§ 1. Декартовы координаты на прямой Направленные отрезки на оси.

§ 1. Декартовы координаты на прямой
1. Направленные отрезки на оси. Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью. Отрезок на оси
называется направленным, если указано, какая из его граничных
точек является началом и какая — концом. Будем обозначать
направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В
символом AB . Мы будем рассматривать также и так называемые
нулевые направленные отрезки, у которых начало и конец совпадают.
С каждым направленным отрезком сопоставляется его числовая характеристика — так называемая величина направленного
отрезка. Величиной АВ направленного отрезка AB называется
число, равное длине отрезка AB , взятой со знаком плюс, если
направление AB совпадает с направлением оси, и со знаком
минус, если направление AB противоположно направлению оси.
Величины всех нулевых направленных отрезков считаются равными нулю.
2. Линейные операции над направленными отрезками.
Основное тождество. Предварительно определим равенство
направленных отрезков. Направленные отрезки мы будем перемещать вдоль оси, на которой они лежат, сохраняя при этом их
длину и направление.
Два ненулевых направленных отрезка называются равными,
если при совмещении начал этих отрезков совпадают и их концы. Любые два нулевых направленных отрезка считаются равными.
Очевидно, необходимым и достаточным условием равенства
двух направленных отрезков на данной оси является равенство
величин этих отрезков.
Линейными операциями над направленными отрезками будем
называть операции сложения таких отрезков и умножения
направленного отрезка на вещественное число.
Перейдем к определению этих операций.
___
Для определения суммы направленных отрезков AB и CD
___
совместим начало С отрезка CD с концом В отрезка AB . Полу1
___
ченный при этом направленный отрезок AD называется суммой
___
направленных отрезков AB и CD и обозначается символом
___
___
AB CD .
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 1.1. Величина суммы направленных отрезков равна
сумме величин слагаемых отрезков.
Следствие. При любом расположении точек А, В, С на число
___
___
вой оси величины направленных отрезков AB , BC и AC удовле___
___
___
творяют соотношению AB  BC  AC , которое называется основным тождеством.
Операция умножения направленного отрезка на вещественное число α определяется следующим образом.
Произведением направленного отрезка AB на число α назы___
вается направленный отрезок, обозначаемый   AB , длина которого равна произведению числа |α| на длину отрезка AB и
направление которого совпадает с направлением отрезка AB при
  0 и противоположно направлению AB при   0 .
___
Очевидно, величина направленного отрезка   AB равна
  AB .
3. Декартовы координаты на прямой. Декартовы координаты на прямой вводятся следующим образом. Выберем на прямой определенное направление и некоторую точку О (начало координат). Кроме того, укажем единицу масштаба. Рассмотрим теперь произвольную точку М на прямой. Декартовой координатой
____
х точки М будем называть величину направленного отрезка OM .
Тот факт, что точка М имеет координату х, символически
обозначают так: М (х).
Замечание. Введение декартовых координат на прямой представляет собой одни из способов, с помощью которого любой
точке М прямой ставится в соответствие вполне определенное
вещественное число х.
2
Пусть M1(x1) и М2(х2) — две точки на оси. В следующем
утверждении устанавливается выражение величины M1M2
направленного отрезка M1M 2 через координаты x1 и х2 его начала и конца.
_______
Теорема 1.2. Величина М1М2 направленного отрезка M1M 2
равна x2  x1 x2-x1 т. е. M1M 2  x2  x1 .
Доказательство. Рассмотрим на оси три точки О, М1, М2. Согласно теореме 1.1 справедливо равенство ОМ1 + М1М2 = ОМ2.
Так как ОМ1 = х1 ОМ2 = х2, то из (1.3) вытекает нужное нам
соотношение (1.2). Теорема доказана.
Следствие. Расстояние ρ(M1,M2) между точками М1(х2) и
М2(х2) может быть найдено по формуле M1M 2   x2  x1 .
§ 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве
1. Декартовы координаты на плоскости. Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей (рис. 1.5) образуют декартову прямоугольную
систему координат на плоскости. Одну из указанных осей называют осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью
ординат. Эти оси называют также координатными осями. Обозначим через Мx и Мy соответственно проекции произвольной
точки М плоскости на оси Ох и Оу.
Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М
будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y .
2. Декартовы координаты в пространстве. Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной единицей (рис. 1.7) образуют декартову прямоугольную систему ко3
ординат в пространстве. Одну из указанных осей называют осью
Ох или осью абсцисс, другую — осью Oy или осью ординат, третью — осью Оz или осью аппликат. Пусть Мx, Мy и Мz — проекции произвольной точки М пространства на оси Оx, Оy и Оz соответственно.
Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки
М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z .
Декартовы координаты х, у и z точки М называются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой. Тот факт, что
точка М имеет координаты х, у и z, символически обозначают так:
М(х,у,z).
Попарно взятые координатные оси располагаются в так
называемых координатных плоскостях xOy, yOz и zОx (рис. 1.7).
Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов. Читатель без труда выяснит расстановку знаков координат точек в
зависимости от их расположения в том или ином октанте.
