Дифференциальные и разностные уравнения. Часть 1

ИИ
НФОРМ
АТ
И
ИК
ИЙ ИНСТИТ
СК
КОНОМИ
К
И
Э
УТ
ТУЛ
Ь
Дифференциальные и
разностные уравнения
Видеолекция
(I часть)
O Доцент
O Смирнова Елена Евгеньевна
O НОО ВПО НП «ТИЭИ»
Контакты преподавателя
O Смирнова Елена Евгеньевна
O Тел. 8-906-625-22-32
O E-mail:
O eesmirn@yandex.ru
Размещение курса в Moodle
O Сайт www.tiei.ru
O Раздел «Обучение через Интернет»
O Кафедра Естественнонаучных и гуманитарных дисциплин
O Дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения»
Список литературы
Базовый учебник:
O 1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и
вариационного исчисления.. – 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых
Знаний, 2006.
Дополнительная:
O 1. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу «Дифференциальные и
разностные уравнения». –
М:ВШЭ,1998.
O 2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. – Ижевск: НИЦ, 2000.
Основная цель дисциплины «Дифференциальные и разностные
уравнения» – изучение математического аппарата, необходимого при
изучении курсов экономического профиля.
В дисциплине «Дифференциальные и разностные уравнения»
рассматриваются избранные разделы теории обыкновенных
дифференциальных
уравнений и конечноразностных (рекуррентных) уравнений, моделирующих
динамику самых
разнообразных систем: от механических до социальных, объясняя
закономерности механических,
физических, биологических и экономических систем.
Данная дисциплина направлена на развитие навыков формализации и
организации понятий
при создании и изучении математических моделей общих и конкретных
социальноэкономических явлений, при постановке и решении соответствующих
математических задач.
В результате изучения дисциплины «Дифференциальные и
разностные уравнения» студент должен:
 знать основы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, основные теоремы существования и
единственности, методы построения простейших моделей
различных процессов, методы решения основных типов
уравнений.
 уметь грамотно применить изученные методы при решении
прикладных задач экономического содержания.
 иметь представление об основных понятиях теории
устойчивости и методах исследования.
 обладать навыками исследования устойчивости решений
систем дифференциальных уравнений и конечноразностных уравнений.
Тематические разделы курса
Раздел 1. Начальные сведения о дифференциальных
уравнениях
Тема 1. Основные понятия
Тема 2. Вопросы существования и единственности решения
дифференциальных уравнений
Тема 3. Численные методы решений
Тема 4. Дифференциальные уравнения в экономике
Раздел 2. Классы дифференциальных уравнений
Тема 5. Дифференциальные уравнения первого порядка
Тема 6. Дифференциальные уравнения n-го порядка
Тема 7. Системы дифференциальных уравнений
Тематические разделы курса
(продолжение)
Раздел 3. Устойчивость дифференциальных уравнений и
систем дифференциальных уравнений
Тема 8. Устойчивость дифференциальных уравнений
Тема 9. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
Раздел 4. Разностные уравнения
Тема 10. Примеры разностных уравнений
Тема 11. Методы решения разностных уравнений
Тема 1-3. Основные понятия
Функциональное уравнение
F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее между собой независимую
переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y(x), называется
дифференциальным уравнением первого порядка.
Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y=(x), которая,
будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y=(x), обращает
его в тождество относительно x.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется
такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является
решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,C) =0,
определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим
интегралом дифференциального уравнения.
1
Раздел 1. Начальные сведения о дифференциальных уравнениях
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может
быть представлено в виде
y   f ( x, y )
Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных
кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям
постоянной C.
Тема 1-3
Основные понятия
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия
(продолжение).
Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой
последовательности числом d , называется арифметической прогрессией.
Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии
вычисляется по формуле:
an = a1 + d ( n – 1 ) .
Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой
последовательности число q , называется геометрической
прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Любой член
геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
bn = b1 q n - 1 .
