Системное моделирование социально

Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И
ИНФОРМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Проректор университета
по научной работе
________ И. Н. Дрогобыцкий
ОТЧЕТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
Разработка учебного курса «Системное моделирование социально-демографических процессов»
по теме:
Текст учебного пособия «Системное моделирование социальнодемографических процессов»
(заключительный)
Зам. проректора
по научной работе
___________________ В.В. Ярных
подпись, дата
Руководитель темы
___________________ Г. М. Зуев
подпись, дата
Москва 2005
СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Руководитель темы,
профессор
_______________________________ Г. М. Зуев
подпись, дата
Соисполнители:
аспирант
_______________________________ А. В. Лаврова
подпись, дата
С. н. с. ИНХП РАН
_______________________________ Е. Л. Сороко
подпись, дата
2
Системное моделирование социально-демографических
процессов
Предисловие
Данный
курс
предназначается
для
предварительного
изучения
аппарата
формализованного анализа актуальных социально-демографических процессов.
Представлено
последовательно
развиваемое
детерминированное
математическое
описание динамики народонаселения как системообразующее условие адекватного
исследования рациональных путей социально-экономического развития на региональном
уровне.
Востребованность системной методологии обусловлена сложностью анализируемого
объекта,
необходимостью
формирования
целостной
структуры
социально-
демографических групп, определяющих современный этап принятия фундаментальных
решений в области государственного планирования и управления.
1 Введение
Моделирование демографических процессов является важным звеном системного
анализа
сложных
социально-экономических
объектов.
Исследование
перспектив
долгосрочного регионального развития не может быть проведено без тщательного анализа
его демографического аспекта.
Напомним, что демография – это наука о народонаселении, которая на основе
социальных, экономических, а также биологических и географических факторов, причин и
условий исследует закономерности явлений и процессов, происходящих в структуре,
размещении и динамике народонаселения, стремясь при этом выявить совокупное влияние
изменений и сдвигов в ее структуре и связях. Конкретно имеются в виду такие структуры,
как
социальная,
возрастно-половая,
семейная,
образовательная,
профессиональная,
национальная и ряд других.
Под
«народонаселением»
в
общей
теории
народонаселения
понимается
воспроизводящая саморазвивающаяся совокупность людей, субъект социальных связей [4].
Население и экономика – две взаимосвязные и взаимообусловленные
системы.
Экономика не может развиваться без населения. Народонаселение выступает как
важнейший фактор экономического развития общества.
3
В рамках так называемого «узкого» подхода воспроизводство населения трактуется как
«процесс непрерывного возобновления поколений людей», как «двусторонний процесс
размножения и гибели людей» [4].
В широком понимании воспроизводство населения предстает либо как совокупность
трех форм движения: естественного (рождаемость и смертность), пространственного
(миграция)
и
социального
(изменение
профессиональная мобильность
социальных
структур,
социальная
и
и т.д.), либо как процесс самовоспроизведения
народонаселения как совокупности людей, «характеризующихся всеми этими социальными
свойствами, обладание которыми позволяет им выступать в роли субъектов целостной
системы общественных отношений» [4].
Население
как
объект
изучения
представляется
демографу
не
как
простая
статистическая совокупность людей, а как сложная система, находящаяся в постоянном
движении и саморазвитии. Движение элементов этой системы многообразно и внутренне
присуще населению и происходит всегда. Каждый человек, рассматриваемый как элемент
системы «население», обладает множеством признаков – полом, возрастом, уровнем
образования, занятием, национальностью, брачным состоянием и т.п. Таких признаков
множество и на протяжении жизни человека большинство из них меняется. Эти то
изменения в своей совокупности и составляют движение населения [4].
Этот
краткий
исторический
экскурс
предваряет
дальнейшее
аналитическое
рассмотрение ряда базовых социально-демографических процессов на основе как
достаточно известного, так и специально разработанного математического аппарата.
Значительный вклад в развитие демографической науки внесли такие специалисты как
Д.И. Валентей, Б.Ц. Урланис, А.Я. Боярский, И.Г. Венецкий, Л.Е. Дарский, Б.Д. Бреев,
Ю.С. Пчелинцев, В.И. Переведенцев, Ж.А. Зайончковская [4,16,17,24-26] и др.
Особую благодарность мы выражаем инициаторам и научным «покровителям» наших
исследований А.Г. Волкову [27] и Ю.H. Иванову, а также отечественным специалистам
Ю.П. Иванилову, О.В. Староверову, Е.М. Андрееву и Н.В. Баркалову, развивавшим
смежную научную проблематику.
2 Обоснование системного построения формализованного описания
социально-демографического процесса
Динамика и структура народонаселения представляет собой один из самых сложных
объектов научного познания.
4
В рамках настоящего исследования мы стремимся построить последовательно
наращиваемое
формализованное
описание
социально-демографического
процесса,
предназначенное для повышения степени обоснованности принимаемых решений,
связанных с социальным планированием регионального развития.
Прежде чем рассмотреть этапы развития системного математического описания
демографических процессов, остановимся на тех аспектах, которые позволяют его так
называть. То есть речь пойдет о том, каким условиям должно отвечать системное
наименование математического описания рассматриваемого объекта.
Здесь мы прежде всего должны отметить принцип множественности описания
собственно системного объекта. Он означает, что любое математическое описание
сложного (системного) объекта является всего лишь одним из возможных вариантов.
Однако далеко не любое описание может быть названо системным; для того, чтобы
действительно являться таковым, оно должно удовлетворять ряду методологических
требований. Прежде чем кратко охарактеризовать основные из них, отметим, что все
понятия системной методологии являются чисто диалектическими – их не следует
трактовать жестко, «твердолобо». Попытка построения какого-либо жесткого каркаса
прямо противоречит как самому диалектическому методу, так и конкретной форме его
раскрытия на общенаучном уровне – системному подходу.
Основными принципами системности при построении математических описаний
являются следующие.
Во-первых, сам объект должен быть системным, т.е. содержать набор сложных
взаимосвязей, поддающихся только относительному познанию. Народонаселение нашей
страны и его динамика безусловно удовлетворяют сформулированному выше требованию.
Во-вторых, должна быть сформулирована общая цель исследования, являющаяся
достаточно многоаспектной.
Ее конкретизация в данном случае заключается в прогнозировании процессов
социально-экономического развития РФ на среднесрочную перспективу, встречной оценке
их влияния на демографический процесс.
В-третьих, при развитии системных описаний сложных развивающихся объектов
должны быть выделены ведущие (системообразующие) связи и характеристики, намечены
пути их целостного рассмотрения.
В рамках рассматриваемой проблематики мы сконцентрируем наше внимание на
моделировании базовых видов движения населения, определяющих целесообразность и
обоснованность декларируемых целей государственных преобразований.
5
В-четвертых, использование формализации на системном уровне обязательно должно
отвечать требованию разработки аппарата описания, адекватного внутренней сущности
исследуемого процесса.
Соответствующий аппарат в основном уже разработан, на его основе и будет
представлено формализованное динамическое детерминированное описание, комплексно
охватывающее объект нашего исследования.
В-пятых, системность описания означает обязательное прямое или опосредованное
использование эмпирической базы и конкретных прикладных исследований в данной
области, т.е. наличие преемственности при создании обобщающего аппарата.
Указанная
деятельность
достаточно
широко
распространена
в
действующих
демографических региональных и международных центрах [10,12,23].
В-шестых,
развитие
системного
описания
должно
производиться
с
учетом
«технических» возможностей его практической реализации, что связано в первую очередь с
аналитической сложностью и размерностью используемых в его рамках конкретных
математических построений.
И, наконец, последнее требование заключается в наличии актуальной проблемы
(общественной
потребности),
которую
невозможно
разрешить
традиционными
познавательными средствами.
Именно этим и объясняется представленный отбор свойств адекватного проблеме
формализованного аппарата, как необходимого условия возможности эффективного
преобразования механизма планирования государственной социальной программы.
Помимо
новых
идей
требуется
и
адекватный
этим
идеям
«технический»
инструментарий, эффективное использование которого предполагает соответствующее
совершенствование общественных отношений. В противном случае «как вы не садитесь,
все в музыканты не годитесь».
Важной методологической составляющей указанной деятельности является так
называемый системный подход (системный анализ), получивший относительно широкое
распространение с 70-ых годов XX века.
По ряду источников (и нашему мнению) его родоначальником признается австрийский
ученый Людвиг фон Берталанфи [14], выдвинувший ряд базовых положений.
В частности он полагал, что «мир состоит из разных сфер реальности, изучение
которых не сводимо к физике».
Отсюда, в частности, вытекает необходимость и целесообразность множественности
описания собственно системного объекта.
6
Поэтому работы следует квалифицировать не по совпадению результатов, а по
критерию их соответствия системообразующей тенденции.
Под системным объектом понимается, прежде всего, сложный объект, а сложность
трактуется как разнородность его составляющих реализующих кардинальную цель
развития системы. Например, в данном случае – это человек, общество, государство,
цивилизация, народонаселение, образ жизни, производительный труд, информационные
технологии.
Весьма существенно, что мы причисляем к указанным составляющим как сам аппарат
исследования, так и состав специалистов его применяющих.
Аморальный наемник не сможет осмыслить адекватный проблеме аналитический
инструментарий, так как обязательно опошлит результат его использования своим
скудоумием и примитивизмом представлений.
Таким образом, восприятие развиваемого аппарата является необходимым условием
отбора компетентных кадров предстоящих социальных преобразований.
Кого указанный тезис не устраивает, тот либо уже на подсознательном уровне
исключает саму возможность комплексных позитивных нововведений, либо не осознает
всей сложности поставленных задач и их подлинно системный характер.
Поэтому свою задачу мы видим в том, чтобы профессионально содействовать более
точному решению актуальных задач социально-экономических преобразований.
Один из специальных системных терминов, введенных в научное рассмотрение
Людвигом фон Берталанфи, получил название эквифинальность. Мы бы его определили
как
предопределенность
заключительного этапа функционирования объекта. Так,
например, эмбрион или зерно превращаются в тот вид, к которому принадлежат.
Отсюда вытекает, что адекватный формализованный аппарат может содействовать
более точному определению возможного потенциала предполагаемых
социальных
преобразований, отбору достижимых целей и средств социально-демографического
развития.
3 Виды движения населения
В демографии различают три вида движения населения: естественное, механическое
(миграции) и межгрупповое (социальное).
7
Под естественным движением понимается процесс старения населения, включая
рождаемость и смертность. В демографии указанный вид движения считается базовым,
системообразующим 4-6.
Это, во-первых, объясняется тем, что объектом изучения демографической науки (в
узком смысле) является прежде всего старение населения, включая смертность, во-вторых,
указанный процесс (естественное движение) является сущностным, на него накладываются
прочие виды движения населения, в-третьих, оказывается, что изучение других видов
движения населения, вне естественного, оказывается не фундаментальным, а достаточно
поверхностным, неадекватным, в-четвертых, формализованное описание естественного
движения населения также является системообразующим по отношению к своим
обобщениям, применительно к другим видам движения населения.
В
последующих
разделах
соответствующая
иерархия
будет
наглядно
продемонстрирована и рассмотрена.
Под механическим движением понимается процесс перемещения населения из одного
географического пункта в другой на постоянное жительство – межтерриториальная
миграция, на сезонные работы или учебу – сезонная миграция. Ежедневные перемещения
на работу или учебу называются маятниковой миграцией.
Механическое движение также заслуживает детализированного анализа, поскольку
характеризует важную направленность демографического процесса, смещение центра
приложения трудовых ресурсов, тенденции размещения (расселения) населения по
территории страны и за ее пределами.
Здесь необходимо также подчеркнуть, что анализ направленности механического
движения тесно связан с протеканием естественного движения населения. Это, во-первых,
объясняется тем, что для того, чтобы играть активную роль в миграционном процессе
необходимо ему соответствовать по полу и возрасту, во-вторых, отсутствие необходимых
кадров в данном регионе форсирует интенсивность миграционного процесса, в-третьих,
можно говорить и о непосредственном взаимовлиянии двух указанных видов движения.
Межгрупповое движение обозначает переходы из одной
социально-экономической
группы в другую, например, в зависимости от той или иной спецификации групп –
приобретение или смену специальности, получение жилья, присвоение очередного
воинского звания, выход на пенсию и т.п.
На основе данного вида движения можно попытаться конкретизировать понятие
развития населения и осуществить соответствующие вариантные расчеты. В настоящем
курсе рассмотрению социального (межгруппового) движения также будет уделено
определенное внимание.
8
4 Моделирование естественного движения населения
В качестве ведущей характеристики регионального населения введем в рассмотрение
его возрастно-половую структуру, обозначенную через l qs (t,x), где q=1,…Q - индекс
региона, который мы будем опускать в силу того, что ограничиваемся обсуждением
конкретного региона (страны); s=0,1 - индекс пола, 0 – для женского населения (♀- зеркало
Венеры), 1 – мужского (♂- щит Марса), x – возраст (x  0,)), t – текущее время (t   t 0 ,T) –
период прогнозирования (анализа проблемы).
На рис. 1 представлено изображение возрастно-половой структуры конкретного
региона, слева мужского, справа женского населения.
l s (t, x)
x
60
s=1
40
s=0
5
0
Рис. 1
Следует отметить, что само изображение возрастно-половой структуры много говорит
специалисту об условиях жизни в данном регионе, например, численность населения
определяется как

Lq (t) =
l
s
(t, x)dx, t  [ t 0 ,T],
(1.а)
s  0 ,1 0
где знак интеграла можно заменить на сумму в виде
N
Lq (t) =
 l
s
(t, x),
(1.б)
s 0,1 x 0
где l s (t,0) - численность младенцев, не достигших возраста 1 года, пола s, а N – возраст
полного числа прожитых лет самого старого жителя региона. Мы в дальнейшем будем
9
использовать запись в виде (1.а), поскольку непрерывное описание представляется более
компактным и изящным, его же перевод в дискретную форму каких-либо принципиальных
проблем не содержит.
Таким образом, площадь фигуры на рис. 1, в соответствии с (1.а) равняется численности
населения данного региона. Большая же покатость кривых l 0 (t,x) и l 1 (t,x) свидетельствует
об увеличении смертности в данной возрастно-половой группе, либо
и о снижении
рождаемости x лет назад.
Сужение
же
фигуры
l s (t,x)
вниз
показывает
снижение
рождаемости
за
соответствующий временной отрезок.
Широкое основание фигуры l s (t,x) свидетельствует, с одной стороны, о высоком
уровне рождаемости, в случае же последующего сужения соответствующей трапеции
можно сделать заключение об уровне детской смертности.
Центр тяжести фигуры l s (t,x) на рис. 1 показывает средний возраст населения данного
региона в году t,
l
s
(t , x) xdx
s  0 ,1
x ср =
,

l
s
(2)
(t , x)dx
s  0 ,1 0
1
без учета пола или с его учетом, когда вычисляются x ср
, x ср0 соответственно, а знак
суммы в (2) отсутствует.
Аналогично можно сосчитать соотношение полов в заданной возрастной группе,
например