§ 3. Простейшие задачи аналитической геометрии
1. Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось. Отрезок в пространстве
называется направленным, если указано, какая из его граничных
точек является началом и какая – концом.
_______
_______
Проекцией прox M1M 2 направленного отрезка M1M 2 на ось
_______
Ох называется величина направленного отрезка M 1x M 2 x , нача_______
лом М1х которого служит проекция начала отрезка M1M 2 , а кон_______
цом M2x — проекция конца отрезка M1M 2 .
Пусть точки M1x и М2х имеют на оси Ох координаты x1 и х2
_______
соответственно. Из определения прox M1M 2 и теоремы 1.2 выте_______
кает справедливость соотношения прox M1M 2 = x2 – x1.
4
_______
Установим еще одну формулу для вычисления прox M1M 2 .
_______
Для этого перенесем направленный отрезок M1M 2 параллельно
самому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой
оси Ох (на рис. 1.8 этой точкой является точка M1x). Обозначим
через φ наименьший угол между направлением оси Оx и направ________
лением отрезка M1x M 2 , полученного указанным выше парал_______
лельным переносом отрезка M1M 2 . Отметим, что угол φ заключен между 0 и π. При этом очевидно, что угол φ острый, если
________
направление отрезка M1x M 2 совпадает с направлением Ох, и ту________
пой, если направление M1x M 2 противоположно направлению Ох.
Используя это, легко убедиться в справедливости следующей
нужной нам формулы:
_______
_______
прox M1M 2 = M 1M 2  cos  ,
_______
_______
в которой M 1M 2 обозначает длину отрезка M1M 2 .
2. Расстояние между двумя точками. В этом пункте мы
установим формулу для вычисления расстояния между двумя
точками по известным координатам этих точек. Эта задача уже
решена для случая точек на прямой в п. 3 § 1 этой главы (см формулу (1.4)). Ради определенности подробно остановимся на случае, когда точки расположены в пространстве.
Рассмотрим в пространстве декартову систему координат
Oxyz и точки M1(x1,y1,z1) и М2(х2, у2, z2) (рис. 1.9). Очевидно, расстояние ρ(М1М2) между точками M1 и М2, равное длине направ_______
ленного отрезка M1M 2 , равно длине диагонали параллелепипеда,
грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки М1 и М2 (на рис. 1.9 этот параллелепипед изображен штриховой линией). Длина параллельного оси Ох ребра этого параллелепипеда равна, очевидно, абсолютной величине про5
_______
екции отрезка M1M 2 на ось Ох, т. е., согласно формуле (1.5),
равна x2  x1 . По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям Оу и Oz, равны соответственно y2  y1 и
z2  z1 .
Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу
для ρ(М1М2):
2
2
2
ρ(М1,М2) =  x2  x1    y2  y1    z2  z1 
Замечание. Формула расстояния между двумя точками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид:
2
2
ρ(М1,М2) =  x2  x1    y2  y1  .
3. Деление отрезка в данном отношении. Рассмотрим в
пространстве две различные точки M1 и М2 и прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление (рис. 1.10). На полученной оси точки М1 и М2 определяют
_______
направленный отрезок M1M 2 .
Пусть М — любая отличная от M2 точка указанной выше оси.
Число
MM
 1
MM 2
называется отношением, в котором точка М делит направленный
_______
отрезок M1M 2 . Таким образом, любая, отличная от М2 точка М
_______
делит отрезок M1M 2 в некотором отношении λ, где λ определяется равенством (1.9).
Замечание 1. При изменении направления на прямой, проходящей через точки М1 и М2, меняют знак величины всех направMM
ленных отрезков. Поэтому отношение 1 в правой части форMM 2
мулы (1.9) не зависит от выбора направления на прямой М1М2.
Рассмотрим задачу о вычислении координат точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении λ, считая известными координаты
точек М1 и М2 и число λ., где λ не равно -1.
6
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Oxyz, и пусть в этой системе координат точки М1,
М2 и М имеют соответственно координаты (x1,y1,z1), (х2, у2, z2) и
(x, у, z). Спроектируем точки М1, М2 и М, на координатные оси
(на рис. 1.10 указаны лишь проекции М1x, M2x и Мх точек M1, M2 и
Мx на ось Ox). Очевидно, точка Мx делит направленный отрезок
M1xM2x в отношении λ. Поэтому
M 1x M x

M xM 2x
(1.10)
Согласно теореме 1.2, М1xМx = х – x1, a МxМ2x = x2 - х. Отсюда
x   x2
и из соотношения (1.10) найдем, что x  1
. Совершенно
1 
аналогично вычисляются координаты y и z точки M. Таким образом,
x   x2
y  y2
z  z 2
x 1
, y 1
, z 1
(1.11)
1 
1 
1 
Формулы (1.11) называются формулами деления отрезка в
данном отношении λ.
Замечание 2. Очевидно, если λ = 1, то точка М делит отрезок
M1M2 пополам. Получающиеся при этом из соотношений (1.11)
формулы называются формулами деления отрезка пополам.