Рост процентного вклада. Рост процентного
вклада с регулярными взносами.
Процентная ставка вклада [1] — это сумма, указываемая в процентах к сумме вклада,
которую банк заплатит за пользование им в течении определенного периода. Процентная
ставка банковского вклада - является важнейшим его условием и зафиксирована в депозитном
договоре.
Начисление процентов
Начисление процентов по вкладу как правило происходит со дня, следующего за днем
поступления к банку денежных средств, до дня выдачи денежных средств, если в договоре не
прописано другое.
Примечания
1.↑ англ. - Deposit Interest Rate
Рост процентного вклада. Рост процентного
вклада с регулярными взносами
(продолжение).
Наиболее распространены следующие схемы начисления процентов по банковским вкладам:
 В конце срока - выплата процентов происходит в конце срока вклада.
 С капитализацией - в соответствии с договором происходят промежуточные выплаты
процентов с прибавлением их к сумме вклада. Такими процентами нельзя воспользоваться
до конца срока вклада, однако общий доход по вкладу с капитализацией будет выше. (За
счет начисления сложного процента)
 Регулярные выплаты - проценты выплачиваются регулярно на другой счет или карту. В
данном случае процентами можно сразу воспользоваться. Регулярность выплат
определяется условиями депозитного договора и может варьироваться в широком
диапазоне от недель до года или более.
Как правило вклады с высокими процентами ставками не имеют возможности
капитализации процентов. И полученный доход от такого вклада может оказаться меньше
чем доход с меньшей ставкой, но с капитализацией процентов. Поэтому предварительно
рекомендуется самостоятельно рассчитать начисленные проценты.
Формула простых процентов — применяется когда проценты к телу вклада не
прибавляются.
S = P + Pin = P(1 + in)
где
P — начальная сумма вклада S — приращенная сумма (начальная сумма + проценты)
i — процентная ставка вклада за период, выраженная в долях
n — число периодов начисления
Примеры расчета
Представим, что вкладчик разместил 80 тыс. рублей на срочном вкладе, под 7% годовых на
2 месяца.
S = 80000*(1+ 0,07*2/12*1) = 80933,33 р.
Срочный вклад 100 тыс. рублей, под 11% годовых на 1,5 года. С ежеквартальной выплатой
процентов на карточку. (к телу вклада не присоединяются).
S = 100000*(1 + 0,11*1*1,5) = 116500 р. (т.к. при ежеквартальной выплате проценты не
прибавляются к сумме вклада, то на конечный финансовый итог они не влияют).
вкладчик разместил 80000 рублей на срочном вкладе, под 9% годовых на 1 год. Вклад
пополняемый, и на 91 день произведено пополнение вклада в сумме 20000 рублей.
В этом случае потребуется отдельно рассчитать проценты, как-бы по 2-ум вкладам. Один на
80000 р и 12 месяцев, другой на 20000 рублей и 9 месяцев.
S1 = 80000*(1+ 0,09*12/12*1) = 87200 р.
S2 = 20000*(1+ 0,09*9/12*1) = 21350 р.
S = S1 + S2 = 87200 + 21350 = 108550 р.
Рост процентного вклада. Рост процентного
вклада с регулярными взносами
(продолжение).
Формула сложных процентов — применяется в случаях прибавления начисленных
процентов к сумме вклада
S = (1 + i)nP
Обозначения те же что и в формуле выше.
Для случаев когда проценты начисляются m раз в году формула сложных процентов
принимает вид:
где m — кол-во начислений процентов в году, а k — кол-во лет на которые размещен вклад.
Пример расчета
Вернемся к примеру, когда банк принял срочный
вклад в 100 тыс. рублей, под 11% годовых на 1,5
года. С ежеквартальной выплатой процентов. Но
на этот раз проценты прибавляются к вкладу.
Т.е. вклад с капитализацией.
S = (1 + 0,11/4)4*1,5*100000 = 117676,83 рублей
Числа Фибоначчи.
