4 - В начало

Класс 11. Модуль 14. Элементы теории функции
комплексного переменного
Урок 4. Формула Эйлера для мнимых показателей
План урока
1. Понятие предела последовательности комплексных чисел
2. Формула Эйлера для мнимых показателей
3. Показательная форма комплексного числа
4. Новое определение тригонометрических функций
5. Показательная функция над полем комплексных чисел
6. Взаимно-однозначное отображение показательной функцией полосы на плоскость
1. Понятие предела последовательности комплексных чисел
Комплексное число z  a  bi называется пределом последовательности комплексных
чисел с общим членом zn  xn  yni если
a  lim xn  b  lim yn 
n 
n 
Пусть общий член последовательности zn задан в тригонометрической форме
zn  rn (cos n  i sin n ) и rn  r0 и n  0  при n   . Тогда
lim zn  r0 (cos 0  i sin 0 )
n 
Пример 1. Пусть p  12  cos 6  i sin 6   Рассмотрим последовательность с общим членом
zn  p n  Имеем
n
1

 
1
n
1
n
zn  p    cos  i sin    n cos
 i  n sin

6
6  2
6
2
6
2
Так
как
xn  21n cos n6 ,
yn  21n sin n6 
 xn  21n
n
Положим
и
 yn 
 21n при любом n  N  то lim xn  0 , lim yn  0 По определению получаем:
n 
n 
lim zn  lim p n  lim( xn  yni)  0
n
n

Пример 2. Пусть zn  n 2 cos ( n n1)  i sin ( n n1)
n
 ( n  N ). Так как lim
n
n
2  1 , lim ( nn1)    то
n
lim zn  1  (cos   i sin  )  1
n 
Вопрос. Как доказать, что последовательность с общим членом zn  i n не имеет предела?
2. Формула Эйлера для мнимых показателей
Для действительного числа x было установлено равенство
n
 x
e  lim 1   
n 
 n
x
По аналогии полагают
n
 ix 
e  lim  1   
n 
n

ix
Вычислим этот предел, показав тем самым, что такой предел существует.
Запишем число 1  ixn в тригонометрической форме
x
1  i  rn (cos  n  i sin  n )
n
где rn  1  nx2   n  nx  причем  2  n  2 
2
По формуле Муавра
n
 ix 
zn  1    (rn ) n  (cos nn  i sin nn )
n

Рассмотрим последовательность an  ( rn ) n действительных чисел с общим членом
an  (rn ) n  Так как rn  1  nx2  то
2
n
 x   x 2 

an  1  2   1  2 
 n   n 
2

где bn  1  nx2
2

n2
n
2
стремится к числу e x  cn 
2
1
2n
2
1
 2n
  bn cn 


стремится к нулю при n   Из
непрерывности функций вида f ( x) g ( x ) при непрерывных f и g следует, что

lim c
 n n
 n

lim an   lim bn 
n

  e x

2 0




 1
Теперь рассмотрим последовательность действительных чисел с общим членом d n  nn 
Так как n 
x1
n
 0 при n   то n  0 при n   Но тогда
d n  nn  nn 
 x  cos n 
sin  n
n
 1 при n   Отсюда
n
x 
 n   n  cos in 
n
n sin n
n
 x 11  x при n  
sin n
В результате получаем
n
 ix 
eix  lim 1    lim(rn ) n  (cos nn  i sin nn ) 
n 
n  n

