Москва ГБОУ «Школа № 2089» Тема проекта КРУГОмир» «
advertisement
Москва ГБОУ «Школа № 2089» Тема проекта: Электронный математический журнал «КРУГОмир» Автор: Сновский Леонид ученик 7 «Л» Руководитель: Кондрашова Елена Анатольевна Цели проекта: • расширение и углубление знаний о круге, его роли в жизни человека, • развитие интереса к математике. Задачи проекта: • Изучение истории возникновения круга и окружности, определение значения круга в жизни человека. • Получение дополнительных знаний по алгебре, геометрии, физике и др. • Приобретение и развитие навыков проектной деятельности. • Развитие навыков самостоятельного поиска необходимого материала с помощью информационных технологий. • Развитие аналитических способностей. • Ознакомление со структурным устройством периодических математических и других научно-популярных журналов. Содержание: 1. История круга 2. Колесо 3. Циркуль 4. Математическое понятие круг, окружность 5. Число Пи 6. Круги Эйлера 7. Удивительные теоремы 8. Оглянись вокруг 9. Практикум 10. Квадратура круга 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 История круга “Из всех фигур прекраснейшая – круг” Пифагор Круг и окружность – одни из самых древнейших геометрических фигур. У круга нет ни начала, ни конца, ни направления, ни ориентации. И философы древности, и простые люди придавали кругу большое значение. Круг завораживал, это находило отражение во многих символах: небосвод представлялся как круглый купол, само солнце изображалось в виде круга. Во многих религиях круг символизирует единство и бесконечность. Для некоторых народов круг с точкой в центре - символ человека, для других «Бог – есть круг, чья окружность нигде, и чей центр – везде». Колесо Драхмы-символ ступеней духовного совершенствования (II-I в. до н. э.) Круглые тела привлекали внимание древнего человека. Издавна люди любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. Многие, созданные давнымдавно украшения, имели круглую форму. Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими фигурами. И по сей день эти фигуры важны и значимы в жизни, окружающем мире, науке и технике, литературе и искусстве, а порой их значение несет даже мистический смысл. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Колесо Колесо - творение человеческое. В природе нет существ, передвигающихся на колесах. Никакой «подсказки», никакого природного аналога не было. Лишь человек разумный мог додуматься до этого гениального изобретения. Имя создателя первого колеса неизвестно. О том, где и как оно появилось, можно лишь гадать. «Прародителями» колеса были гладкие бревна-катки. Люди подкладывали их под перевозимый груз еще 20 тысяч лет назад. Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки, которые катились уже легче. Так появились первые колеса. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Колесо Самое древнее колесо было найдено в Месопотамии. Возраст его превышает 5 тысяч лет. Уже в середине III тысячелетия до н. э. деревянное колесо стали оборачивать в кожу, а к 2000 г. до н. э. стали забивать в обод медные гвозди острием наружу - для лучшего сцепления с землей. Колеса еще сплошные, но уже не вырезанные из цельного ствола, а составные, сколоченные из трех частей. Известны также находки глиняных моделей колес на территории современной Румынии и Украины. Наскальный рисунок повозки II тыс. до н. э. (Ливия) Позднее у колеса появились обод и спицы. Около 1500 года до н.э. «научились» обувать обод металлом, а во времена Троянской войны колеса становятся уже целиком металлическими. И с тех давних пор, пожалуй, не найти такой области техники, такой сферы деятельности людей, где бы можно было обойтись без колеса. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Циркуль Циркуль - один из древнейших (вместе с линейкой) чертежных инструментов на Земле. На стенах и куполах храмов и домов, на резных чашах и кубках древних вавилонян и ассирийцев нарисованы такие правильные круги, что без циркуля их не провести. А существовали эти государства около 3000 лет назад. Самый старый железный циркуль обнаружен при раскопках во Франции. Он пролежал в земле более 2-х тысяч лет. В пепле, засыпавшем греческий город Помпеи, археологи обнаружили очень много бронзовых циркулей. Сейчас нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент - история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности, который вместе со своим сыном Икаром поднялся в небо на крыльях собственного изготовления. Вероятно, унаследовав от дяди дар изобретательства, Талос соединил два одинаковых по длине стержня и смастерил устройство способное чертить идеальный круг. Эти важнейшие изобретения говорят нам о том, что в древние времена жили и работали первые ученые и мыслители. В Древней Греции все разрозненные математические знания были приведены в систему, начала бурно развиваться геометрия как наука. “Окружность” и “круг” получили свои названия. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Математическое понятие круга и окружности Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек , расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Радиус окружности (r) – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Хорда окружности – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности. Диаметр окружности (d) – это отрезок, соединяющий две любые точки окружности и проходящий через центр окружности. Хорда окружности, проходящая через центр окружности, является диаметром окружности. Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками. Формула для вычисления длины окружности: C=2πr= πd Формула для вычисления площади круга: S= πr2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Число π Вопрос о вычислении отношения длины окружности к своему диаметру, т.е. числа π, занимал лучшие умы человечества на протяжении тысячелетий. Откуда такое название? π – первая буква в греч. слове «периферия»-круг. Первое вычисление π было предпринято величайшим учёным древности Архимедом. В III век до н.э. он применил идею заменить длину окружности периметром описанного (вписанного) многоугольника. Начав с 6угольника, перешел к 12-угольнику, затем к 24-угольнику, и так далее - до 96-угольника. Хорошее приближение оказалось дает число 22/7 ≈3,14286 Архимед доказал, что число π одинаково для любого круга. История числа π шла параллельно с развитием всей математики. В ней выделяют 3 периода: 1 - древний период, в течение которого число π изучалось с позиции геометрии, 2 - классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в 17веке, 3 - эра цифровых компьютеров. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Число π . В 1424 г. ал-Каши нашёл для π значение, далеко превосходящее по точности все ранее известные. Рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 800335168 сторонами, он получил π ≈ 3,14159265535897932 - тут 16(!) верных знаков. Большое терпение и выдержку обнаружил голландский вычислитель Лудольф ван-Цейлен (15401610), который применяя метод Архимеда, дошёл до многоугольников с 60 * 2029 сторонами, получив 35 верных десятичных знаков. Вычисления заняли всю его жизнь. Начиная с 17 века для вычисления π применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил π с точностью до 153 десятичных знаков. Англичанин В. Шенкс в 1873 году определил π с точностью до 707 десятичных знаков. К числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г. Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... = π /4,который дал возможность вычислить π более коротким путём, нежели Архимед. По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой. Мировой рекорд по запоминанию знаков числа Пи принадлежит японцу Акира Харагучи (Akira Haraguchi). Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать все число целиком. Неофициальный праздник «День числа π» (Pi Day) отмечается 14 марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Круги Эйлера Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Объем же понятия отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга. Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга. В тех случаях, когда объемы двух понятий совпадают только частично, отношение между объемами таких понятий изображается посредством двух перекрещивающихся кругов. Задача №1 Задача №2 Задача №3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Задача №1 Математики и биологи. В классе 35 учеников. Из них 12 занимаются в математическом кружке, в биологическом – 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой? 16 Б-9 ? М-12 Решение. 35-16=19 (учеников) – посещают кружки 12+9-19=2 (ученика) – посещают два кружка Ответ: 2 биолога увлекаются математикой. Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №2 Поттер, Рон и Гермиона На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон? . Задача №1 Решение Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. Ответ 8 книг прочитал только Рон. Задача №2 Задача №3 Задача №3 Любимые мультфильмы Среди учеников класса (всего 38 человек) проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». «Белоснежку» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб», а один написал все три мультфильма. «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»? Решение В этой задаче 3 множества, все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж №1: 21 – 3 – 6 – 1 = 11(уч) выбрали только «Белоснежку». 13 – 3 – 1 – 2 = 7(уч) смотрят только «Волк и теленок». 38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 (уч) смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». Задача №1 Задача №2 Задача №3 Удивительные теоремы Часто мы просто решаем задачи, а не наслаждаемся удивительными красотами, скрытыми в них! Решил задачу - и забыл про неё. А ведь порой условия задач, особенно геометрических, доставляют истинное удовольствие. Например, японцы рисовали чертежи наиболее красивых задач на деревянных дощечках красками и вывешивали в храмах (такие таблички назывались сангаку). Рассмотрим формулировки нескольких теорем удивительными, красивыми условиями и чертежами. Теорема о пяти окружностях Теорема Джонсона Пицца - Теорема Окружность Ван Ламуна 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 с Теорема Джонсона Три синие окружности имеют одинаковый радиус и пересекаются в одной точке. Тогда красная окружность, проходящая через точки А, В, С, имеет тот же радиус, что и синие. Эта теорема была опубликована Роджером А. Джонсоном в 1916 году. Теорема Джонсона об окружности демонстрирует два из основных требований к математической красоте. Во-первых, это удивительно. Окружность того же размера неожиданно возникает в решении. Во-вторых, это просто. Теорема Джонсона Теорема о пяти окружностях Пицца - Теорема Окружность Ван Ламуна Теорема о пяти окружностях Пять синих прямых образуют пятиконечную звёздочку (пентаграмму). Опишем окружности вокруг пяти треугольников, как показано на рисунке. Тогда вторые точки пересечения этих окружностей лежат на одной окружности. Открыл этот факт французский математик Август Микель в 1838 году. Иногда эту теорему называют задачей Цзян Цзэминя в честь председателя Китайской Народной Республики. Он рассказал эту задачу студентам во время посещения Высшей школы Макао. Теорема Джонсона Теорема о пяти окружностях Пицца - Теорема Окружность Ван Ламуна Пицца - Теорема Проведём через точку внутри круга четыре прямые так, чтобы углы между соседними составляли 45°. Они разрежут круг на восемь частей. Покрасим их в жёлтый и сиреневый цвета так, как на рисунке. Тогда площадь, закрашенная сиреневым, равна площади, закрашенной жёлтым. Теорема имеет вполне практическое применение: два человека могут легко поделить между собой пиццу, не заботясь о точном нахождении центра. Из-за этого теорема и получила свое название. Теорема Джонсона Теорема о пяти окружностях Пицца - Теорема Окружность Ван Ламуна Последние исследования показывают... Люди изучают геометрию треугольника уже около 4000 лет. Практически все факты из обычного школьного учебника геометрии были известны уже в середине XVII века. Тем удивительней, что люди всё ещё открывают в этой области теоремы, которые формулируются достаточно просто, и непонятно — как раньше такое не придумали? Например, в 2000 году голландец ван Ламун обнаружил следующую удивительную окружность. Отметим середины сторон зелёного треугольника и проведём к ним из противолежащих вершин синие отрезки (медианы). Они разделят треугольник на 6 треугольников. Опишем вокруг них пунктирные окружности. Тогда центры этих окружностей лежат на одной окружности, которую стали называть окружностью ван Ламуна. Теорема Джонсона Теорема о пяти окружностях Пицца -Теорема Окружность Ван Ламуна Оглянись вокруг Круглая форма универсальна в природе. Сама природа выбирает такую удобную и компактную форму как шар и круг. Окружность как совершенная геометрическая форма всегда привлекала внимание и вдохновляла людей искусства: художников, архитекторов, музыкантов. Небесные тела Мыльные пузырь Круги на воде Цветовой круг Хоровод Рондо Олимпийские кольца Круги на полях 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 В небе