Электромагнитные колебания

Электромагнитные
колебания
Электромагнитные колебания
В электрических цепях, так же как и в
механических системах, таких как груз на
пружине или маятник, могут
возникать свободные электромагнитные
колебания.
Электромагнитные колебания — это
периодические изменения заряда, силы тока и
напряжения, происходящие в электрической
цепи.
Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный
контур.
Электромагнитные колебания
Колебательный контур — это замкнутый контур,
образованный последовательно соединёнными
L
конденсатором и катушкой.
Зарядим конденсатор, подключим к
нему катушку и замкнём цепь.
Начнут происходить свободные
электромагнитные колебания —
периодические изменения заряда на
конденсаторе и тока в катушке.
C
Свободными эти колебания называются потому, что они
совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за
счёт энергии, запасённой в контуре.
L – индуктивность катушки
T – период колебаний
С – электроемкость конденсатора
𝑅катушки = 0
q – заряд конденсатора
Электромагнитные колебания
Начальный момент: t = 0.
Заряд конденсатора равен q𝟎 , ток
через катушку отсутствует I =0.
Аналогия.
Маятник оттянут вправо на
величину x𝟎 и в начальный момент
отпущен. υ𝟎 =0
Электромагнитные колебания
Первая четверть периода:
0 < t < T/4.
Конденсатор разряжается,
его заряд в данный момент
равен q. Ток I через катушку
нарастает (постепенно
вследствие самоиндукции)
Аналогия:
Маятник движется влево к
положению равновесия; скорость υ
маятника постепенно увеличивается.
Деформация пружины x (она же —
координата маятника) уменьшается.
Электромагнитные колебания
Конец первой четверти:
t = T/4.
Конденсатор полностью
разрядился q = 0.
Сила тока достигла
максимального значения I0
Аналогия:
Маятник проходит положение
равновесия. Его скорость достигает
максимального значения 𝝊o .
Деформация пружины равна нулю
∆𝑥 = 0.
Электромагнитные колебания
Вторая четверть:
T/4 < t < T/2.
Конденсатор перезаряжается
— на его обкладках
появляется заряд
противоположного знака по
сравнению с тем, что был
вначале.
Ток уменьшается.
Аналогия:
Маятник продолжает двигаться
влево — от положения равновесия к
правой крайней точке.
Скорость его постепенно убывает,
деформация пружины
увеличивается.
Электромагнитные колебания
Конец второй четверти:
t = T/2.
Конденсатор полностью
перезарядился,
его заряд опять равен q0
(но полярность другая).
I=0
Аналогия:
Маятник проходит положение
равновесия. Его скорость достигает
максимального значения 𝝊o .
Деформация пружины равна нулю
∆𝑥 = 0.
Электромагнитные колебания
Конец второй четверти:
t = T/2.
Конденсатор полностью
перезарядился,
его заряд опять равен q0
(но полярность другая).
I=0
Аналогия:
Маятник проходит положение
равновесия. Его скорость достигает
максимального значения 𝝊o .
Деформация пружины равна нулю
∆𝑥 = 0.
Электромагнитные колебания
Третья четверть:
T/2 < t < 3T/4.
Началась вторая половина
периода колебаний;
процессы пошли в обратном
направлении.
Конденсатор разряжается
Аналогия:
Маятник двигается обратно: от
правой крайней точки к положению
равновесия
Электромагнитные колебания
Конец третьей четверти:
t = 3T/4.
Конденсатор полностью
разрядился q = 0.
Сила тока достигла
максимального значения I0
Аналогия:
Маятник проходит положение
равновесия. Его скорость достигает
максимального значения 𝝊o .
Деформация пружины равна нулю
∆𝑥 = 0.
Электромагнитные колебания
Вторая четверть:
T/4 < t < T/2.
Конденсатор перезаряжается
— на его обкладках
появляется заряд
противоположного знака по
сравнению с тем, что был
вначале.
