Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Содержание
Девиз.
Мы должны.
Повторим.
Что такое треугольник?
Какие треугольники различают по сторонам?
Треугольники классифицируют и по углам. Вспомним.
Задание 1.
Треугольник.
Сколько тупых (прямых) углов может быть в треугольнике?
Задание 2.
Как же сформулировать утверждение, которое мы будем доказывать?
Из истории.
Доказательство, которое Евклид изложил в «Началах».
А это доказательство пифогоревцев ( V в. до н.э.)
Вопросы. Ответы.
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Самопроверка. Решим устно.
Правильные ответы
Это интересно!
Домашнее задание.
Литература.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4, г.
Северодонецк
Девиз:
«В геометрию тропинку одолеем без
запинки»
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Мы должны:
повторить свойства
треугольника, сформулировать и
доказать теорему о сумме углов
треугольника, следствия из неё.
Ввести понятия остроугольного,
прямоугольного, тупоугольного
треугольников, т.е. классифицировать
треугольники по углам, повторить
классификацию треугольников по
сторонам. Рассмотреть задачи на
применение доказанных утверждений.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Повторим
Треугольник в геометрии играет особую роль. Без
преувеличения можно сказать, что вся или почти вся
геометрия строится на треугольнике. За несколько
тысячелетий геометры столь подробно изучили
треугольник, что иногда говорят о геометрии
треугольника как о самостоятельном разделе
геометрии.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Какие треугольники различают по
сторонам?
равнобедренный
разносторонний
равносторонний
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Треугольники классифицируют и по углам.
Вспомним
Угол – это фигура, образованная двумя лучами,
выходящими из одной точки. Лучи называют сторонами
угла, а точки – вершиной угла.
Если величина угла меньше 90º, то угол называют острым.
Если величина угла 90º, то угол называют прямым.
Если величина угла 180º, то угол называют развёрнутым.
Если угол больше 90º, но меньше 180º, то угол называют тупым.
Таким образом, углы бывают острые, тупые, прямые, развёрнутые.
Внутренний угол треугольника это угол, образованный его сторонами.
Вершина треугольника является вершиной этого угла.
Значит, в треугольнике углы могут быть различными (тупые, острые,
прямые).
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Треугольник
Треугольники
разносторонние
равнобедренные
равносторонние
Остроугольные
Тупоугольные
Прямоугольные
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Сколько тупых (прямых) углов может
быть в треугольнике?
Как это обосновать?
Это обосновать нам поможет замечательное
свойство треугольника.
Теорема о сумме углов треугольника – это одна из
самых важных теорем геометрии.
Чему равна сумма углов треугольника?
Как это можно узнать?
Практически – измерением.
Теоретически – рассуждениями.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Задание 2.
Найдите сумму углов ваших треугольников. Чему
она равна? Что заметили? ( все суммы близки к
180°.) Посмотрите ребята! Треугольники были
взяты произвольные, углы в треугольниках
различные, а результаты у всех получились
одинаковыми.
Чем объяснятеся небольшое различие? Тем ли,
что нет никакой закономерности, или тем, что
закономерность есть, но нашими инструментами
мы не можем установить её с достаточной
точностью?
"СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА"
ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Из истории
Свойство суммы углов треугольника было эмпирически, т.е. опытным
путём установлено, вероятно, еще в Древнем Египте, однако дошедшие
до нас сведения о разных доказательствах относятся к более позднему
времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках,
содержится в комментарии Прокла к «Началам» Евклида. Прокл
утверждает, что согласно Евдему Родосскому это доказательство было
открыто ещё пифагорейцами ( Vв. До н.э.). Прокл пишет: «Пифагор
впервые разработал принципы геометрии». Пифагорейцы содействовали
формированию геометрии как науки, основанной на аксиомах и
доказательствах.
В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о
сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа.
Великий древнегреческий философ Аристотель (VI в. До н.э.) в своей
«Метафизике» упоминает об этом предложении, как известном ему.
Следует отметить, что как доказательство Прокла, так и доказательство
Евклида основываются на том, что при пересечении двух параллельных
прямых третьей внутренние накрест лежащие, а также и соответственные
углы равны. Это предложение в свою очередь доказывается при помощи
аксиомы параллельности Евклида. Итак, теорема о том, что сумма углов
треугольника равна 180°, верна, если верна аксиома параллельности
Евклида ,которая принята в системе аксиом Евклида без доказательств.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Теорема о сумме углов треугольника приписывается многим, в том
числе Евклиду и Пифагору. Теорема Пифагора-Евклида
многострадальная «твёрдо установленная», которая была подвергнута
ревизии в неевклидовой геометрии.
