1. Натуральные числа. счете предметов, называются натуральными. Множество N

1. Натуральные числа. Числа 1, 2, 3, 4, ..., употребляемые при
счете предметов, называются натуральными. Множество
натуральных чисел обозначается буквой N. Наименьшее
натуральное число — единица. Наибольшего натурального числа
нет. Любое натуральное число записывается с помощью цифр 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, запись 342 означает, что 3 — цифра
сотен, 4 — цифра десятков, 2 — цифра единиц. Число, состоящее
из а сотен, b десятков и с единиц, записывается в виде
abc = а ∙ 100 + b ∙ 10 + с
(запись abc означает, что а — цифра сотен, b — цифра десятков, с
— цифра единиц). Аналогично abcd = а ∙ 1000 + b ∙ 100 + с ∙ 10 + d
(запись abcd означает, что а — цифра тысяч, b — цифра сотен, с —
цифра десятков и d— цифра единиц).
Результатом сложения или умножения двух натуральных
чисел является натуральное число. Справедливы следующие
свойства сложения и умножения натуральных чисел:
1) а + b= b + а (переместительное свойство сложения);
2) (а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство сложения);
3) ab = ba (переместительное свойство умножения);
4) a(bc) = (а b)с (сочетательное свойство умножения);
5) a(b + с) = ab + ас (распределительное свойство умножения
относительно сложения),
В результате вычитания или деления натуральных чисел не
всегда получается натуральное число. Например, 2 - 5 = -3. Число (3) не является натуральным числом; 7 : 2 = 3,5. Число 3,5 не
является натуральным числом.
Если m - n = k, то говорят, что m — уменьшаемое, n — вычитаемое,
k— разность.
Если т : n = k, то говорят, что т — делимое, n — делитель, k — частное. Произведение n ∙ n называется квадратом числа n и
обозначается n2. Произведение n ∙ п ∙ n называется кубом числа n и
обозначается n3.
Произведение n∙n∙...∙n (k сомножителей) называется k-й степенью
числа n и обозначается nk .
Натуральное число т, не равное единице, называется простым,
если оно имеет только два делителя: единицу и само число.
Например, 5, 7, 17 — простые числа. Натуральное число т
называется составным, если оно имеет более двух делителей.
Например, 12, 21, 32 — составные числа. Число единица не
является ни простым, ни составным.
Если для натуральных чисел m и n существует такое натуральное
число k, что т = kn, то говорят, что m делится на n. При этом m
называется кратным числа n, a n — делителем числа m.
Число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если
оно не делится на 2. Нуль — четное число.
Выражение, составленное из чисел с помощью знаков
арифметических действий и скобок, называется числовым
выражением. Например, (2 ∙ 17 + (4-2) ∙ 3):2 - 4.
Порядок арифметических действий в числовом выражении: сначала
выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала
выполняются умножение и деление, а потом сложение и
вычитание.
2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его
последняя цифра делится на 2.
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма
его цифр делится на 3.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма
его цифр делится на 9.
Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его
последняя цифра 0.
3. Деление с остатком.
Если натуральное число m делится нацело на натуральное число n,
то число т называется кратным числа n.
Если число т — кратное числа n, то существует натуральное число
k, такое, что т = kn. В этом случае т называется делимым, n —
делителем.
Если натуральное число т не делится на натуральное число n, т. e.
не существует такого натурального числа k, что т = kn, то
рассматривается деление с остатком. Например, при делении числа
23 на 5 в частном получается 4 и в остатке 3, т. e.
23 = 5 ∙ 4 +3. В общем случае, если m — делимое, n — делитель (т
> n), p — частное и r — остаток, то m = np + r, где r < n
(исключение составляет случай, когда m делится на n без остатка и
r = 0).
4. Разложение натуральных чисел на простые множители.
Делителем данного числа называется всякое число, на которое
данное число делится без остатка.
Если число имеет только два делителя (само число и единицу), то
оно называется простым. Если число имеет более двух делителей,
то оно называется составным.
Любое составное натуральное число можно разложить на простые
множители и только одним способом. Например,
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Если в разложении на простые множители один и тот же
множитель а встречается k раз, то записывают аk.