Ток уменьшается.
Аналогия:
Маятник продолжает двигаться
влево — от положения равновесия к
правой крайней точке.
Скорость его постепенно убывает,
деформация пружины
увеличивается.
Электромагнитные колебания
Четвёртая четверть:
3T/4 < t < T. Ток убывает,
конденсатор заряжается
Аналогия:
Маятник продолжает двигаться
вправо — от положения равновесия
к крайней левой точке.
Электромагнитные колебания
Четвёртая четверть:
3T/4 < t < T. Ток убывает,
конденсатор заряжается
Аналогия:
Маятник продолжает двигаться
вправо — от положения равновесия
к крайней левой точке.
Электромагнитные колебания
Конец четвёртой четверти и
всего периода:
t = T.
Обратная перезарядка
конденсатора завершена,
I0 =0
Аналогия:
Маятник вернулся в исходное
положение.
Незатухающие колебания при 𝐹тр =0
Совершилось одно полное
колебание.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются
незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго, так
как R=0.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением.
Поэтому колебания в реальном колебательном контуре
будут затухающими.
Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе
окажется меньше исходного значения. Со временем
колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая
изначально в контуре, выделится в виде тепла на
сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут
затухающими колебания
реального пружинного
маятника: вся энергия
маятника постепенно
превратится в тепло из-за
неизбежного наличия трения.
Энергетические превращения в
колебательном контуре
1. t 0 =0, t = T/2
𝑊маг =0
𝑊эл =
𝐼0 =0
𝑞0 2
2𝐶
2. t = T/4 t = 3T/4
𝑊маг =
𝐿𝐼0 2
2
𝑊пол =
𝑊эл = 0
𝑞0 2
𝐿𝐼0 2
+
2𝐶
2
При 𝐹тр =
0
𝑞0 = 𝑞𝑚𝑎𝑥
𝑊пол = 𝑊маг + 𝑊эл
𝐼0 = 𝐼𝑚𝑎𝑥
𝑞0 = 0
𝑊пол = 𝑊маг + 𝑊эл
(в любой момент) = const
I=
∆𝑞
∆𝑡
υ=
∆𝑥
∆𝑡
- формула Томсона
Гармонические колебания в контуре
Колебания называются гармоническими, если колеблющаяся
величина меняется со временем по закону синуса или косинуса.
Докажем, что колебания заряда на
конденсаторе и силы тока в контуре
оказываются гармоническими.
Установим правила выбора знака
для заряда конденсатора и для силы
тока — ведь при колебаниях эти
величины будут принимать как
положительные, так и
отрицательные значения.
Выберем положительное
направление обхода контура,
направление против часовой
стрелки.
Гармонические колебания в контуре
I > 0 , если ток течет в положительном направлении.
I < 0 , если ток течет в положительном направлении.
Заряд конденсатора q — это
заряд той его пластины, на
которую течёт положительный
ток (т. е. той пластины, на
которую указывает стрелка
направления обхода).
В данном случае q — заряд
левой пластины конденсатора.
Величины q = q(t) и I = I(t) меняются со временем, но энергия
контура остаётся неизменной:
𝑊пол =
𝑞2
𝐿𝑖 2
+
2𝐶
2
= const.
Гармонические колебания в контуре
Если продифференцировать выражение полной энергии дважды,
то
1
q”+
q=0
LC
но ω0 2 =
1
- собственная частота колебаний контура
LC
q”+ ω0 2 q = 0
Решение уравнения
q = 𝑞0 cos (ω0 t + φ0 )
q = qо cos ωо t
I = q′ = − qо ωо sin ωо t
π
I = - Iо sin ωо t = Iо cos (ωо t + )
2
Iо = qо ωо = qо LC
Iо cos ωо t
В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на π/2; или сдвиг фаз между током
и зарядом равен π/2; или разность фаз между током и зарядом равна π/2.