0
18
l
m =
0
(t , x)dx
18

l
s
(t , x)dx
s  0 ,1 0
показывает долю взрослых лиц (достигших 18 лет) женского населения среди живущих
(включая детей).
На
основании
возрастно-половой
пирамиды
можно
сделать
весьма
много
предварительных выводов о протекании социальных процессов в данном регионе за
10
последние 30 – 60 лет за исключением учета межтерриториальных перемещений (миграции
населения) за указанный период.1
Видимо поэтому в первом издании демографической энциклопедии [15] возрастнополовая структура населения СССР блистательно отсутствовала. Мы же полагаем, что она
является необходимым базисом всех последующих социально-экономических прогнозов.
Для
анализа
и
прогнозирования
социально-демографических
процессов
на
региональном уровне целесообразно просчитывать динамику возрастно-половой структуры
на заданном интервале планирования, например, t  [ t 0 ,T].
Модель, позволяющую проводить подобные расчеты, мы назовем формализованным
описанием естественного движения населения.
Автором базисного описания считается австрийский демограф Альфред Лотка. Его
развитие представлено в значительном количестве работ, включая [1-8,23].
Мы также полагаем соответствующее описание блестящим примером эффективного
использования
формализованного
аппарата
для
анализа
коренных
социально-
демографических и собственно демографических взаимосвязей.
Сформулируем поставленную задачу. Мы стремимся рассчитывать возрастно-половую
структуру регионального населения l s (t, x), s=0,1, x  [0,) на интервале времени t  [ t 0 ,T]
без учета миграционного процесса, т.е. население региона либо представляется замкнутым
(миграция
отсутствует),
либо
нас
интересует
возрастно-половой
состав
лиц,
зарегистрированных в момент времени t 0 на территории заданного региона.
Обозначим соответствующую характеристику через
l 0s (x) = l s ( t 0 , x).
(3)
Динамика возрастно-половой структуры вычисляется по следующей схеме: каждый год
все население региона стареет на один год, за вычетом умерших в каждой возрастнополовой группе2, соответствующий показатель определяется как d s (t, x) – доля умерших
лиц пола s в возрасте x за единицу времени (в году t).
В непрерывной детерминированной записи она определяется как результат решения
двух следующих дифференциальных уравнений:
1
2
Что требует, впрочем, всего лишь расширения настоящего описания, см. следующий раздел.
«мертвые остаются молодыми».
11
l s
l s
+
= - d s (t, x) l s (t, x), s=0,1,
t
x
(4)
где левая часть содержит сумму частных производных по времени t и возрасту x. Она
описывает процесс старения населения, правая же часть характеризует отток населения,
обусловленный потоком смертности d s (t,x) l s (t,x) лиц пола s в возрасте x, умерших за
единицу времени в «году» t.
Весьма важно, что левая часть носит аддитивный характер, т.е. показатель d s (t,x)
может быть разбит на сумму характеристик, каждая из которых соответствует какой-либо
причине смертности (l=1,…L), т.е.
L

l
d s (t, x) = d s (t, x),
l 1
где l d s (t,x) – доля умерших среди лиц пола s в возрасте x за единицу времени по
причине l, например, l=1 - производственные травмы, l=2 – отравления алкоголем, l=3 –
прочие отравления, l=4 – сердечно-сосудистые заболевания, l=5 – погибшие при
исполнении служебных обязанностей, l=6 – жертвы ограблений и т. п.3
Уравнения (4) позволяют учесть все причины смертности (гибели) лиц во всех
возрастных категориях. Однако для расчета уравнений (4) недостаточно задать начальные
условия в виде (3), определяемые, как правило, на основе переписи населения.
Объясняется это тем, что в ходе продолжающейся жизнедеятельности населения,
проживающего на данной территории в момент t 0 , протекает процесс рождения новых
граждан, задающийся следующими граничными условиями
~~
x
l s (t ,0) = b s
  (t, x) l
0
(t, x)dx,
(5)
~x
где
 (t,x) – показатель повозрастной рождаемости, характеризующий число
новорожденных, приходящихся в среднем на одну женщину возраста x за единицу времени
~
в году t, а b o - доля девочек ( b1 - мальчиков) среди родившихся ( b 0  b1  1 ), ~
x x ,~
нижняя и верхняя граница фертильного возраста, когда у женщин рождаются дети.
Заслуживает внимания быть отмеченным, что уравнения (4) применимы и для описания биологических
популяций, например, крупного рогатого скота, волков и зайцев с учетом их взаимодействия и т.п.
3
12
В граничных условиях (5)
интеграл характеризует поток рождений младенцев в
~
возрасте 0 у женщин разных возрастов, x  [ ~x , ~
x ]. На следующем временном такте (при
дискретном просчете модели (3–5)) новорожденные l s (t,0) перейдут в состав категории
l s (t+t, 0+x), причем t=x, так как возраст увеличивается пропорционально
прошедшему времени со дня рождения4.
Система из двух уравнений (4) начальных (3) и граничных (5) условий может быть
проинтегрирована вдоль характеристик x – t = const в фазовом пространстве независимых
переменных x, t.
x
t
Рис. 2
Причем соответствующее решение может быть выписано в аналитической форме
t
l s (t, x) = l 0s (x – t + t 0 )exp{-  d s ( , x  t    t 0 ) d  } для x  t - t 0 , s=0,1.
(6)
t0
Смысл решения (6) заключается в том, что возрастная плотность в возрасте x>t- t 0
может быть определена по ее значению в начальный момент t = t 0 и заданной динамики
повозрастной смертности d s (t, x) вдоль прямой x – t = const.
На основе решения (6) может быть определена функция дожития
t2
 (t1 , t 2 , x) = exp{-  d s ( , x  t 2   )d }.
s
t1
Ее смысл состоит в том, что она описывает долю людей в возрасте x в момент t 2 ,
доживших до t 2 , из тех, кто был живым в момент времени t1 .
Таким образом, соотношение (6) может быть записано в виде
Это условие нарушается только при больших скоростях, например, в космическом путешествии
(релятивисткая демография, пока не востребованная).
4
13
l s (t, x) = l 0s (x – t + t 0 )  s (t 0 , t, x).
(7)
Для возрастов x  t- t 0 справедливо соотношение
~
~
x
l s (t, x) =
b s   (t – x, x) l 0 (t – x, x)dx  s (t – x, t, x).
~
x
В общем случае
l s (t, x) = l s ( t   , x -  )  s (t   , t, x).
Таким образом, для вариантных расчетов численности регионального населения без
учета миграционного процесса достаточно задать прогноз динамики повозрастной
рождаемости  (t,x) и смертности d s (t,x).
Поэтому может быть сформулирована задача комплексного анализа влияния социальноэкономических процессов на динамику показателей повозрастной рождаемости и
смертности регионального населения.
В результате может быть осуществлен переход к совместному замкнутому описанию
динамики народонаселения как цели и средства коренных социально-экономических
преобразований.
5 Моделирование механического движения населения
(межтерриториальной миграции)
Как известно люди могут и склонны перемещаться в пространстве. Однако, если мы
описываем динамику возрастно-половой структуры населения (естественное движение) на
региональном уровне, то необходимо учесть как отток регионального населения
(различных полов и возрастов), так и соответствующий приток.
Таким образом, адекватное описание динамики возрастно-половой структуры на
региональном уровне требует органичного обобщения предшествующей базовой модели
естественного движения населения.
14
Весьма существенно, что представленная модель механического движения является
естественным дополнением предшествующей модели естественного движения населения
на региональном уровне5.
Указанное совокупное описание представимо в виде
l qs
t
+
l qs
x
= - d qs (t, x) l qs (t, x) -
l
q  q
s
qq
(t , x) +
l
q  q
s
qq
(t , x),
q = 1,…,Q
l qs (t 0 , x) = l qs0 (x), x  [0,  ), s = 0,1
x2
s
q
l (t, 0) = b
s
l
0
q
(8)
(9)
(t, x)  q (t, x)dx, t  [ t 0 , T],
(10)
x1
где l qs (t,x) – обозначает распределения населения района q=1,…,Q по возрасту x пола s в
момент времени t; d qs (t,x),  q (t,x) - показатели повозрастной смертности и рождаемости
s
населения района q=1,…,Q; l qq
' (t,x) – распределение потока лиц пола s в возрасте x,
мигрирующих из района q в район q  =1,…,Q, q   q в момент времени t. Здесь
предполагается, что совокупная территория разбита на q регионов, между которыми
осуществляются встречные миграционные процессы.
В рамках модели (8–10) предполагается, что в каждом регионе свой уровень
повозрастной рождаемости и смертности, относительно независящий от интенсивности
миграционного движения. Однако, если это необходимо учесть, то никаких формальных
препятствий не имеется вследствие того, что соответствующие показатели зависят от
времени.
В рамках дифференциальных уравнений (8) предполагается, что миграционные потоки
заданы экзогенно на рассматриваемом временном интервале [ t 0 ,T].
В этом случае система (8–10) также может быть проинтегрирована в квадратурах по
аналогии с (3–5) (см. Приложение 1). При этом будет просчитана динамика возрастнополовой структуры населения каждого из районов q=1,…, Q с учетом как естественного,
так
и
механического
движения.
Разумеется,
возможно
и
численное
решение
приближенного дискретного аналога системы (8) с начальными и граничными условиями
(9), (10).
5
Поэтому последнее и можно квалифицировать как базовое (системообразующее).
15
Однако весьма существенно, что дальнейший анализ миграционного процесса
позволяет наполнить модель (8–10) важными понятийными основаниями, органично
дополняющими уже изученный процесс естественного движения населения.
Цель соответствующего анализа заключается в изучении механизма формирования
миграционных потоков на основании классических представлений [5,6]. При этом будут
введены в рассмотрение следующие базовые характеристики.
Миграционная подвижность населения определяется как интенсивность миграционного
процесса и равняется отношению миграционного оттока к совокупному распределению
регионального населения по возрасту и полу, т. е.
Q
s
q
K (t, x) =
l
q  1
s
qq 
(t, x)
l qs (t, x),
q = 1,…,Q.
Таким образом, миграционная подвижность характеризует долю населения, ежегодно
принимающую участие в миграционном процессе (долю уезжающих из числа живущих на
территории данного района)6.
Значительный интерес представляет изучение зависимости миграционной подвижности
K q (t,x) от социально-экономических условий проживания в данном регионе и вне его.
При этом целесообразно проводить соответствующие исследования как с учетом
возраста и пола, так и по принадлежности к более детализированному разбиению по
выделенным социально-демографическим, например, профессиональным группам.
Представленный вариант описания, в частности, ориентирован на учет миграционной
подвижности выделенной социально-экономической группы, например, программистов,
где
45
Lsqi (t) =
K
s
qi
(t , x)l qis (t , x) - поток, покидающий регион q программистов (индекс i) пола s
20
в возрасте x от 20 до 45 лет. Если он задан, то миграционная подвижность данного
контингента определяется как
6
При этом можно учесть и переезжающих l qq (t,x) в рамках данного региона, если в этом имеется какая-либо
прагматическая потребность.
16
K qis (t) = 45
l
Lsqi (t )
s
qi
.
(t , x)dx
20
Таким образом, здесь представлены соотношения, иллюстрирующие ранее введенное
базовое понятие миграционной подвижности регионального населения.
Второй важнейшей характеристикой миграционного процесса является распределение
мигрантов по районам (регионам) вселения. Она отвечает за количественную оценку
направленности миграционного процесса.
Распределение мигрантов
 qsq (t, x) =
l qsq (t , x)
K qs (t , x)l qs (t , x)
,
по районам вселения определяется как
q  = 1,…,Q, q   q,
s

где l qq
' (t,x) – по-прежнему обозначает миграционный поток из района q в район q  q.
Нетрудно видеть, что
Q

q  1
s
qq 
(t, x)  1,  q,…,Q, x  [0,  ), s=0,1,
так как уезжающие из района K qs (t,x) l qs (t,x) обязательно куда-нибудь направляются7, а
совокупность районов q включает все варианты потенциально возможных переездов.
Таким образом, процесс межтерриториальной миграции искусственно разбит на два
этапа принятия решений – первый, когда принимается решение об оставлении данного
района q, второй о направлении переезда – куда направляется мигрант. На самом деле, если
мигрант не знает, куда уедет, то он может данный район и не покинуть. Тем не менее,
представленное разбиение весьма удобно как с «технической», так и методологической
точки зрения.
В результате получаем, что введенный в рассмотрение (8) поток переселений из района
q в район q  может быть представлен как
l qsq (t, x) =  qsq (t, x) K qs (t, x) l qs (t, x), q, q  = 1,…,Q, q   q.
7
Т.е. мы не рассматриваем случай, что кто-то куда-то собрался поехать, но передумал и т.п.
17
(11)
В случае экзогенного задания показателей миграционной подвижности и распределения
мигрантов по районам вселения на основе модели (8-11) может быть рассчитана возрастнополовая динамика населения каждого из Q районов (регионов) с учетом как естественного,
так и механического движения. Таким образом, нами представлено как детализированное
описание миграционного процесса, так и существенное обобщение базовой модели
естественного движения населения.
В Приложение 1 вынесено ретроспективное развитие представленного описания
применительно к миграционному взаимодействию между экономическими районами
нашей страны, выполненное во второй половине 70-ых годов XX века [6,7].
Оно, на наш взгляд удачно, иллюстрирует аналитический потенциал представленного
аппарата, возможность его применения для актуальной научно-исследовательской работы
на основе располагаемого эмпирического материала.
Указанный подход как раз и отвечает сформулированным выше признакам системности
развиваемого формализованного описания демографических процессов.
В его рамках можно осуществлять любые свертки используемой базы данных и
эмпирических материалов. Например, если стало известно, что Федеративная республика
Германия открыла квоту на прием 100 000 программистов, можно сразу внести
корректировку в прогнозное распределение мигрантов по районам вселения с учетом и
возрастно-полового состава семей потенциальных переселенцев.
Вторым приближением является учет влияния обсуждаемых социально-экономических
данных на уровень миграционной подвижности интересующих нас демографических групп
и т.п.
Аналогичная ситуация складывается в случае повышения уровня оплаты труда
(социального обслуживания) какой-либо профессионально-демографической группы на
территории России, что также может повлиять на динамику изменения введенных
характеристик миграционного процесса.
Подчеркиваем, что мы видим свою задачу не в решении каких-либо социальноэкономических
проблем,
а
в
разработке
адекватного
экономико-математического
инструментария8, с учетом необходимых социальных условий его реализации.
Таким образом, мы полагаем, что любые социально-политические преобразования
могут быть отражены в прогнозировании введенных характеристик миграционного
Как говорил Р. Рейган «Правительство США никаких проблем не решает, оно их финансирует», тем более
мы.
8
18
движения, на основе которых может быть просчитана и оценена динамика возрастнополовой структуры регионального населения.
Дальнейшая детализация описания может быть связана с введением широкого спектра
интересующих нас социально-демографических групп.
Так, например, в конце 70-ых годов XX века была тщательно проанализирована
направленность и интенсивность миграционного движения по 24 экономическим районам
СССР (15 союзным республик, включая 10 экономических районов РСФСР).
Цель работы заключалась в понятийном обосновании и модельной проработки оттока
населения из ряда восточных районов, несмотря на активную вербовку необходимого
контингента в других региональных образованиях.
Мы
приведем
установленные
результаты
с
целью
наглядной
демонстрации
соответствующей «техники» исследования и расчетной структуры, поскольку она
сохраняет актуальность и в современных условиях хозяйствования.
Существенно
отметить
наличие
встречных
миграционных
потоков
(иногда
взаимосвязанных (см. Приложение 1), иногда независимых [13].
В работе [13] отмечается, что открытие границ обострило экономические проблемы
вследствие утечки мозгов, т. е. опасений, что Россию покидают прежде всего люди
молодые и хорошо образованные. Согласно официальным оценкам, с 1989 до 2002 годы
Россия потеряла дополнительно 1,1 млн. человек (в основном они переехали в Германию,
Израиль или США) главным образом работоспособного возраста и с образованием выше
среднего. Однако иммиграция замедлила истощение человеческих ресурсов в России. Вопервых, чистый приток иммигрантов в количестве 5,6 млн. человек сократил естественный
спад численности населения с 5% от уровня 1989 г., примерно до 1,2% (по данным
переписи населения).
Во-вторых, приток иммигрантов был полезен, так как «по всем без исключения
параметрам – от уровня образования до возрастной группы – Россия получила больше
иммигрантов, чем потеряла. Тем самым с экономической точки зрения иммиграция в
большей степени смягчила удар по величине человеческих ресурсов России».
Приведенные рассуждения главного экономиста Всемирного банка в России (К. Рюля )
весьма интересны тем, что его в данном контексте не интересует духовно-национальный
состав населения.
Мы же указанные аспекты не стремимся затушевать или игнорировать, напротив
развиваемое описание как раз и ориентировано для анализа «тонких» и серьезных
социальных подзадач.
19
Весьма интересны высказывания К. Рюля о том, что «имеющиеся данные позволяют
прогнозировать дальнейшую урбанизацию, а не возвращение населения в сельскую
местность, но не позволяют дать прогноз, где именно будут возникать эти новые центры
урбанизации».
При этом возникает следующая дилемма – на что ориентироваться? То ли на
экономические структурные (межотраслевые) прогнозы, то ли на инвестиции в людей – в
образование, здравоохранение и в развитие общей инфраструктуры.
Автор [13] также утверждает, что «несмотря на невозможность предсказать, где именно
будет оседать значительная рабочая сила после ее перемещения из других регионов России,
движущей силой миграции будет выступать возможности трудоустройства».
Для прогнозирования указанных процессов и предназначено развиваемое описание
демографических процессов. Однако оно позволяет исследовать и любые другие
измеримые особенности социального движения.
Поэтому далее будут рассмотрены некоторые базовые межгрупповые (социальные)
переходы, включая динамику семейной и образовательных структур, а также ведущие
элементы трудовой мобильности населения.
6 Моделирование межгруппового (социального) движения
6.1 Динамика образовательной структуры населения
В данном случае нашей задачей является прогнозирование динамики возрастно-половой
структуры с учетом уровня образования, изображенной на рис. 3.
x
27
l is (t , x)
22
17
6
Рис. 3
С этой целью введем в рассмотрение N уравнений образовательной системы, например
i =1 - начальное образование, i =2 - среднее образование, i =3 - высшее образование, i =4 кандидаты наук (аспирантура), i =5 - доктора наук и т.п. Наряду с приведенной «линейкой»
20
схемой могут быть учтены и «разпараллеленные» потоки, такие как «среднее специальное»
образование, «второе высшее» и т.п.
Существенно отметить, что для каждого уровня образовательной системы можно ввести
в рассмотрение индекс специализации в виде i k , k=1,…, K i , где K i - число специализации
при обучении на уровне i =1,…, N.
Таким образом,
Ki
lis (t , x)   lisk (t , x) ,
k 1
где lisk (t , x) обозначает число лиц пола s в возрасте x, окончивших i ступень
образовательной системы по специализации k=1,…, K i .
В представленном описании указанный аспект не детализируется.
Далее будет представлена система уравнений, позволяющая просчитывать прогнозные
данные по динамике образовательной структуры населения:
lis lis

