Динамический мультипликатор денежной массы - БФГ

Царьков В.А.
Динамический банковский мультипликатор
Аннотация
В статье рассмотрена динамическая модель формирования денежной массы.
Получены аналитические уравнения динамики изменения денежной массы и ее
зависимости от объема денежной депозитной базы и ставки резервирования депозитов.
Считается, что денежная масса равна денежной наличности, внесенной на
депозитные счета банковской системы, умноженной на банковский мультипликатор,
который равен обратной величине ставки резервирования депозитов α на счетах
клиентов в банковской системе [1]. При изменении величины денежной наличности,
внесенной на депозитные счета банковской системы D б , изменяется и величина
денежной массы D м . Зададимся вопросом: «С какой скоростью происходит такое
изменение во времени, и какова взаимосвязь денежной массы
D м с денежной
наличностью D б во времени?».
В отличие от денежной наличности, остающуюся на руках населения, назовем
денежную наличность, вносимую на депозитные счета банков депозитной базой. Для
решения задачи будем исходить из предпосылки, что денежная депозитная база D б , на
счетах банковой системы, генерируют поток безналичных (кредитных) средств уд ,
увеличивающих
денежную
массу.
Величина
денежного
потока
растет
обратно
пропорционально времени оборота τ об . Как известно, часть, равная доле α денежной
массы D м , поступает в фонд резервирования Dф . Таким образом, можно считать, что
часть денежной массы Dф изымается из депозитной базы. В результате на счета банков в
обращение поступает только часть денежной депозитной базы, равная Dт  Dб  Dф .
Для конструирования динамической модели формирования денежной массы
воспользуемся операторами изображений временных функций, полученных на основе
преобразований Лапласа [2]. Модель представим в виде блок схемы, состоящей из
оператора алгебраического суммирования, операторных звеньев и скалярных векторов, в
1
качестве которых выступают денежные ресурсы и их потоки. Блок схема модели
представлена на рис.1. Она отражает принятые нами предпосылки и взаимосвязи между
денежными ресурсами и их потоками.
1/s
Dб
Dт
1/об
Dф
уд
1/s
Dм

Рис.1 Динамическая модель формирования денежной массы
На блок схеме рис.1 входным независимым (экзогенным) вектором выступает
денежная депозитная база D б . Из денежной базы, поступающей в банковскую систему
вычитается объем фонда обязательных резервов Dф . Разница Dт  Dб  Dф с выхода
оператора суммирования поступает на вход оператора, преобразующего вектор объема
финансовых средств D м с размерностью [руб] в вектор потока уд финансовых средств,
измеряемых в единицах [руб/год]. Вектор уд является входом оператора интегрирования
с коэффициентом передачи в пространстве изображений по Лапласу W  1/ s . Оператор
интегрирования преобразует поток финансовых средств уд в накапливаемый за период
объем финансовых средств денежной массы D м . Часть денежной массы перечисляется в
2
фонд обязательных резервов. Иначе говоря, часть денежной массы, равная αD м , с
выхода банковской системы возвращается на вход, уменьшая величину денежной
депозитной базы, участвующей в обороте.
С позиции теории кибернетики оборот денежной депозитной базы представляет
систему с обратной отрицательной связью. Ее коэффициент передачи К ( s)  D м / Dб в
пространстве изображений по Лапласу вычисляется по известной формуле:
К (s) 
D м (s)

Dб ( s)
1
τ об ( s 
α
τ об
(1)
)
Рассмотрим случай, когда депозитная база поступает скачком с амплитудой (объемом)
Dб . Для этого случая справедлива формула:
Dб ( s ) 
Dб
s
(2)
Для случая поступления объема денежных средств, равного Dб , скачком формула (1)
примет следующий вид:
К (s) 
D м ( s)

Dб
1
(3)

s об ( s 
)
 об
В пространстве временных функции уравнению изображения (3) будет соответствовать
уравнение:
t

D м (t ) 1
К (t ) 
 (1  e  об )
Dб

(4)
то есть денежная масса может быть вычислена из формулы:
D м (t ) 
1

(1  e
Как видим,

t
 об
К (t )
) Dб
(5)
представляет собой динамический мультипликатор
денежной
депозитной базы. Из уравнения (4) следует при t  0 , К (0)  0 , а при t   , К () 
Практически можно считать, что К 
1

1
.
α
, при выполнении условия αt  τ об , то
есть, при αt в несколько раз превышающем величину времени оборота депозитной базы.
Таким образом, известная формула банковского мультипликатора денежной базы
выводится как частный случай динамического банковского мультипликатора.
3
Величина фонда обязательных резервов связана с величиной депозитной базы
соотношением:
Dф (t )  (1  e
t
 об

) Dб
(6)
Из уравнения (6) следует, что при t  0 , Dф  0 , а при t   ; Dф  Dб . Иначе
говоря, в устоявшемся режиме объем фонда обязательных резервов практически будет
равен объему денежной депозитной базы. Особое внимание следует обратить при этом на
то, что это равенство выполняется независимо от величины ставки резервирования. Это
означает, что независимо от величины ставки резервирования в устоявшемся режиме
общая сумма денежной наличности, выпущенной Центральным Банком России (ЦБР)
равна сумме объема наличных денег, находящихся на руках у населения и объема фонда
обязательных резервов, перечисленных на счет ЦБР.
Заключение
Ранее автором исследовались динамические модели различных экономических
систем:
например,
предприятий
[3],
банков[4].
Все
они
содержали
контуры
положительной обратной связи, которая служила источником саморазвития системы. В
данной статье автором впервые найдена структура в экономике, которая может быть
исследована с позиции динамических систем с обратной отрицательной связью. В этом
автор видит существенное расширение сферы приложения динамических операторных
моделей в экономике.
Литература
1. Т.Ю. Матвеева, И. Н. Никулина, «Основы экономической теории», учебное пособие для вузов, 2ое изд., испр., М.изд-во Дрофа, 2005г.,442стр.- стр., ISBN 5-7107-9838-Х
2. Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров», перевод с
английского, изд-во «Наука», 720стр., Москва, 1968г.
3. Царьков В.А. «Моделирование экономической динамики предприятия», журнал «Аудит и финансовый
анализ» №4, 2004г. рег. №77-11602 Минпечати, стр.186-190.
4. Царьков В.А. «Динамические модели экономических систем», сборник научных трудов, приложение к
журналу «Аудит и финансовый анализ», №2, 2005г. рег. №77-11602 Минпечати, стр. 76-118.
4
Приложение1
В редакцию журнала
«Финансы и кредит»
Уважаемая редакция!
Направляю статью «Динамический банковский мультипликатор» для рассмотрения
на предмет публикации в журнале «Финансы и кредит»
С уважением В. Царьков
Приложение 2
Сведения об авторе:
Царьков Вячеслав Алексеевич,
к.т.н.,
Нач. Аналитического управления
КБ «БФГ-Кедит»,
Сл. Тел. 8-499-249-84-14,
моб. Тел. 8-916-919-28-71
Тел. 249-84-14
5