много круглых объектов: Солнце, Луна, планеты, звезды. А есть ли хотя бы одна некруглая планета? Например, кубическая или пирамидальная. Но это невозможно. Есть сила, которая во всей Вселенной превращает миры в гладкие шары. Эта сила – сила тяготения. Каждый предмет имеет свою гравитацию, притягивает к себе другие тела, а также и свои части. Чем больше тело, тем сила тяжести увеличивается. Земля наша огромная, поэтому она имеет свою большую силу тяжести, которая заставляет притягиваться все к ее центру, а тело преобразовываться в шар. Если бы в силу какихто причин удалось изменить нашу планету и придать ей иную форму, не шара, то спустя некоторое время она снова стала бы шарообразной. С телами на земле это не происходит, потому что их сила очень маленькая и сила тяжести Земли препятствует этому. Но если взять, например, каплю воды и запустить в космос, она сразу же преобразуется в шар. Именно жидкость способна преобразовываться в шарообразную форму. Земля состоит в основном из магмы (жидкости) поэтому и имеет форму шара. Мыльный пузырь Мыльный пузырь имеет идеально круглую форму. Силы поверхностного натяжения не дают лопнуть мыльному пузырю и стремятся придать мыльному пузырю максимально компактную форму. А самая компактная форма в природе – это шар. При шарообразной форме воздух внутри пузыря равномерно давит на все участки его внутренней стенки. Круги на воде Вы не раз, конечно, с любопытством рассматривали те круги, которые порождает брошенный в спокойную воду камень. И вас, без сомнения, никогда не затрудняло объяснение этого поучительного явления природы: волнение распространяется от начальной точки во все стороны с одинаковой скоростью; поэтому в каждый момент все волнующиеся точки должны быть расположены на одинаковом расстоянии от места возникновения волнение, т. е. на окружности. Цветовой круг Цветовой круг был впервые изобретен Исааком Ньютоном и позже улучшен другими экспертами. Цветовой круг показывает, как основные цвета смешиваются, создавая другие отчетливые оттенки. Традиционно цветовой круг состоит из: • Основных цветов (красный, желтый, синий) • Вторичных цветов (зеленый, оранжевый и фиолетовый), которые получаются при смешивании основных цветов • Вспомогательные цвета – оттенки, которые получаются при смешении основных цветов со вторичным цветом. Это такие цвета, как сине-зеленый, красно-фиолетовый, желтооранжевый. Цветовой круг помогает нам лучше понять, как цвета связаны друг с другом и какие комбинации создают гармоничное сочетание. Хоровод Хоровод — древний народный круговой массовый обрядовый танец. С давних времён люди любили петь песни и водить хороводы. Нередко во время исполнения хороводных песен запевала (солист) пел куплеты, а хор подхватывал припев. Куплеты отличались по музыке друг от друга. Припев повторялся без изменений. Движение музыки шло как бы по кругу. Рондо По-французски «круг» - «рондо». Родиной рондо считается Франция. Здесь в старину был популярен народный танец с пением - рондо, что и означает круг, хоровод. Форма рондо - музыкальная форма, которая построена на повторности. Эта форма основана на многократном (не менее трёх раз) повторении главной темы, чередующейся с эпизодами различного содержания. Форма рондо, в силу своей выразительности, имеет обширную область применения в музыкальном искусстве. Очень часто его использование связано с образами шутливого, юмористического характера. В форме рондо написаны такие известные музыкальные произведения, как Рондо в турецком стиле В. А. Моцарта. Олимпийские кольца Олимпийский символ – пять колец - означает основные участвующие континенты, каждый из которых имеет определенный цвет: Европа - синий, Африка - черный, Америка - красный, Азия - желтый, Австралия - зеленый. Но есть и другая версия: в китайской философии кольцо в древних культурах является символом величия и жизненной энергии. Поэтому идея о пяти переплетенных кольцах – отражении пяти энергий, которые упоминаются в китайской философии: воды, дерева, огня, земли и металла. Вместе с символикой в 1912 году был введен свой образ олимпийских соревнований – современного пятиборья. Любой олимпиец должен был владеть каждым из его пяти видов. Первая дисциплина – плаванье - в виде кольца синего цвета изображает стихию воды и указывает на ритм, который держит дыхание, позволяет двигаться по поверхности воды вперед, к