Задача 4.

Задача 4.
Три равных конуса имеют общую вершину, касаются одной плоскости и
попарно касаются между собой. Найти угол в осевом сечении одного из этих
конусов.
Решение
У: Где будет искомый угол? Угол равный искомому?
О: Углы между образующими конусов и их высотами равны половине
искомого угла. Углы между высотами конусов равны искомому
Учащимся предлагается рассмотреть компьютерное изображение и
сравнить его с тем, что получилось на моделях. (Рисунок 5)
Рисунок 5
У: Нужны ли основания для решения? (уберем основания конусов), угол
между чем нам нужно найти? (Рисунок 6)
Рисунок 6
О: Между двумя наклонными.
У: Какие эти наклонные?
О: Равные.
У: Как они наклонены к плоскости?
О: Под одним и тем же углом.
У: Чему равен угол наклона этих прямых к плоскости?
О: Половине искомого угла.
У: Можно ли определить угол между проекциями этих наклонных?
О: Да. Проекции наклонных делят угол в 360° градусов на три равные
части, значит, угол между ними равен 120°.
У: Пусть высота конуса ℎ, искомый угол 𝛾. Какой отрезок входит и в
треугольник, содержащий данный угол, и в треугольник, содержащий искомый
угол?
О: 𝑂𝐴1 .
У: Выразим его длину через элементы треугольника 𝑂𝐴1 𝐴.
𝛾
О: 𝑂𝐴1 = ℎ ∙ cos .
2
У: Чем отрезок 𝑂𝐴1 является в треугольнике 𝑂𝐴1 𝑀1 ?
О: Гипотенузой.
У: Какая функция известного угла связывает 𝑂𝐴1 и 𝐴1 𝑀1 ?
О: 𝑂𝐴1 =
𝐴1 𝑀1
sin ∠𝐴1 𝑂𝑀1
У: Можно ли выразить длину 𝐴1 𝑀1 или отрезка ему равного через
обозначенные элементы? Есть ли отрезки равные 𝐴1 𝑀1 ?
О: Да, отрезок 𝐴𝑀.
У: Чему равна его длина?
𝛾
О: Из прямоугольного треугольника 𝑂𝑀𝐴: 𝐴𝑀 = ℎ ∙ sin .
2
У: Чему равен ∠𝐴1 𝑂𝑀1 ?
1
О: ∠𝐴1 𝑂𝑀1 = ∠𝐴1 𝑂𝐵1 = 60°.
2
У: Так чему равна длина отрезка 𝑂𝐴1 ?
О: 𝑂𝐴1 =
ℎ∙sin
𝛾
2
sin 60°
𝛾
=
2√3∙ℎ∙sin
2
3
.
У: Приравняем выражения для 𝑂𝐴1 .
𝛾
2√3∙ℎ∙sin
2
3
О: ℎ ∙ cos =
𝛾
2
. Отсюда 𝑡𝑔
𝛾
2
=
√3
.
2
У: Найдем величину искомого угла через 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠.
О: cos 𝛾 =
𝛾 2
2
𝛾 2
)
2
1−(𝑡𝑔 )
1+(𝑡𝑔
=
3
4
3
1+
4
1−
1
1
7
7
= . Значит, 𝛾 = arccos .