=  (d is (t , x)  u i 1 (t , x))lis (t , x) 
t
x
 i 1

s
i 1
~
~
(t , , x)li s1 (t , i , x)dx  li s (t , i , x)
0
l s (t 0 , x )  l 0s ( x), x  [ ~
xi   i , ) , s =0,1
(12)
i  1,2,...N  1 ;
где
левая часть системы уравнений (12) описывает естественное движение лиц,
окончивших i–ую ступень образовательной системы с учетом смертности – первое
слагаемое в правой части. Второе слагаемое в правой части описывает поток поступающих
на обучение на следующую ступень образовательной системы, т.е. отток лиц из данной
категории. Третье слагаемое описывает поток отсева учащихся (  i 1 - соответствующий
коэффициент отсева) с i+1 ступени образовательной системы (указанные лица снова
переходят (возвращаются) в категорию окончивших i-ую ступень образовательной
системы).
Последнее
четвертое
слагаемое
описывает
поток
окончивших
образовательной системы, когда продолжительность их обучения
i-ую
ступень
 сравнялась со
временем обучения на i-ой ступени, например, 5 годам для учебного вуза. Если учащийся
21
не был отчислен (т.е. сдал все экзамены и/или защитил диплом), то он переходит из разряда
обучаемого в разряд специалиста (получает аттестат зрелости, диплом, и т.п.)
Для категории обучающихся соответствующая система уравнений имеет вид:
~
~
~
 li s  li s  li s
~


  (d is (t , x)   is (t , , x)li s (t , , x)
t

x
~
lis (t 0 , , x)  lis0 ( , x),   [0, i ], x  [ ~
xi , ~
xi ].
(13)
(14)
lis (t ,0, x)  u is (t , x)lis1 (t , x), t  [t 0 , T ],
(15)
где левая часть описывает естественное движение обучающихся на i-ой ступени
образовательной системы, когда t=  =x0, т.е. возраст учащихся и время их обучения
на - i –ой ступени образовательной ступени меняется в соответствии с календарным
временем. При этом происходит сокращение численности вследствие естественной
смертности9 (естественное движение населения) и отсева учащихся, не справившихся с
учебным процессом – социальное движение; в данном случае предполагается, что
соответствующий показатель  is (t ,  , x) зависит от пола и возраста обучающихся, а также и
времени обучения на данной ступени образовательной системы, i = 1,…,N.
Представленная
система
рекуррентных
дифференциальных
уравнений
является
согласованной – вместе с заданными условиями она позволяет рассчитать динамику
образовательной структуры на заданном временном горизонте t  [t 0 , T ] .
Граничное условие (15) описывает пополнение обучаемых за счет поступления в году t
(момент времени) определенной доли ( u is (t , x)) лиц пола s в возрасте x, имеющих право на
поступление из числа окончивших предыдущую ступень образовательной системы.
Численность поступивших в году t на
i-ую ступень образовательной системы
составляет
~s
li (t ,0) 
~
~
xi
u
s 0,1~
xi
s
i
(t , x)lis1 (t , x)dx,
~
x i - нижняя граница возраста поступивших на обучение, а ~
где ~
x i - соответствующая
верхняя граница (например, в очную аспирантуру принимают от 22 до 35 лет). Весьма
9
Соответствующий показатель
~
d is (t , x) может не совпадать с d is (t , x) в (12 ).
22
существенно, что u is (t , x) является важным социальным показателем, характеризующим
возможность продолжения образования для окончивших i–1 ступень образовательной
системы.
При этом продолжение образования может носить как обязательный, так и конкурсный,
либо платный характер.
В первом случае u is (t , x)  1 x, s, t . Во втором случае
u is (t , x)  vis (t , x)  wis (t , x)  1 x, s, t ,
где v is (t , x ) описывает долю лиц поступающих в результате конкурсного набора на
бесплатное обучение, а wis (t , x) - доля лиц, поступающих на платное обучение – указанный
параметр является рыночным и определяется в результате равновесия спроса и
предложения на рынке платных образовательных услуг.
В
результате
управленческими
можно
определить
решениями
и
их
долговременную
долгосрочными
связь
между
текущими
социально-демографическими
последствиями.
Показатели u is (t , x) , v is (t , x ) и wis (t , x) тесно связаны с правилами (законами) призыва
на военную службу (применительно к обучению на разных уровнях образовательной
системы, включая аспирантуру).
Детализация
представленного
описания
позволяет
учесть
приобретенную
специализацию в рамках данного уровня образования, что в свою очередь позволяет более
точно учесть, например, требуемый мобилизационный, военный и гражданский состав
номенклатуры узких специализаций.
Можно также оценить и наличествующий и прогнозируемый дисбаланс между
полученной подготовкой и исполняемыми обязанностями, когда для того, чтобы торговать
мужскими костюмами потребуется высшее филологическое образование, что позволит
получить
требующийся
эмпирический
материал
для
социально-экономических
исследований и раздумий.
Прогнозирование динамики образовательной структуры населения представляет
безусловный стратегический интерес как для оценивания потенциала развития, так и
потенциальных союзников и противников.
Более
сложной
представляется
задача
оценивания
качества
образования
и
действительного уровня подготовки дифференцированного по регионам и учебным
23
заведениям. Указанная проблема также может быть решена в результате «более тонкой»
настройки предложенного выше формализованного описания, например, за счет
классификации имеющихся образовательных учреждений по брендам и районам, а также
введения в рассмотрение корректирующих коэффициентов, типа
что только каждый
третий из окончивших действительно является специалистом, распределения по
успеваемости и т.п.
Прежде чем перейти к описанию следующей системообразующей социальной группы –
динамике
семейной
структуры
населения,
отметим,
что
значительный
интерес
представляет такой показатель как бюджет семьи, а он в свою очередь зависит от состава
семьи, образовательного уровня мужа и жены (главы семьи в случае неполной семьи),
социальных условий прогнозирования в данном регионе (стране) и т.п.
Отсюда
вытекает,
что
мы
как
бы
разворачиваем
комплексное
описание
народонаселения, необходимое для оценивания потенциала его развития.
6.2 Моделирование динамики семейной структуры населения
Народонаселение региона состоит из семей и одиноких людей, которых мы будем
учитывать как простейший вид семьи.
Сделано это на основе принципа целесообразности.
Дело в том, что, во-первых, одиночка может самостоятельно вести хозяйство.
Во-вторых, он может остаться один в результате смерти супруга или развода.
В- третьих, как будет показано ниже, мы к одиночкам будем относить и повзрослевших
детей, достигших возраста 18 лет, чтобы упростить процесс моделирования последующего
заключения браков.
В-четвертых, в современных социально-экономических условиях одиночки составляют
важную и многочисленную категорию населения, вполне достойную для самостоятельного
изучения и анализа.
В-пятых, в настоящее время в России активно возрождается монашество, состоящее из
одиночек объединенных уже в рамках церковной «семьи».
Таким образом, мы в рамках настоящего анализа будем стремиться наметить только
основные особенности объекта исследования, охватывая исключительно принципиальную
схему и детализируя отдельные его аспекты с целью демонстрации
достижимой полноты изучения.
24
потенциально
Указанный подход предъявляет определенные требования к информационному
обеспечению семейного состава регионального населения, необходимому для проведения
прикладных расчетов, прогнозирования динамики семейной структуры.
Объясняется это тем, что несмотря на то, что мы претендуем на системный охват
предметной области, мы вовсе не утверждаем, что способны проработать все необходимые
ее составляющие.
Более
того
мы
утверждаем,
что
только
профессионально
грамотный
междисциплинарный коллектив единомышленников способен осуществить определенный
прорыв в реализации развиваемой концепции, а если этого не произойдет, то и прорыва
никакого не будет.
Поэтому далее будет изложена только принципиальная схема (допустимый вариант)
формализованного описания семейной динамики на региональном уровне без учета
механического движения населения.
Изложенная далее принципиальная схема формализованного описания семейной
динамики на региональном уровне представляет собой обобщение базовой модели
естественного движения населения без учета механического движения.
Соответствующее рассмотрение может составить следующий уровень описания
предметной области, нами не исследуемый.
Оценивание и прогнозирование динамики семейной структуры населения является
одной из ключевых прикладных задач демографической науки, результаты решения
которой оказывают принципиально важное влияние на комплексный анализ многих
социально-демографических процессов. Это, в частности, касается и тех направлений
исследования, которые были рассмотрены в предыдущих разделах данной работы. Так, для
точного задания введенных характеристик естественного движения населения (в первую
очередь показателя об уровне повозрастной рождаемости) необходимо знать динамику
семей, на которую, в свою очередь, сильно влияют как показатели повозрастной
смертности (существенно различающиеся для мужского и женского населения), так и
собственно "семейные" показатели об уровне брачности, разводимости и т.п.
Что касается механического движения населения, то и здесь на принятие решения о
переезде существенное влияние оказывает так называемое "семейное мышление" об уровне
доходов, условиях жизни, наличии желаемых рабочих мест и т.п., а кроме того, сам
миграционный процесс протекает либо посемейно, либо приводит к временному или
постоянному распаду семей, что, в свою очередь, существенно сказывается на динамике
естественного движения населения. Таким образом, можно говорить о наличии "сильных
взаимодействий" у трех рассматриваемых демографических процессов.
25
Достаточно интересным представляется и вопрос о выявлении связи семейной и
образовательной структуры. На нем мы специально остановимся в заключительном
разделе, где наметим схему количественного оценивания указанного взаимовлияния.
Изложение математического описания динамики семейной структуры населения начнем
с выделения типов семей и характеризующих их показателей. За основу введенной далее
классификации берем процесс воспроизводства населения, рассмотренный ранее при
моделировании естественного движения населения и представляющийся наиболее важным
среди других функций семьи с точки зрения дальнейшего использования и развития
данного варианта системного математического описания демографических процессов.
Далее будем различать следующие типы простых семей (состоящих не более чем из
двух поколений - родителей и детей): одиночки, характеризующиеся
полом (s  0, 1),
возрастом (x  0,  ), временем пребывания в указанном семейном состоянии (  ) после
достижения возраста совершеннолетия ( x 1 ), развода или овдовения (смерти супруга в
семьях, детей не имеющих) - соответствующие распределения обозначим f 0s (t,  ,x);
супружеские пары без детей, характеризующиеся возрастом супругов ( х0 - возраст жены,
x 1 – возраст мужа) и временем пребывания в браке (  ) - соответствующие pacпрeделения
обозначим f 0 t ,  , x 0 , x1  ; супружеские пары с фиксированным количеством детей (индекс
k  1,..., K ), характеризующиеся временем пребывания в последнем браке (  ), возрастом


жены и мужа x  x 0 , x1 и возрастом детей y   y1 ,..., y k  без учета их пола  
соответствующее обозначение f k t , , x, y  ; k=1,…,K; наконец, неполные семьи (без одного


из супругов) с фиксированным числом детей - соответствующие распределения обозначим

f ks t ,  , x s , y  ; k=1,…,K, где индекс s  0, 1 - пол главы семьи,  - время, прошедшее со дня
последнего изменения брачного состояния (совершеннолетия, развода, овдовения,
вступления в брак). Таким образом, общее число типов семей равняется 3(К+1), где К максимальное количество детей в семье10.
Наряду с введенными распределениями рассмотрим также распределения по возрасту и
полу холостяков (женщин и мужчин), имеющих в составе своей семьи в момент времени
t  t 0 , T  k детей, обозначенные через nks t , x  , k=0,…,K; лиц, состоящих в браке mks t , x  , и
10
Последний тип семьи может включать семьи, имеющие К и более детей.
26
детей, входящих в состав данного типа семьи p ks t , x  ; индекс s либо отсутствует для
детей, входящих в состав полных семей, либо обозначает пол главы неполной семьи11.
Раздельное рассмотрение введенных распределений объясняется тем, что нас
интересует как распределение лиц, проживающих на территории данного региона, по
типам семей, так и сама динамика семей. Следует отметить, что вторая задача гораздо
сложнее с вычислительной точки зрения: размерность соответствующих распределений
значительно больше; в то же время решение первой задачи не может быть установлено вне
точного или упрощенного решения второй задачи. Далее этот вопрос будет специально
рассмотрен.
Система дифференциальных уравнений и граничных условий, предназначенная для
s
 
