текстовая задача

Методика работы
с текстовой задачей
• Умения, которые необходимо сформировать
у учащихся для овладения алгебраическим
методом решение текстовых задач
• Основные линии работы с текстовой задачей
• Факторы, влияющие на сложность решения задачи
• Развитие темы задачи
При работе с текстовыми задачами
в 5 – 6 классах перед педагогом стоят
следующие образовательные задачи:
создать условия для формирования:
• представления о математическом языке и
математической модели;
• умения составлять математическую модель
текстовой задачи;
• умения восстанавливать условие задачи по
математической модели.
Умения, которые необходимо сформировать
у учащихся для овладения алгебраическим
методом решение текстовых задач
• умение выделять величины и обозначать их буквами;
• умение формулировать зависимость между
величинами;
• умение записывать в виде алгебраического выражения
словесно сформулированную зависимость и обратно;
• умение составлять уравниваемые алгебраические
выражения;
• умение выражать одну и ту же зависимость разными
способами;
• умение выражать зависимость с помощью равенств;
• умение интерпретировать результат решения
уравнения на языке данной задачи.
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Примеры упражнений
№40. Из одного гаража одновременно в противоположных
направлениях выехали автомобиль и автобус. Скорость
автомобиля - х км/ч, а автобуса - у км/ч, причем автомобиль
едет быстрее, чем автобус.
Запишите в виде выражения:
1) расстояние между автомобилем и автобусом через час
после начала движения;
2) скорость, с которой автомобиль и автобус удаляются друг от
друга;
3) расстояние между автомобилем и автобусом через 2 ч после
начала движения;
4) расстояние, которое прошел автомобиль за 2 ч;
5) расстояние, которое прошел автобус за 2 ч;
6) на сколько расстояние, пройденное автомобилем за 2 ч,
больше расстояния, пройденного за то же время автобусом;
7) во сколько раз расстояние пройденное автомобилем за 2 ч,
больше расстояния, пройденного за то же время автобусом.
Планируемые
образовательные
результаты
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Примеры упражнений
№40. Из одного гаража одновременно в противоположных
направлениях выехали автомобиль и автобус. Скорость
автомобиля - х км/ч, а автобуса - у км/ч, причем автомобиль
едет быстрее, чем автобус.
Запишите в виде выражения:
1) расстояние между автомобилем и автобусом через час
после начала движения;
2) скорость, с которой автомобиль и автобус удаляются друг от
друга;
3) расстояние между автомобилем и автобусом через 2 ч после
начала движения;
4) расстояние, которое прошел автомобиль за 2 ч;
5) расстояние, которое прошел автобус за 2 ч;
6) на сколько расстояние, пройденное автомобилем за 2 ч,
больше расстояния, пройденного за то же время автобусом;
7) во сколько раз расстояние пройденное автомобилем за 2 ч,
больше расстояния, пройденного за то же время автобусом.
Планируемые
образовательные
результаты
Учащийся умеет
составлять буквенные
выражения по
заданным условиям
для жизненных
ситуаций
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Примеры упражнений
№113. Книга стоит x р., а альбом – y р. Какой смысл имеет
выражение: а) 3x; б) 2y; в) y - x; г) 5x + 4y.
№114. Скорость пассажирского поезда - а км/ч, а товарного с км/ч. Что записано на математическом языке:
а) а + с ; б) 1750 : а; в) 1750 : с; г) 1750 : ( а + с).
№93. Длина отрезка АВ равна т см. Запишите выражение для
длины отрезка:
а) MN, который в 3 раза длиннее AB:;
б) KL, который на 25 см длиннее AB;
в) CD, который в 4 раза короче AB;
г) EF, который на 8 см короче AB.
№108. Запишите выражение для длины ломаной ABCD, если:
а) AB = x, DC в 2 раза больше AB , а CD на 6 см меньше AB;
б) AB = y, BC в 3 раза меньше AB, а CD на 8 больше BC.
№264. Цена хризантемы – п р. за один цветок, а цена одной
розы – на 30 р. больше. Запишите на математическом языке:
а) цену розы;
б) стоимости пяти хризантем;
в) стоимости трех роз;
г) стоимость букета из пяти хризантем и трех роз.
Планируемые
образовательные
результаты
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Планируемые
Примеры упражнений
образовательные
результаты
№113. Книга стоит x р., а альбом – y р. Какой смысл имеет Учащийся умеет
выражение: а) 3x; б) 2y; в) y - x; г) 5x + 4y.
интерпретировать
№114. Скорость пассажирского поезда - а км/ч, а товарного буквенные выражения на
с км/ч. Что записано на математическом языке:
языке данной задачи.
