Приведённая форма модели

*
1. Система регрессионных уравнений.
2.Оценка надежности эконометрических
моделей.
3. Примеры построения систем
эконометрических уравнений.
-1-
* При использовании отдельных уравнений регрессии,
например для экономических расчетов, в
большинстве случаев предполагается, что аргументы
(факторы) можно изменять независимо друг от
друга.
* Однако это предположение является очень грубым:
практически изменение одной переменной, как
правило, не может происходить при абсолютной
неизменности других.
* Ее изменение повлечет за собой изменения во всей
системе взаимосвязанных признаков.
Следовательно, отдельно взятое уравнение
множественной регрессии не может
характеризовать истинные влияния отдельных
признаков на вариацию результирующей
переменной.
-1-
* В последние десятилетия в экономических исследованиях
важное место заняла проблема описания структуры связей
между переменными системой так называемых одновременных
уравнений, называемых также структурными уравнениями.
Структурные
уравнения
Система
независимых
уравнений
Система
рекурсивных
уравнений
Система
взаимозависимых
уравнений
Структурная
форма
Приведённая
форма
-1-
* Каждая зависимая переменная y рассматривается как функция
одного и того же набора факторов x :
𝒚𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟏
𝒚𝟐 = 𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟐
…………………………………………….
𝒚𝒎 = 𝒂𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 𝒙𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝒎
Набор факторов
xj в каждом уравнении может варьировать.
Каждое уравнение системы независимых уравнений может
рассматриваться самостоятельно.
Для нахождения его параметров используется метод
наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой
системы является уравнением регрессии.
Так как фактические значения зависимой переменной
отличаются от теоретических на величину случайной ошибки,
то в каждом уравнении присутствует величина случайной
ошибки 𝜀𝑖 .
*
-1-
* Если зависимая переменная y одного уравнения выступает в
виде фактора x в другом уравнении, то исследователь может
строить модель в виде
𝒚𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟏
𝒚𝟐 = 𝒃𝟐𝟏 𝒚𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟐
𝒚𝟑 = 𝒃𝟑𝟏 𝒚𝟏 + 𝒃𝟑𝟐 𝒚𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝒙𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟑
………………………………………………………………………………….
𝒚𝒎 = 𝒃𝒎𝟏 𝒚𝟏 + ⋯ + 𝒃𝒎,𝒎−𝟏 𝒚𝒎−𝟏 + 𝒂𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝒎
* В данной системе зависимая переменная y включает в каждое
последующее уравнение в качестве факторов все зависимые
переменные предшествующих уравнений наряду с набором
собственно факторов x .
* Каждое уравнение этой системы может рассматриваться
самостоятельно, и его параметры определяются методом
наименьших квадратов (МНК).
*
-1-
* Одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят
в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:
𝒚𝟏 = 𝒃𝟏𝟐 𝒚𝟐 + 𝒃𝟏𝟑 𝒚𝟑 + ⋯ + 𝒃𝟏𝒎 𝒚𝒎
+ 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟏
𝒚𝟐 = 𝒃𝟐𝟏 𝒚𝟏 + 𝒃𝟐𝟑 𝒚𝟑 + ⋯ + 𝒃𝟐𝒎 𝒚𝒎
+ 𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟐
𝒚𝟑 = 𝒃𝟑𝟏 𝒚𝟏 + 𝒃𝟑𝟐 𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒃𝟑𝒎 𝒚𝒎
+ 𝒂𝟑𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟑𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟑𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝟑
……………………………………………………………………………………………………
𝒚𝒎 = 𝒃𝒎𝟏 𝒚𝟏 + 𝒃𝒎𝟐 𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒎,𝒎−𝟏 𝒚𝒎−𝟏
+ 𝒂𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 𝒙𝒏 + 𝜺𝒎
* Система взаимозависимых уравнений получила название
системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым
подчеркивается, что в системе одни и те же переменные
одновременно рассматриваются как зависимые в одних
уравнениях и как независимые в других.
*
-1-
* Структурная форма модели позволяет увидеть влияние
изменений любой экзогенной переменной на значения
эндогенной переменной.
* Целесообразно в качестве экзогенных переменных
выбирать такие переменные, которые могут быть
объектом регулирования. Меняя их и управляя ими,
можно заранее иметь целевые значения эндогенных
переменных.
* Использование МНК для оценивания структурных
коэффициентов модели дает, как принято считать в
теории, смещенные и несостоятельные оценки.
Поэтому обычно для определения структурных
коэффициентов модели структурная форма модели
преобразуется в приведенную форму модели.
-1-
* Приведенная форма модели представляет собой систему
линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
𝒚𝟏 = 𝜹𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝜹𝟏𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜹𝟏𝒏 𝒙𝒏 + 𝒖𝟏
𝒚𝟐 = 𝜹𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝜹𝟐𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜹𝟐𝒏 𝒙𝒏 + 𝒖𝟐
………………………………………………..