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и
тока зависит от частоты ω: амплитуда тем
больше, чем ближе ω к собственной частоте
контура ωо .
При ω = ωо наступает
резонанс — резкое возрастание амплитуды
колебаний.
𝑊пол =
𝑊пол =
𝑊пол =
𝑞2
𝐿𝑖 2
+
2𝐶
2
𝐶𝑢2
𝐿𝑖 2
+
2
2
𝑞0 2
𝐿𝐼0 2
𝐶𝑈0 2
=
=
2𝐶
2
2
q = CU
Задача №1
Конденсатор емкостью 20мкФ, заряженный до напряжения
200В, подключен к выводам катушки индуктивностью 0,1Гн.
Каково максимально возможное значения силы тока в катушке?
ДАНО:
СИ
С = 20мкФ 2× 10−5 Ф
U = 200В
L = 0,1Гн
РЕШЕНИЕ:
𝐿𝐼0 2
𝐶𝑈0 2
𝑊пол =
=
2
2
𝐿𝐼0 2 =𝐶𝑈0 2
𝐼0 =𝑈0
𝐼𝑜 =?
𝐶
𝐿
РАСЧЕТ:
𝐼0 =200В
2×10−5 Ф
0,1Гн
= 2,83 А
Задача №2
В колебательном контуре с индуктивностью L и емкостью С
конденсатор заряжен до максимального напряжения UM. Каким
будет ток I в контуре в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе уменьшится в два раза? Колебания считать
незатухающими.
РЕШЕНИЕ:
ДАНО:
В отсутствии затухания суммарная энергия
С
электрического и магнитного полей в контуре
U0
сохраняется.
L
2
2
2
i =?
𝐿𝑖
𝐶𝑢
𝐶𝑈0
𝑊пол =
+
=
2
2
2
𝐿𝑖 2 =𝐶𝑈0 2 -𝐶𝑢2 =𝐶(𝑈0 2 -𝑢2 )
𝑖=
u=
𝐶
2
(𝑈0 −𝑢 )
𝐿
2
U0
2
𝑖=𝑈0
3𝐶
4𝐿
Задача №3
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С=4,9мкФ и катушки индуктивностью L=1 Гн. Амплитуда
колебаний заряда на обкладках конденсатора 0,5 мкКл. Напишите
уравнение колебаний заряда .
СИ
ДАНО:
С = 4,9мкФ 4,9 × 10−6 Ф
q = 0,5 мкКл 5× 10−7 Кл
L = 1Гн
РЕШЕНИЕ:
𝑞(𝑡)=?
ω0 =
q = qо cos ωо t
ω0 =
1
LC
1
=455
1Гн×4,9×10−6Ф
−7
рад
с
q =5∙ 10 cos455t
Задача №4
Сила тока в цепи переменного тока меняется со временем по
закону i =20 сos 100πt. Определить характеристики
колебательной системы и построить график q(t) и i(t).
ДАНО:
i =20 сos 100πt
𝐼𝑜 =?
T =?
ω0 =?
q(t)=?
qо = ?
РЕШЕНИЕ:
Запишем уравнения колебаний силы тока и заряда в общем
виде
I = q′
Если сила тока изменяется по закону cos, следовательно
заряд должен изменяться по закону sin
i = Iо cos ωо t
q = qо sin ωо t
𝐼𝑜 =20(А)
ωо =100π= 314(рад/с)
2π
T = = 0,02(с)
ωо
20А
qо = =
= 0,64 Кл
ωо 314рад/с
𝐼𝑜
q(Кл), i(А)
I𝑜
𝑞𝑜
T
−𝑞𝑜
−I𝑜
t,с
Задача №5
Конденсатор емкостью 0,1 мкФ, заряженный до напряжения 100 В,
подсоединяют к катушке индуктивностью 1 мГн. Чему равна величина
тока i через катушку спустя время 7,85 мкс после подключения
конденсатора? Сопротивлением катушки и соединительных проводов
пренебречь.