а) а + с ; б) 1750 : а; в) 1750 : с; г) 1750 : ( а + с).
№93. Длина отрезка АВ равна т см. Запишите выражение для
длины отрезка:
а) MN, который в 3 раза длиннее AB:;
б) KL, который на 25 см длиннее AB;
в) CD, который в 4 раза короче AB;
г) EF, который на 8 см короче AB.
№108. Запишите выражение для длины ломаной ABCD, если:
а) AB = x, DC в 2 раза больше AB , а CD на 6 см меньше AB;
б) AB = y, BC в 3 раза меньше AB, а CD на 8 больше BC.
№264. Цена хризантемы – п р. за один цветок, а цена одной
розы – на 30 р. больше. Запишите на математическом языке:
а) цену розы;
б) стоимости пяти хризантем;
в) стоимости трех роз;
г) стоимость букета из пяти хризантем и трех роз.
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Планируемые
Примеры упражнений
образовательные
результаты
№113. Книга стоит x р., а альбом – y р. Какой смысл имеет Учащийся умеет
выражение: а) 3x; б) 2y; в) y - x; г) 5x + 4y.
интерпретировать
№114. Скорость пассажирского поезда - а км/ч, а товарного буквенные выражения на
с км/ч. Что записано на математическом языке:
языке данной задачи.
а) а + с ; б) 1750 : а; в) 1750 : с; г) 1750 : ( а + с).
№93. Длина отрезка АВ равна т см. Запишите выражение для Учащийся умеет
длины отрезка:
записывать в виде
а) MN, который в 3 раза длиннее AB:;
алгебраического
б) KL, который на 25 см длиннее AB;
выражения словесно
в) CD, который в 4 раза короче AB;
сформулированную
г) EF, который на 8 см короче AB.
зависимость;
№108. Запишите выражение для длины ломаной ABCD, если: умеет составлять
а) AB = x, DC в 2 раза больше AB , а CD на 6 см меньше AB;
буквенные выражения по
б) AB = y, BC в 3 раза меньше AB, а CD на 8 больше BC.
заданным условиям.
№264. Цена хризантемы – п р. за один цветок, а цена одной
розы – на 30 р. больше. Запишите на математическом языке:
а) цену розы;
б) стоимости пяти хризантем;
в) стоимости трех роз;
г) стоимость букета из пяти хризантем и трех роз.
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Примеры упражнений
№51. Запишите на математическом языке:
а) число m на 8 больше числа n;
б) число a в четыре раза больше числа b;
в) число c на 3 меньше числа d;
г) число e в шесть раз меньше числа g.
№266. Цена хризантемы - а р. за один цветок, а цена
одной розы – на 30 р. больше. Запишите на
математическом языке:
а) букет из пяти хризантем и трех роз стоит 250 р.;
б) три розы дороже пяти хризантем на 50 р.;
в) стоимость букета из семи хризантем меньше трехсот
рублей;
г) стоимость букета из семи роз больше трехсот рублей.
Планируемые
образовательные
результаты
Формирование составляющих умения решать текстовые
задачи с помощью уравнений (учебник «Математика. 5
класс» И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича)
Примеры упражнений
№51. Запишите на математическом языке:
а) число m на 8 больше числа n;
б) число a в четыре раза больше числа b;
в) число c на 3 меньше числа d;
г) число e в шесть раз меньше числа g.
Планируемые
образовательные
результаты
Учащийся умеет
записывать в виде
алгебраического
выражения словесно
сформулированную
зависимость;
№266. Цена хризантемы - а р. за один цветок, а цена умеет выражать
одной розы – на 30 р. больше. Запишите на зависимость с
математическом языке:
помощью равенств;
а) букет из пяти хризантем и трех роз стоит 250 р.;
умеет выражать одну и
б) три розы дороже пяти хризантем на 50 р.;
ту же зависимость
в) стоимость букета из семи хризантем меньше трехсот разными способами.
рублей;
г) стоимость букета из семи роз больше трехсот рублей.
Преемственность с начальной школой в формировании
составляющих умения решать текстовые задачи с
помощью уравнений
1. Молоко разлили в 4 бидона. В первый бидон налили 40 л, во
второй – 35 л, в третий – 44 л. Сколько литров молока налили в
четвертый бидон, если в первом и третьем бидонах оказалось
столько же литров молока, сколько во втором и четвертом?
Обозначь буквой х количество литров молока в четвертом
бидоне и выбери уравнение, которое соответствует задаче.
1) 44 + х = 40 + 35
2) 35 + х = 40 + 44
2. Запиши уравнением предложение: сумму неизвестного числа и
пяти увеличили в три раза и получили 27.
Маша записала такое уравнение: х + 5 · 3 = 27.
