симметрия на математике, физике, химии
advertisement
« симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство» Г. Вейль – немецкий математик. Понятие симметрии Симметрия (др.-гр. συμμετρία — симметрия) — сохранение свойств расположения элементов фигуры относительно центра или оси симметрии в неизменном состоянии при каких-либо преобразованиях. Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметрией. Типы симметрий, встречающиеся в математике и в естественных науках • двусторонняя симметрия — симметричность относительно зеркального отражения. • симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. • аксиальная симметрия (радиальная симметрия, лучевая симметрия) — симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси. • сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. • вращательная симметрия — обобщение предыдущих двух симметрий. • трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние. Симметрия в математике 1) симметрия (в узком смысле), зеркальное отражение относительно плоскости. В пространстве - преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M" такую, что отрезок MM" перпендикулярен плоскости a (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а) называется плоскостью (осью). Симметрия в математике 2) Симметрия (в широком смысле), - свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность её при действии движений и отражений. фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. 3) Симметрия (в общем смысле) инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований осевая зеркальноповоротная симметрия переноса центральная Простейшие виды симметрии Осевая симметрия. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. А а А1 Фигуры, содержащие ось симметрии. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Такая фигура обладает осевой симметрией. Фигуры, имеющие две оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют две оси симметрии. Фигуры, имеющие более двух осей симметрии. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии, а квадрат – четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много – любая прямая проходящая через её центр является осью симметрии. Центральная симметрия. Две точки А и А1 называются симметричными относительно О, если О середина отрезка АА1. А1 О А Фигура, симметричная, относительно точки. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии. Такая фигура обладает центральной симметрией. А В О Любая точка прямой является центром симметрии. Фигуры, обладающие центральной симметрией. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Зеркально-поворотная симметрия Если во внутрь квадрата вписать с поворотом другой квадрат, то это будет пример зеркальноповоротной симметрии. Переносная симметрия Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, расстояние а элементарным переносом или периодом. Правильные многогранники Симметрии геометрических тел большое значение придавали греческие мыслители эпохи Пифагора. Они считали, что для того, чтобы тело было «совершенно симметричным», оно должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. И Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только 5 таких тел. Правильные многогранники Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правильным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр (наиболее «катучее» тело). Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. У физики своя форма приложения общего научного метода, свои принципы познания. Они позволяют увидеть странный мир симметрий, начинающийся с простейшей геометрической правильности и простирающийся до свойств элементарных частиц. Принципы симметрии лежат в основе самых сложных, самых современных физических теорий, более того – в основе законов природы. Главное направление современной физики – поиск симметрий и единства законов природы. Физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований 1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства). 2) Поворот системы как целого в пространстве означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства). 3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем. Физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований 4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта . 5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом. 6) Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий. Изотропия Изотропи́я, изотро́пность (из др.-греч. ί̓σος «равный, одинаковый, подобный» + τρόπος «оборот, поворот; характер») — одинаковость физических свойств во всех направлениях Снимок с большим увеличением хорошо отшлифованной поверхности поликристаллического алюминия Поликристаллические и аморфные тела изотропны, т.