Наибольшее и наименьшее значения функций.

Наибольшее и наименьшее
значения функций.
У=(х-1)2
У=-(х-2)2+1
У=√х
5
у
х
Критических точек нет
[0;4]
[-6;-2]
Гильманова Л.М.МОУ СОШ
7
[1;4]
Критические точки имеются
Теорема Вейерштрасса: Непрерывная на отрезке функция
принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее
значения.
Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции
Функция не имеет критических
точек
Функция имеет конечное число
критических точек
а
а
в
Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7
в
Чтобы найти наибольшее и наименьшее
значения функции, имеющей на отрезке
конечное число критических точек, нужно
вычислить значения функции во всех
критических точках и на концах отрезка, а
затем из полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее значение
функции.
Примеры.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у(х)= -х3+1,5х 2+6х+1 на отрезке [-1;1]
Критические точки: у !(х)=-3х 2+3х+6; у !(х)=0; х 1=-1, х2=2
х1   1;1, х2   1;1
Находим значение функции в точках х1=-1 и х2=1.
У(-1)=-(-1)3+1,5(-1)2+6(-1)+1=-2,5
У(1)=-13+1,5.12+6.1+1=7,5
Наибольшее значение функции достигается в точке 1 и
равно 7,5; наименьшее – в точке –1 и равно –2.5.
Коротко : max у( х )=у( 1 )=7,5 ; min у( х )=у( -1 )= -2,5
[-1;1]
[-1;1]
Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7
Метод математического
моделирования
Формализация.
Решение полученной математической
задачи.
Интерпретация найденного решения.
Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7
Схема поиска наибольших и наименьших
значений в прикладных задачах.
Выбирается удобный параметр х, через
который интересующая величина
выражается как функция f(x).
Ищется наибольшее или наименьшее
значение функции на некотором
промежутке.
Выясняется практический смысл
полученного результата.
Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7
Пример 2. Из прямоугольного листа жести размером 5 х 8
надо изготовить открытую коробку наибольшего объема,
вырезая квадратные уголки так, как показано на рисунке.
Обозначим через х
длину стороны
вырезаемого квадрата.
Тогда длины сторон
уменьшатся на 2х и
объем коробки будет
равен:
V=x(8-2x)(5-2x) =4x3-26x2+40x. При этом х принадлежит
(0;2,5). Т.о. мы свели пример 2 к задаче: найти наибольшее
значение функции V=x(8-2x)(5-2x) на интервале (0; 2,5)
Критические точки : х1=1 и х2=10/3, х2 не принадлежит
Л.М.МОУ
СОШмаксимален:V
7
области определения.Гильманова
При х=1
объем
max=18.
Подводя итоги…
Сформулируйте правило нахождения наибольшего
и наименьшего значений функций на отрезке.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на данном отрезке. у=0,8х5-4х3 , [-1; 0]
0,8.5х4-12х2=0, 4х4-12х2=0, 4х2(х2-3)=0, х=0 или х= ± √ 3
± √ 3 не принадлежит [-1; 0] . У(-1)=0,8 - 4 =-3,2
У(0) = 0, значит, max у(х)=у(0)=0, min у(х) = у(-1)=-3,2
Л.М.МОУ СОШ
[-1; Гильманова
0]
[-1;7 0]
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции f(x)= х3-3х2 на отрезке [-1; 4]
1.
2.
3.
4.
5.
f´(x)= (х3-3х2)´= 3х2-6х=3х(х-2).
3х(х-2)=0, х1=0, х2=2
х1 [-1; 4], х2  [-1; 4].
f(-1)=-4, f(0)= 0, f(2)=-4, f( 4)=16.
Max f(x)= f( 4)=16, min f(x)= f(-1)= f(2)=-4
[-1; 4]
[-1; 4]
Гильманова Л.М.МОУ СОШ 7
Гильманова Л.М.