"Решение тригонометрических уравнений" 10 класс

y
0

2
x
• Sin x  a, x  (-1 ) arcsin a   n, n  Z
• cos x  a, x   arccos a  2  n , n  Z
•tg x  a, x  arctg a   n, n  Z
•ctg x  a, x  arcctg a   n, n  Z
n
Sin x=1,x=π/2+2πn
Sin x=-1,
x=-π/2+2πn
Sin x=0,x=πn
cos x=1,x=2πn
cos x=-1,
x=2πn+ π
cos x=0,x=π/2+πn
Во всех случаях
tg x=0,x=πn
ctg x=0,x=π/2+πn
 y
2

0
n Z
3
2
x
• Sin (arcsin a)  a, | a | 1
• Arcsin(sin x)  x, x    2;  2
• Arcsin(-a)  -arcsina
• Cos(arccos a)  a, | a | 1
• arccos(cos x)  x, x  0;  
• Arccos(-a)   - arccosa
• tg (arctg a)  a,
• Arctg(tg x)  x,
• Arctg(-a)  -arctga
• Ctg(arcctg a)  a,
• arcctg(ctg x)  x,
Arcctg(-a)   - arcctga
cos 7 x  sin 5 x  1
Решим уравнение
2
2
cos
x

sin
x 1
Поскольку
cos 7 x  sin 5 x  cos 2 x  sin 2 x




cos 2 x cos 5 x  1  sin 2 x 1  sin 3 x
2
5

cos
x
cos
x  1  0
Для любых x имеем
т.к sin 2 x1  sin 3 x   0 поэтому уравнение равносильно системе
уравнений




cos 2 x cos 5 x  1  0
 2
3
sin
x
1

sin
x 0

cos x  0

 sin x  1
cos x  1
.

sin x  0
множество решений которой
совпадает с множеством решений
совокупности систем уравнений
Ответ:

2
 2n, n  Z ; 2 n, n  Z
sin x cos 4x  1
Решим уравнение
Если число х 0 - решение уравнения, то либо
либо
sin x0  1
sin x0  1Действительно, если бы было
справедливо неравенство
sin x0  1, то из уравнения
следовало бы, что cos 4 x0  1, что естественно, не возможно.
Но если sin x0  1
, то cos 4 x0  1; если же sin x0  1,
то cos 4 x0  .1
Следовательно, любое решение уравнения
является решением совокупности двух систем
 sin x0  1
 sin x0  1


cos
4
x

1
0
cos 4 x0  1

Первое уравнение первой системы имеет решения xk  ( / 2)  2,   Z
Все они удовлетворяют второму уравнению. То есть
являются решениями системы. Первое уравнение второй
системы имеет решения xk  ( / 2)  2,   Z . Ни одно
из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению
второй системы. Поэтому система не имеет решений.
Ответ:
xk  ( / 2)  2. ,   Z
Решением первой
системы является
решением второй
системы является
xk 

2
 2,   Z
x n  2n, n  Z
Все эти решения являются решениями
совокупности систем.
Ответ:
xk 
xk 

2

2
 2,   Z
 2,   Z
Иногда применение того или иного числового
неравенства к одной из частей уравнения
позволяет заменить его равносильной системой
уравнений.
Часто применяется неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим :
ab
 ab , где a  0, b  0
2
(причём равенство здесь возможно лишь при
a=b), и его следствие:
1
a   2, где a  0 (1)
a
Решить уравнение
cos 2 x sin 8 x
2
2
2


2
cos

x
(8).
8
2
sin x cos x
4
Пусть число x0 есть любое решение уравнения
(8). Тогда справедливо cos 2 x sin 8 x
2
2
2
0
0


2
cos

x
0
sin 8 x0 cos 2 x0
4
Применяя неравенство (1), получим
что справедливо неравенство
cos 2 x
sin 8 x
0
8
В то же время справедливо
неравенство
2
2 cos
sin x0
Ответ:
2
;
2
2
cos x0
2
 cos 2 x sin 8 x
2
 8 
2
(9)
 sin x cos x
cos 2 ( 2 / 4)  x 2

Решая систему получим x   и x   
1
2

0
( 2 / 4)  x02  2
Следовательно, любое решение
уравнения (8) является решением
системы


2
2
Уравнение (8) равносильно системе
(9) и имеет те же решения.
Установить, при каких значениях а система
уравнений имеет решение.
Найти все решения.
2



2
sin x cos 2 y  a  1  1


 cos x sin 2 y  a  1
Так как левые части уравнений не превышают 1, то
можно иметь решение только при а,
2
2

удовлетворяющих системе неравенств
 a 1


Этой системе удовлетворяет только
а =-1
Итак, система принимает вид:


1  1
a 1  1
 sin x cos 2 y  1

cos x sin 2 y  0
Складывая и вычитая почленно уравнения системы получаем:
sin x cos 2 y  cos x sin 2 y  1
sin x  2 y   1
 

cos
x
sin
2
y

sin
x
cos
2
y

1

sin x  2 y   1
Решением системы является: x      n 
2
y
   n 
2