е. обнаруживают одинаковые свойства по всем направлениям. Изотропия Кристаллы, из которых состоит поликристалли-ческое тело, анизотропны, но вследствие их хаотичной ориентации, ни одно из направлений не отличается от других. Снимок поверхности золота, сделанный электронным микроскопом Зеркальная симметрия. Если мы закрутим волчок налево, он будет кружиться и двигаться так же, как закрученный направо, только фигуры движения правого волчка будут зеркальным отражением фигур левого. Это требование соблюдается для зеркально ассиметричных молекул: если они образуются в равных условиях, число левых молекул равно числу правых. Кристаллография Основоположником математической теории строения кристаллов является выдающийся российский математик и кристаллограф Евграф Кристаллическая Степанович Федоров (1853 – 1919). Математика, решетка поваренной химия, геология, минералогия, петрография, соли горное дело – в каждую из этих областей он внес немалый труд. В 1890 году он строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллических структурах. «Царство кристаллов» является незыблемым памятником и конечной вершиной классической федоровской кристаллографии. ТВЕРДЫЕ ТЕЛА КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ МОНОКРИСТАЛЛЫ СТРОГИЙ, («ДАЛЬНИЙ») ПОРЯДОК АЛМАЗ, ЛЕД, КВАРЦ , ГИПС, СЛЮДА , ГРАФИТ МЕДНЫЙ КУПОРОС АМОРФНЫЕ ПОЛИКРИСТАЛЛЫ «ДАЛЬНИЙ» ПОРЯДОК В ПРЕДЕЛАХ НЕБОЛЬШОЙ ОБЛАСТИ МЕТАЛЛЫ, СПЛАВЫ БЛИЖНИЙ ПОРЯДОК СТЕКЛО, СМОЛА, ВОСК САХАРНЫЙ ЛЕДЕНЕЦ КРИСТАЛЛЫ Кристаллы – твердые тела, обладающие периодической структурой и имеющие правильную геометрическую форму Кристаллическая решетка алмаза Кристаллическая решетка NaCl Кристаллическая решетка графита Кристаллическая решетка – упорядоченное расположение частиц, характеризующееся пространственной повторяемостью Кристаллическая решетка представляет пространственную «сетку», узлы которой совпадают с положением атомов. В основе кристаллической решетки — элементарная ячейка — фигура наименьшего размера, последовательным переносом которой можно построить весь кристалл. Для характеристики элементарной ячейки задают размеры ее ребер а, в, с, и значения углов между ними α, β, γ. Постоянная (период) кристалличес-кой решетки длина одного из ребер. Параметры ячейки - совокупность шести величин. Порядок Ближний Дальний Упорядоченность в расположении частиц вещества (атомов, молекул, ионов), сохраняющаяся только на расстояниях, сравнимых с межатомными Упорядоченность, повторяющаяся на очень больших расстояниях (на многие тысячи межатомных расстояний) Жидкости, аморфные тела, кристаллы Кристаллы Получение кристаллов Кристаллизация — образование кристаллов из паров, растворов, расплавов, из веществ в твердом состоянии, а также при химических реакциях. Чем меньше скорость роста кристаллов, тем совершеннее их форма. многогранные кристаллы разнообразной структуры пластинчатые Выращивают разнообразные кристаллы игольчатые стержни кристаллы разнообразной формы пластинки трубы Зарядово-зеркальная симметрия Для всех явлений природы, кроме слабых взаимодействий, существует еще зарядовая симметрия: законы природы не изменяются, если все электрические заряды заменить на обратные. Были обнаружены античастицы – позитрон, антипротон, антинейтрон и т.д. Из них можно составить ядро антиэлемента. Если к такому ядру, заряженному отрицательно, прибавить позитроны, получится антиатом, из антиатомов – антивещество, с теми же свойствами, что и обычное вещество. Симметрия физических явлений. Когда в 30-х годах изучался радиоактивный распад, оказалось, что энергия вылетающих при распаде электронов меньше разности энергий ядер до и после распада. Физики предположили, что вместе с электронами вылетает нейтральная частица – нейтрино, унося излишек энергии. Существование нейтрино было затем доказано на опыте по его непосредственному действию на вещество. Энергия сохраняется с той же точностью, с какой соблюдается однородность времени. Симметрия физических явлений. И так, каждой симметрии соответствует свой закон сохранения. И наоборот, когда какая-либо величина остается неизменной, значит существует симметрия, обеспечивающая сохранение этой величины. Неудивительно, что законы сохранения энергии, импульса, углового момента соблюдаются во всех явлениях природы, они есть следствие такого свойства нашего мира, как симметрия пространства и времени. Симметрия электрического и магнитного поля В 1894 г. на свет появилась последняя работа Пьера Кюри, посвящённая симметрии физических явлений. Статья называлась «О симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного поля». Именно в этой работе и были сформулированы наиболее глубокие идеи учёного, касающиеся универсальной роли симметрии в природе. Во взаимоперпендикулярных плоскостях симметрично и распространение электромагнитных волн. Симметрия магнитного поля. «Взаимосвязь электрического и магнитного полей». Симметрия в химии Симметрия в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами. Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. Симметрия в химии Так, молекула аммиака NH3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана CH4 - симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия). Симметрия в химии Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, может либо проявляться в молекулярном спектре, либо быть запрещенным. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Симметрия в химии В 1965 P. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химических реакциях, подтвержденный впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органической химии. Этот принцип (правило Вудворда - Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция. Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д. Украшения из кристаллов