Миша – такое: (х + 5) · 3 = 27.
Кто из них прав ?
Преемственность с начальной школой в формировании
составляющих умения решать текстовые задачи с
помощью уравнений
3. На сколько больше произведение чисел 508 и 4, чем частное
этих же чисел?
Миша ответил на вопрос так: 508 · 4 – 508 : 4 = 1905.
Маша - так :
508 · 4 – х = 508 : 4
2032 – х = 127
х = 2032 – 127
х = 1905
Объясни, как рассуждали Миша и Маша. Кто из них прав ?
Преемственность с начальной школой в формировании
составляющих умения решать текстовые задачи с
помощью уравнений
4. Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, навстречу
друг другу выехали одновременно две машины и встретились через
3 часа. Скорость одной машины 60 км /ч. С какой скоростью ехала
другая машина?
Рассмотри схему, составь по условию задачи уравнение и реши
его.
Сравни свои рассуждения с рассуждениями Миши и Маши.
Миша: Я буду рассуждать так. Обозначим скорость одной
машины х км/ч. Тогда эта машина пройдет расстояние х · 3 (км), а
другая - 60 · 3 (км). Расстояние, которое прошли обе машины, можно
записать так: х · 3 + 60· 3. Запишем уравнение: х · 3 + 60· 3 = 420.
Маша: А я буду рассуждать так. Пусть скорость одной машины х км/ч. Тогда за 1 ч машины приблизятся друг к другу на (60 + х) км, а
за 3 ч обе машины пройдут расстояние: (60 + х) · 3 (км). Это
расстояние по условию задачи равно 420 км. Запишем уравнение:
(60 + х) · 3 = 420.
Преемственность с начальной школой в формировании
составляющих умения решать текстовые задачи с
помощью уравнений
5. Выбери задачи, которым соответствует данная схема, и составь
уравнения.
1) В одном пансионате отдыхали 342 человека, в другом – 285.
Сколько было отдыхающих в двух пансионатах?
2) В одном пансионате отдыхали 285 человек, в другом – на 342
человека больше. Сколько человек отдыхает во втором пансионате?
3) В июне в пансионате отдыхали 285 человек, а в июле – 342. На
сколько меньше отдыхающих было в июне, чем в июле?
4) В двух пансионатах отдыхали 342 человека. Сколько человек
отдыхало во втором пансионате, если в первом было 285 человек?
5) В июне в пансионате отдыхали 342 человека. Из них 285
взрослых, остальные – дети. Сколько детей было в пансионате ?
Преемственность с начальной школой в формировании
составляющих умения решать текстовые задачи с
помощью уравнений
6. В классе 34 ученика. Английский язык изучают 12 детей, остальные
– немецкий. Сколько детей занимается немецким языком?
Рассмотри схему и выбери уравнения, которые соответствуют
данной задаче.
1) х + 12 = 34
2) 12 - х = 34
3) х - 12 = 34
4) 34 - х = 12
Основные линии работы с текстовой задачей
1. Сравнение и поиск общих методов решения задач, различных
по сюжету, но сходных по математическому содержанию.
2. Изучение методов моделирования сюжетной задачи.
3. Сравнительный анализ арифметического и алгебраического
методов решения задачи.
4. Изучение влияния изменения условия задачи на ее решение.
Основные линии работы с текстовой задачей
Сравнение и поиск общих методов решения задач, различных по
сюжету, но сходных по математическому содержанию
1.1. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был
проехать за 4 часа. Первые 2 часа он ехал с намеченной
скоростью, а затем снизил ее на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт
приехал но 20 минут позже, чем предполагал. Найдите
первоначальную скорость автомобиля.
1.2. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20
дней. Но завод выпускал ежедневно на 2 машины сверх плана, и
поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин в день должен
был выпускать завод по плану ?
Основные линии работы с текстовой задачей
Изучение методов моделирования сюжетной задачи.
Сравнительный анализ арифметического и алгебраического
методов решения задачи
2.1. Дома, в которых живут Петя и Сережа, находятся в
противоположных направлениях от школы и в 2125 м друг от друга.
Петя вышел из школы на 5 минут раньше Сережи, но пришел
домой одновременно с Сережей. Сколько времени шел Петя до
дома, если скорость Пети – 75 м/мин, а скорость Сережи –
100м/мин?
2.2. Всадник и пешеход отправляются из одного и того же пункта А
в пункт В. Всадник, прибыв в В на 50 минут раньше пешехода,
возвращается тотчас обратно в А и встречается с пешеходом на
расстоянии 2км от В. На весь путь от А до В и обратно всадник
затратил 1час 40 мин. Узнать расстояние от А до В.