расчета динамики распределений f k t , , x , y  и f k t ,  , x s , y  , s=0,1; k=0,…,K, может быть
выписана на основе учета всей совокупности переходов между введенными категориями
семей, изображенной на рис. 4. Как следует из представленной схемы, они обусловлены
следующими демографическими процессами: достижением детьми во всех категориях
семей возраста совершеннолетия и как следствие этого образование ими новых одиночных
семей; заключением браков между главами неполных семей, рождениями первого и
очередного ребенка в полных и неполных семьях, разводами в полных семьях, смертью
взрослых и детей во всех категориях семей.
Распределение детей по полу может быть рассчитано на основе задания долей мальчиков и девочек среди
родившихся и показателей повозрастной смертности для детей разного пола.
11
27
брачность b s (t , x) и рождаемость  s (t , x)
разводимость r s (t , , x) и cмертность d s (t , x)
Рис. 4. Схема переходов между введенными категориями семей
28
Переходя к непосредственному построению базовой системы уравнений, отобразим
образование одиночных семей вследствие достижения детьми, принадлежащими всем
типам семей, возраста совершеннолетия в виде следующего граничного условия по х и 
для данного типа распределений f 0s t , , x  :
K
 K

f 0s t ,0, x1   a s t , x1   pk t , x1    p ks t , x1 , t  t 0 , T .
s 0,1 k 1
 k 0

(16)
a s t , x  обозначает долю мальчиков (s=1) и девочек (s=0) среди детей, достигших
возраста х (она может быть установлена на основе данных о повозрастной детской
смертности в зависимости от пола), p0 t , x  обозначает распределение по возрасту х детей,
воспитывающихся без родителей и не входящих в состав ни одного из рассматриваемых
типов семей. Во-вторых, образование одиночных семей обусловлено разводом лиц, не
имеющих детей, либо смертью одного из супругов, а также разводом лиц в семьях,
имеющих k детей, когда эти дети остаются у второго супруга (образуют с ним новую
семью). Соответствующие граничные условия по  для всех х  x1 ,  записываются в
следующем виде:



 



f 0s t ,0, x s    r0s t , , x s  d 0s ' t , x s ' f t , , x dx s ' d 
0 x1
K 

 
+     ... p ks0 rks t ,  , x s  f t ,  , x , y ddx s dy1 ...dy k ,
k 1 0 x1 0
0
(17)
k
t  t 0 , T , s  0,1; s'  s .
Здесь r ks (t ,  , x s ) - коэффициент разводимости лиц пола s в возрасте х в семьях,
имеющих в своем составе k детей (k=0,…,K), после  лет совместного проживания в
последнем браке; р kks ' - вероятность того, что после развода в семьях, которые имели в
своем составе k детей, k' детей останутся с супругом пола s и образуют новую семью, а
k  k  детей - с супругом пола s'  s . Таким образом,
p kls  p kks ' l ,  s  s ' ,
k, l  0,1,..., K , l  k
29
d ks t , x  - показатель повозрастной смертности лиц пола s в семьях, имеющих k детей.
Уравнение динамики соответствующей категории населения (одиночек без детей) имеет
следующий вид:
1
f 0s f 0s f 0s


  1s t , , x   d s t , , x  f 0s t , , x    d s t , , y  f1s t , , x, y dy.
t

x
0


x
(18)
Здесь первый член в правой части характеризует первый тип семейного перехода,
связанный с рождением первого ребенка в семьях одиночек, 10 t , , x  - показатель
повозрастной рождаемости у соответствующей категории женского населения,  1 t , , x 
предполагается равным нулю. Второй член описывает "гибель" семьи, вызванную в момент
времени t смертью одиночек в возрасте x после  лет пребывания в данном брачном
состоянии (предполагается, что именно от этих факторов и зависит показатель
повозрастной смертности данной категории населения), третий член в правой части
описывает последний, ранее не учтенный, "межсемейный" переход, вызванный смертью
ребенка в семьях, состоящих из одного ребенка и главы семьи.
Возвращаясь к схеме переходов, представленной на рис. 4, отметим, что следующая
категория населения - брачные пары без детей, - образуется в результате заключения брака
между одиночками, детей не имеющими, а также в результате смерти ребенка в полных
семьях с одним ребенком. Первое утверждение записывается в виде следующего
граничного условия по  :



 

f 0 t ,0, x 0 , x1  b0s t , x  p0 x s , x s ' f 0s t , , x s ,
t  t 0 , T  ,
x s  x1 , ,
(19)
где b0s t , x s  - показатель повозрастной брачности у холостяков пола s в возрасте x без
детей; p 0 x 0 , x 1  - распределение, описывающее вероятность заключения брака между
одинокой женщиной в возрасте х и мужчиной в возрасте x 1 12. Отметим, что соотношение
(19) должно выполняться как при s=0 , так и при s=1, что задает условие на взаимное
задание показателей b0s t , x  и p 0 x s , x s '  .
12
В дальнейшем будет уточнена зависимость этого показателя от динамики введенных категорий населения.
30
Граничные условия по возрастам мужа и жены в брачных парах очень просты и имеют
следующий вид:

t , , x

,x  0,
f 0 t ,  , x1 , x1  0 ,
f0
0
(20)
t , , x 0 , x1 .
1
(21)
Граничные условия (20) и (21) означают, что брак может быть заключен только после
достижения каждым из супругов совершеннолетия.
Уравнение динамики плотности распределения брачных пар по возрасту и времени
состояния в браке имеют следующий вид:

f 0 f 0 f 0 f 0

 0  1   1 t ,  , x 0   d s t , x s  r s t ,  , x s
t
 x
x
s  0,1


x




x1



 x


f 0 t , , x 0 , x1   d t , y  f1 t , , x 0 , x1 , y dy.
(22)
0
Здесь первый член в правой части характеризует семейный переход, вызванный
рождением первого ребенка в семье (предполагается, что соответствующий показатель
повозрастной рождаемости зависит от возраста супруги и времени пребывания в последнем


браке, он обозначен 1 t , , x 0 , второй и третий члены (сумма по s ) характеризуют распад
брачной пары, вызванный смертью одного из супругов; четвертый член характеризует


распад брачной пары, вызванный разводом, r s t , , x s - показатель разводимости у лиц пола
s в возрасте x s после  лeт пребывания в браке и отсутствия детей в семье13; последний
член в правой части уравнения (22) описывает пополнение данной категории населения,
обусловленное смертью единственного ребенка в соответствующих полных семьях.
Переходя к рассмотрению следующей категории населения - брачных пар с одним
ребенком, отметим, что граничные условия по возрасту супругов имеют вид, аналогичный
уравнениям (20) и (21). Граничное условие по  представимо в виде
13

Отметим, что r t ,  , x
s
s
 f t, , x , x   r t, , x  f t , , x
s
s'
s'
s'
0
0
t , , x , x , s  s.
s
s'
'
31
s
, x s'





 b t, x p x
f1 t ,0, x 0 , x1 , y  
s
0
0

 b t, x p x
s
1
0
s
s
1
s
0
s
 
 

, x s ' f 0s t , 1 , x s f1s ' t , 2 , x s ' d 1d 2 
0

+
s
s
 
 

, x s ' f1s t , 1 , x s , y f 0s ' t , 2 , x s ' d 1d 2 ,
(23)
0
 
где b00 t , x 0  , b10 t , x1 - коэффициенты повозрастной брачности у женщин без детей и у
женщин с одним ребенком соответственно, p k0 x 0 , x 1  - распределения по возрасту супруга
x 1 у женщин в возрасте x 0 , имеющих k детей при вступлении в брак, т.е.




p k x 0 , x1 dx1  1 ,
x 0  x1 ,  ;
k=0,…,K.
x1
Граничное условие (23) выполняется и при замене индекса s=0
в правой части
уравнения на индекс s ' =1, т.е. при рассмотрении "брачной ситуации" с точки зрения
мужского населения, что накладывает определенные условия на введенные показатели
повозрастной брачности и распределения брачующихся по возрасту. Они будут приведены
в дальнейшем.
Рождение первого ребенка в полных семьях без детей задает следующее граничное
условие для соответствующей категории населения:




f1 t , , x 0 , x1 ,0  1 t , , x 0 f t , , x 0 , x1
.
(24)
Уравнение семейной динамики для полных семей с одним ребенком записывается в
виде
f1 f1 f1 f1 f1

 0 1
 (  2 t , , x 0   d1s t , x s 
t  x
x y
s 1, 0


 


 

x1

+ d t , y   r t , , x ) f1 t , , x , x , y    d t , y  f 2 t , , x 0 , x1 , y1 , y 2 dyi ,
0
1
0
0
1
(25)
i 1, 2 0
где первый член в правой части характеризует семейный переход, вызванный
рождением второго ребенка (соответствующий показатель повозрастной рождаемости у


женщин возраста х 0 , состоящих в последнем браке  лет, обозначен через  2 t , , x 0 );
32
второй, третий и четвертый члены характеризуют "гибель" данного типа семьи,
обусловленную смертью одного из супругов, единственного ребенка ( d t , y  - усредненный
по полу показатель повозрастной детской смертности); разводом супругов в данной


категории семей ( r1s t , , x s - показатель разводимости для лица пола s в возрасте x s после
 лет пребывания в последнем браке и наличии одного ребенка). Наконец, последние два
члена описывают пополнение данной категории семей, обусловленное смертью одного из
двух детей, не достигших возраста х 1 , в соответствующих категориях полных семей с
двумя детьми.14
Теперь могут быть выписаны уравнения динамики и граничные условия для общего
вида полной семьи, имеющей в cвоем составе k детей, при этом предположим, что
переменная y 1 обозначает возраст старшего ребенка в семье, y 2 - следующего ребенка и
т.д. Это удобно по ряду формальных соображений, так как при этом становятся легко
обозримыми такие важные демографические характеристики, как средние интервалы
между рождениями в данных типах
расчета. Отметим также
семей, и существенно упрощается процедура их
еще одну важную "техническую" деталь, которую следует
учитывать при классификации типов семей.
Будем считать, что супружеская пара и их k детей сохраняют соответствующую
семейную категорию и в том случае, если часть или все их k детей достигли взрослого
возраста x 1 , причем после этого мы уже не учитываем смертность среди "взрослых" детей,
так как они уже образовали другие семьи, где она и учитывается 15. Такой подход избран
потому, что в демографии принципиальным является вопрос о количестве детей в семье
(или о количестве детей, рожденных одной женщиной), достигших фертильного возраста.
Если
бы
мы
начали
учитывать
смертность
"повзрослевших"
детей,
сохранив
вышеизложенное правило переходов от одного типа семей к предшествующему (от f k 1 к
f k ), то получили бы искаженное представление о существующих типах семей с точки
зрения сформированного выше требования.
Отнесение взрослых детей к тому или иному супругу в случае их развода носит
формальный характер и может интерпретироваться, например, по принципу последующего
Суммирование по i = 1,2 означает следующее: в предположении, что в живых остался ребенок в
возрасте y , вначале фиксируется это значение в распределениях двухдетных сeмей для первого ребенка и
суммируется смертность по всем возрастам второго ребенка, а затем - наоборот, после чего результаты
складываются.
15
Таким образом, смерть ребенка в возрасте y  0, x1 приводит к изменению типа семьи, смерть же
взрослого приводит к изменению категории семьи, которую он возглавляет, но не той, в которой он был
воспитан.
14

33

совместного проживания. При рассмотрении любой конкретной прикладной проблемы этот
вопрос должен быть решен однозначно и заложен в модель.
На основе вышеизложенного граничное условие распределения полных семей с k
детьми по времени проживания в очередном браке   0 представимо в виде
k

f k t ,0, x, y k    
x
ji

i 1

  b t, x p x
s
i
0 0
s
i
s
 
, x s ' f i s t , 1 , x s , y j1 , y j 2 ,..., y ji
x

f ks' i t , 2 , x s ' , y ji 1 ,..., y jk d 1d 2 .
(26)
В правой части граничного условия (26) выписан переборный вариант образования
новой семьи, имеющей в своем составе k детей, как результат вступления в брак женщины
в возрасте x 0 с i детьми в возрастах y j1 ,..., y ji и одинокого мужчины - главы семьи с k-i
детьми. Громоздкость записи правой части уравнения (26) объясняется тем, что наряду с
показателем повозрастной брачности мужчины или женщины с i детьми, обозначенным
через bis t , x s , и распределением по возрасту супруга, с которым вступает в брак данное
лицо, обозначенным через pi x s , x s ' , необходимо учесть возможные сочетания возрастов
их детей и упорядочить их в соответствии с вышеизложенным принципом формирования
распределения семей, с k детьми. Этим фактом и объясняется необходимость
суммирования соответствующих распределений по j i  1,..., k  .
Граничное условие по возрасту k-го ребенка в семье ( y k  0 ) записывается в виде


f k t ,  , x, y1 ,..., y k 1 ,0   k t , , x 0 f k 1 t , , x, y1 ,..., y k 1 ,
(27)
где  k t ,  , x 0  - текущий показатель повозрастной рождаемости в семьях, имеющих k-1
ребенка после  лет, пребывания в последнем браке.
Уравнения семейной динамики для полных семей с k детьми записывается так:
f k f k f k f k f1
f

 0  1  1  ...  1k  (  k 1 t , , x 0 
t
 x
x y
y



k

+  d ks t , x s   d t , yi   rks t , , x
s 0,1
i 1
s
) f t, , x, y  
k
34

(28)
k 1
x1
i 1
0

 
 d t, y  f t, , x, y dy .
i
k 1
i
Здесь первый член в правой части характеризует семейный переход, вызванный
рождением (k+1)-го ребенка, последующие члены характеризуют "гибель" данной
категории семьи, вызванную смертью одного из супругов (сумма по s), либо одного из k
детей (сумма по i). Следующий член характеризует поток разводов для данной категории
семей - он выписан применительно к одному из супругов (относительно другого он
выглядит симметрично). И, наконец, последний член в правой части уравнения (28)
описывает поток переходов семей с k+1 ребенком в рассматриваемую семейную категорию,
вызванный смертью одного из k+1 детей16.
Для завершения данного варианта семейной динамики нам осталось рассмотреть
систему переходов для неполных семей, состоящих из главы семьи пола s и k детей.
Граничное условие по времени пребывания в данном брачном состоянии записывается в
виде


K
f t ,0, x , y1 ,..., y k  
s
k
x
s
l k





ji 1,... l ,i 1,..., l  k 0
x1
0
0


   ...


rl s t , x s plks
Clk
x

f l t , , x 0 , x1 , z1 ,..., zl ddx s ' dz j1 ...dz jl k ,
(29)
причем суммирование по i  1,..., l, i  1,..., l  k проводится в предположении, что
y i , , i=1,…,k  j  j 1 ,…,j l  k ,т.ч. y i  z j .
Оно описывает процесс пополнения данной категории семей как результат расторжения
брака в полных семьях, имеющих l детей, K  l  k , k из которых в возрасте у1 ,..., y k
остаются с супругом пола s и возраста x s ; rl s t , x s  - показатель повозрастной разводимости
в соответствующих категориях семей, p lsk - вероятность отнесения k из l детей к супругу
пола s; 1 / С lk - вероятность того, что именно дети в возрастах y1 ,..., y s останутся с данным
Разумеется, возраст k оставшихся в живых детей должен соответствовать возрастам детей, фигурирующих
в распределении, относительно которого приведено дифференциальное уравнение (28).
16
35
супругом (С lk - число сочетаний из l элементов по k). Прочие граничные условия
записываются очень просто: по возрасту главы семьи в виде
f ks t ,  , x1 , y1 ,..., y k   0
(30)
по возрастам детей как

t, , x , y ,..., y

i=1,…,k-1;
t, x  f t , , x , y ,..., y ,
f ks t , , x s , y1 ,..., y i 1 ,0, y i 1 ,..., y k  0 ,
f ks
s
1
k 1

