Урок по теме «Осевая и центральная симметрия

Осевая и центральная
симметрия
8 класс
Алабугина Ирина Александровна
Учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная
школа №5 г.Гурьевска»
Кемеровская область
1 из 21
“Симметрия является той идеей,
посредством которой человек на
протяжении веков
пытался постичь и создать
порядок, красоту и совершенство”.
Немецкий математик
Г. Вейль
2 из 21
Содержание
Определение осевой и центральной
симметрии
Многообразие симметрий
«Симметричные фигуры»
Палиндромы
Проверка знаний по теме
Значение симметрии в природе
3 из 21
Симметрия (означает «соразмерность» ) — свойство
геометрических объектов совмещаться с собой при определенных
преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во
внутреннем строении тела или фигуры.
Симметрия относительно точки — это центральная
симметрия, а симметрия относительно прямой — это
осевая симметрия.
Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от
точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие
точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии,
геометрические фигуры).
Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по
перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на
одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки.
Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же
геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.
4 из 21
Если соединить прямой
симметричные точки (точки
геометрической фигуры) через
точку симметрии, то
симметричные точки будут
лежать на концах прямой, а
точка симметрии будет ее
серединой. Если закрепить
точку симметрии и вращать
прямую, то симметричные
точки опишут кривые, каждая
точка которых тоже будет
симметрична точке другой
кривой линии.
Ось симметрии служит
перпендикуляром к серединам
горизонтальных ограничивающих лист
прямых. Симметричные точки (R и F,
C и D) расположены на одинаковом
расстоянии от осевой прямой —
перпендикуляра к прямым,
соединяющим эти точки.
Следовательно, все точки
перпендикуляра (оси симметрии),
проведенного через середину отрезка,
равноудалены от его концов; или любая
точка перпендикуляра (оси симметрии)
к середине отрезка равноудалена от
концов этого отрезка.
5 из 21
Симметрия в архитектуре
Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Особенно блистательно
использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем
древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они
руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные
формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как
устойчивости и равновесия. Храмы, посвященные богам, и должны быть такими: боги
вечны, их не волнуют людские заботы. Наиболее ясны и уравновешенны здания с
симметричной композицией. Древним храмам, башням средневековых замков,
современным зданиям симметрия придает гармоничность, законченность.
Сфинкс в Гизе
Мечеть Асуан в Египте
6 из 21
Симметрия в искусстве
Симметрия используется в таких видах искусства,
как литература, русский язык, музыка, балет,
ювелирное искусство.
Если присмотреться к печатным буквам М, П, Т,
Ш, В, Е, З, К, С, Э, Ж, Н, О, Ф, Х, можно увидеть,
что они симметричны. Причем у первых четырех
ось симметрии проходит вертикально, а у
следующих шести – горизонтально, а буквы Ж, Н,
О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.
Ф
7 из 21
Орнамент
Орнамент (от лат.ornamentum – украшение) – узор, состоящий из
повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Он может быть
ленточным (его называют бордюром), сетчатым и розетчатым.
Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется
розеткой. Сетчатый орнамент заполняет всю плоскую поверхность
сплошным узором. Бордюр получается при параллельном переносе вдоль
прямой.
8 из 21
Зеркальная симметрия
Симметрию относительно плоскости в некоторых источниках
называют зеркальной. Примерами фигур- зеркальных отражений
одна другой – могут служить правая и левая руки человека,
правый и левый винты, части архитектурных форм.
Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству,
красоте. Поэтому он тянется к предметам, у которых больше
симметрий. Почему симметрия приятна для глаз? Видимо
потому, что симметрия господствует в природе. С рождения
человек привыкает к билатерально симметричным родным
ему людям, насекомым, птицам, рыбам, животным.
9 из 21
Небесная симметрия
•
•
•
Каждую зиму на землю падают мириады снежных кристаллов. Их холодное
совершенство и абсолютная симметрия поражает. Даже взрослые во время
снегопада восторженно, как в детстве, поднимают лица к небу, ловят
крупные снежинки и заворожено рассматривают приземлившиеся на ладонь
кристаллы.. Среди снежинок встречаются «пластинки»,»пирамиды»,
«столбики», «иглы», «стелы» и «пули», простые или сложные «звездочки» с
сильно разветвленными лучами – их еще называют дендриты.
Гляциологи – ученые, изучающие формы , состав и строение льда,
утверждают, что каждый снежный кристалл уникален. Однако все
снежинки имеют и общую черту – они обладают гексагональной симметрией.
Поэтому у «звездочек» всегда вырастают три, шесть или двенадцать лучей.
Самая редкая двенадцатиконечная «звездочка» рождается в грозовых облаках.
Первые систематические исследования снежных кристаллов предпринял
в 1930-х годах японский физик Укихиро Накайя. Он выделил 41 тип снежинок
и составил первую классификацию. Кроме того, ученый вырастил первую
«искусственную» снежинку и выяснил, что величина и форма образующихся
кристаллов льда зависит от температуры воздуха и влажности.
10 из 21
Внутренняя симметрия Вселенной
•
•
Из чего сделана Вселенная? Аристотель, а за ним и другие мудрецы
классической древности, на этот вопрос отвечали так: все в мире
состоит из четырех стихий - огня, воды, воздуха и земли. В космологии
наших дней тоже есть ровно четыре стихии, или, как их сейчас
называют, космические энергии, из которых построено все на свете.