Замечание 3. Для положительных значений λ точка М лежит
между точками M1 и M2 (в этом случае, как это видно из (1.9),
_______
_______
отрезки M1M и MM 2 одинаково направлены), а для отрица_______
тельных значений — вне отрезка M1M 2 .
Замечание 4. Соотношения (1.11) имеют смысл для любых
значений λ ≠ -1. Этим, в частности, и объяснялось указанное ранее ограничение для значений λ.
7
§ 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами
1. Понятие вектора. Абстрагируясь от конкретных свойств,
встречающихся в природе физических векторных величин, мы
приходим к понятию геометрического вектора, или просто вектора.
Геометрическим вектором (или просто вектором) будем
называть направленный отрезок.
Мы будем обозначать вектор либо как направленный отрезок
символом AB , где точки А и В обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной
жирной латинской буквой, например a или b. На чертеже будем
изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем писать у его конца.
Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка
А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор a
приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины). Так, |АВ|
и |а| обозначают длины векторов AB и а соответственно.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и
имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.
Введем важное понятие коллинеарности векторов. Векторы
называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Теперь можно сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны,
имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.
На рис. 2.2 изображены слева неравные, а справа равные векторы a и b.
Из определения равенства векторов непосредственно вытекает следующее утверждение: каковы бы ни были вектор a и точка
P, существует, и притом единственный, вектор PQ с началом в
точке P, равный вектору a).
8
Иными словами, точка приложения данного вектора a может
быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один
из другого параллельным переносом). В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).
2. Линейные операции над векторами. Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию
умножения векторов на вещественные числа.
Сначала определим операцию сложения двух векторов.
Определение 1. Суммой a + b двух векторов a и b называется
вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a.
Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом
определении, обычно называют правилом треугольника. Это
название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы a и b (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма a + b образуют треугольник (рис. 2.3).
Правило сложения векторов обладает теми же самыми четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных (или
рациональных) чисел:
1° a + b = b + a(переместительное свойство);
2° (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательное свойство);
3° существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a (особая роль нулевого вектора);
4° для каждого вектора a существует противоположный ему
вектор а' такой, что а + а' = 0.
Определение 2. Разностью a - b вектора a и вектора b называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a.
Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя свойствами:
9
5° α(a + b) = αa + αb (распределительное свойство числового
сомножителя относительно суммы векторов);
6° (α + β)a = α a + β a (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);
7° α(βa) = (αβ)a (сочетательное свойство числовых сомножителей).
Теорема 2.1. Если вектор b коллинеарен ненулевому вектору
a, то существует вещественное число λ такое, что b = λa.
3. Понятие линейной зависимости векторов. Линейной
комбинацией n векторов a1, a2, ..., an, будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа,
т. е. выражение вида
α1a1 + α2a2 + ... + αnan
(2.3)
где α1, α2, ..., αn — какие угодно вещественные числа.
Определение 1. Векторы a1, a2, ..., an, называются линейно
зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α1, α2, ...,
αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов a1, a2, ..., an, с указанными числами обращается
в нуль, т. е. имеет место равенство
α1a1 + α2a2 + ... + αnan = 0.
Векторы at a1, a2, ..., an, не являющиеся линейно зависимыми,
будем называть линейно независимыми.
Дадим другое определение линейно независимых векторов,
основанное на логическом отрицании содержания определения 1.
Определение 2. Векторы a1, a2, ..., an, называются линейно
независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации
(2.3) возможно лишь в случае, когда все числа α1, α2, ..., αn, равны
нулю.
Имеют место следующие два утверждения.
Теорема 2.2. Если хотя бы один из векторов a1, a2, ..., an, является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.
10
Доказательство. Пусть, ради определенности, вектор a1 является нулевым, а остальные векторы a2, ..., an, произвольны. Тогда
обращается в нуль линейная комбинация (2.3) указанных векторов с числами α1 = 1, α2 = α3 = ... = αn = 0, одно из которых отлично от нуля. Теорема доказана.
Теорема 2.3. Если среди n векторов какие-либо n - 1 векторов
линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
4. Линейные комбинации двух векторов.
Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Следствие 1. Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы.
Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может
быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались линейно
зависимыми).
5. Линейные комбинации трех векторов.
Определение. Векторы называются компланарными, если
они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Теорема 2.5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы
a и b для любого вектора c, лежащего в одной плоскости с векторами a и b, найдутся такие вещественные числа λ и μ, что справедливо равенство
c = λa + μb (2.13)
Следствие 2. Если векторы a, b и c не компланарны, то они
линейно независимы.
Следствие 3. Среди трех некомпланарных векторов не может
быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного
нулевого вектора.
11
6. Линейная зависимость четырех векторов.
Теорема 2.6. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Следствие 1. Каковы бы ни были некомпланарные векторы
a, b и c, для любого вектора d найдутся такие вещественные
числа λ, μ и υ, что справедливо равенство
d = λa + μb + υc
(2.17)
7. Понятие базиса. Аффинные координаты.