,0   ks
s
s
k 1
s
1
k 1
(31)
 ks t, x s  - показатель повозрастной рождаемости для неполных семей, имеющих в
своем составе k-1 ребенка.
Уравнение динамики для данной категории семей представимо в виде
k
f ks f s f ks f s

f s

 s 
 ... 
 (d ks t , x s +  d t , y i   bks t , x s ) f ks t ,  , x s , y k  
t
 x
y1
y k
i 1

k 1

l 1
 d t, z  f t, , x
x1
l
s
k 1
s


k=1, …, K,
, z1 ,..., z k 1 dz l ,
(32)
0
где первый член в правой части характеризует распад семьи, вызванный смертью ее
главы, второй член (сумма по i ) характеризует влияние детской смертности на
межгрупповые переходы ( d t , y   0 y  x1 ), третий член характеризует межсемейные
переходы, связанные с образованием полных семей ( bks t , x s  - соответствующий
показатель повозрастной брачности главы данной категории семей) и, наконец, последний
член (сумма по l ) описывает пополнение данной категории семей, обусловленное детской
смертностью в неполных семьях c k+1, ребенком, причем возраста оставшихся в живых k
детей должен совпадать с возрастами детей рассматриваемой категории населения, т.е.
 i=1,…,k
 j  1,..., k  1 т.ч.
yi  z j ;
значение индекса l совпадает с номером j, на котором не достигается приведенное выше
условие.
36
И, наконец, последнюю категорию населения составляют дети, воспитывающиеся без
родителей. В соответствии со схемой переходов, приведенной на рис. 4, пополнение
данной категории населения обусловлено исключительно смертью главы семьи в неполных
семьях17 .
Соответствующие граничные условия по времени пребывания в данном состоянии
(осиротении) записываются в виде
pt ,0, x  
K   x1
   
s  0 ,1 k 1 0 x1 0
x

 

1

... d ks t , x s f ks t , , x s , y k ddx s dy j1 ...dy jK 1 ,
(33)
0
причем формирование правой части (при фиксированном x) ограничено такими
распределениями
f ks , для которых значение y j ,
j  jl , l  1,..., k  1 совпадает с х.
Уравнение динамики соответствующей категории населения записывается в виде
p p p


 d t , x  pt , , x ,
t  x
t  t 0 , T  ,
x  0, x1 ,
(34)
где правая часть уравнения (34) характеризует уровень детской смертности18.
В рамках выписанной системы дифференциальных уравнений и граничных условий
(16-34) учтены все варианты межсемейных переходов, изображенных на рис. 4. На основе
этой системы, дополненной начальными условиями



f ks t 0 , , x s , y  f ks0 ,
 
f k t 0 , , x, y   f k0 ,
(35)
p t 0 , , x   p0 ,
Одновременная смерть обоих родителей, как и любые другие "двойственные" или более многократные
события - рождение близнецов, смерть матери и ребенка и т.п., интерпретируется в рамках настоящего
формализованного описания как последовательность двух или более межсемейных переходов, что должно
учитываться при использовании конкретного эмпирико-статистического материала для информационного
обеспечения модели.
18
Правая часть уравнения (34) может быть пополнена членом, xaрактеризующим сокращение
рассматриваемого контигента одиноких детей в связи с их усыновлением (удочерением). Paзумеется, в этом
случае должны быть записаны соответствующие потоки относительно других семейных категорий
населения.
17
37
может быть построена алгоритмическая схема расчета введенных распределений

 
f ks t ,  , x s , y , f k t , , x , y  , pt , , x , достаточно, на наш взгляд, полно характеризующих
динамику рассматриваемых типов семей.
В заключение данного раздела мы рассмотрим важную вспомогательную задачу,
связанную с формализацией динамики замкнутого населения выделенного региона по их
принадлежности к данной категории семей, аналогичную той, которая была рассмотрена
при моделировании образовательной структуры населения. Напомним, что мы обозначили
распределения по возрасту лиц пола s, состоящих в браке и воспитывающих (или
воспитавших) k детей через mks t , x  , соответствующие распределения лиц, не состоящих в
браке, через nks t , x  и детей через p ks t , x  , где индекс s = 0,1 в зависимости от пола главы
семьи, а в случае брачной пары он вообще отсутствует.
Тогда на основе системы уравнений (16-35) может быть выписана следующая
математическая модель динамики введенных категорий населения:
K
 K
n0s t , x1   a s t , x1   pk t , x1   pks t , x1
s 0,1 k 1
 k 0



 
(36)
граничное условие по возрасту совершеннолетия x 1 для одиноких лиц, не имеющих
детей ( p 0 t , x  обозначает распределение детей по возрасту x, воспитывающихся без
родителей, a s t , x  долю мальчиков s=1 и девочек s=0).
Уравнение динамики распределения бездетных холостых лиц пола s по возрасту х
n0s n0s

  d s t , x   b s t , x   1s t , x  n0s t , x  
t
x


x1
K
0
k 1
+  d t , y n1s x, y dy   rks t , x  pks0 mks t , x  .
(37)
Здесь первые три члена в правой части характеризуют поток умерших, одиноких лиц
пола s в возрасте х, вступивших в брак и родивших первого ребенка; интегральный член
описывает пополнение данной категории населения, вызванное смертью единственного
ребенка в неполной семье ( n1s (x,y) обозначает распределение по возрасту y детей в семьях,
состоящих из главы семьи пола s в возрасте х и одного ребенка), и, наконец, последний
член описывает пополнение данной категории населения, вызванное расторжением брака в
38
семьях, имеющих k детей ( pks0 - вероятность того, что все k детей остаются с бывшим
супругом).
Граничные условия других распределений взрослых лиц по типам семей записываются
в виде
nks t , x1   0 ;
m ks t , x1   0 ;
k=0,…,K;
s=0,1.
(38)
Условия (38) означают в соответствии со сделанными предположениями, что
вступление в брак и рождение детей в браке и вне его происходит только по достижении
совершеннолетия.
Уравнение динамики холостых лиц, имеющих в составе семьи k детей, записывается в
виде
1
nks nks
s
s
s

 d k t , x   bk t , x    k 1 t , x    d t , y nks t , x, y dy)nks t , x  
t
x
0
x
x1
K
0
l k
+  d t , y nks 1 t , x, y dynks 1 t , x    rl s t , x  plsk mls t , x  .
(39)
Здесь первые три члена в правой части характеризуют поток умерших, а также
вступивших в брак и родивших k+1 ребенка одиноких (незамужних, холостых) лиц пола s в
возрасте х (  k1 t , x   0, k , x ), четвертый и пятый члены характеризуют поток одиноких
лиц с k детьми, выбывающих и пополняющих данную категорию населения вследствие
смерти одного из k или k+1 детей соответственно ( n ks t , x, y  обозначает усредненное19
распределение детей по возрасту y у лица данной категории населения в возрасте х),
последний член (сумма по l) описывает поток лиц данного пола и возраста, которые
развелись со своим супругом, причем k детей из l имевшихся в распавшейся полной семье
остались с ним.
Уравнение динамики распределения по возрасту и полу лиц, состоящих в браке и
воспитывающих k детей, записывается следующим образом:
19
По всем k детям.
39
mks mks

 d ks t , x   rks t , x    k( s)1 t , x  
t
x

x1
-  d t , y m t , x, y dy   d t , y  mks t , x, y dy )mks t , x  
s'
s
k
x1
(40)
0
x1
K
0
k 1
+  d t , y mks 1 t , x, y dymks 1 t , x    bls t , x nls t , x N lsk l t , x  ,
где первые три члена в правой части характеризуют поток смертей, разводов и
рождений очередного ребенка у лиц пола s и возраста х, состоящих в браке и
воспитывающих
k
детей
(скобки
у верхнего
индекса
показателя
повозрастной
рождаемости  k( s)1 t , x  введены для того, чтобы отличить его от соответствующего
показателя у одиноких лиц20), четвертый и пятый члены характеризуют поток выбывших
лиц рассматриваемой категории населения вследствие смерти супруга и одного из k детей
( mk( s ) t , x, y , mks t , x, y  обозначает распределение по возрасту y супруга и детей для
данного лица в возрасте x пола s соответственно), следующий (шестой) член описывает
пополнение данной категории населения вследствие смерти одного из детей в семьях с k+l
ребенком; последний член (сумма по l) описывает пополнение данной категории лиц
вследствие заключений браков одинокими лицами пола s возраста х, имеющими l детей, с
одинокими лицами другого пола с k-l детьми (N lsk l t , x  ) обозначает вероятность такого
брака).
Выписанная система дифференциальных связей и граничных условий (36-40),
дополненная начальными условиями
20
nks t 0 , x   nks0 x ,
x  x1 ,  ;
mks t 0 , x   mks x ,
s=0,1;
pt 0 , x   p0 x ,
x  0, x1 
k=0,…,K;
(41)
Отметим, что показатель повозрастной "рождаемости" у мужского населения (s=1), состоящего в браке,

рассчитывается
по
формуле
 k(1) t , x    mk(1) t , x, y  k( 0) t , y dy,
где
m k(1) t , x, y  означает
x1
распределение по возрасту y жен, состоящих в браке с супругами в возрасте x для семей с k-1 ребенком.
40
позволяет рассчитать половозрастную динамику населения замкнутого взрослого
населения рассматриваемого региона с учетом его принадлежности к введенным типам
семей.
Динамика распределения по возрасту х детей, воспитывающихся без родителей,
описывается следующим дифференциальным уравнением:
 K
p0 p0

 d t , x  p0 t , x      d ks t , y nks t , y, x n s t , y dy ,
t
x
s  0 ,1x1 k 1
(42)
где первый член характеризует поток умерших рассматриваемой категории населения, а
второй член (сумма по k) - ее пополнение, вызванное смертью главы неполной семьи и
перехода его k детей в разряд сирот ( n ks t , y, x  , как и ранее, обозначает распределение
детей по возрасту x у одиноких лиц пола s в возрасте y). Соответствующие граничные и
начальные условия могут быть записаны в виде
p0 t ,0  0 ;
t  t 0 , T ;
p0 t 0 , x   p 0 x  ;
x  0, x1  .
Система
(43)
уравнений, описывающая динамику распределений прочего детского
населения региона по возрасту и его принадлежность к рассматриваемым семейным
категориям, может быть записана в виде

p ks t , x    nks t , y, x nks t , y dy ;
x  0, x1 ;
s=0,1;
x1

p k t , x    mks t , y, x mks t , y dy ;
k=1,…,K.
(44)
x1
Система уравнений (42-44) позволяет рассчитать распределение детского населения по
его принадлежности к
введенным типам семей. Тогда задачу по построению
математического описания динамики семейной структуры населения можно считать
полностью решенной.
41
6.3 Обоснование системного характера проведенного исследования
Прежде чем перейти к теоретическому рассмотрению данной темы, остановимся на
вопросе о взаимосвязи двух уровней "семейной динамики", представленных в предыдущем
разделе. Напомним, что вначале было развито подробное математическое описание
семейной динамики, а затем был автономно выписан один из возможных срезов общего
семейного описания, позволивший квалифицировать замкнутое население выделенного
региона по его принадлежности к введенным категориям семей. При этом был введен ряд
демографических
непосредственно
характеристик,
на
основе
которые
имеющихся
либо
должны
эмпирических
быть
данных,
установлены
либо
подлежат
специальному определению. К последним относятся распределения супругов по возрастам,
обозначенные через m ( s ) t , x, y , и распределения детей по возрастам в зависимости от
возраста главы семьи или одного из супругов в полных семьях, обозначенные через
n ks t , x, y  и mks t , x, y  ; s=0,1 соответственно. Далее будет установлена связь между ними и
общесемейными распределениями, подлежащими определению (являющимися искомыми)
на первом этапе рассмотрения проблемы. Нетрудно увидеть, что




0
0
mk( s ) t , x s , x s '  
mks t , x, y  




... f k t ,  , x s , x s ' , y1 ,..., y k ddy1 ...dy k
m s t , x  ;
0

1
s
mk t , x  0
 x1

x1 0
x
1
 
... ( f k t ,  , x , y ddx s ' dy 2 ...dy k 
0
 
 
+ f k t ,  , x , y ddx s ' dy1 dy 3 ...dy k  ...  f k t , x, x , y ddx s ' dy 1 ...dy k 1 );
nks t , x, y   