Одна из новых стихий космологии - космический вакуум. Он вносит
наибольший вклад в энергию современной Вселенной, сколь неожиданно
это ни звучит. Дело в том, что вакуум в физике - не пустота, а особая
среда, в которую погружены все тела природы. Космический вакуум
обладает определенной энергией, и на нее действительно приходится
приблизительно 70% полной энергии мира. Три другие энергии Вселенной
- темное вещество, которое вносит 25% (округленно), «обычное»
вещество, которое дает 4%, и излучение, вклад которого весьма мал 0.01%.
Эти процентные доли относятся к современному состоянию мира; в
ходе эволюции Вселенной они изменялись из-за общего космологического
расширения. Такой переменный рецепт космической смеси кажется
слишком сложным, случайным, а то и странным или даже абсурдным.
Но это только на первый взгляд. На самом деле это симметрия особого
рода. Симметрии негеометрического характера называют внутренними
симметриями. Простой пример внутренней симметрии давно известен в
физике элементарных частиц: она объединяет протон и нейтрон,
несмотря на их очевидные различия, в единое целое - дублет нуклонов.
Внутренняя симметрия в космологии объединяет четыре космические
энергии и указывает на существование в природе не известных ранее
глубинных связей.
11 из 21
Палиндромы
Симметрию можно увидеть и в целых словах, таких, как
«казак», «шалаш» - они читаются одинаково как слева
направо, так и справа налево. А вот целые фразы с таким
свойством (если не учитывать пробелы между словами):
«Искать такси»,
«Аргентина манит негра»,
«Ценит негра аргентинец»,
«Леша на полке клопа нашел»,
«А в Енисее - синева»,
«Город до́ро́г»,
«Don’t nod (Не кивай)».
Такие фразы и слова называются палиндромами.
12 из 21
Рисунки, выполненные
обучающимися
13 из 21
14 из 21
15 из 21
Проверим ваши знания с помощью следующего
открытого теста. Вам необходимо будет вставлять
пропущенные слова.
1. Если при сгибании плоскости чертежа по прямой, две фигуры совместятся, то такие фигуры
называются …………………….. относительно прямой.
2. Если фигура некоторой прямой делится на две симметричные части, то ее называют
симметричной относительно этой прямой. Прямая, относительно которой симметричны части
фигуры, называются ………… симметрии.
3. Луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам, называется ……………... угла.
4. Прямоугольник имеет …. оси симметрии.
5. Квадрат имеет …. оси симметрии.
6. Окружность имеет ……………………….. осей симметрии.
7. Фигура называется ……………………………….. относительно точки О, если для каждой точки
фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
8. ………………… - центрально-симметричная фигура.
9. ……………… - центрально-симметричная фигура.
10. …………………. - центрально-симметричная фигура.
11. На координатной плоскости координаты точек, симметричных относительно точки О –
начало координат, являются ………………………… .
16 из 21
1. Если при сгибании плоскости чертежа по прямой, две фигуры совместятся, то такие фигуры
симметричными относительно прямой.
называются ……………………..
2. Если фигура некоторой прямой делится на две симметричные части, то ее называют
симметричной относительно этой прямой. Прямая, относительно которой симметричны части
осью
фигуры, называются …………
симметрии.
биссектрисой угла.
3. Луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам, называется ………………...
2 оси симметрии.
4. Прямоугольник имеет ….
4 оси симметрии.
5. Квадрат имеет ….
бесконечное множество
6. Окружность имеет ………………………………………...
осей симметрии.
центрально-симметричнойотносительно точки О, если для каждой точки
7. Фигура называется ………………………………..
фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Окружность
8. ………………… - центрально-симметричная фигура.
Отрезок
9. ……………… - центрально-симметричная фигура.
Прямоугольник
10. …………………. - центрально-симметричная фигура.
11. На координатной плоскости координаты точек, симметричных относительно точки О –
противоположными числами
начало координат, являются ……………………………………… .
17 из 21
Подведем итог
•
•
•
•
11 баллов – «5»
10-9 баллов - «4»
8-6 баллов – «3»
5-0 баллов – «2»
18 из 21
Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и
одной из наиболее общих закономерностей мироздания:
неживой, живой природы и общества. С симметрией мы
встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю
многовековую историю человеческого творчества. Оно
встречается уже у истоков человеческого знания; его широко
используют все без исключения направления современной
науки.
Симметрия присутствует везде: в регулярности смены дня и
ночи, времён года, в ритмичном построении стихотворения,
практически там, где присутствует какая-то
упорядоченность и регулярность.
Существует множество видов симметрии как в
растительном, так и в животном мире, но при всем
многообразии живых организмов, принцип симметрии
действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает
гармоничность нашего мира.
19 из 21
Список использованной
литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Атанасян Л. С. и др. Геометрия: Дополнительные главы к
школьному учебнику 9 класса: Учебное пособие для учащихся
школ и классов с углубленным изучением математики.- М.:
Просвещение, 1997.
Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики: Пособие для
учителей.- М.: Просвещение, 1981.
Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир: Пособие
для учащихся.- М.: Просвещение, 1982.
Эйдельс Л. М. Занимательные проекции. От пещерного
рисунка до кинопанорамы: Кн. для внеклассного чтения
учащихся 8-10 классов.- М.: Просвещение, 1982.
Вейль Г. Симметрия. М., 1972.
Чернин А.Д. // astro-ph//053358 (2005).
20 из 21
21 из 21