Определение 1. Говорят, что три линейно независимых вектора a, b и c образуют в пространстве базис, если любой вектор d
может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации
векторов a, b и c, т. е. если для любого вектора d найдутся такие
вещественные числа λ, μ и υ, что справедливо равенство (2.17).
Аналогично определяется базис на некоторой плоскости π.
Определение 2. Говорят, что два лежащих в плоскости π линейно независимых вектора a и b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости π вектор c может быть
представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a и
b.
Справедливы следующие фундаментальные утверждения:
1) любая тройка некомпланарных векторов a, b и c образует
базис в пространстве;
2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных
векторов a и b образует базис на этой плоскости.
Теорема 2.7. При сложении двух векторов d1 и d2, их координаты (относительно любого базиса a, b, c) складываются. При
умножении вектора d1 на любое число α все его координаты
умножаются на это число.
Доказательство. Пусть d1 = λ1a+μ1b+υ1c, d2 = λ2a+μ2b+υ2c. Тогда в силу свойств 1° - 7° линейных операций (см. п. 2)
d1 + d2 = (λ1 + λ2)a + (μ1 + μ2)b + (υ1 + υ2)c,
αd1, = (α λ1)a + (αμ1)b+ (αυ1)c.
В силу единственности разложения по базису теорема доказана.
Перейдем теперь к определению так называемых аффинных
координат точки.
12
Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса a, b, c и некоторой точки О, называемой началом координат.
Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора OM (относительно базиса a, b, c).
Так как каждый вектор OM может быть, и притом единственным способом, разложен по базису a, b, c, то каждой точке
пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат λ, μ, υ.
Разумеется, декартовы прямоугольные координаты являются
частным случаем аффинных координат, соответствующим тройке
взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
8. Проекция вектора на ось и ее свойства. Прежде всего
определим проекцию вектора a = AB на произвольную ось u.
Обозначим буквами A' и B' основания перпендикуляров,
опущенных на ось u из точек A и B соответственно (рис. 2.12).
Проекцией вектора a = AB на ось и называется величина А'В'
направленного отрезка AB оси u.
Для дальнейшего нам понадобится понятие угла наклона вектора a = AB к оси u. Этот угол может быть определен как угол φ
между двумя выходящими из произвольной точки М лучами,
один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора a = AB , а другой — направление, совпадающее с
направлением оси u (рис. 2.12).
Теорема 2.8. Проекция вектора a на ось u равна длине вектора a, умноженной на косинус φ угла наклона вектора a к оси u.
9. Декартова прямоугольная система координат как
частный случай аффинной системы координат. Как уже отмечалось выше, декартова прямоугольная система координат явля13
ется частным случаем аффинной системы, отвечающей тройке
взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами a, b, c, а буквами i, j, k.
Итак, каждый из векторов i, j, k имеет длину, равную единице,
причем эти три вектора взаимно ортогональны (обычно направления векторов i, j, k берут совпадающими с направлениями декартовых осей Ox, Oy и Oz соответственно).
В силу основных результатов п. 7 каждый вектор d может
быть, и притом единственным способом, разложен по декартову
прямоугольному базису i, j, k т.е. для каждого вектора d найдется,
и притом единственная, тройка чисел X, У и Z1) такая, что справедливо равенство
d = Xi + Yj + Zk. (2.24)
Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора d. Если a = AB — любая точка пространства, то определенные в главе 1 декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными
ко- координатами вектора ОМ.
Если вектор d имеет декартовы прямоугольные координаты
X, У, Z, то мы будем использовать следующую символику:
D = {X, Y, Z}
Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора выясняет следующее утверждение.
Теорема 2.9. Декартовы прямоугольные координаты X, Y и Z
вектора d равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно.
Обозначим буквами α, β и γ углы наклона вектора d к осям
Ox, Oy и Oz соответственно.
Три числа cos α, cos β и cos γ принято называть направляющими косинусами вектора d.
Из теорем 2.9 и 2.8 (см. формулу (2.23)) вытекают следующие формулы для координат X, У и Z вектора d:
X = | d | cos α, Y = | d | cos β, Z == | d | cos γ. (2.26)
Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда
равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА = X, ОВ = У
14
и ОС = Z мы получим следующее выражение для длины вектора d
через его координаты:
d = X 2 Y2  Z2 |
(2.27)
Из формул (2.26) и (2.27) вытекают следующие выражения
для направляющих косинусов вектора d через координаты этого
вектора:
X
Y
,
cos  
cos  
X 2 Y2  Z2
X 2 Y2  Z2
Z
(2.28)
cos  
2
2
2
X Y  Z
Возводя в квадрат и складывая равенства (2.28), получим, что
cos 2   cos 2   cos 2   1, т. е. сумма квадратов направляющих
косинусов любого вектора равна единице.
Так как вектор d однозначно определяется заданием трех его
координат, то из формул (2.26) ясно, что вектор d однозначно
определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.
В заключение докажем сформулированные в конце предыдущего пункта линейные свойства проекции вектора на ось, т. е.
докажем, что при сложении двух векторов d1 и d2 их проекции на
произвольную ось и складываются, а при умножении вектора d1
на любое число α его проекция на произвольную ось и умножается на число α.