лидерству. Кольцо зеленого цвета – прыжки – является изображением дерева и символом энергии наездника. Он должен обладать умением управления не только своей энергией, но и энергией лошади. Следующая дисциплина – фехтование, и его изображает огненная стихия в виде кольца красного цвета. Данная дисциплина символизирует собой чутье. Успех фехтовальщика зависит от умения чувствовать противника и угадывать его движения. Кольцо желтого цвета обозначает земную стихию и представляет такую дисциплину, как бег по пересеченной местности. Она указывает на стойкость и упорство. Бегун по пересеченной местности словно перескакивает через стихии, зная, когда нужно замедлиться, а когда увеличить скорость. Дисциплину стрельбы и уникальные свойства металла изображает кольцо черного цвета. Здесь необходимы точность, четкость. Успешность выстрела зависит не только от физического напряжения, но и способности холодного мышления, с помощью которого стрелок концентрируется на цели и поражает мишень. Круги на полях В последнее время в разных местах земного шара стали появляться круги на полях, однако большая часть из них регистрируется в непосредственной близости от Эйвбери, Великобритания. Рисунки в виде колец, кругов и других геометрических фигур, образованных на полях полёгшими растениями. Эти рисунки могут быть как небольшими, так и иметь настолько большой размер, что их можно увидеть целиком лишь с самолёта. По поводу возникновения кругов высказываются различные гипотезы: от тривиальной — круги являются делом рук человека, до альтернативных — микро-смерч, шаровые молнии, вмешательство инопланетян, которые желают о чем-то предупредить землян. и другие. Изучением данного явления занимается цереология (геоглифология) — научное направление, системно изучающее изображения неизвестного происхождения. Практикум Построения при помощи циркуля и линейки 1 2 3 4 Занимательные задачи 5 6 7 8 9 10 Построения правильных многоугольников Правильный шестиугольник Правильный треугольник и двенадцатиугольник Правильный четырехугольник и восьмиугольник Пифагорейская звезда Правильный пятиугольник Пятиконечная звездочка и восьмиконечная звездочка Сумеете ли вы разделить окружность на несколько равных частей при помощи циркуля и линейки без делений? Знаете, как построить правильный многоугольник или звёздочку? Такие построения не только красивы, но и поучительны. Напомним, что правильным называется многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Вокруг него можно описать окружность (на которой окажутся все его вершины). При этом вершины разделят окружность на равные дуги. Построение правильного шестиугольника Рис.1 Правильный шестиугольник можно получить, составив вместе шесть равносторонних треугольников, как показано на рисунке 1. Значит, его сторона будет равна радиусу окружности, в которую он вписывается. Поэтому построить его можно так: нарисуем окружность, отметим на ней произвольную точку, а потом, не меняя раствора циркуля, сделаем на окружности последовательные засечки, как показано на рисунке 2. Рис.2 Рис.3 Можно и немного по-другому, как показано на рисунке 3: отметим одну вершину будущего шестиугольника, найдём две соседние с ней вершины с помощью засечек циркуля; а три оставшиеся вершины найдём, проведя диаметры через уже отмеченные вершины и центр окружности. Построение правильного треугольника и правильного двенадцатиугольника Рецепт построения вписанного в окружность равностороннего треугольника совсем прост: впишите в окружность правильный шестиугольник и возьмите его вершины через одну. Разделив окружность на 6 равных частей, мы можем разделить её затем последовательно на 12, 24, 48 и т. д. равных частей, на каждом шаге деля пополам уже имеющиеся дуги. Рис.4 Принцип деления пополам произвольной дуги АВ показан на рисунке 4. Две точки А и В разбивают окружность на две дуги; одна из этих дуг делится пополам точкой С1, а другая - точкой С2. Этот рисунок ещё не раз нам поможет. На рисунке 5 показано, как из уже построенных шести равных дуг окружности получить двенадцать равных (красным цветом выделены вершины ранее построенного шестиугольника). Мы просто делим каждую дугу пополам. Рис.5 Построение правильного четырехугольника и правильного восьмиугольника Рис.6 Разделить окружность на две равные части совсем просто - надо провести любой диаметр. После того как диаметр проведён, последовательным