 lim(rn )n  (cos(lim nn )  i sin(lim nn )) 
n
n
n
 1 (cos x  i sin x)
Равенство eix  cos x  i sin x называется формулой Эйлера для мнимых показателей.
Комплексное число e ix при x  R определяется этой формулой.
Для произвольного комплексного числа z  a  bi по определению полагают
ea bi  ea  ebi  ea (cos b  i sin b)
Вопрос. Какой точкой плоскости изображается число e i ?
3. Показательная форма комплексного числа
С помощью формулы Эйлера любое ненулевое комплексное число z можно записать в
особой форме. Пусть
z  r (cos   i sin  )
Так как по определению cos   i sin   ei , то z  rei  Запись вида
z  rei 
где r  R ,   R и r  0 , называется показательной формой комплексного числа z  0 .
При каких действительных r и  и r  0 имеет место равенство i  rei ?
4. Новое определение тригонометрических функций
Формула Эйлера ei  cos   i sin  для мнимых показателей позволяет выразить функции
sin x и cos x через показательную функцию с мнимым показателем.
Заменяя число  в формуле Эйлера на x и  x получим два равенства:
eix  cos x  i sin x
e  ix  cos x  i sin x
Складывая и вычитая эти равенства, будем иметь:
eix  eix  2cos x
eix  eix  2i sin x
Отсюда
eix  eix
cos x 

2
sin x 
eix  eix

2i
В общем случае по определению полагают
cos z 
eiz  eiz

2
sin z 
eiz  eiz
2i
для любого комплексного числа z .
Вычисляя теперь сумму cos z  i sin z получим
cos z  i sin z 
eiz  eiz eiz  eiz

 eiz 
2
2
Таким образом, формула Эйлера ei  cos   i sin  верна также для любого комплексного
числа  
Пример 3. Вычислить cos i и sin i
Решение. Подставим в предыдущие формулы вместо z число i . В результате получим
eii  eii e1  e1 e2  1
cos i 



2
2
2e
sin i 
eii  eii e1  e1
e2  1

 i

2i
2i
2e
Вопрос. Как упростить выражение cos i  i sin i
5. Показательная функция над полем комплексных чисел
Рассмотрим теперь функцию
f ( z)  ez 
определенную на множестве C
Пусть z  x  yi Тогда по формуле Эйлера
w  f ( z )  e x  yi  e x  (cos y  i sin y )
Отсюда можно получить следующие свойства.
I. Если два числа z1 и z2 имеют равные действительные части, то модули
соответствующих значений w1 и w2 функции равны.
II. Если два числа z1 и z2 имеют равные мнимые части, то аргументы соответствующих
значений w1 и w2 функции равны.
III. Если z1  x  y1i z2  x  y2i и y1  y2  2 k  где k — целое число, то e z1  e z2 
Эти свойства позволяют установить другие свойства функции f ( z )  e z .
Пусть z  x  yi и w  e z  u  vi Число z условимся изображать точкой ( x y ) на
координатной плоскости Oxy а число w — точкой (u v) на другой координатной
плоскости Ouv (рисунок 1).
Функция v  e z преобразует каждую фигуру плоскости Oxy в фигуру на плоскости Ouv
Например, пусть точка z  x  iy описывает прямую, параллельную оси Oy то есть число
x постоянно, а число y меняется. Тогда точка
w  e z  e x (cos y  i sin y)
опишет окружность радиуса r  e x с центром в начале координат (рисунок 2).
Вопрос. Как должна перемещаться точка z для того, чтобы точка w сделала только один
полный оборот по окружности на рисунке 2 в положительном направлении?
6. Взаимно-однозначное отображение показательной функцией полосы на плоскость
Рассмотрим множество D точек z  x  yi для которых 0  y  2 и x — произвольное
действительное число. Множество D есть полоса на плоскости Oxy шириной 2 
ограниченная осью Ox и прямой y  2  причем точки прямой y  2 к этой полосе не
причисляются (левая часть рисунка 3).
Если точка z  yi из множества D описывает интервал на оси y от 0 до 2  то
точка w  e z  cos y  i sin y опишет на плоскости Ouv окружность радиуса 1 с центром в
начале координат (правый рисунок 3). Точки z  x  iy из множества D для которых
x  0 постоянно и 0  y  2 , функция e z отображает в точки плоскости Ouv лежащие
на окружности радиуса e x  1 , а точки z  x  yi для которых x  0 постоянно и
0  y  2 , — в точки, лежащие на окружности радиуса e x  1 .
Таким образом, функция w  e z отображает полосу D на всю координатную
плоскость Ouv за исключением начала координат, причем разным точкам полосы D
соответствуют разные точки плоскости Ouv Другими словами, функция e z взаимно
однозначно отображает полосу D на всю плоскость Ouv за исключением точки (0 0)
Вопрос. Как доказать, что функция e z не принимает значение 0
Тесты. Проверь себя. Выбери правильные ответы.
Точка z  x  yi описывает на плоскости Oxy прямую, параллельную оси Ox Какое
множество точек описывает точка u  vi  e z на плоскости Ouv
1. Луч
2. Прямую
3. Окружность
4. Эллипс
Ответ: 2.
Какое множество точек описывает точка e z  u  vi на плоскости Ouv если точка
z  x  yi описывает прямую, параллельную оси y на плоскости Oxy
1. Луч
2. Прямую
3. Окружность
4. Эллипс
Ответ: 3.
Число 1 i равно
1. 1
2. i
3. -1
4. -i
Ответ: 1
Число i i равно
1. e
2. i

