f -

Методы численного
дифференцирования
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Односторонняя разность
Производная функции определяется выражением:
f x 0  
df
dx
 lim
f ( x 0  dx)  f ( x 0 )
dx  0
dx
заменяем приращение на конечную величину
(шаг дифференцирования):
f  x 0  
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
x
f(x0)
x0
f(x0+Δx)
x0+Δx
Δx
3
Односторонняя разность
Численное дифференцирование:

правосторонняя разность:
f i 

f i 1  f i
 x i 1  x i 
f  x 0  
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
x
левосторонняя разность:
f i 
f i  f i 1
 x i  x i 1 
f  x 0  
f ( x 0 )  f ( x 0  x )
x
f(xi)
f(xi+1)
f(xi-1)
xi-1
xi+1
xi
f1
x1
f2
x2
…
…
fi
xi
…
…
fn
xn
4
Двусторонняя разность
Более точное значение производной:
f x 0  
f ( x 0  x )  f ( x 0  x )
2  x
Двусторонняя разность:
fi 
f i 1  f i 1
xi 1  xi 1 
f(xi)
f(xi+1)
f(xi-1)
xi-1
xi+1
xi
f1
x1
f2
x2
…
…
fi
xi
…
…
fn
xn
5
Производная высоких порядков
Производная n-го порядка считается первой производной
от (n-1)-го порядка:
f  x    f  x 
d2 f
d  df 

 
dx2 dx  dx 
или
d2 f
dx 2
d  df  f 1  f   1


 
dx  dx 
2h
f 2  f  0
2h

2h
f 0  f   2
2h

f 2  2 f 0  f   2
2h  2
6
Частное дифференцирование
функции от многих переменных
Все аргументы функции становятся константами, кроме
аргумента по которому проводится дифференцирование
Требуемый порядок производной получается путем
последовательного вычисления производных, вплоть до
требуемого порядка
df
dx i

f , x i  x i ,  f , x i ,
x i
7
Лабораторная работа №1
Продифференцировать функцию волновой аберрации
W (  x ,  y ) по  x и  y :
W (  ,  )
W (  ,  )
x
x
y
 x
y
 y
методами односторонних и двусторонних разностей на интервале    1;1

Задание оценивается в баллах:
 4 балла - выполнение работы
 + 0.5 балла - выполнение работы в срок
 + 3 балла - первому кто сдаст отчет

Литература:
 Электронный учебник "Основы оптики", раздел "Дополнительные главы", глава
"8.1. Разложение волновой аберрации в ряд по полиномам Цернике"
 Иванова Т.В., Домненко В.М., Бурсов М.В. Моделирование формирования
оптического изображения. Учебное пособие.- СПб: НИУ ИТМО, 2011. с.136-139
8
Разложение волновой аберрации в
ряд по полиномам Цернике

где nm, n+m = 2k - чётное,
зависящие только от .
- радиальные полиномы Цернике,
Поперечные и продольные аберрации:


поперечные аберрации – частные производные первого порядка по x,  y
продольные аберрации – частные производные второго порядка по x,  y
Канонические зрачковые
координаты
Канонические зрачковые координаты:
Py
y 

Ay Ay
Px Px
x 

Ax Ax
Py
 где Px , Py , Px, Py  – входные и выходные реальные зрачковые координаты,
Ax , Ay , Ax , Ay  – входные и выходные апертуры.
 верхний луч:  x  0,  y  1
y
 нижний луч:  x  0,  y  1

 сагиттальный луч:  x  1,  y  0
 главный луч:  x   y  0
1
-1
главный
луч
1
-1
x
Полярные координаты:
 x   sin 
 y   cos
   x2   y2