Доказательство, которое Евклид изложил в «Началах»
Дано: ▲АВС
Д
Доказать: ∟А+∟В+∟С=180°
1
Доказательство
Проведём СД II АВ:
2
3
5
4
∟1= ∟2-как внутренние накрест
А
С
К лежащие при АВ II СД с секущей ВС.
∟3= ∟4-как соответственные углы при АВ II СД с
секущей АК.
∟5+ ∟2+ ∟4=180º-как развёрнутый угол.
Значит, ∟3+ ∟1+ ∟5=180º
Значит, ∟А+ ∟В+ ∟С=180º
Теорема доказана
В
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4, г.
Северодонецк
А это доказательство пифогоревцев ( V в. до н.э.)
В
а
5
4
2
1
А
3
С
Дано: ▲АВС – произвольный
Доказать: ∟А+∟В+∟С=180°
Доказательство
Проведём прямую а II АС.
∟5= ∟1 ( накрест лежащие)
∟4= ∟3 ( накрест лежащие)
∟5+ ∟2+ ∟4=180° -развёрнутый
∟1+ ∟2+ ∟3=180° ч. т. д.
Повторяем план доказательства:
Провести прямую через одну из вершин параллельную
противолежащей стороне.
Составить пары равных углов.
Представить развёрнутый угол в виде суммы.
Заменить слагаемое равным им углам треугольника.
"Сумма углов треугольника" Геометрия 7
класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Вопросы
Ответы
 Чему равен ∟В?
?
50°
А
В
(60°)
70°
С
 Чему равен угол равностороннего
треугольника?
(60°)
 Чему равна сумма острых углов
прямоугольного треугольника?
(90°)
 Чему равен острый угол
прямоугольного, равнобедренного
треугольника?
 Почему в треугольнике не может
быть двух прямых (тупых) углов?
(45°)
 Почему в треугольнике не может
быть один тупой, а другой тупой
углы?
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Задача 1
В
?
65º
А
Решение
?
Т.к. АВ=ВС, то ∟А=∟С=65º
С и ∟В=180º-(∟А+∟С)=
=180º-(65º+65º)=50º
Ответ: ∟В=50º
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Задача 2
N
?
110º
M
?
K
Решение
Т.к. NM=MK, то∟N= ∟K=
= (180º-∟M):2=(180º-110º):2=
=70º:2=35º
Ответ: ∟N= ∟K=35º
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Задача 3
P
В ▲OPS: ∟S=180º-100º=80º - как смежные.
60º
?
O
Решение
?
100º
S
∟О=180º-(∟P+ ∟S)=
=180º-(60º+80º)=
=180º-140º=40º
Ответ: ∟О=40º, ∟S=80º
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Задача 4
Найти углы ▲АВС, если ∟А:∟В:∟С=2:3:7.
Решение
Пусть 1 часть будет хº, тогда ∟А =2хº , ∟В=3хº, ∟С=7хº.
Сумма углов треугольника равна (2х+3х+7х)º или 180º.
Получим уравнение:
2х+3х+7х=180
12х=180
х=15
Итак, 15º одна часть.
Значит, ∟А=2х=15º*2=30º
∟В=3х=15º*3=45º
∟С=7х=15º*7=105º
Ответ:∟А=30º, ∟В=45º,∟С=105º.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Самопроверка. Решим устно.
70°
80
°
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
30°
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Правильные ответы
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Это интересно!
2
Пифагор
доказал эту
теорему с
помощью
бумажного
треугольника.
∟1+∟2+∟3=180º
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
3
1
1
2
3
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Угадайте слово по трём
определениям.
Геометрическая фигура,
образованная двумя лучами с
общим началом.
 Место, куда можно поставить
нерадивого ученика.
 Если справа приписать ь, то
получится полезное ископаемое.

Это интересно!
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4,
г. Северодонецк
Домашнее задание:
§10, №297, 300. Устно: №289-293 по
учебнику Г.П. Бевз.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Литература:
Бевз Г.П., Бевз В.Г. Геометрия 7 класс.
2007г.
Гальперина А.Р. Алгебра. Геометрия. 7
класс: Тестовый контроль знаний. 2010г.
Корнес А.И. Алгебра. Геометрия. 7 класс:
Контрольные и самостоятельные работы.
2007г.
Мерзлян А.Г. Геометрия 7 класс. Сборник
задач и заданий для тематического
оценивания. 2007г.
"Сумма углов треугольника"
Геометрия 7 класс
Гринева Л.А.,СОШ №4, г.
Северодонецк