Например, 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 23 ∙ 3 ∙ 5
Если натуральные числа a, b, с, ..., l делятся на одно и то же натуральное число d, то число d называется их общим делителем.
Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим
делителем и обозначается НОД (a, b, с, .... l).
Например, НОД (72, 96) = 24.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо
разложить эти числа на простые множители и найти произведение
общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим (из
имеющихся) показателем. Например, 32 = 25, 76 = 22 ∙ 19, следовательно, НОД (32, 76) = 22 = 4.
Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД(а, b)=1.
Кратным натурального числа а называется натуральное число k, которое делится нацело на а.
Всякое натуральное число, которое делится нацело на каждое из натуральных чисел a, b, ..., l, называется их общим кратным.
Наименьшее из общих кратных называется наименьшим общим
кратным и обозначается HOK(a,b, ..., l)
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо
разложить эти числа на простые множители и найти произведение
всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с
наибольшим (из имеющихся) показателем. Например, 32 = 25, 76 =
22 ∙ 19, следовательно, HOK(32,76)=25 ∙ 19 = 608.
5. Целые числа. Прямая, на которой выбрано начало отсчета 0,
положительное направление и выбран единичный отрезок,
называется координатной прямой. Каждому числу соответствует
одна точка на координатной прямой и каждой точке координатной
прямой соответствует единственное число.
Числа, которым соответствуют точки, расположенные на
координатной прямой в заданном направлении, называются
положительными.
Числа, которым соответствуют точки, расположенные в
направлении, противоположном заданному, называются
отрицательными.
Два числа с разными знаками и одинаковыми модулями
называются противоположными.
Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и
число 0 составляют вместе множество целых чисел. Множество
всех целых чисел обозначается буквой Z.
Число а больше числа b (а > b), если разность (а - b) является положительным числом. Число а меньше числа b (а < b), если разность
(a - b) является отрицательным числом.
Согласно этим определениям любое положительное число больше
нуля, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого
положительного числа.
Правила действий над положительными и отрицательными
числами.
Сумма двух чисел одного знака. Чтобы сложить два целых числа с
одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить
перед суммой соответствующий знак. Например, (+4) + (+7) = +11,
(–4) + (–7) = –11.
Сумма двух чисел, имеющих разные знаки. Чтобы сложить два
числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший
и перед разностью ставят знак числа с большим модулем.
Например, –12 + 5 = – (12 – 5) = –7.
Два числа с разными знаками и одинаковыми модулями
называются противоположными. Сумма противоположных чисел
равна нулю. Например: –18 +18 =0.
Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому.
Например, –7– (–3) =–7 + 3 = –4.
Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное; произведение (частное) двух чисел, имеющих разные
знаки, есть число отрицательное. Чтобы найти модуль
произведения (частного) двух чисел, надо перемножить (разделить)
модули этих чисел. Например:
(–2) ∙ (–3)=6; (–2) ∙ 3 = –6; (–8) : (–2) = 4; (–8) : 2 = –4.
m
6. Обыкновенные дроби. Рациональные числа. Число вида
n
где т и п — натуральные числа, называется обыкновенной дробью.
Число т называется числителем дроби, число n — знаменателем.
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или
равен ему.
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы
натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального
а
m
c
числа, если
дробь такова, что m кратно n). Дроби
и
d
n
b
считаются равными, если ad = bc. Из определения равенства
а аm
дробей следует, что равными будут дроби и
, т. e. если
b bm
числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на
одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной
(основное свойство дроби).
Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшим числителем и
знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.
Сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и
а
тоже число. Дробь называется несократимой, если числа а и b
b
взаимно простые.
m
Число вида
, где m  Z, n  N, называется рациональным.
n
Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q.
Любое рациональное число может быть представлено в виде
m
отношения , где m — целое число, a n — натуральное число.
n
Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Верно и обратное утверждение: каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.
7. Сравнение обыкновенных дробей; их сложение, вычитание,
умножение и деление.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та,
числитель которой больше.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та,
знаменатель которой меньше.
Сложение обыкновенных дробей: а) если знаменатели дробей
одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель
а c ac
второй и оставляют тот же знаменатель  
.
b b
b
б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к
общему знаменателю, а затем применяют правило а).