x1
0
0

x1
... ( f ks t , , x, y, y 2 ,...., y k ddy 2 ...dy k 
0
+ f ks t ,  , x, y1 , y,... y k ddy1 dy 3 ...dy k  f ks t ,  , x, y1 ,... y k 1 , y ddy 1 ...dy k 1 )
1
.
n t , x 
s
k
На основе рассмотрения некоторого общего описания и одного из его срезов,
ориентированного на непосредственно интересующую исследователя проблему, удается,
во-первых, четко зафиксировать объем и номенклатуру внешней (экзогенной) информации,
необходимой для ее количественного анализа, а во-вторых, уточнить место данной
информационной базы в общей схеме описания процесса, что позволяет в ряде случаев
использовать более простые исходные предположения. Таким образом, связь между
42
различающимися уровнями описания целостной сложноорганизованной проблемы не
является формальной; она позволяет выявить дополнительные (системные) свойства
рассматриваемого объекта исследования. В этом как раз и проявляются особенности
сложных социально-экономических, биологических и ряда других объектов, являющиеся
предметом исследования нового направления в общенаучной методологии, названного
системным анализом и призванного исследовать "организованную сложность" объекта в
его целостности [14]. На наш взгляд, при изучении такого рода объектов нa основе
разработки их формализованных описаний надо исходить из предположения, что
подвижны сами границы и категории, использованные при их построении. Такой подход
позволяет выявить характеристики объекта, которые могут остаться скрытыми при
исходном задании жесткого и единственного варианта построения математического
описания проблемы.
Следует отметить плодотворность указанного подхода не только в случае работы с
эмпирическим материалом, но и при теоретическом (абстрактном) рассмотрении самого
объекта исследования и той прикладной задачи, которая интересует исследователя, что в
какой-то мере мы постарались проиллюстрировать на примере "двойственного" описания
семейной динамики. Обобщая высказанное утверждение, можно говорить о единстве
объекта, цели и средств его исследования. В качестве критерия (оценки) эффективности
такой деятельности выступает степень адекватности разработанного описания процесса
при некоторых фиксированных (но не заранее постулированных) требованиях на объем
информационной базы и количество вычислительных операций, необходимых для
проведения прикладных расчетов по модели. Переход от данного уровня описания к более
полному позволяет не только количественно уточнить решение исходной проблемы, но и
переосмыслить круг понятий, используемых при ее первоначальном рассмотрении, что как
раз
и повышает
степень
адекватности модели
именно за счет
более точной
методологической направленности исследования.
6.4 Предварительный анализ процессов трудовой мобильности
Под трудовой мобильностью обычно понимают перемещение рабочей силы на новые
рабочие места. При переходе на новое рабочее место возможна смена вида занятости, а
также профессии, места жительства и региона работы, а также изменение уровня дохода.
На принятие решения о трудовой миграции оказывают влияние следующие факторы:
возраст мигранта, размер его семьи, издержки, связанные с переездом, информация о новом
43
месте работы и жительства, выгоды на новом рабочем месте (более высокая заработная
плата, возможность получения гражданства, более развитая инфраструктура).
Трудовая мобильность населения влияет на количественное распределение населения
по территории страны и его качественный состав.
При этом следует подчеркнуть, что в настоящее время анализ процессов трудовой
мобильности существенно усложнился.
В годы плановой экономики был накоплен определённый опыт «управления»
миграционными потоками, нашедший в частности отражения в данной работе (разделы 5,
6.5, Приложение 1).
Однако неэффективный хозяйственный механизм и его идеологическое прикрытие
привели к распаду СССР и образованию жестких государственных перегородок между
рядом его бывших экономических районов и «органичных» источников перераспределения
трудовых ресурсов.
Соответственно претерпели кардинальное изменение и варианты решения проблемы
трудовой мобильности.
По нашему мнению, в дальнейшем ее роль еще более возрастет и может стать
системообразующей с точки зрения формирования стратегически целостной концепции
социально-демографического развития (см. также Приложение 2).
Поэтому
в
рамках
предварительным
этапом
представленного
моделирования
материала
процессов
мы
ограничимся
трудовой
только
мобильности,
не
затрагивающим, в частности, коренную проблему этнического развития России [20].
При этом только отметим, что потоки трудовой миграции должны отвечать не только
состоянию рынка труда, спросу на рабочие места, но и интересам страны. Необходимо
четко представлять, какой национальности, квалификации, образовательного уровня
должны быть такие трудовые мигранты, какого возраста и пола.
С точки зрения внутренних потоков трудовой миграции существует проблема
массового выезда населения северных и северо-восточных регионов страны в связи с
неразвитостью инфраструктуры, тяжелыми условиями жизни, низкой оплаты труда.
Для
того,
чтобы
структура
размещения
трудовых
ресурсов
соответствовала
размещению отраслей национальной экономики и природных ресурсов на территории
государства, необходимо управлять процессами миграции и трудовой мобильности, их
прогнозировать и моделировать.
Однако управление потоками трудовой миграции должно опираться не только на
фактически складывающуюся ситуацию, но и на объективные закономерности процессов
трудовой мобильности.
44
Миграция населения коренным образом изменяет качественный состав населения
отдельных регионов и их возрастно-половую структуру в связи с неравномерным участием
в миграции различных социальных групп.
В связи с этим необходимо помнить, что наличие качественных (квалифицированных)
трудовых ресурсов является важным вложением в развитие экономики данного региона,
своего рода инвестициями. С этой точки зрения процессы трудовой мобильности и
инвестирования значительно схожи, что может быть отражено в моделировании и делает
возможным применение формул, обычно применяемых к инвестиционному процессу.
Принимая решение о трудовой миграции, работник прежде всего принимает во
внимание уровень заработной платы на новом месте работы и издержки на переезд.
Заработная плата на новом месте должна быть существенно выше, чем на старом и
полностью оправдывать издержки от переезда.
При выборе направления (места жительства и работы) при трудовой миграции работник
выбирает тот вариант, где выше чистая текущая стоимость выгод от миграции.
При этом принимаются во внимание интересы всех членов семьи. Чем выше возраст
мигранта и больше размер его семьи, тем ниже вероятность миграции. Возрастают
моральные издержки: разрыв связей с родственниками и друзьями.
Адекватная межрайонная трудовая миграция должна способствовать объединению
регионов страны (в противоположность их разобщенности в современных условиях),
укреплять
государство
и
трудовой
потенциал,
способствовать
реализации
профессиональных навыков населения и повышению его образовательного уровня.
6.5 Моделирование трудовой мобильности однородной социальной
группы
Модель базируется на следующих основных предположениях. Произведено выделение
по
профессиональному
признаку
однородной
социально-демографической
группы
населения. Рассматривается Q экономических районов и задано число работающих лиц
данной группы в каждом из них, распределенных по имеющимся рабочим местам. Каждое
рабочее место в районе q, q=1,...,Q характеризуется одномерным интегральным
показателем   1, 2], называемым далее «уровнем дохода» и являющимся некоторой
абстрактной мерой благ, которые получает индивид, занимающий данное рабочее место в
районе q.
Будем считать известным распределение работающих по рабочим местам с уровнем
45
дохода  в начальный момент времени t 0 , которое обозначим через l q (t 0 , ). Кроме того,
будем считать заданным распределение рабочих мест по уровню дохода на временном
интервале планирования t  [t 0 ,Т], обозначаемое далее через  q (t,). Таким образом,
 q (t ,  )   q (t ,  ) - l q (t,  ) обозначает распределение свободных рабочих мест по уровню
дохода в момент времени t  [t 0 ,Т, где 1 q (t,  ) — распределение работающих по уровню
дохода в момент времени t  [t 0 , Т], подлежащее определению.
Термин «однородное население» означает, что, во-первых, все лица рассматриваемой
социально-демографической группы могут занимать рабочее место с произвольным
уровнем дохода  , а во-вторых, все они стремятся повысить свой уровень дохода, причем
их поведение зависит от того, какой уровень дохода они имеют в данный момент времени.
Предполагается, что изменение уровня дохода может быть произведено только в результате
увольнения и последующего трудоустройства. Не рассматриваются вопросы, связанные с
квалификацией, трудоотдачей и «естественным» продвижением работающих и не
учитывается влияние перечисленных факторов на исследуемый процесс текучести рабочих
кадров.
Гипотеза 1. Будем считать, что вероятность увольнения (по собственному желанию)
лица с доходом  в районе q за единицу времени, обозначенная через Р qy ( ) ),
пропорциональна соотношению числа работающих с большим уровнем дохода в районе q к
общему числу работающих, т. е.
P (t,  ) = k
y
q
1
q
2
2
 l
q
(t,  ) d    l q (t ,  )d ,
q=1, …, Q,
1
где k 1q — коэффициент пропорциональности. Приведенный вариант зависимости числа
уволившихся от уровня доходов представляет собой простейшую формализованную запись
влияния степени удовлетворенности работающего на принятие решения о смене места
работы, если предположить, что удовлетворенность определяется только уровнем дохода.
Возможны и другие формы записи, соответствующие, например, случаю, когда
вероятность увольнения лица с доходом  пропорциональна количеству свободных
рабочих мест с более высоким уровнем дохода, т.е.
46
2
P
( y)
q
(t,  ) =k
 
q
1 
q 2
(t ,  )d
q=1,…, Q.
,
 
q
(t ,  )d
1
На основе качественного изучения рассматриваемого процесса возможно обобщение
приведенных соотношений.
Гипотеза 2. Будем далее считать, что уволившееся лицо с доходом  в районе q либо
стремится перейти на новое место работы в районе q с уровнем дохода  '>  , либо
принимает решение о переезде в район q' с тем, чтобы трудоустроиться там на рабочее
место с доходом  ' >    qq' , где  qq' некоторое пороговое значение изменения дохода,
оправдывающее переезд. Одно из простейших предположений о виде зависимости
вероятности переезда лица с доходом
в районе q в район q' заключается в том, что
вероятность переезда пропорциональна отношению числа свободных рабочих мест в
районе q с доходом  ' >    qq , к численности свободных рабочих мест в районе q с
доходом  '>  , т. е.
2
П
P qq'
(t,  )=k 2qq'



q'
(t ,  )d
 qq '
2
 
q
q, q  =1,…, Q,
;
(45)
(t ,  )d

где kq2q — некоторый нормирующий множитель. Соотношение (45) может быть
уточнено явным включением в рассмотрение числа претендентов на свободные рабочие
места в районах q и q'. Если предположить, что уволившимся лицам в районе q неизвестно
количество свободных рабочих мест в районе q' и принятие ими решения о переезде
базируется на информации о среднем уровне доходов в районе q', выражение для
вероятности переезда может быть записано, например, в виде
2
П
P qq'
(t,  )=k 2qq'
 l q (t , )d
  qq '
2
l
1
q'
(t ,  )d
2
 l
q
;
2
l
(t ,  ) d
q
(t ,  ) d
1
47
как отношение доли лиц данной группы в районе q', имеющих доход, больший  +  qq ' ,
к доле лиц в районе q, имеющих доход, больший  .
Гипотеза 3 (принцип заполнения рабочих мест). Вероятность предоставления работы с
доходом  уволившемуся лицу не зависит от предшествующего уровня доходов и района
проживания. Если поток претендентов на свободные рабочие места в районе q не
превышает количества свободных рабочих мест, то вероятность предоставления индивиду
рабочего места в районе q с доходом
 , обозначенная через f q (t,  ), описывается
соотношением
f q (t,  ) =  q (t ,  )
q=1,…,Q;
2
 
q
(46)
(t ,  )d ,
1
в противном случae
f
3
q (t,  )=k q (t)
 q (t ,  )
2
 
q
,
(47)
(t ,  )d
1
где k 3q (t) есть отношение количества свободных рабочих мест в районе q к общему
числу претендентов на рабочие места в районе.
Гипотеза 4. Если лицу, уволившемуся в районе q с рабочего места с уровнем дохода  ,
предоставлено рабочее место с уровнем дохода  '>  в районе q или с уровнем дохода
  >    qq в районе q', он переходит на новое место работы; в противном случае он
возвращается на прежнее рабочее место в районе q с уровнем дохода  .
Таким образом, в рассматриваемом варианте предполагается, что уволившееся лицо не
рискует снизить уровень дохода, так как оно либо трудоустроится на новом рабочем месте
с более высоким уровнем дохода, либо вернется на прежнее рабочее место.
В соответствии со сделанными предположениями опишем процесс социальной
динамики рассматриваемой группы, протекающий по следующей схеме. В каждый момент
времени t  [t 0 ,T] известно распределение свободных и заполненных рабочих мест, в
соответствии с которым формируется поток уволившихся. Поток уволившихся в районе q с
48
рабочих мест с уровнем дохода  , обозначенный через  q (t,  ), задается соотношением
q (t ,  )  l q (t ,  ) PqY (t,  ),
поток же мигрирующих в район q за единицу времени обозначим через
m qq' (t,  ) = q (t ,  ) PqqП' (t ,  ),
q, q' = 1, ...,Q; q '  q.
Поток претендентов на свободные рабочие места в районе q в момент времени t,
обозначенный через r q (t), описывается соотношением
2
r q (t) =   q (t ,  )(1   P (t ,  )) d 
П
qq '
q'
1
2   qq'
 
q ' q
q
(t ,  )PqП'q (t ,  )d ,
q =1,…,Q.
(48)
1
Доля вновь трудоустроившихся в районе q лиц с уровнем дохода  (на прежнем
рабочем месте), обозначенная через v q (t,  ), определяется равенством
2
v q (t,  )=  f q (t ,  ' )d ' ,
q,=1, ..., Q;

доля же трудоустроившихся в районе q' мигрантов из района q с уровнем дохода  ,
обозначенная через v qq ' (t ,  ) ,— равенством
v qq' (t ,  ) 
2
f
q'
(t ,  )d ,
q, q'=1,...,Q; q'  q.
   qq'
Заметим, что vqq' (t ,  )  vq (t ,    qq' ) . Последнее равенство означает, что вероятность
трудоустройства у мигранта из района q с уровнем дохода  в районе q' равна вероятности
трудоустройства уволившегося в районе q' с уровнем дохода  +  qq' .
В предположении, что заданы потоки впервые трудоустроившихся лиц, поступающих,
например, из системы «профессиональное обучение» q  (t), q=l,...,Q, и потоки лиц,
49
покидающих рассматриваемую систему (выход на пенсию, переобучение и т.п.) q (t,  ),
q=l,...,Q, можно выписать следующее уравнение, показывающее изменение числа
заполненных рабочих мест с уровнем дохода  :
dl q (t ,  )
dt
= - q (t ,  ) -  q (t ,  ) [(1-  PqqП' (t ,  )) v q (t ,  )   PqqП' (t ,  )v qq ' (t ,  ) +
q ' q

q ' q
+ f q (t ,  ) [   q (t ,  ' )(1   P (t,  ' )) d '
1
q ' q
П
qq '
   q 'q
 
q ' q
q
' (t ,  ' ) PqП'q (t ,  ' )d ' + q (t ,  ), q=1,...,Q;
1
где q (t ,  ) — распределение поступающих из системы «профессиональное обучение»
по рабочим местам, причем
2


q
(t ,  )d  q (t ).
1
Изменение количества свободных рабочих мест с уровнем дохода  описывается
уравнением
 q (t ,  )   q (t ,  ) l q (t ,  );
q=1,…,Q; t  t 0 , T ,
Поток мигрантов из района q в район q' описывается соотношением
2
2
1
q ' q 1
m qq' (t) =  mqq' (t ,  )d    mq 'q (t ,  )(1  v q 'q (t ,  ))d  ,
q,q'=1,…,Q; q'q,
где первый член соответствует прямому миграционному потоку из района q в район q',
второй же член описывает поток нетрудоустроившихся в районе q лиц, выходцев из района
q'=1, ..., Q; q'q.
На основе вышеприведенной системы уравнений может быть изучено влияние
различных внешних факторов и управляющих воздействий на рассматриваемый процесс
заполнения рабочих мест. Например, могут быть проведены вариантные расчеты текучести
кадров в зависимости от сближения или дальнейшей дифференциации уровня доходов в
50
ходе планового периода, если предположить неизменность поведенческих характеристик
выделенной группы населения; оценено изменение миграционных потоков в результате
появления новых рабочих мест в каком-либо из районов с относительно более высоким
уровнем дохода; изучено влияние того или иного варианта кадровой политики на процесс
заполнения свободных рабочих мест и т. п. Возможные обобщения данной модели могут
быть связаны как с развитием представлений о поведенческих свойствах населения, так и в
результате расширения описания, связанного с включением в рассмотрение некоторой
совокупности социальных групп и учета их взаимосвязи.
7 Обобщающие выводы
В рамках данного учебного пособия представлен последовательно развиваемый аппарат
формализованного описания различных срезов регионального населения с учетом
миграционного процесса и трудовой мобильности.
На его основе, в принципе, возможно обеспечение социального мониторинга как
выделенных демографических групп, так и целостный анализ всего располагаемого
«ресурса».
Разработка формализованного описания позволяет более точно обозначить сам объект
социально-экономического анализа, как правило, размытый в рамках вербального
рассмотрения предметной области.
Таким образом, базовая цель его построения заключалась в продвижении по пути
собственно научного и социально зрелого изучения сложных взаимосвязей современного
демографического процесса.
Несмотря на то, что наше исследование носит иллюстрирующий характер, мы всё же
полагаем, что на его основе могут быть сформированы и проанализированы актуальные
задачи социального планирования и управления.
В этой связи в Приложении 2 представлены результаты актуальных социальнодемографических рассмотрений применительно к РФ. Для комплексного анализа
имеющихся «вызовов» и предназначена наша учебная работа.
51
Приложение 1 Ретроспективное прикладное исследование
миграционных процессов
В ряде работ, посвященных эмпирическому изучению миграционного движения
[6,16,17], было отмечено, что миграционная подвижность некоренного населения данного
района значительно выше миграционной подвижности его коренного населения.
В свою очередь миграционная подвижность некоренного населения сильно зависит
от времени проживания на территории данного района и района первоначального выхода.
Отмеченные
свойства
послужили
основанием
для
проведения
дальнейшей
структуризации населения каждого из рассматриваемых районов.
С этой целью наряду с распределением по возрасту и полу коренного населения
данного района lqs (t , x) введем в рассмотрение распределение лиц, вышедших из состава
коренного населения района q и проживающих в течение  лет в районе q , по возрасту
x и полу s в текущий момент t, которое обозначим через sqq (t , , x) . Тогда число Lqq  (t )
лиц - выходцев из состава коренного населения района q , находящихся в момент t в
районе q и еще не перешедших в состав его коренного населения 21, равно:
 Tqq 
Lqq (t ) 
 
s  0 ,1 0 0
s
qq
(t , , x)ddx.
(П.1)
Численность совокупного населения района q определяется соотношением