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,…
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по
имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).
Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи
линейным рекуррентным соотношением:
Fn = Fn + 2 − Fn + 1
задается
Паутинообразная модель рынка.
ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ - модель, изображающая траекторию движения к
состоянию равновесия, когда реакция предложения или спроса запаздывает.
Паутинообразная модель описывает динамический процесс: траекторию корректировки цен
и объема производства при движении от одного состояния равновесия к другому;
используется для описания колебаний цен на рынках сельскохозяйственной продукции, на
биржевом рынке, где предложение реагирует на изменения цен с некоторым запозданием.
Рассмотрим вариант динамической модели рынка одного продукта. Предположим, что
объем спроса зависит от уровня цен текущего периода, а объем предложения - от уровня
цен предшествующего периода:
QiD=QiD(Pt), QiD = QiS(Pt-1)
где t - определенный период (t = 0,1,2,..., Т). Это значит, что производители в период t - 1
определяют объем производства, предполагая, что цены периода t - 1 сохраняются и в
период t (Pt-1 = Pt).
В таком случае график спроса и предложения будет иметь вид паутинообразной модели.
Паутинообразная модель рынка
(продолжение).
Возможны три варианта изменения рыночной цены во времени.
Если наклон линии предложения более крутой, чем наклон линии спроса, то со
временем отклонение от равновесия уменьшается, равновесие восстанавливается
(рис. 1).
Если наклон линии предложения более пологий, чем наклон линии спроса, отклонение
от равновесия увеличивается (рис. 2).
При одинаковом наклоне линий предложения и спроса рынок колеблется вокруг точки
равновесия (рис. 3). Этот вариант рассмотрим несколько подробнее.
Допустим, что начальная цена Ро. На эту цену
ориентируются производители в период t = 1,
предлагая продукцию в объёме Q1, что ниже
равновесного уровня QE. Тогда возникает
дефицит, в результате чего цены повышаются до
P1. В ответ на это производители увеличат
объем предложения до Q2, надеясь, что уровень
цен сохранится и в период t = 2. Избыток
предложения приведет к понижению цены до Ро
и т. д.
рис. 1
Паутинообразная модель рынка
(продолжение).
Все три варианта допускают неизменность функций спроса и предложения во времени.
рис. 2
рис. 3
Следовательно, несмотря на то что линии спроса и предложения имеют
нормальный наклон, запаздывание в реакции предложения на изменение
цен может привести к нестабильности равновесного состояния. Из этого
вытекает, что анализ стабильности не ограничивается только методом
сравнительной статики.
Модель делового цикла (Самуэльсона -Хикса).
Пример 1:
Решение:
Замечание. В зависимости от значений a и V возможны 4 типа динамики. Она может
быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный
характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный
характер с возрастающей амплитудой.
Пример 2:
Решение:
Динамическая модель Кейнса.
Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные
компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), F(t), S(t), I(t) –
соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции.
Все эти величины рассматриваются, как функции времени t. Тогда справедливы следующие
соотношения
где a(t) –коэффициент склонности к потреблению (0< a(t)<1); b(t) – автономное (конечное)
потребление; k(t) – норма акселерации. Все функции, находящиеся в уравнении
положительны.
Поясним смысл уравнения. Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу
– этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего
потребления, некоторой части национального дохода в народном хозяйстве, плюс конечное
потребление – эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер
инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы
акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологий и инфраструктуры
данного государства, на определенный национальный доход.
Динамическая модель Кейнса
(продолжение).
Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t), и E(t) заданы – они являются характеристиками
функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику
национального дохода или Y как функцию времени t.
Подставим выражение для S(t) из второго уравнения и I(t) из третьего уравнение в первое
уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное
линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) :
Т.к. существуют достаточно сложная и простая формы решения этого уравнения, поэтому мы
проанализируем более простой случай, полагая основные параметры a,b,k постоянными
числами. Тогда уравнение (1) упрощается до случая линейного дифференциального
уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:
Динамическая модель Кейнса
(продолжение).