Пусть дана произвольная ось и и любые векторы d1 и d2.
Введем декартовы прямоугольные координаты так, чтобы ось
u совпала с осью Ох. Пусть
d1 = Х1i + Y1j + Z1k, d2 = X2i + Y2j + Z2k.
Тогда в силу теоремы 2.7
d1 + d2 = (X1 + Х2)i + (Y1 + Y2) j + (Z1 + Z2)k,
αd1, = (αX1)i + (αY1)j+ (αZ1)k.
Но в силу теоремы 2.9 и того, что ось u совпадает с осью Ох,
можно утверждать, что
X1 = прud1, X2 = прud2, X1 + Х2 = прu (d1 + d2), αX1 = прu(αd1).
Таким образом, прu(d1+ d2) = прud1 + прud2, прu(αd1) = α прud1,
и сформулированное утверждение доказано.
15
§ 2. Скалярное произведение двух векторов
1. Определение скалярного произведения.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов a и b будем обозначать
символом ab. Если угол между векторами a и b равен φ, то по
определению скалярное произведение этих двух векторов выражается формулой
ab = | a || b |cos φ.
(2.29)
Сформулируем другое определение скалярного произведения
двух векторов, эквивалентное определению 1. Для этого воспользуемся понятием проекции вектора b на ось, определяемую вектором а.В соответствии с обозначениями
п.8 §1 будем обозначать проекцию вектора b на ось, определяемую вектором а, символом прab. На основании теоремы 2.8
получим
прab = | b |cos φ.
(2.30)
Сопоставление равенств (2.29) и (2.30) приводит нас к следующему выражению для скалярного произведения:
ab = | a | прab.
(2.31)
Конечно, в проведенных рассуждениях можно было бы поменять ролями векторы а и b. При этом мы пришли бы к следующему выражению для скалярного произведения:
ab = | b | прba. (2.32)
Выражения (2.31) и (2.32) приводят нас к следующему определению скалярного произведения (эквивалентному определению).
Определение 2. Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению длины одного из этих
векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую
первым из указанных векторов.
2. Геометрические свойства скалярного произведения.
16
Теорема 2.10. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Теорема 2.11. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).
3. Алгебраические свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами:
1° ab = ba (переместительное свойство);
2° (αa)b = α(ab) (сочетательное относительно числового множителя свойство);
3° (a + b)c = ac + bc (распределительное относительно суммы
векторов свойство);
4° aa > 0, если a — ненулевой вектор, и аа = 0, если а — нулевой вектор.
4. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах.
Теорема 2.12. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами
а = {Х1, У1, Z1}, b = {Х2, У2, Z2},
то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных
произведений их соответствующих координат, т. е.
ab = Х1Х2 + Y1У2 + Z1Z2.
(2.33)
Доказательство. Составим из тройки базисных векторов i, j и
k все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем скалярное
произведение. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим
ij = l, ji = 0, ki = 0,
ij = 0, jj = l, kj = 0,
(2.34)
ik = 0, jk = 0, kk = l.
Далее, учитывая, что а = Х1 i + У1j + Z1k, b = Х2 i + У2j + Z2k,
и опираясь на установленную в предыдущем возможность
17
почленного скалярного перемножения векторных многочленов,
получим
ab = X1X2ii + Х1У2ij + X1Z2ik + Y1X2ji + Y1Y2jj + Y1Z2kj +
+ Z1X2ki + Z1Y2kj + Z1Z2kk.
Из последнего равенства и соотношений (2.34) вытекает
формула (2.33), Теорема доказана.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов а = {Х1, У1, Z1} и b = {Х2, У2, Z2},
является равенство
X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.
Это следствие непосредственно вытекает из теоремы 2.10 и
формулы (2.34).
Следствие 2. Угол φ между векторами а = {Х1, У1, Z1} и b =
{Х2, У2, Z2}, определяется по формуле
X 1 X 2  Y1Y2  Z1Z 2
(2.35)
cos  
2
2
2
2
2
2
X 1  Y1  Z1  X 2  Y2  Z 2
ab
В самом деле, cos  =
и нам остается воспользоваться
ab
формулой (2.33) для скалярного произведения и формулой (2.27)
для длины вектора.
§ 1. Различные виды уравнения прямой на плоскости
1. Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на
плоскости π задана произвольная прямая линия L и фиксирована
произвольная декартова прямоугольная система Оху, то прямая L
определяется в этой системе уравнением первой степени.
Достаточно доказать, что прямая L определяется уравнением
первой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости я, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости я (в силу
теоремы 4.1). Направим ось Ox вдоль прямой L, а ось Oy перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у = 0. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на прямой L, и не бу18
дут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на
прямой L.
Утверждение доказано.
Докажем теперь, что если на плоскости π фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и у определяет относительно этой системы прямую линию.
В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова
прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени
Ax + By + C = 0,
(5.1)
в котором А, В и С — какие угодно постоянные, причем из постоянных А и В хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (5.1) заведомо имеет хотя бы одно решение x0, у0, т. е. существует хотя бы
одна точка М0{х0,у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (5.1):
Ax0 + By0 + C = 0.