2


3. e 2
4. -i
Ответ: 3
Выражение cos i  i sin i можно преобразовать к виду
1. 2е
2. е
3. 2e1
4. e 1
Ответ: 4
Тесты. Проверь себя. Выбери все правильные ответы.
Какое число является комплексно-сопряженным к числу eix  где x – действительное
число?
1.  cos x  i sin x
2. cos x  i sin x
3. e  ix
4. - e ix
Ответ: 2, 3.
Число
3  i равно
1. 2(cos

3
2. 2(cos( 
3. 2(cos
i

3
 i sin

3

3
)
)  i sin( 
 i sin

3

3
))
)

4. 2e 3
Ответ: 1, 4.
Выражение 1  i , где >0, можно преобразовать к виду
1

i
)
1. 1   2 (
1  2
1  2
1
2. 1   2 (cos   i sin  ), где   arcsin
1  2
1
3. 1   2 (cos   i sin  ), где   arccos
1  2
4. 1   2 (cos   i sin  ), где   arc tg
Ответ: 1, 3, 4.
Какие из перечисленных ниже чисел удовлетворяют уравнению z 2  i ?
i

1. e 4
1 i
2.
2
1 i
3.
2
1 i
4.
2
Ответ: 1, 2, 3.
Какие из перечисленных ниже чисел являются действительными?
1. cos i
2. sin i
3. tg i
4. i sini
Ответ: 1, 4.
Миниисследование
Решить уравнение sin z  1000 .
Домашнее задание
1. Изобразите на плоскости точку соответствующую числам:
а) e 1 
б) e1i 
в) ei 
г) e 2 i 
2. Докажите, что e z  2 i  e z при любом комплексном z (можно говорить, что функция e z
обладает периодом 2 i ).
4. Вычислите:
i
 i
а) e2i  e2i 
б) e i  e i 
в) e 2  e 2 .
5. Запишите в виде re i число:
а) 1  i
б) 22  22 i.
6. Вычислите:
в) (1  i)i 
7. Покажите, что при любом действительном x число cos ix — действительное, а число
sinix — мнимое.
8. Докажите, что cos i cos 2i — действительные и что cos i  1 и cos 2i  2
9. Покажите, что числа cos i  sin i и cos i  sin i комплексно сопряжены.
10. Докажите, что e z1  z z2  e z1  z2 для любых комплексных чисел z1 и z2 
11. Докажите, что cos( z  2 )  cos z и sin( z  2 )  sin z при любом комплексном
значении z
12. Докажите, что cos 2 i  sin 2 i  1
13. Докажите, что точки координатной плоскости, изображающие комплексные числа e z
и e  z  где z — число, комплексно-сопряженное с числом z симметричны относительно
окружности радиуса 1 с центром O в начале координат, то есть лежат на одном луче с
началом в нуле и произведение их расстояний от точки O равно 1
Рисунки
Рис.1 - 11-15-16.EPS
Рис.2 - 11-15-17.EPS
Рис.3 - 11-15-18.EPS