𝒚𝒎 = 𝜹𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝜹𝒎𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝜹𝒎𝒏 𝒙𝒏 + 𝒖𝒎
где
𝛿𝑖𝑗 – коэффициенты приведенной формы модели,
ui – остаточная величина для приведенной формы.
* По своему виду приведенная форма модели ничем не
отличается от системы независимых уравнений, параметры
которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК,
можно оценить 𝛿𝑖𝑗 , а затем оценить значения эндогенных
переменных через экзогенные.
*
-1-
* Коэффициенты приведенной формы модели
представляют собой нелинейные функции
коэффициентов структурной формы модели.
* Например, для структурной модели вида
𝒚𝟏 = 𝒃𝟏𝟐 𝒚𝟐 + 𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝜺𝟏
𝒚𝟐 = 𝒃𝟐𝟏 𝒚𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟐 + 𝜺𝟐
* приведенная форма модели имеет вид
𝒚𝟏 = 𝜹𝟏𝟏 𝒙𝟏 + 𝜹𝟏𝟐 𝒙𝟐 + 𝒖𝟏
𝒚𝟐 = 𝜹𝟐𝟏 𝒙𝟏 + 𝜹𝟐𝟐 𝒙𝟐 + 𝒖𝟐
или
𝒂𝟏𝟏
𝒂𝟐𝟐 𝒃𝟏𝟐
𝒚𝟏 =
𝒙 +
𝒙
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏 𝟏 𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏 𝟐
𝒂𝟏𝟏 𝒃𝟐𝟏
𝒂𝟐𝟐
𝒚𝟐 =
𝒙𝟏 +
𝒙𝟐
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏
-1-
* Т.о. коэффициенты приведенной формы модели будут
выражаться через коэффициенты структурной формы
следующим образом:
𝜹𝟏𝟏
𝒂𝟏𝟏
=
,
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏
𝜹𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟐 𝒃𝟏𝟐
=
,
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏
𝜹𝟐𝟏
𝒂𝟏𝟏 𝒃𝟐𝟏
=
,
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏
𝜹𝟐𝟐
𝒂𝟐𝟐
=
𝟏 − 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟏
-1-
* Приведенная форма модели хотя и
позволяет получить значения эндогенной
переменной через значения экзогенных
переменных, но аналитически она уступает
структурной форме модели, так как в ней
отсутствуют оценки взаимосвязи между
эндогенными переменными.
*
-1-
* При переходе от приведенной формы модели к
структурной возникает проблема идентификации.
Идентификация – это единственность соответствия
между приведенной и структурной формами модели.
* Структурная модель в полном виде содержит
m× (m + n -1) параметров, а приведенная форма модели в
полном виде содержит m× n параметров.
Т.е. в полном виде структурная модель содержит большее
число параметров, чем приведенная форма модели.
Соответственно m× (m + n -1) параметров структурной
модели не могут быть однозначно определены из m× n
параметров приведенной формы модели.
-1-
Структурные модели
ИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
Все структурные ее
коэффициенты
определяются
однозначно,
единственным
образом по
коэффициентам
приведенной формы
модели, т. е. если
число параметров
структурной модели
равно числу
параметров
приведенной формы
модели.
НЕИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
Число приведенных
коэффициентов
меньше числа
структурных
коэффициентов, и в
результате
структурные
коэффициенты не
могут быть оценены
через коэффициенты
приведенной формы
модели.
СВЕРХИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
Число приведенных
коэффициентов больше
числа структурных
коэффициентов. В этом
случае на основе
коэффициентов
приведенной формы
можно получить два или
более значений одного
структурного
коэффициента. Решение
требует специальных
методов исчисления
параметров.
-1-
Структурные модели
ИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
Модель считается
идентифицируемой,
если каждое
уравнение системы
идентифицируемо.
НЕИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
СВЕРХИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
Если хотя бы одно из
уравнений системы
неидентифицируемо,
то и вся модель
считается
неидентифицируемой.
Сверхидентифицируемая
модель содержит хотя бы
одно
сверхидентифицируемое
уравнение.
*
Структурные модели
ИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
НЕИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
СВЕРХИДЕНТИФИЦИРУЕМЫЕ
D +1 = H
D +1< H
D +1 > H
где
Н – число эндогенных переменных в уравнении;
D - число экзогенных (предопределенных) переменных,
содержатся в системе, но не входят в данное уравнение.
которые
-1-
* Более точно условия идентификации
определяются, если накладывать ограничения на
коэффициенты матриц параметров структурной
модели.