делением дуг пополам мы можем найти вершины правильного четырёхугольника - квадрата (рис. 6), правильного восьмиугольника (рис. 7), правильного шестнадцатиугольника и т. д. Рис.7 Пифагорейская звезда Математики доказали, что окружность можно разделить с помощью циркуля и линейки далеко не на всякое число равных частей. Например, мы не сможем разделить её циркулем и линейкой ни на семь, ни на девять равных частей - эти построения невыполнимы. А вот на пять равных частей с помощью циркуля и линейки окружность разделить можно! Это открытие было сделано древнегреческими геометрами учениками Пифагора. Предполагают даже, что пятиконечная звезда служила опознавательным знаком пифагорейского союза. Построение правильного пятиугольника Чтобы разделить окружность на пять равных частей, построим в ней два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD, как мы уже делали это при построении вписанного квадрата. Рис.8 Рис.9 Рис.10 Радиус ОD разделим пополам точкой Е, как показано на рисунке 8. Проведём дугу окружности с центром Е и радиусом ЕА; эта дуга пересечёт диаметр СD в точке F (рис. 9). Оказывается, что отрезок АF будет служить стороной вписанного в окружность правильного пятиугольника. Постройте сначала вершины с номерами 2 и 3, а потом, не меняя раствора циркуля, - вершины с номерами 4 и 5 (рис. 10). Убедитесь в том, что между вершинами 4 и 5 укладывается такой же раствор циркуля. И теперь самостоятельно можно построить правильную пятиконечную звёздочку и правильную восьмиконечную звёздочку. Занимательные задачи Голова или ноги Круги на воде с течением Два арбуза Две дыни Шестеренки Занимательная задача: Голова или ноги Кажется, один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствований – голова или ступни ног. Это очень поучительная геометрическая задача, если поставить вопрос определенным образом. Мы предложим её в таком виде. Задача. Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги? Решение. Ноги прошли путь 2πR, где R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом 2π(R+1,7)+2πR=2π*1,7=10,7м. Итак, голова прошла путь на 10,7м больше, чем ноги. Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой мелкой планете. Вообще разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояния между ними. Круги на воде с течением Камень, брошенный в спокойную воду порождает круги на ней, волнение распространяется от начальной точки во все стороны с одинаковой скоростью. Поэтому в каждый момент все волнующиеся точки должны быть расположены на одинаковом расстоянии от места возникновения волнение, т. е. на окружности. Должны ли волны от камня, брошенного в воду быстрой реки, тоже иметь форму круга, или же форма их будет вытянутая? На первый взгляд может показаться, что в текущей воде круговые волны должны вытянуться в ту сторону, куда увлекает их течение: волнение передается по течению быстрее, чем против течения и в боковых направлениях. В действительности, однако, это не так. Бросая камни в самую быструю речку, вы можете убедиться, что волны получаются строго круговые – совершенно такие же, как и в стоячей воде. Почему? Решение: Будем рассуждать так. Если бы вода не текла, волны были бы круговые. Какое же изменение вносит течение? Оно увлекает каждую точку этой круговой волны в направлении, причем все точки переносятся по параллельным прямым с одинаковой скоростью, т. е. на одинаковой расстояния. А «параллельное перенесение» не изменяет формы фигуры. Взяв на окружности бесконечно много точек, т.е. окружность, мы получили бы после параллельного переноса равную окружность. Вот почему движение воды не изменяет формы волн – они в текущей воде остаются кругами. Два арбуза Продаются два арбуза неодинаковых размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в 1 1/4 раза дороже. Какой из них выгоднее купить? Решение. Объем большего арбуза превышает объем меньшего в почти вдвое. Выгоднее, значит, купить крупный арбуз; он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше раза в два. Почему же, однако, продавцы просят за такие арбузы обычно не вдвое, а только в полтора раза больше? Объясняется это просто тем, что продавцы в большинстве случаев не сильны в геометрии. Впрочем, не сильны в ней и покупатели, зачастую отказывающиеся из-за этого от выгодных покупок. Можно смело утверждать, что крупные арбузы выгоднее покупать, чем мелкие, потому