(5.2)
Вычитая из уравнения (5.1) тождество (5.2), мы получим
уравнение
A(x - x0) + B(y - y0) = 0,
(5.3)
эквивалентное уравнению (5.1). Достаточно доказать, что уравнение (5.3) определяет относительно системы Оху некоторую
прямую. Мы докажем, что уравнение (5.3) (а стало быть, и (5.1))
определяет прямую L, проходящую через точку М0(x0,y0) и перпендикулярную вектору n = {А, В} (так как А и В одновременно
не равны нулю, то вектор n ненулевой).
В самом деле, если точка М(x, у) лежит на указанной прямой
L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в этом
случае векторы n = {А, В} и М0М = {х – x0, у - у0} ортогональны и
их скалярное произведение
А(х - х0) + В(у - у0)
(5.4)
равно нулю. Если же точка М{x, у} не лежит на указанной прямой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.3), ибо в
этом случае векторы n и M 0 M не ортогональны, и поэтому их
скалярное произведение (5.4) не равно нулю. Утверждение доказано.
Уравнение (5.1) с произвольными коэффициентами А, В и С
такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется об19
щим уравнением прямой. Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (5.1), ортогональна к вектору n = {А, В}.
Этот последний вектор мы будем называть нормальным вектором
прямой (5.1).
Заметим, что если два общих уравнения Ax  By  C  0 и
A1x  B1 y  C1  0 определяют одну и ту же прямую, то найдется
такое число t, что справедливы равенства
A1 = At, B1 = Bt, С1 = Ct
(5.5)
2. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой (5.1) называется полным, если
все его коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Если хотя бы
один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1) С = 0, уравнение Ax - By = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению).
2) В = 0, уравнение Ах + С = 0 определяет прямую, параллельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой прямой n =
{A, 0} ортогонален оси Oy).
3) А = 0, уравнение By + C = 0 определяет прямую, параллельную оси Ox (поскольку нормальный вектор этой прямой n =
{0, В} ортогонален оси Ox).
4) В = 0 и С = 0, уравнение Ах = 0 определяет ось Oy (в самом
деле, эта прямая параллельна оси Oy и проходит через начало координат).
5) А = 0, С = 0, уравнение By = 0 определяет ось Ox (ибо эта
прямая параллельна оси Ox и проходит через начало координат) .
Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (5.1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду:
x y
  1,
(5.6)
a b
называемому уравнением прямой «в отрезках».
В самом деле, так как все коэффициенты А, В и С отличны от
нуля, мы можем переписать уравнение (5.1) в виде
20
x
y

1
C / A C / B
и затем положить а = -C/A, b = -C/B.
Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.6) числа а и b имеют простой геометрический смысл они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно
(отрезки отсчитываются от начала координат, см рис 5 1) Чтобы
убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой
определяемой уравнением (5.6), с осями координат Например,
точка пересечения с осью Ox определяется из совместного рассмотрения уравнения прямой (5.6) с уравнением y = 0 оси Ox. Мы
получим координаты точки пересечения x = а, у = 0. Аналогично
устанавливается, что координаты точки пересечения прямой (5.6)
с осью Oy имеют вид x = 0, у = b.
Уравнение прямой в форме «в отрезках» удобно использовать для построения этой прямой на чертеже
3. Каноническое уравнение прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой
Поставим перед собой задачу найти уравнение прямой, проходящей через данную точку M1(x1,y1) и имеющей заданный
направляющий вектор q = {l, m}.
Очевидно, точка M(x, у) лежит на указанной прямой тогда и
только тогда, когда векторы M1M  x  x1, y  y1 и q = {l, m}
коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих
векторов пропорциональны (см. следствие из теоремы 2.17)
x  x1 y  y1

(5.7)
l
m
Уравнение (5.7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют обычно каноническим уравнением прямой
Заметим, что в каноническом уравнении (5.7) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю (оба числа l и m
равняться нулю не могут, ибо вектор q = {l, m} ненулевой) Так
a c
как всякую пропорцию  мы договорились понимать как раb d
венство ad  bc , обращение в нуль одного из знаменателей в
21
(5.7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя.
В самом деле, если, например, l = 0, то, поскольку m ≠ 0, из равенства l(у - y1) = m(x – x1) заключаем, что x – x1 = 0.
В заключение запишем уравнение прямой, проходящей через
две данные точки M1(x1, y1) и М2(x2, y2) (конечно, эти точки считаются отличными друг от друга). Так как за направляющий вектор такой прямой можно взять вектор q = M1M 2 М1М2 =
= {х2 – x1, y2 - у1}
и прямая проходит через точку M1(x1,y1), то из канонического
уравнения (5.6) получим уравнение искомой прямой в виде
x  x1
y  y1
(5.8)

x2  x1 y2  y1
4. Параметрические уравнения прямой. Параметрические
уравнения прямой элементарно получаются из канонического
уравнения этой прямой. Примем за параметр t величину, стоящую в левой и в правой частях (5.7). Так как один из знаменателей (5.7) отличен от нуля, а соответствующий числитель может
принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся вещественная ось: -∞ < t < ∞.