а c ad  bc
 
.
b d
bd
Вычитание обыкновенных дробей:
а) если знаменатели дробей одинаковы, то от числителя первой
дроби вычитают числитель второй и оставляют тот же
знаменатель
б) если знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к
общему знаменателю, а затем применяют правило а).
Умножение обыкновенных дробей
а
c
Умножение обыкновенных дробей
и
выполняют
d
b
следующим образом: перемножают отдельно числители и отдельно
знаменатели, первое произведение записывают числителем, а
а c ас
второе — знаменателем, т. e. ∙ =
b d bd
Два числа, произведение которых равно 1 называются взаимно
обратными.
Деление обыкновенных дробей. Деление обыкновенных дробей
a
выполняют следующим образом: делимое
умножают на дробь
b
a c
a d аd
d
c
, обратную делителю , т. e. : = ∙ =
c
d
b d
b c bc
p
, где p - целое число, n 10 n
натуральное число, называется десятичной дробью. Всякую
правильную дробь, знаменатель которой равен 10n можно записать
в виде десятичной дроби. Сначала пишут целую часть, а потом
числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части
запятой. Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0.
После запятой числитель дробной части должен иметь столько же
цифр, сколько нулей в знаменателе.
17
32
7
 2,17 .
Примеры:
=0,7;
=0,032, 2
10
1000
100
Представление обыкновенной дроби в виде десятичной. Если в
разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся
только числа 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной.
Если же дробь несократима и в разложение ее знаменателя входят,
кроме чисел 2 и 5, другие простые множители, то эту дробь нельзя
записать в виде десятичной.
В виде десятичной дроби можно представить любую
обыкновенную дробь, знаменатель которой является делителем
3
некоторой степени числа 10. Например, = 0,75.
4
Сравнение десятичных дробей. Из двух десятичных дробей та
больше, у которой число целых больше; если числа целых равны,
то та дробь больше, у которой число десятых больше, и т.д.
Сложение десятичных дробей. Для сложения двух десятичных
дробей необходимо:
1) записать дроби одну под другой так, чтобы разряды одной дроби
были под соответствующими разрядами другой дроби, а запятая
под запятой;
2) сложить числа так, как складывают натуральные числа;
3) поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых.
Аналогично производится вычитание десятичных дробей.
Умножение десятичных дробей. Чтобы умножить одну положительную десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение
дробей как натуральных чисел, не обращая внимания на запятые, а
затем в произведении отделить запятой справа столько цифр,
сколько их стоит после запятой в обоих сомножителях вместе.
8. Десятичные дроби. Дробь вида
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д.
необходимо перенести запятую в числе соответственно на один,
два, три и т. д. знака вправо. Например.37,21 ∙ 100 = 3721.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.
необходимо перенести запятую в числе соответственно на один,
два, три и т. д. знака влево. Например, 1,21 ∙ 0,1 ~ 0,121.
Деление десятичных дробей. Деление десятичной дроби на
натуральное число проводят, как и деление натурального числа, а
десятичную запятую в частном ставят сразу, как только закончится
деление целой части. Если целая часть меньше делителя, то в
частном ставят 0 целых.
Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к
делению дроби на натуральное число. Надо только в делимом и
делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их
было в делителе после запятой.
Например, 4,551 : 1,23 = 455,1 : 123 = 3,7,
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. сводится к переносу запятой в дроби на один, два, три и т. д. знака влево.
Например, 283,4: 100 = 2,834.
Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. сводится к переносу запятой в дроби на один, два, три и т. д. знака вправо.
Например, 4,321 :0,01 =432,1.
Округление чисел. Замену числа ближайшим к нему натуральным
числом или нулем называют округлением этого числа до целых.
Числа округляются и до других разрядов — десятков, сотен,
десятых, сотых и т.д.
Если десятичная дробь округляется до какого-нибудь разряда, то
все следующие за этим разрядом цифры заменяются нулями, а если
они стоят после запятой, то их отбрасывают.
Если первая отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую
перед ней цифру увеличивают на 1. Если первая отброшенная
цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру
оставляют без изменения.