РЕШЕНИЕ:
ДАНО:
С = 0,1мкФ
L = 1мГн
U= 100В
to = 7,85 мкс
𝑖=?
СИ
1 × 10−5 Ф
1× 10−3 Гн
При подключении заряженного конденсатора к
катушке в образовавшемся контуре возникают
электрические колебания с частотой
1
ω0 =
LC
7,85 × 10−6 с
1
q = qо cos ωо t= qо cos
t, где qo = CU
LC
Из закона сохранения энергии следует, что
qo2 q2 Li2
=
+
2C 2C
2
CLi2= qo2- q2
qo2−(qо cos t )2
(CU)2(𝑠𝑖𝑛 t )2
LC
qo2− q210−5Ф
𝐶
t
7,85 LC
× 10−6 с
=−3 ∙ 𝑠𝑖𝑛
=
=
𝑈
𝑠𝑖𝑛
i = 100В
=10sin
0,0785
≈
0,8А
CL 10 Гн
CL
CL
L
LC
10−3 Гн 10−5 Ф
РАСЧЕТ:
В электрической цепи, показанной на рисунке,
ЭДС источника тока равна 12 В, емкость
конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки
5 мГн, сопротивление лампы 5 Ом и
сопротивление резистора 3 Ом. В начальный
момент времени ключ К замкнут. Какая энергия
выделится в лампе после размыкания ключа?
Внутренним сопротивлением источника тока, а
также сопротивлением катушки и проводов
пренебречь.
ДАНО:
ε =12В
C = 2мФ
L = 5мГн
Rл = 5 Ом
Rр = 3 Ом
W=?
СИ
2∙10−3 Ф
5∙10−3 Гн
Задача№6
РЕШЕНИЕ:
-Ключ замкнут: ток течет только через катушку
ε
I= ; конденсатор заряжен U = ε;
Rр
W𝐿 =
𝐿𝐼2
;
2
W𝐶 =
𝐶𝑈 2
2
-Ключ разомкнут: в контуре возникают
колебания. Вся энергия выделяется на лампе и
резисторе.
Согласно закону Джоуля-Ленца
пропорциональна
𝐿𝐼 2мощность
𝐶𝑈 2
𝐿 ε2
𝐶 ε2
W=
+
=
+
;
сопротивлению, значит энергия2 будет2распределяться
2(Rл +Rр )2 соответственно
2
𝟓
𝟖
Wл = W
Катушка индуктивностью L=3мГн подключена к
двум последовательно соединенным
конденсаторам, один из которых, емкостью С1 =
10−7 Ф, заряжен вначале до напряжения U1 = 150
В, а второй, емкостью C2 = 3 × 10−7 Ф, разряжен.
Чему будет равна максимальная сила тока I0 в
этой цепи после замыкания ключа?
РЕШЕНИЕ:
После замыкания ключа в цепи возникают гармонические колебания. При этом ток в цепи
и напряжение на катушке сдвинуты по фазе на π/2. Следовательно, когда в цепи
достигается максимальный ток, напряжение на катушке обращается в нуль, и в этот
момент напряжения на конденсаторах становятся равными по величине и
противоположными по знаку.
Из закона сохранения заряда следует q1 + q2 = q01
q = CU
(C1 + C2)U = C1U1
C1U1
U=
(C1 + C2)
Согласно закону сохранения энергии в контуре
C1U12 (C1 + C2)U2 LI02
=
+
2
2
2
I0 = 0,75А
I0 = U1
C1C2
L(C1 + C2)
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденные колебания возникают в системе под действием
периодической вынуждающей силы.
Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные
колебания будут совершаться в контуре,
подключённом к источнику
синусоидального напряжения.
Если напряжение источника меняется
по закону:
U = Uо sin ωt
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической
частотой ω и T = 2π/ω.