* Уравнение идентифицируемо, если по
отсутствующим в нем переменным (эндогенным
и экзогенным) можно из коэффициентов при них
в других уравнениях системы получить матрицу,
определитель которой не равен нулю, а ранг
матрицы не меньше, чем число эндогенных
переменных в системе без одного.
*
-2-
Оценка коэффициентов
структурной модели
косвенный метод наименьших квадратов
двухшаговый метод наименьших квадратов
трехшаговый метод наименьших квадратов
метод максимального правдоподобия с полной
информацией
метод максимального правдоподобия при
ограниченной информации
*
Оценка надежности эконометрических
моделей.
-2-
Процедура применения КМНК
Применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели
1 этап
2 этап
Структурная модель
преобразовывается
Для каждого
в приведенную
уравнения
форму модели.
приведенной
формы модели
обычным МНК
оцениваются
приведенные
коэффициенты 𝛿𝑖𝑗 .
*
3 этап
Коэффициенты
приведенной
формы модели
трансформируются
в параметры
структурной
модели.
-2-
Процедура применения КМНК
Применяется если система сверхидентифицируема
1 шаг
Структурная модель
преобразовывается в приведенную
форму модели. На основе
приведенной формы модели
определяются теоретические
значения эндогенных переменных,
содержащихся в правой части
уравнения.
*
2 шаг
Применяется обычный МНК к
структурной форме
сверхидентифицируемого
уравнения при определении
структурных коэффициентов
модели по данным теоретических
(расчетных) значений эндогенных
переменных.
-2-
* Косвенный и двухшаговый методы
наименьших квадратов подробно описаны в
литературе и рассматриваются как
традиционные методы оценки
коэффициентов структурной модели. Эти
методы достаточно легко реализуемы.
*
Примеры построения систем
эконометрических уравнений.
Необходимо составить структурную модель
определения величины спроса yd и предложения ys
нормального ценного блага, а также его рыночную
цену p в зависимости от дохода х на душу населения,
соблюдая следующие известные утверждения
экономической теории:
* спрос объясняется ценой блага и доходом на душу
населения, причем уровень спроса падает с ростом
цены и возрастает с увеличением дохода на душу
населения;
* предложение объясняется ценой блага и возрастает с
ростом цены;
* рыночная цена устанавливается при балансе спроса и
предложения.
-3-
𝑦 𝑑 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑝 + 𝑎2 𝑥
𝑦 𝑠 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑝
𝑦𝑑 = 𝑦 𝑠
𝑎1 < 0, 𝑎2 > 0, 𝑏0 > 0
- структурная форма
где
yd, ys, p - эндогенные переменные;
X - экзогенная переменная.
Данная модель является формой упрощенной модели
спроса-предложения нормального ценного блага на
конкурентном рынке.
*
Построение структурной формы
модели
-3-
* Для того чтобы получить приведённую форму модели
необходимо представить её эндогенные переменные в виде
явных функций её экзогенной переменной х.
𝒚𝒅 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 𝒙
𝒚𝒔 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 𝒙
𝒑 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙
* Связь коэффициентов 𝛼0 , 𝛼1 , 𝛽0 , 𝛽1 с коэффициентами
𝑎0 , 𝑎1 , 𝑏0 , 𝑏1 задаётся системой уравнений:
𝒂𝟎 𝒃𝟏 − 𝒃𝟎 𝒂𝟏
∝𝟎 =
,
𝒃𝟏 − 𝒂𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟏
∝𝟏 =
,
𝒃𝟏 − 𝒂𝟏
𝒂𝟎 − 𝒃𝟎
𝜷𝟎 =
,
𝒃𝟏 − 𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝜷𝟏 =
𝒃𝟏 − 𝒂𝟏
*
Приведённая форма модели
-3-
* Можно предположить, что величина спроса
находится также в зависимости от фактора
сезонности, который является качественным.
Включение в эконометрическую модель
качественных факторов осуществляется при
помощи включения в модель фиктивных
экзогенных переменных:
* 𝑑1 =
* 𝑑2 =
* 𝑑3 =
1 − для 𝐼 кв. , 0 − для других кварталов
1 − для 𝐼𝐼 кв. , 0 − для других кварталов
1 − для 𝐼𝐼𝐼 кв. , 0 − для других кварталов
*
Модели с фиктивными переменными
* Модель спроса примет вид:
𝒚𝒅 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒑 + 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒅𝟏 + 𝒃𝟐 𝒅𝟐 + 𝒃𝟑 𝒅𝟑
𝒂𝟏 < 𝟎, 𝒂𝟐 > 𝟎
* Структурная формула данной модели совпадает с
приведённой формой, т.к. эконометрическая
модель имеет вид изолированного уравнения.