Lq (t ) 
  lqs (t, x)dx 
s 0,1 0
Q
L
q1, q q
qq
(П.2)
(t ).
Далее предполагается, что доля лиц, переехавших в данный район и не
адаптировавшихся в новых условиях, зависит от возраста и пола и уменьшается с
увеличением времени проживания. Соответствующий параметр модели – коэффициент
«вытеснения» vqsq (t , , x) - задается как отношение плотности по времени проживания 
и возрасту x потока уезжающих в момент времени t лиц – выходцев из района q  ,
находящихся в течение  лет в районе q, к их плотности по времени проживания  и
21
Время приживаемости
Tqq будет определено чуть позже.
52
возрасту х в районе q. Таким образом, коэффициент «вытеснения» является аналогом
понятия миграционной подвижности применительно к введенной категории некоренного
населения. С ростом 
он уменьшается и постепенно приближается к уровню
миграционной подвижности коренного населения, что и определяет ранее введенный
показатель «время приживаемости» Tqq , после достижения которого некоренное
население района переходит в состав коренного. Для замыкания совокупной модели нам
осталось рассмотреть вопрос о направленности миграционных потоков из состава
некоренного населения.22
Далее предполагается, что определенная доля лиц, покидающая район q, - выходцев
из района q  - возвращается в район q  и попадает в состав коренного населения.
Обозначив ее через  qsq (t , , x) , можем выписать вторую составляющую распределения по
возрасту совокупного миграционного потока из района q в район q  :
Tqq 
2
 (t , x)    qsq (t , , x)v qsq (t , , x)sqq (t , , x)d .
s
qq
(П.3)
0
Распределение прочих мигрантов из состава некоренного населения по районам
вселения определяется временем проживания, районом проживания и индексом района
выхода. В рассматриваемой модели предполагается следующий характер этой
зависимости: с увеличением времени проживания на территории данного района q
уменьшается доля лиц, распределение которых по районам вселения совпадает с
распределением мигрантов из состава коренного населения района первоначального
выхода q , и соответственно возрастает доля лиц, распределение которых по районам
вселения совпадает с распределением мигрантов из состава коренного населения района
проживания q. Соответствующие обозначения -
 qsq (t , , x) и  qsq (t , , x), причем
естественно предположить, что  qsq (t , , x) монотонно убывает по  на интервале [0,
Tqq ]. В результате вторичной миграции лиц из состава некоренного населения они
попадают в состав некоренного населения района вселения, а индекс района их
распределения по районам вселения определяет индекс района выбытия. Подобное
22
Что касается миграционного потока из состава коренного населения, то он совпадает с формулой (11);
введя его новое обозначение
1
 qsq (t , x),
имеем
1
q   q; s=0,1.
53
 qsq   qsq (t , x) K qs (t , x)l qs (t , x); q, q   1,... ,Q;
построение представляет собой способ описания процесса адаптации переселенца в
новом районе: переходу в состав коренного населения данного района предшествует
период изменения распределения по районам вселения мигрантов из состава некоренного
населения
и
снижения
миграционной
подвижности
до
уровня
миграционной
подвижности коренного населения данного района. Соответствующее распределение по
возрасту х миграционного потока из района q в q  лиц – выходцев из района q   q, q  ,
распределение которых по районам вселения совпадает с распределением мигрантов из
состава коренного населения района q  , описывается
3
 (t , x) 
s
qq

(q)

q  q
Tqq 
s
qq
(t , x)   qsq (t , , x)vqsq (t , , x)sqq (t , , x)d ,
(П.4)
0
q, q   1,..., Q,
q   q,
s  0,1.
Так как эти лица не могут мигрировать в район q, соответствующая функция
распределения, обозначенная далее как
(q)
 qsq (t , x), несколько отличается от исходного
распределения  qsq (t , x). Связь между ними задается соотношениями
(q)
 qsq (t , x) 
 qsq (t , x)
q   1,..., Q,
(1   qsq (t , x)),
q   q, q   q , причем

q  q
(q)
 qsq (t , x)  0,
q   1,..., Q,
(q)
 qsq (t , x)  1,
s=0,1.
Распределение же по возрасту x последней составляющей миграционного потока из
района q в q  лиц - выходцев из района q   q, q , распределение которых до районам
вселения определяется распределением мигрантов из состава коренного населения
района q, описывается
4
 (t , x) 
s
qq

q  q
q, q   1,..., Q;
( q )
Tqq 

s
qq
(t , x)   qsq (t , , x)v qsq (t , , x)sqq (t , , x)d ,
0
q   q,
s=0,1.
54
(П.5)
Введенные доли  ,  ,  удовлетворяют тождеству
 qsq (t , , x)   qsq (t , , x)   qsq (t , , x)  1,
q, q   1,... ,Q,
q   q,
s=0,1.
Прежде
выписать
замкнутую
чем
систему
уравнений,
характеризующую
миграционный процесс с учетом естественного движения населения, необходимы
следующие коэффициенты: повозрастной смертности
некоренных жителей района q -
выходцев из района q пола s d qsq (t , x) , повозрастной смертности коренного населения
района q d qs (t , x), а также повозрастной плодовитости  q (t , x) и  qq (t ,  , x) у коренного и
некоренного женского населения района q соответственно.
Можно показать [6], что изменение плотности sqq (t , , x) по времени проживания и
возрасту для некоренного населения района q - выходцев из района q  описывается
уравнением
sqq (t , , x)
t

sqq (t , , x)


sqq (t , , x)
x
 [vqsq (t , , x)  d qsq (t , x)]sqq (t , , x),
s=0,1
(П.6)
Слева стоит полная производная по времени вдоль прямой t    const , t  x  const ,
а справа - сумма плотностей по возрасту х и времени проживания  потоков уезжающих
и умерших в момент t. Заметим, что в пространстве t,  , x некоренной житель движется
вдоль прямой, параллельной t    x . Поэтому для решения (П.6) необходимо задать
начальные и граничные условия
sqq (t 0, , x)  0qqs  ( , x),
(П.7)
sqq (t ,0, x)  l qsq (t , x),
(П.8)
x2
sqq (t , ,0)  b s  0qq (t , , x)  qq (t , , x)dx,
x1
где l qsq (t , x) - плотность по возрасту х потока приезжающих в район q выходцев из
района q  (см. П.11); x1 , x2 - крайние значения области фертильности, а b 0 ,b1 - доля
55
девочек и соответственно мальчиков среди родившихся. Условие (П.8) выписано в
предположении, что время проживания ребенка на территории данного района совпадает
со временем проживания его родителей (матери). Такой подход представляется наиболее
естественным при моделировании процесса приживаемости.
Можно выписать решение уравнения (П.6) в квадратурах, если разбить пространство
t,  , x на три области и воспользоваться одним из условий (П.7)-(П.8):
sqq (t , , x) 

l (t   , x   ) exp{ [vqsq (t     , , x     )  d qsq (t     , x     )]d },
s
qq
0
при t    0, x    0,
t
 (  t  t 0 , x  t  t 0 ) exp{  [vqsq (t ,  t  t , x  t  t )  d qsq (t , x  t  t )]dt },
0, s
qq
t0
при   t  t 0  0, x  t  t 0  0,
x2
x
x1
0
b s  0qq (t  x,   x, y )  qq (t  x,   x, y )dy exp{  [v qsq (t  x  x ,   x  x , x ) 
 d (t  x  x , x )]dx }, при t  x  0,   x  0,
где первая строчка справа описывает динамику некоренного населения района q,
приехавшего после момента t 0 , вторая - динамику некоренных жителей района q,
проживающих в момент t 0 на территории района q, и, наконец, третья - динамику
родившихся у некоренного населения района q - выходцев из района q' .
Плотность l qsq (t , x) по возрасту х потока выходцев из района q', переходящих в
состав коренного населения района q, в результате проживания Tqq лет в районе q
l qq (t , x)  sqq (t , Tqq , x),
q, q   1,..., Q, q   q, s=0,1.
(П.9)
Изменение плотности по возрасту коренного населения района описывается
уравнением
l qs (t , x)
t

l qs (t , x)
x
 [ K qs (t , x)  d qs (t , x)]l qs (t , x)   ( 2  qsq (t , x)  l qsq (t , x))
q  q
56
(П.10)
вдоль прямой t  x  const с начальными l qs (t 0 , x)  l q0 ( x) и граничными условиями
l (t ,0)  b
s
q
x2
s

q
(t , x)l q0 (t , x)dx.
x1
Для получения замкнутой системы уравнений и проведения соответствующих
расчетов необходимо выписать недостающее соотношение относительно плотности по
возрасту х потока мигрантов - выходцев из района q  , попадающих в момент времени t в
состав некоренного населения района q , которое обозначено выше через l qsq (t , x) . В
соответствии со сделанными предположениями об изменении индекса района выезда в
результате вторичной миграции имеем
l (t , x)  K (t , x)
s
qq

s
q
( q )
s
qq
(t , x)l (t , x)  
s
q
( q )
Tq q 

s
qq
q
(t , x)   qsq (t , , x)v qsq (t , , x)sqq (t , , x)d 
0
Tq q 

q
s
qq
(t , x)   qsq (t , , x)v qsq (t , , x)sqq (t , , x)d ,
(П.11)
0
где первое слагаемое в правой части соответствует потоку мигрантов из состава
коренного населения района q  , второе - суммарному потоку мигрантов из состава
некоренного населения всех районов - выходцев из района q  , не изменивших принципа
распределения по районам вселения в результате проживания в новом районе, и третье потоку мигрантов из состава некоренного населения района q  , изменивших принцип
распределения по районам вселения в результате проживания.
В предположении информационной обеспеченности настоящей модели в результате
расчета
системы
уравнений
(П.1-П.11)
могут
быть
определены
совокупные
миграционные потоки между районами m qq (t ) и их возрастно-половая структура
 qsq (t , x) в виде

mqq (t ) 
 
s 0,1 0
s
qq
(t , x)dx,
57
4
 qsq (t , x)   i  qsq (t , x),
i 1
а также динамика возрастно-половой структуры населения районов, описываемая
уравнением
Lsq (t , x)
t