Мы получим x - x1 = lt, у - y1 = mt или окончательно
x = x1 + lt, y = y1 + mt.
(5.9)
Уравнения (5.9) и есть искомые параметрические уравнения
прямой. Уравнения (5.9) допускают наглядную механическую
интерпретацию. Если считать, что параметр t — это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (5.9) определяют закон движения материальной
точки по прямой линии с постоянной скоростью v  l 2  m 2 (такое движение происходит по инерции).
5. Прямая с угловым коэффициентом. Рассмотрим любую
прямую, не параллельную оси Ох. Введем понятие угла наклона
этой прямой к оси Ox. Предположим, что рассматриваемая прямая пересекает ось Ox в точке A (рис. 5.2). Возьмем на оси Ox
произвольную точку М, лежащую по ту сторону от точки A, куда
направлена ось Ox, а на рассматриваемой прямой произвольную
точку N, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось
Oy. Угол α = NAM назовем углом наклона данной прямой к оси
Ox.
22
Если прямая параллельна оси Ox или совпадает с ней, то угол
наклона этой прямой к оси Ох мы будем считать равным нулю.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым коэффициентом этой прямой. Если обозначить буквой k угловой
коэффициент данной прямой, а буквой α угол наклона этой прямой к оси Ох, то по определению можно записать k = tg α.
Заметим, что для прямой, параллельной оси Ox, угловой кокоэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси
Ох, угловой коэффициент не существует (в последнем случае
иногда формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность»).
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку
M1(x1,y1) и имеющей данный угловой коэффициент k.
Для этого докажем сначала следующее утверждение: если
прямая не параллельна оси Oy и имеет направляющий вектор q =
m
{l, m}, то угловой коэффициент этой прямой k равен k  .
l
Пусть α — угол наклона прямой к оси Ох, а  — угол наклона
направляющего вектора q = {l, m) к оси Ох. Так как прямая может
быть наклонена к оси Ох под острым или под тупым углом и ее
направляющий вектор q может иметь два противоположных
направления, то возможны четыре случая, изображенных на рис.
5.3. В случаях 1) и 3) θ = α и для проекций на оси вектора q справедливы формулы
l = | q | cos θ,


m = | q | cos cos    = | q | sin θ
2

В случаях 2) и 4) θ = π – α и для проекций вектора q справедливы формулы l = | q | cos θ, m = -| q | sin θ.
Получим искомое уравнение в виде
y – y1 = k(x – x1).
(5.10)
Если теперь обозначить через b постоянную b = y1 – kx1, то
уравнение (5.10) примет вид
y = kx + b
(5.11)
Уравнение (5.11) называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом. В этом уравнении k обозначает угловой коэф23
фициент данной прямой, а b представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть совместно уравнение (5.11) и уравнение x = 0 оси Oy и найти координаты точки пересечения оси Oy и прямой (5.11):
x = 0, у = b (рис. 5.4).
6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых.
а) Пусть сначала две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0.
Так как нормальным вектором прямой L1 является вектор
n1 = {A1, B1}, а нормальным вектором прямой L2 является
вектор n2 = {А2, В2}, то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1
и n2.
Из определения скалярного произведения n1· n2= |n1| ·|n2|
cosφ и из выражения в координатах длин векторов n1 и n2 и их
скалярного произведения получим
A1 A2  B1B2
(5.12)
cos  
2
2
2
2
A1  B1  A2  B2
Итак, угол φ между прямыми L1 и L2 определяется с помощью формулы (5.12).
Условие параллельности прямых L1 и L2, эквивалентное
условию коллинеарности векторов n1 и n2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т. е. имеет вид
A1 B1
(5.13)

A2 B2
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 может быть извлечено из формулы (5.12) (при cos φ = 0) или выражено равенством нулю скалярного произведения n1· n2. Оно имеет вид
A1A2 + В1В2 = 0. (5.14)
б) Пусть теперь две прямые L1 и L2 заданы каноническими
уравнениями
24
x  x1 y  y1
x  x1 y  y1
и


l1
m1
l2
m2
Так как направляющими векторами прямых L1 и L2 служат
векторы q1 = {l1, m1} и q2 = {l2, m2}, то в полной аналогии со случаем а) мы получим:
1) формулу для угла φ между прямыми L1 и L2:
l1l2  m1m2
;
(5.12')
cos  
2
2
2
2
l1  m1  l2  m2
2) условие параллельности прямых L1 и L2.
l1 m1
;
(5.13')

l2 m2
3) условие перпендикулярности прямых L1 и L2:
l1l2 + m1m2 = 0.
(5.14')
в) Пусть, наконец, две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с
угловым коэффициентом
Если α1 и α2 — углы наклона прямых L1 и L2 к оси Ox, а φ —
один из углов между этими прямыми, то из элементарных соображений (рис, 5.5) вытекает, что
φ = α2 – α1.