Основные линии работы с текстовой задачей
Изучение методов моделирования сюжетной задачи
2.3. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15
км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же
направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал
второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого.
2.4. Для откачивания воды из резервуара имеется 4 насоса. Если включить
первый, второй и третий насосы, то работа будет выполнена за 10 мин; если
включить первый, третий и четвертый насосы, то та же работа будет
выполнена за 12 мин. Если же будут работать только два насоса, второй и
четвертый, то работа будет выполнена за 15 мин. За какое время можно
откачать воду из резервуара с помощью четырех насосов ?
2.5. Из пункта А в пункт В отправились одновременно вниз по течению реки
плот и теплоход. Пока плот плыл со скоростью 2 км/ч по течению реки,
теплоход успел прибыть в пункт В и вернуться обратно в пункт А, затем еще
раз совершить рейс из А в В и обратно и, наконец прибыть в В
одновременно с плотом. Какова собственная скорость теплохода ?
Основные линии работы с текстовой задачей
Изучение влияния изменения условия задачи на ее решение
3.1. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное
время два пешехода. Скорость одного из них – 4 км/ч, а другого – 5 км/ч.
Сейчас пешеход, идущий скоростью 4 км/ч, находится в 7 км от города, а
второй в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет
25 км?
3.2. По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся в направлении
перекрестка велосипедист и мотоциклист. В некоторый момент времени
велосипедист находился на расстоянии 8 км, а мотоциклист – на расстоянии
15 км от перекрестка. Через сколько минут после этого расстояние между
ними будет равно 5 км, если скорость велосипедиста – 1/3 км/мин, а
мотоциклиста – 1 км/мин?
3.3. По двум дорогам, угол между которыми 45 градусов, два пешехода
начинают движение одновременно по направлению к точке пересечения
дорог. Их скорости постоянны. В начальный момент времени расстояние
между пешеходами равнялось √ 17 км, а через час - √ 10 км. Найдите
скорость пешеходов, если известно, что один пешеход достиг точки
пересечения дорог за 4 часа, а второй за 5 часов.
Основные линии работы с текстовой задачей
Изучение влияния изменения условия задачи на ее решение
3.4. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в указанном
направлении. Скорость одного из них 50 км/ч, второго – 40 км/ч. Через 0,5 ч
в том же направлении из этого же пункта выехал третий автомобиль,
догнавший первого на полтора часа позднее, чем второго. Найти скорость
третьего автомобиля.
3.5. Из А и В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя 1 час вслед за ним
из А вышел второй турист, проходивший в 1 час 5 км, а еще через час из А
выехал велосипедист, который, обогнав одного туриста, через 10 мин
обогнал и другого. Найти скорость велосипедиста.
Факторы, влияющие на сложность решения задачи
Решите задачи и сделайте вывод о факторах, влияющих на
сложность решения задачи:
1.1. На путь от города А до города В, расстояние между которыми
30 км, легковая машина тратит на 15 мин меньше грузовой. Найти
скорость легковой, если она на 20 км/ч больше скорости грузовика.
1.2. Из города А в город В, расстояние между которыми 30 км,
выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой
автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости
грузовика. Найти скорость легковой, если известно, что она пришла
в город В на 5 мин раньше грузовой.
На сложность решения задачи влияет выбор способа задания
условий (явное или косвенное) и единиц измерения данных
величин
Факторы, влияющие на сложность решения задачи
2.1. Завод должен был изготовить 20 станков к определенному сроку.
Изготовляя в день на 1 станок больше нормы, завод затратил на
выполнение задания на 1 день меньше. Сколько станков должен
изготовлять завод в день по плану?
2.2. Бригада должна была по плану изготовить 250 деталей к
определенному сроку. Изготовляя в день на 5 деталей сверх нормы,
бригада уже за 1 день до срока перевыполнила план на 20 деталей.
Сколько деталей изготовила бригада к заданному сроку?
На сложность решения задачи влияет формулировка вопроса
задачи и выбор неизвестной величины, обозначенной за х
Факторы, влияющие на сложность решения задачи
3.1. Автобус проходит расстояние АВ, равное 120 км, равномерно за
определенное время. Однажды, через час после отправления из А
автобус был задержан у шлагбаума на 10 мин и, чтобы прибыть в В
по расписанию, должен был увеличить скорость на 6 км/ч. Найдите
первоначальную скорость.
3.2. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому
слесарю понадобится на 7 часов больше, чем второму. После того
как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось
заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было
выполнено на 4,5 часа позднее, чем если бы всю работу они
выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание
каждый слесарь в отдельности?
На сложность решения задачи влияет выбор обоснования для
составления уравнения, выбор неизвестной величины,
обозначенной за х