Lsq (t , x)
x
  (  qsq (t , x)   qsq (t , x))  Dqs (t , x)  S qs (t , x)  Dqs (t , x),
q  1,..., Q,
q  q
s=0,1,
Tqq 
где D (t , x)  d (t , x)l (t , x)    d qsq (t , x)sqq (t , , x)d - возрастная плотность потока
s
q
s
q
s
q
q  q 0
умерших в районе q, пола s в момент t, а S qs (t , x) - возрастно-половая структура сальдо
миграции района q. Поток родившихся в районе q описывается соотношением
L (t ,0)  b
s
q
Tqq 
x2
s
 (
q
(t , x)l (t , x)     qq (t ,  , x)0qq (t ,  , x)d )dx,
0
q
x1
q  1,..., Q.
q  q 0
Таким образом, представленная система дифференциальных уравнений и конечных
соотношений позволяет рассчитать динамику численности и возрастно-половой
структуры миграционных потоков и всех введенных категорий населения.
Проведенная структуризация миграционного процесса позволяет изучить влияние
социально-экономических факторов на новом качественном уровне - применительно к
выделенным социальным группам. Остается только повторить, что сама эта задача
выходит за рамки представленного здесь варианта системного математического описания
демографических процессов.
На основе представленного описания было изучено влияние миграционного процесса
на динамику возрастно-половой структуры населения. Речь идет об обобщении
классических работ в области теоретической демографии - теории стабильного
населения. В рамках этой теории изучение динамики численности и состава населения
производится в предположении неизменности параметров естественного движения.
Основной результат, установленный А. Лоткой при рассмотрении однорайонной задачи,
гласит, что возрастная структура населения выделенного региона с течением времени
стремится к некоторому стационарному распределению, изменение же численности
58
происходит по экспоненциальному закону и определяется соответствующим темпом
роста. Совокупное рассмотрение населения отдельных районов без учета миграции
приводит к следующему результату: при t   темп роста и возрастная структура
определяются предельной возрастной структурой и темпом роста района, имеющего
максимальный темп роста [6].
При проведении численных расчетов по представленной выше модели в
предположении неизменности (от времени) введенных параметров механического
движения удалось установить [6] следующие закономерности:
1) Возрастная структура населения каждого из районов с учетом миграционного
процесса стремится к некоторому стационарному распределению.
2) Предельные возрастные структуры населения отдельных районов не совпадают
между собой.
3) Темпы роста численности всех категорий и возрастных групп населения
отдельных районов стремятся к некоторому предельному значению.
4) Предельные темпы роста всех районов совпадают между собой, соответствующее
значение отличается от предельного темпа роста населения без учета процесса
территориальной миграции.
5) Удельные численности населения отдельных районов стремятся к некоторым
предельным значениям, вообще говоря, отличным от 0 и 1, как это имеет место в
многорайонной модели стабильного населения без учета миграции.
Рис. П.1. Динамика
Рис. П.2. Динамика
возрастной
возрастной
структуры района с
структуры
учетом миграции
без учета миграции
59
района
Соответствующие графики представлены на рис. П.1-П.4. На рис. П.1, П.2 изображена
динамика возрастной структуры одного из районов с учетом миграции и без нее. Каждая
вышележащая кривая сдвинута на единицу масштаба по оси абсцисс к изображает изменение
возрастной структуры, произошедшее за 12 условных "лет" по сравнению с нижележащей. На
рис. П.3 показана динамика темпов роста населения шести районов (1-6) и всего населения (7)
без учета миграции. Отметим характер зависимости совокупного темпа роста: он как бы
подтягивает к максимальному, при этом структура населения отдельных районов и
соответствующие темпы роста уже стабилизировались.
Рис. П.3. Динамика темпов роста численности населения без учета миграции
Другое направление исследований было связано с использованиeм представленного
описания для построения комплексного регионального демографического прогноза. Однако
отсутствие статистической информации по ряду основных показателей модели и недостаточное
развитие методов их прогнозирования не позволили реализовать возможности модели в полном
объеме. Поэтому пришлось oгpaничиться серией вариантных расчетов перспективной
возрастно-половой структуры сельского населения союзных республик и районов РСФСР по
упрощенной алгоритмической схеме на основе имеющейся информации. Используя данные о
численности и возрастно-половой структуре сельского населения за 1970, 1976 гг. и
коэффициентах повозрастной рождаемости и смертности, удалось рассчитать региональные
половозрастные коэффициенты интенсивности сальдо миграции в 5-летних группах населения
(средние за указанный период). На основе полученных данных строился вариантный прогноз.
На рис. П.5 приведена прогнозная возрастная пирамида сельского населения РСФСР в
трудоспособном возрасте на перспективу без учета миграции из села и при наличии миграции.
Заштрихованная область соответствует миграционному оттоку сельского населения (слева мужского, справа - женского). Накопленный опыт свидетельствует о возможности дальнейшего
развития подобных исследований.
В заключение мы бы хотели обратить внимание на важность проблемы выбора системы
показателей
статистической
информации.
В
рамках
представленного
замкнутого
математического описания соответствующая система была выделена. Как оказалось в
дальнейшем, эта система показателей была независимо выдвинута рядом советских демографов
и принята ЦСУ СССР при проведении переписи населения. Такое совпадение выводов явилось
косвенным подтверждением правильности проведенной формализации и обоснованием ее
подлинно системного основания.
Рис. П.4. Динамика темпов роста численности населения районов при наличии миграции
Рис. П.5. Прогнозная возрастная пирамида
61
Приложение 2 Актуальные проблемы социально-демографического развития
и направления их анализа
Для изложения и обсуждения указанной проблематики мы воспользуемся некоторыми
оценками, представленными в работах А.Г. Вишневского23 [11].
В частности, анализируя структуру высокой смертности автор отмечает, что она отличается
безусловной спецификой, унаследованной от этапа построения «развитого» социализма.
«Последние четверть века существования СССР были временем его нараставшего отставания от
мировых стандартов борьбы со смертностью и от достигнутых в мире результатов. С этим
отставанием Россия и вошла в период реформ – оно было частью ее советского наследия».
«Экономия на здравоохранении, его бедность – часть печального наследия, доставшегося
России от бывшего СССР, прочно занимавшего последнее место по продолжительности жизни в
списке промышленно развитых стран мира».
«Другим же, не менее важным препятствием стала нараставшая социальная апатия,
разочарование в неосуществившихся общественных идеалах».
«Алкоголизм и тесно связанная с ним чрезвычайно высокая смертность от несчастных случаев,
отравлений и травм – прямое следствие этой общей социальной ситуации».
Таким
образом,
зафиксирована
первая
фундаментальная
проблема,
обусловленная
«традиционно» высоким уровнем смертности мужчин и женщин по регионам РФ.
В нашей работе при построении системного формализованного описания социальнодемографических процессов указанная характеристика (повозрастная смертность) «пронизывает»
почти все этапы построения частных моделей динамики выделенных социально-демографических
групп.
Это позволяет, в дальнейшем, проанализировать обратные связи взаимодействия последствий
и причин высокой смертности, а также и рассчитать «цену вопроса» с точки зрения
прогнозирования направленности социально-экономического развития РФ.
Второй вызов «нового времени» [11] связан с уровнем рождаемости – в 2000 году был
зафиксирован самый низкий уровень рождаемости в истории России (1,21 рождения на одну
женщину).
В условиях российской смертности это обеспечивает замещение поколений всего на 57%.
Как зафиксировано в работах А.Г. Вишневского, уменьшение этого показателя ниже единицы
произошло в 1964 г.
Руководитель Центра демографии и экологии человека ИНХП РАН, см. также его статью «Пять вызовов нового
века», в журнале: Мир России. Социология, Этнология. 2004, №2.
23
62
А. Г. Вишневский утверждает, что рождаемость в России аналогична ситуации во всех
промышленно развитых странах и лишь в слабо урбанизированных развивающихся странах
сохраняются высокие и очень высокие показатели рождаемости.
Факт
повсеместной
распространенности
низкой
рождаемости
в
индустриальных
урбанизированных обществах не позволяет говорить о специфическом российском кризисе.
«Скорее речь может идти об общем кризисе всей современной «постиндустриальной» западной
цивилизации, причины которого нельзя устранить в одной стране».
По нашему мнению, здесь имеется определенная некорректность, заслуживающая тщательного
рассмотрения.
Если РФ можно отнести к «постиндустриальной» западной цивилизации», то почему же имеет
место несколько «иная» повозрастная смертность и иной ее состав, присущий какой-то другой,
скорее «постсоветской российской цивилизации»?
Ведь до революции, во времена последнего царствования (ныне канонизированного Николая
II), уровень рождаемости у коренного населения по областям нынешней РФ был исключительно
высок, значительно превосходя соответствующие показатели «допостиндустиальной западной
цивилизации».
Отдавая
должное
квалификационному
уровню
анализа
собственно
демографической
проблематики обсуждаемой работы, мы все же полагаем, что населению России, во-первых,
присущи свои исторические черты, а во-вторых, на них в XX веке были наложены весьма
специфические бифуркации, не характерные для «западной цивилизации», например, потери
США во второй мировой составили величину порядка двух сотен тысяч человек.
Поэтому прогноз Д.И. Менделеева [19] о динамике численности населения США в принципе
подтвердился, а насчет населения России несколько разошелся (предполагалось, что к концу XX
века оно составит 500 млн. человек, поскольку в 1903 г. темп прироста составлял 1,4% в год и
имел тенденцию к увеличению).
Поэтому, на наш взгляд, весьма существенное значение следует придавать уточнению
цивилизационной картины условий существования российского общества.
В
этой
связи
указанные
попытки
смешивания
«имеющихся»
цивилизационных
направленностей (т.е. выдавание желаемого за действительное) приводит к недопустимой потере
точности (адекватности) описания «частных» подпроблем.24
Как пишет далее А.Г. Вишневский, вызов низкой рождаемости ставит еще два серьезных
вызова: вызов демографического старения и депопуляции. По данным [11] доля пожилых людей в
России выросла с 6,7% в 1939 г. до 11,9% в 1970, до 18,7% в 2001 г. и продолжает расти. Уже
24
В системной методологии утверждается, что часть может быть больше целого.
63
сейчас во многих странах доля пожилых превышает 20%, в Европейском союзе она составляет
21,5%. По его мнению [11] такое же будущее ожидает и Россию.
В результате снижения смертности коренным образом меняется структура жизни поколений:
увеличивается время, проживаемое каждой когортой в средних и старших возрастах, а
соответственно и его доля во всем совокупном времени жизни каждого поколения.
С увеличением продолжительности жизни увеличивается и число доживающих до более
поздних возрастов, а значит и доля времени, проживаемого людьми из этого поколения в средних,
а затем и в старших возрастах.
В послевоенные десятилетия в России совокупная нагрузка детьми и пожилыми менялась
волнообразно,
что
было
связано
с
особенностями
российской
возрастной
пирамиды,
формировавшейся под влиянием не только эволюционных процессов, но и пертурбационных
потрясений первой половины ХХ века.
Волнообразные колебания накладывались на генеральную тенденцию постарения и временами
вносили очень серьезные коррективы в процессы эволюции возрастной пирамиды.
Однако драматизировать ситуацию не следует. Как отмечает автор [11], только после 2035 г.
общая демографическая нагрузка начнет превышать 800 на 1000 трудоспособных, постепенно
нарастая по мере приближения к 2050 году.
Мы также придерживаемся точки зрения, что драматизировать ситуацию не следует.
Тем более, что, уточняя данный прогноз, следует отметить возможное его «обострение»,
обусловленное снижением повозрастной смертности.25
В
этой
связи
явно
обозначилась
вторая
фундаментальная
проблема,
связанная
с
необходимостью совместного рассмотрения рождаемости и смертности как базового социально
демографического анализа.
Именно в этом наше «отклонение» от подхода А.Г. Вишневского, заключающееся в
необходимости целостного рассмотрения обсуждаемых тенденций в увязке с прогнозированием
цивилизационной направленности соответствующих социально-экономических процессов.
Таким образом, представленное выше формализованное описание выступает в роли
необходимого атрибута более полного исследования взаимовлияния социально-экономической и
собственно демографической проблематики.
Что касается депопуляции населения РФ, то действительно наша страна стала одной из первых
(1964 г.), не обеспечивающих возобновление поколений из-за установившегося соотношения
рождаемости и смертности.
25
Тем более, если Россия последует этапам развития «постиндустриальной западной цивилизации».
64
Возможно, что указанное достижение также стало одним из «определяющих» результатов
последовательного формирования мирового социалистического лагеря и поддержания его
«внешней дееспособности» в условиях противостояния «западной цивилизации».
Однако, одержав соответствующую победу, западная цивилизация «почему-то» также
«столкнулась» с проблемой депопуляции своего коренного населения, особенно в национальном
разрезе [18].
В этой связи возникает следующий коренной вопрос социально-демографического развития.
Каким цивилизациям угрожает депопуляция населения и отчего это зависит?
Вместо того, чтобы более подробно проанализировать указанную постановку (явно
выходящую за рамки нашего исследования), мы ограничимся только одним весьма существенным
замечанием.
В зависимости от актуализированного выбора нашей страной своего цивилизиционного пути и
следует изучать потенциально возможный вариант «депопуляции» ее коренного населения.
При этом выскажем свое мнение относительно того, что в случае ориентации на подражание
западной цивилизации кавычки придется обязательно убрать.
Поэтому ведущую проблему социально-демографического развития мы связываем с взаимно
увязанным выбором цивилизационной направленности и ей присущих популяционных
закономерностей в условиях формирования соответствующего хозяйственного механизма.
Без ответа на поставленный вопрос не может быть адекватно исследован и последний (пятый)
вызов – вызов иммиграции.
Что касается «собственно» демографических прогнозов, то по среднему варианту ООН, к 2050
году численность населения России сократится по сравнению с 2000 г. примерно на 30% и
составит 101,5 млн. человек.
Если кому-то указанный прогноз чем-то не нравится, то мы можем его отвлечь уже
сформулированным выше вопросом.
Какой цивилизиционной картине будут принадлежать оставшиеся в живых, а также
народившиеся коренные россияне?
По приведенным [11] оценкам, для того, чтобы хотя бы поддерживать численность населения
России на уровне начала XXI века – 146 млн. человек, нужно было бы, начиная с первого года
нового столетия, принимать ежегодно в среднем более 700 тыс. человек в год и постепенно
наращивать этот «объем» до 1,2 – 1,3 млн. человек в 2030 – 2035 г.26
Пока «обеспечить» указанный процесс, к счастью, не удается.
Отсюда вытекает необходимость разработки адекватной концепции миграционной политики.
26
Как мы понимаем, чтобы «скомпенсировать» ускоряющееся вымирание коренного населения.
65
Однако ее реализация также тесно связана с определением цивилизационной направленности
развития российского общества, включающей целостный анализ как собственно демографической
и собственно экономической проблематики, так и их необходимого взаимодействия, например, в
области определения направленности и масштаба трудовой мобильности.
В рамках настоящего раздела мы постарались обозначить системообразующие особенности
современной социально-демографической проблематики.
Таким образом, представленный выше формализационный аппарат как раз и характеризует
наш теоретико-методологический вклад, предназначенный для профессионального анализа
сущностных проблем развития (преображения) российского общества и образующих его народов.
66
Литература:
1. Сови А. «Общая теория населения». М., 1977, т.1,2.
2. Вольтерра В.И. «Математическая теория борьбы за существование». М., Наука, 1976.
3.
«Динамическая теория биологических популяций». Под ред. Полуэктова. М., Наука, 1974.
4. «Система знаний о народонаселении». Под ред. Валентея Д.И. М., Статистика, 1991.
5. Зуев Г.М., Лаврова А.В., «Формализованное описание социально-демографического
процесса», Вопросы экономики переходного периода, №11, 2005.
6. Зуев Г.М., Сороко Е.Л. «Математическое описание межрайонной миграции и исследование
ее
влияния
на
динамику возрастно-половой
структуры
населения»,
Экономико-
математические методы, № 2, 1979.
7. Зуев Г.М. «Математическое описание межтерриториальной миграции
и трудовой
мобильности населения». Ежегодник «Системные исследования». М., 1981.
8. Староверов О.В. «Модели движения населения». М., 1979.
9. Кристоф
Вандескрик.
«Демографический
анализ».
(Серия
"Концепции").
М.,
Академический Проект; Гаудеамус, 2005.
10. «Население России 2002. Десятый ежегодный демографический доклад». Под ред.
Вишневского А.Г. М., КДУ, 2004.
11. Вишневский А.Г. «Избранные демографические труды». М., 2005, т.1,2.
12. Медков В.М. «Демография». М., Инфра-М, 2005.
13. Рюль К. «Переселение кадров». Ведомости, № 67 (1107), 2004.
14. Bertalanfy L. «An Outline of General System Theory». British Journal for Philosophy of Science.
1950, vol.1, № 2.
15. Демографический энциклопедический словарь. М., 1985.
16. Переведенцев В.И. «Методы изучения миграции населения». М., Наука, 1975.
17. Зайончковская Ж.А. «Новоселы в городах (методы изучения приживаемости)». М.,
Статистика, 1972.
18. Бьюкенен П. Дж. «Смерть Запада». М., 2003.
19. Менделеев Д.И. «Заветные мысли». М., Мысль, 1995.
20. Перспективы миграции и этнического развития России и их учет при разработке
стратегических направлений развития страны на длительную перспективу. М., 2004.
21. Численность и миграция населения Российской Федерации в 2000 году. Госкомстат России.
М., 2001.
67
22. А.Г.Вишневский, Е.М.Андреев, А.И.Трейвиш. «Перспективы развития России: роль
демографического фактора». Научные труды № 53Р. Москва, Институт экономики
переходного периода, 2003.
23. Samuel H. Preston, Patrick Heuveline, and Michel Michael «Demography: Measuring and
Modeling Population Processes». Oxford: Blackwell, 2001. 291 pp.
24. Староверов О.В. «Азы математической демографии», М., Наука,1997.
25. Урланис Б. Ц. «Проблемы динамики населения СССР». М., Наука, 1974.
26. Урланис Б. Ц. «Эволюция продолжительности жизни». М., Статистика, 1978.
27. «Курс демографии». Под ред. А.Я. Боярского. М., Статистика, 1967.
28. «Воспроизводство населения СССР». Под ред. А.Г. Вишневского и А.Г. Волкова. М., 1983.
29. «Введение в демографию». Под ред. В.А.Ионцева и А.А.Саградова, М., МГУ, 2002.
Интернет-ресурсы:
Демоскоп Weekly. Тема номера:
В ближайшие полвека население России может расти только за счет миграции
(http://demoscope.ru/weekly/006/tema01.php)
Новый официальный прогноз населения России (http://demoscope.ru/weekly/007/tema01.php)
Споры о прогнозах. Статья первая. (http://demoscope.ru/weekly/2002/051/tema01.php)
Споры о прогнозах. Статья вторая (http://demoscope.ru/weekly/2002/053/tema01.php)
Население России накануне переписи (http://demoscope.ru/weekly/2002/087/tema01.php)
Воспроизводство поколений россиян (http://demoscope.ru/weekly/2003/0125/tema01.php)
Население России через 100 лет. Статья первая (http://demoscope.ru/weekly/2004/0151/tema01.php)
Население России через 100 лет. Статья вторая (http://demoscope.ru/weekly/2004/0153/tema01.php)
Ежегодный демографический доклад:
http://demoscope.ru/weekly/knigi/ns_r99/sod_r.html
http://demoscope.ru/weekly/knigi/ns_r00/sod_r.html
http://demoscope.ru/weekly/knigi/ns_r01/sod_r.html
http://demoscope.ru/weekly/knigi/ns_r02/sod_r.html
Программы демографического прогнозирования:
Программа 1 (http://demoscope.ru/weekly/app/progn01.php)
Предсказывать трудно… (http://www.demoscope.ru/weekly/033/progn01.php)
Информационно-аналитическая система: Программа демографического прогнозирования
68
(http://demoscope.ru/weekly/ias/projec.php)
Демоскоп Weekly. Приложения (http://demoscope.ru/weekly/pril.php):
40 промышленно развитых стран мира: Прогноз численности населения на 2025 и 2050 гг.
(http://demoscope.ru/weekly/app/app4035.php)
Демография в Интернете (http://demoscope.ru/weekly/app/links.php)
Другие сайты
World Population Prospects: The 2004 Revision (http://esa.un.org/unpp/index.asp)
Ожидаемое будущее или романтические мечтания?
(http://www.demograhia.ru/rasdel/index.html?idR=22)
Ediev D.M. Application of the demographic potential concept to understanding the Russian
population history and prospects: 1897-2100 // Demographic Research. 2001. Vol.4, Article 9. P. 289336. http://www.demographic-research.org/volumes/vol4/9/4-9.pdf
Wolfgang Lutz, Warren Sanderson & Sergei Scherbov(1997). Doubling of world population unlikely.
Nature 387, pp.803 – 805. Abstract:
http://www.nature.com/nature/journal/v387/n6635/abs/387803a0_fs.html.
69
Содержание:
1. Введение…………………………………………………………………………………………...3
2. Обоснование системного построения формализованного описания социальнодемографического процесса………………………………………………………………………4
3. Виды движения населения………………………………………………………………………..7
4. Моделирование естественного движения населения………………………………………….. 9
5. Моделирование механического движения населения (межтерриториальной миграции)…..14
6. Моделирование межгруппового (социального) движения……………………………………20
6.1. Динамика образовательной структуры населения…………………………………………….20
6.2. Моделирование динамики семейной структуры населения………………………………….24
6.3. Обоснование системного характера проведенного исследования…………………………...42
6.4. Предварительный анализ процессов трудовой мобильности………………………………...43
6.5. Моделирование трудовой мобильности однородной социальной группы………………….45
7.
Обобщающие выводы…………………………………………………………………………...51
Приложение 1. Ретроспективное прикладное исследование миграционных процессов………. 52
Приложение 2. Актуальные проблемы социально-демографического развития и
направления их анализа……………………………………………………………………………...62
Литература……………………………………………………………………………………………67
Интернет-ресурсы……………………………………………………………………………………68
70