* Эндогенная переменная объясняется пятью
экзогенными переменными, три из которых
являются фиктивными.
-3-
* Наличие фиктивных переменных приводит к
изменчивости модели.
Так, для 𝐼 квартала при 𝑑1 = 1 модель имеет вид:
𝒚𝒅 = (𝒂𝟎 + 𝒃𝟏 ) + 𝒂𝟏 𝒑 + 𝒂𝟐 𝒙
𝒂𝟏 < 𝟎, 𝒂𝟐 > 𝟎
а для IV квартала, когда 𝑑1 = 𝑑2 = 𝑑3 = 0.
𝒚𝒅 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒑 + 𝒂𝟐 𝒙
𝒂𝟏 < 𝟎, 𝒂𝟐 > 𝟎
* Т.о. модели с бинарными фиктивными переменными
называются моделями с переменной структурой.
-3-
* Рыночный спрос предъявляется в конкретном месте по определённой
𝑑
цене и в данный период времени. Следовательно, переменная 𝑦
при прочих равных условиях зависит также от момента времени t.
Такая зависимость обозначается 𝑦𝑡𝑑 .
* Другие переменные модели, например, располагаемый душевой
доход потребителя, также зависят от текущего момента времени - 𝑥𝑡.
* Влияние фактора времени на текущие значения спроса, предложения
и цены товара на конкурентном рынке закреплено в следующих
утверждениях:
текущий уровень спроса объясняется текущей ценой блага и
текущим располагаемым доходом на душу населения, причем
уровень спроса падает с ростом текущей цены и возрастает с
увеличением текущего дохода на душу населения;
текущее предложение объясняется ценой блага в предшествующем
периоде и возрастает с ростом цены;
текущее значение рыночной цены устанавливается при балансе
текущего спроса и текущего предложения.
*
-3-
* В результате трансляции данных утверждений на
математический язык с привлечением линейных функций
получается спецификация «паутинной» модели спроса и
предложения товара на конкурентном рынке:
𝑦𝑡 𝑑 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑝𝑡 + 𝑎2 𝑥𝑡
𝑦𝑡 𝑠 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑝𝑡−1
𝑦𝑡 𝑑 = 𝑦𝑡 𝑠
𝑎1 < 0, 𝑎2 > 0, 𝑏0 > 0
* Данная модель является динамической и
предназначается для прогноза значений текущих
эндогенных переменных yd, ys, p при помощи известного
в t периоде лагового значения цены товара 𝑝𝑡−1 и
заданного экзогенно текущего значения дохода на душу
населения хt. Эти переменные являются
предопределенными переменными.
*
-3-
* Компактная (матричная) запись структурной формы динамической
модели одновременных линейных уравнений выглядит следующим
образом:
𝑨𝒚𝒕 + 𝑩𝒙𝒕 = 𝟎,
где
𝑦𝑡 - набор текущих эндогенных переменных модели;
𝑥𝑡 - расширенный единицей набор предопределённых переменных.
𝒚𝒕 = 𝒚𝒅𝒕 , 𝒚𝒔𝒕 , 𝒑𝒕
𝑻
𝑻
𝒙𝒕 = 𝟏, 𝒑𝒕−𝟏, 𝒙𝒕
А и В – матрицы коэффициентов структурной формы.
𝟏 𝟎 −𝒂𝟏
𝑨= 𝟎 𝟏
𝟎
𝟏 −𝟏
𝟎
−𝒂𝟎
𝟎
−𝒂𝟐
𝑩 = −𝒃𝟎 −𝒃𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
*
-3-
* Для преобразования динамической модели к приведённой
форме каждая эндогенная переменная представляется в
виде явной функции предопределённых переменных:
𝒚𝒅𝒕 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 𝒑𝒕−𝟏 + 𝜶𝟐 𝒙𝒕
𝒚𝒔𝒕 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏 𝒑𝒕−𝟏 + 𝜶𝟐 𝒙𝒕
𝒑𝒕 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒑𝒕−𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕
где
𝜶𝟎 = 𝒃𝟎 , 𝜶𝟏 = 𝒃𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝟎
𝒃𝟎 − 𝒂𝟎
𝒃𝟏
𝒂𝟐
𝜷𝟎 =
, 𝜷𝟏 =
,𝜷 = −
𝒂𝟏
𝒂𝟏 𝟐
𝒂𝟏
Компактная запись модели:
𝒚𝒕 = 𝑴𝒙𝒕
где 𝑀 = −𝐴−1 𝐵
𝐴−1 − обратная А матрица.
𝜶𝟎 𝜶𝟏 𝜶𝟐
𝑴 = 𝜶𝟎 𝜶𝟏 𝜶𝟐
𝜷𝟎 𝜷 𝟏 𝜷𝟐
*
*