Модель рынка с запаздыванием сбыта.
В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства
продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского
хозяйства. Да и в промышленном производстве предложение формируется на основе
цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута S
сдвинута по времени относительно цены P, т.е. будем полагать , что S(t)=S(P(t-1)), в то
время как функция спроса D одномоментно отвечает цене: D(t)=D(P(t)). Для простоты
рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:
Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного товара :
D(t)=S(t), откуда с учетом (1) имеем:
Поделим обе части этого равенства на b и перейдем, для удобства на шаг вперед по
времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнения первого порядка
относительно цены P с постоянными коэффициентами:
Модель рынка с запаздыванием сбыта
(продолжение).
Модель рынка с запасами.
В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением
S и спросом D. Примем следующие допущения.
1. Спрос D(t) и предложение S(t) представляют собой линейные функции от текущей цены P(t):
2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий
период, причем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величине запаса
с некоторым коэффициентом k (при наличии запаса цена на товар в последующий период
падает):
Модель рынка с запасами (продолжение).
Модель рынка с запасами (продолжение).
Уравнение снабжения (логистики).
Уравнение снабжения (логистики)
(продолжение)
Пример 3:
известно, что рост количества бактерий в сосуде удовлетворяет уравнению логистики, с
постоянным k=0.2. Пусть в начальный момент времени количество бактерий составляло 1% от
максимально возможного значения m. За какое время количество бактерий достигнет 80% от
максимума.
Решение:
Продуктивная модель Леонтьева.
Пусть приведены данные по балансу за некоторый период между 5-ю отраслями
промышленности. Необходимо найти варианты конечного потребления валового выпуска, а
также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить является ли она продуктивной.
Динамическая модель Леонтьева.
Ранее была рассмотрена продуктивная модель межотраслевого баланса
безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый
временной интервал. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного
потребления в период t, определяется не текущим выпуском, а выпуском в последний период
t+1. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией
планирования и перестройки, мобилизации внутренних ресурсов и изменением транспорта
сырья и т.д. С учетом этого система уравнений баланса в предложении о постоянстве доли
внутреннего потребления каждой отраслью, будем иметь следующий вид
Таким образом, при указанном темпе
роста продуктивность конечного
потребления необходимо через 2
временных цикла повысить
компоненты валового выпуска
соответственно на 12, 18, и 6% по
сравнению с их величинами на
начальный момент времени.
Методы решения линейных разностных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Тема 11
Методы решения разностных уравнений
Пример 4:
Найдите общее решение уравнения
Решение:
Вопросы к зачету.
1. Основные понятия и определения курса дифференциальных уравнений. Порядок
уравнения, общее решение, задача Коши, краевая задача.
2. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно
производной.
3. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним.
4. Однородные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним.
5. Линейные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним. Два способа их решения.
6. Уравнения Бернулли.
7. Теорема существования и единственности (Коши) решения начальной задачи.
8. Уравнения в полных дифференциалах.
9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Приведение к системе уравнений.
Теорема существования и единственности.
10. Простейшие нелинейные уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
11. Общая теория линейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Общие свойства,
линейный дифференциальный оператор.
Вопросы к зачету (продолжение).
12. Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка.
13. Неоднородные линейные уравнения п-го порядка. Метод вариации произвольной
постоянной.
14. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной
правой частью (резонансный случай).
15. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной
правой частью (нерезонансный случай).
16. Общая теория линейных систем дифференциальных уравнений.
17. Метод Эйлера решения однородных линейных систем с постоянными коэффициентами.
18. Метод вариации решения неоднородных линейных систем.
19. Линейные разностные уравнения. Общие решения для однородного и неоднородного
случаев.
20. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое
уравнение. Общее решение однородного разностного уравнения с постоянными
коэффициентами.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!