10
2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 4, а боковые рёбра равны 3 6 , найдите угол между прямыми ВG и AD, где G –
точка на ребре SC, причём SG : GC = 1 : 2.
S
Прямая ВС параллельна AD, значит,
требуется найти угол СВG
Из треугольника SBC найду cos угла С по
теореме косинусов. cosС  6
9
Из треугольника ВСG найду BG по
теореме косинусов
G
F
BG2 = 88 : 3, BG =
2 22
3
Применю ещё раз
теорему косинусов к
треугольнику BCG
для нахождения
косинуса угла В.
D
E
A
соsB 
B
C
4
66
Ответ: arccos
2 66
33
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны
1, а боковые рёбра равны 2, найдите угол между прямыми SF и BM, где M – середина
ребра SC.
В треугольнике FSC отрезок ОМ – средняя линия
S
Значит, ОМ параллельна FS и равна её половине
Косинус угла М найду по теореме косинусов
из треугольника ВМО.
ВО2=ВМ2+ ОМ2 – 2ВМ ОМ cosМ
1 = 6/4 +1 – 2 6 1 cos 
М
2
2
cos  M=
6
4
М
F
E
1
6
2
A
О
1
B
3
2
1
3
2
D
H1
2
C
Ответ: arccos
6
4
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны
1, а боковые рёбра равны 2, найдите синус угла между прямыми АL и BM, где M –
середина ребра SC, а L- середина SB.
Проведу в плоскости (BCS) прямую МР,
S
параллельную SB, и в плоскости (АВС)
прямую PR, параллельную АВ. По признаку
параллельности плоскостей (ASB)II(RMP).
При этом RM II AL.
Следовательно, RMB – искомый угол.
2
M
L
2
E
F
D
A
H1
2
1
AH – высота в равностороннем треугольнике АОВ.
1
3
АН = 1  4  2 = RB
C
О
1
R
3
Проведу перпендикуляр
к
плоскости основания LH.
LH = ½ SO = ½ 3 = 3
P
ALH- равнобедренный прямоугольB
ный треугольник. AL = 6 = RM = MB
2
Рассмотрю треугольник RMB, применив к нему для выражения
стороны RB, теорему косинусов:
RB2 = RM2 + MB2 – 2 RM MB.
 3


 2 


2
2
2
 6
 6
6
6



  2



 cos M



2
2
 2 
 2 
3
6 6 6
    cos M
4
4 4 2
3
cos M 
4
sin M  1 
9
7
7


16
16
4
Ответ:
7
4
Попробуем решить задачу типа С2, предложенную в одном из вариантов
на предварительном экзамене, состоявшемся 25. 04 .2011.
Длины всех рёбер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равны. Найдите
угол между прямыми PH и BM, где PH – высота пирамиды, а М – середина ребра АР.
Р
Прямые РН и ВМ – скрещивающиеся. Проведу в
плоскости (СРА) прямую МК параллельную РН.
M
В треугольнике ВКМ угол К – прямой, угол М –
искомый. Примем ребро пирамиды за единицу
длины, тогда АН = РН= 2 , МВ = 3 ,
2
2
МК = ½ РН = 2 .
4
С
В cos М = МК : МВ =
H
D
К
А
Ответ: arccos
6
6
2
4
:
3
2
=
6
6
Презентацию подготовила учитель
математики МОУ гимназии №24
Арапова Елена Владимировна