Таким образом,
tg 2  tg1
k k
tg  tg  2  1  
 2 1
1  tg1  tg 2 1  k1k2
Мы получаем следующую формулу для определения угла φ:
k k
(5.12'')
tg  2 1 .
1  k1k2
Если в этой формуле поменять ролями k1 и k2 (от чего фактически лишь изменится знак на противоположный), то эта формула определит нам другой угол между прямыми, смежный по отношению к прежнему углу (эти два угла в сумме составляют π и
тангенсы их отличаются лишь знаком).
Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними равен
нулю, т. е. условие параллельности имеет вид
k1 = k2
(5.13")
(при этом числитель в (5.12") равен нулю, а знаменатель
строго положителен).
25
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 также можно
получить из (5.12"). Оно отвечает случаю, когда тангенс угла φ не
существует, т. е. случаю обращения знаменателя формулы (5.12")
в нуль: k1k2 + 1 =0.
Итак, условие перпендикулярности прямых L1 и L2 имеет вид
1
(5.14")
k2   .
k1
7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки
от прямой. Рассмотрим какую угодно прямую L. Проведем через
начало координат O прямую n, перпендикулярную L, и обозначим буквой Р точку пересечения указанных прямых (рис.5.6).
На прямой n возьмем единичный вектор n, направление которого совпадает с направлением отрезка OP (в случае совпадения точек О и Р направление n выберем произвольно).
Поставим перед собой цель — выразить уравнение прямой L
через два параметра: 1) длину p отрезка ОР, 2) угол θ между вектором n и осью Ox.
Так как n — единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид
n = {cos θ, sin θ}. (5.15)
Очевидно, точка M(x, y) лежит на рассматриваемой прямой L
тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором n, равна p, т. е. при условии
прn OM = p.
(5.16)
Так как n — единичный вектор, то в силу определения 2 скалярного произведения (см. п.1 §2 главы 2)
прn OM = n ∙ OM .
(5.17)
Имея в виду, что OM = {x, y}, а. вектор n определяется равенством (5.15), мы получим следующее выражение для скалярного произведения этих векторов:
n ∙ OM = x cos θ + y sin θ. (5.18)
Из сопоставления (5.16), (5.17) н (5.18) вытекает, что точка
М(x, y) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению
x cos θ + y sin θ - p = 0;
(5.19)
26
(5.19) и есть искомое уравнение прямой L (выраженное через два
параметра: θ и p). Это уравнение называется нормированным
уравнением прямой.
Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М от данной прямой L. Пусть число d обозначает
расстояние от точки М до прямой L. Назовем отклонением δ точки М от прямой L число +d в случае, когда точка М и начало координат О лежат по разные стороны от прямой L, и число -d в
случае, когда М и О лежат по одну сторону от L.
Если же начало координат O лежит на прямой L, мы положим
отклонение равным +d в случае, когда М лежит по ту сторону от
L, куда направлен вектор n, и равным -d в противном случае.
Выясним геометрический смысл левой части уравнения
(5.19) при любых x и y.
Теорема 5.1. Левая часть нормированного уравнения прямой
(5.19) равна отклонению точки М с координатами x, y от прямой
L, определяемой уравнением (5.19).
Доказательство. Спроектируем, точку М на ось, определяемую вектором n. Пусть Q — проекция точки М. Отклонение δ
точки М от прямой L равно PQ, где PQ обозначает величину
направленного отрезка PQ оси, определяемой вектором n. Далее,
из основного тождества (см. главу 1) очевидно (рис. 5.7), что
δ = PQ = OQ – OP = OQ -p.
(5.20)
Но OQ = прn OM , а последняя проекция в силу формул (5.17)
и (5.18) равна x cos θ + у sin θ. Итак,
OQ = cos θ + у sin θ (5.20')
Сопоставляя формулы (5.20') и (5.20), получим
δ =x cos θ + y sin θ – p.
(5.21)
Теорема доказана.
Теорема 5.1 приводит нас к следующему правилу: для
нахождения отклонения δ точки М (х0, у0) от прямой L следует в
левую часть нормированного уравнения прямой L подставить на
место x и y координаты х0 и у0 точки М.
Разумеется, это правило позволяет отыскивать и расстояние
от точки М до прямой L, ибо расстояние равно модулю отклонения.
27
В заключение укажем алгоритм приведения общего уравнения прямой Ax + By + С = 0 к нормированному виду (5.19).
Так как указанное общее уравнение и уравнение (5.19) должны определять одну и ту же прямую, то (в силу замечания в конце п.1) найдется число t такое, что
tA = cos θ, tB = sin θ, tC = -р.
(5.22)
Возвышая в квадрат первые два равенства и затем, складывая
их, получим t A2  B 2  1, откуда
1
.
(5.23)
t
2
2
A B
Остается уточнить, какой из знаков ± следует взять в формуле (5.23). Так как по смыслу расстояние p всегда неотрицательно,
то из третьего равенства (5.22) заключаем, что знак t противоположен знаку С.
Итак, для приведения к нормированному виду (5.19) общего
уравнения прямой Ax + By + C = 0 следует умножить его на нормирующий множитель (5.23), знак которого противоположен
знаку С.


28
29
30
31
32