что они расцениваются всегда ниже их истинной стоимости; но большинство покупателей этого не подозревают. По той же причине всегда выгоднее покупать крупные яйца, нежели мелкие, если только их не расценивают по весу. Две дыни Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая - 50 см. Первая в полтора раза дороже второй. Какую дыню выгоднее купить? Решение. Окружности относятся между собой как диаметры. Если окружность одной дыни 60 см, другой 50 см, то отношение их диаметров 60 х 50 = 6/5, а отношение их объемов 216/125. Большая дыня должна быть, если оценивать ее сообразно объему (или весу), в 1,73 раза дороже меньшей; другими словами, дороже на 73 %. Просят же за нее всего на 50 % больше. Ясно, что есть прямой расчет ее купить. Шестеренки Шестеренка с 8 зубцах сцеплена с колесом, имеющим 24 зубца. При вращении большего колеса шестеренка обходит кругом него. Спрашивается, сколько раз обернется шестеренка вокруг своей оси за то время, пока она успеет сделать один полный оборот вокруг большей зубчатки? Если вы думаете, что шестеренка обернется три раза, то ошибаетесь: она сделает не три, а четыре оборота. Чтобы наглядно уяснить себе, в чем тут дело, положите перед собою на гладком листе бумаги две одинаковые монеты так, как показано на рисунке. Придерживая рукой нижнюю монету, катите по ее ободу верхнюю. Вы заметите неожиданную вещь: когда верхняя монета обойдет нижнюю наполовину и окажется внизу, она успеет сделать уже полный оборот вокруг своей оси; это будет видно по положению цифр на монете. А обходя неподвижную монету кругом, монета наша успеет обернуться не один, а два раза. Вообще, когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно. Квадратура круга Еще древние математики ставили перед собой задачу: при помощи одних только циркуля и линейки - тех инструментов, которыми всегда пользовались геометры, - построить квадрат, равный по своей площади тому или другому кругу. Сколько ни бились над ее решением люди в течение целых тысячелетий, ничего не выходило. Эта задача очаровывает тем, что интерес к ней сохранялся на протяжении всей истории математики, она и связанные с ней задачи, интересовали как профессиональных математиков, так и любителей. С 1775 Парижская Академия наук, а затем и другие академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных Квадратуре круга. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость задачи «Квадратура круга» с помощью циркуля и линейки. В настоящее время «Квадратура круга» – синоним любой неразрешимой задачи, все совершенно недостижимое, невозможное. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Рефлексия Основная трудность во время работы над проектом – отбор материала. Было собрано много интересной информации по данной теме из разных областей науки и сфер жизнедеятельности человека (это информация о значение круга в литературе, искусстве, языкознании, математике, физике, биологии и тд). Однако половина материала не вошла в окончательную версию реферата и презентации, т.к. отдельные главы реферата трудно согласовывались друг с другом и не давали целостной структурированной информации. Результаты проекта (выводы): 1. 2. • • • • • • • Выпущен номер электронного математического журнала «КРУГОмир» В нем представлены рубрики: об историческом значении круга; об изобретениях, связанных с кругом (колесо, циркуль); об использовании круга для решения логических задач (круги Эйлера); рассмотрены интересные теоремы по геометрии; затронута тема значения числа π в истории математики; представлены интересные факты о круге в окружающем мире. в отдельной рубрике «Практикум» задачи, не только занимательные, но и имеющие практическое значение, и задачи на построения при помощи циркуля и линейки. 3. Приобретены навыки проектной деятельности. 4. Журнал показан одноклассникам, которые написали положительные отзывы о моем проекте. Литература 1. Квантик. Альманах для любознательных. 2013г, выпуск №1 2. Я.И. Перельман «Занимательная геометрия», 1950, Москва - Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950 3. Я.И. Перельман 'Живая математика. Математические рассказы и головоломки' - Москва: Наука, 1967 - с.160 4. А.В. Жуков «Вездесущее число Пи» - М.:Едиториал УРСС,2004. – 216с. 5. http://mmmf.msu.ru/ 6. http://music-fantasy.ru/ 7. https://ru.wikipedia.org 8. http://www.avanta.ru 9. http://www.kakprosto.ru
