Тригонометрические формулы в ЕГЭ по математике

МБОУ Березовская школа
Тригонометрические формулы в
задании В7 ЕГЭ по математике
Формулы
Тригонометрии
П.Березово,2014
Авторы
Зинченко Владимир
Рыль Ефим
ученики
10«В»класса
содержание
Руководитель Манджиева
Г.В
Цель
• Научиться решать задание
В7 из ЕГЭ по математике.
• Выучить формулы.
• Донести информацию до
слушателей.
Задача
• Собрать необходимый
материал.
• Научиться решать.
• Выучить формулы.
• Сделать доклад.
содержание
Актуальность проекта
Для нас проект актуален тем, что рассматриваемое задание
является частью ЕГЭ.
Проект поможет нам детально разобрать задание В7, что дает
нам шанс успешно справиться с ним на предстоящем
экзамене.
содержание
План
•Изучения теории
•Работа с заданиями из банка эге
•Классификация
•Оформления презентации
•Оформлением дидактического материала
•Вывод
содержание
История
Тригономе́трия (от греч. τρίγωνον (треугольник) и греч.
μέτρον (мера), то есть измерение треугольников) —
раздел математики, в котором изучаются
тригонометрические функции и их использование в
геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как
название книги немецкого математика Бартоломеуса
Питискуса (1561—1613)(немецкий математик, астроном,
теолог-кальвинист. Внёс вклад в развитие тригонометрии,
в том числе предложил сам термин «тригонометрия» в
качестве названия этой науки). А сама наука ещё в
глубокой древности использовалась для расчётов в
астрономии, архитектуре и геодезии (науке, исследующей
размеры и форму Земли).
содержание
Зависимость между синусом, косинусом,
тангенсом и котангенсом одного и того же угла
По теореме Пифагора:
у
sin   cos   1
2
1

cos
sin
х
2
Разделим обе части
2
равенства на sin 
0
1
1  ctg  
sin2 
2
Разделим обе части
2
равенства на cos 
0
1
tg   1 
cos 2 
2
содержание
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
содержание
Формулы приведения
содержание
3

sin t  и 0  t  . Найти cost.
5
2
Пример 1
sin 2 t  cos 2 t  1
2
16
 3
cos t  1  sin t  1    
25
5
2
2
4
4
cos t 
или cos t  
5
5

4
т.к. 0  t  (I четверть) то cost   0,8
2
5
содержание
Синус и косинус суммы и разности аргументов
sin x  y   sin x cos y cos x sin y
sin x  y   sin x cos y cos xsin y
cos x  y   cos xcos y
sin xsin y
cos x  y   cos xcos y sin x sin y
содержание
Синус и косинус суммы и разности аргументов
Пример 1




Решить уравнение : sin  x   cos  x   3
3

6

sin x  y   sin x cos y  cos xsin y
cos x  y   cos xcos y  sin x sin y





 

sin
cos
x

cos
sin
x

cos
cos
x

sin
sin
x

 
 3
3
3
6
6

 

у
3
1
3
1
cos x  sin x 
cos x  sin x  3
2
2
2
2
3 cos x  3
0
cos x  1
2n
х
x  2n , n  Z
Ответ : 2n, n  Z
содержание
Тангенс суммы и разности аргументов
tgx  tgy
tg x  y  
1  tgxtgy
tgx  tgy
tg x  y  
1  tgxtgy
содержание
Формулы приведения

у
2
«Правило»
Определить знак функции
в той четверти, которой
принадлежит аргумент
(угол  считаем острым)

«Горизонтальные» – «спящие» углы
«Вертикальные» – «рабочие» углы
Не изменяем функцию, если аргумент
Название функции меняем на
кофункцию, если аргумент
2
0
х
3
2
    2   


  3



   

2
  2
содержание
Формулы двойного угла
sin 2 x  sin( x  x)  sin x cos x  cos x sin x  2 sin x cos x
sin 2 x  2 sin x cos x
cos 2 x  cos( x  x)  cos x cos x  sin x sin x  cos 2 x  sin 2 x
cos 2 x  cos x  sin x
2
2
tgx  tgx
2tgx
tg 2 x  tg ( x  x) 

1  tgxtgx 1  tg 2 x
2tgx
tg 2 x 
1  tg 2 x
содержание
1. Найдите значение выражения
2 sin 11  cos11
.
sin 22
Решение.
2 sin 11  cos11 sin 22

 1.
sin 22
sin 22
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
2. Найдите значение выражения
Решение.





22 sin 2 9  cos 2 9
.
cos 18

22 sin 2 9  cos 2 9
 22 cos 2 9  sin 2 9
 22cos 2  9



cos18
cos18
cos18
 22cos18

 22.
cos18
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t
содержание
Формулы двойного угла
cos 2 x  cos x  sin x
2
sin 2 x  1  cos 2 x
cos x  1  sin x
2
2
2
cos 2 x  1  2 sin x
2
cos 2 x  2 cos x  1
2
содержание
Формулы двойного угла
1. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.




 20 cos 2t  20 1  2 sin 2 t  20 1  2   0,8 
 201  2  0,64  201  1,28  20   0,28  5,6.
2
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
2. Найдите
2 sin 4t
,
5 cos 2t
если sin 2t = −0,7.
Решение.
2 sin 4t 4 sin 2t  cos 2t 4 sin 2t 4   0,7   2,8




 0,56.
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5
Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t
содержание
Формулы понижения степени
cos 2 x  1  2 sin x
cos 2 x  2 cos x  1
Выразим
Выразим
2
sin2 x
1  cos 2 x
sin x 
2
2
2
cos 2 x
1  cos 2 x
cos x 
2
2
содержание
Преобразование сумм и разность
тригонометрических функций в произведение
x y
x y
cos
sin x  sin y  2 sin
2
2
x y
x y
cos
sin x  sin y  2 sin
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
cos x  cos y 2sin
x y
x y
sin
2
2
содержание
Вывод
• Выучили формулы.
• Научились решать уравнения.
• Изучили литературный материал.
содержание
Использованные ресурсы
• Учебник математики
• http://ege.yandex.ru/mathematics/
содержание