Лекция 1-2x

Лекция № 1-2 (повторение)
Арифметические действия с десятичными и обыкновенными дробями
Виды дробей. Преобразования.
Дроби бывают трёх видов.
1. Обыкновенные дроби, например:
1
3
19
32
10
4
2
4
5
8
100
1
Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4,
19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться.
Верхнее число называется числителем, нижнее -знаменателем. Если вы
постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу:
"Зззззапомни! Зззззнаменатель - внизззззу!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)
Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего
числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне
можно поставить знак деления - две точки.
1/2 = 1 : 2
Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8"
гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.
32/8 = 32 : 8 = 4
Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не
делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную
операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.
2. Десятичные дроби, например:
0,5 или 3,28 или 0,125 и так далее.
Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".
3. Смешанные числа, например:
1
1
3
3
3
5
1
2
2
4
7
10
Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для
того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби.
Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и
зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.
Наиболее универсальны обыкновенные дроби. С них и начнём. Кстати,
если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не
меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не
отличаются от действий с обыкновенными дробями!
Основное свойство дроби.
Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие
преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно
так и называется, основное свойство дроби. Запоминайте: если числитель и
знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не
изменится. Т.е:
4 4х3 12 12: 6 2
=
=
=
=
6 6х3 18 18: 6 3
Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Главное понять, что все
эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь. 2/3.
Для начала давайте употребим основное свойство дроби для сокращения
дробей. Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на
одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо
творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходиться сокращать не
дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.
Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя
на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое
сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.
Например, надо упростить выражение:
5а
а2
Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу!
Получаем:
5
а
Все
правильно.
Но
реально
вы
поделили весь числитель
и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах,
можете зачеркнуть "а" в выражении
и получить снова
5+а
а2
5
а
Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на
"а" уже не делится! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это,
гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При
сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!
Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас
дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без
калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не
полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока
сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?
Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в
десятичные и наоборот без калькулятора! Это важно на ЕГЭ, верно?
Как переводить дроби из одного вида в другой.
С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется!
Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100.
Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь:
1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.
А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без
всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17.
Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100.
Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно,
Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно
превратить в обыкновенную.
А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые
без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на
ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.
Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10,
или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой
знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 =
1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать
будем? Там десятичные требуются...
Вспоминаем основное свойство дроби! Математика благосклонно
позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое,
между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на
пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100,
или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем
знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5.
Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.
Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16.
Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000...
Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием
калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах
учили. Получим 0,1875.
А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак
не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы
получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не
переводится. Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых.
Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь
переводится в десятичную!
Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ
надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта
дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по
дороге! Вернитесь, проверьте решение.
Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось
разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно
перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать
шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под
руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части
умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет
числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым.
Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.
Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:
1
3
7
Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная
часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет
знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая
часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части. Получим 10. Это будет
числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в
математической записи:
1
3 7х1 + 3 10
=
=
7
7
7
Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите эти смешанные числа в
обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.
Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и
поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это
делать? Где и когда применять эти глубокие познания?
Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в
примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и
смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно
сделать. Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо
всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения,
который удобен нам!
Подведём итоги этого урока:
1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные
числа.
2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в
обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.
3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого
задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное перейти к обыкновенным дробям.
Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные
дроби в обыкновенные:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):
7
3
3
19
3
5
4
20
5
250
29
40
Что, не всё сходится? А сократить, часом, не забыли? Обыкновенные
дроби принято сокращать до упора, пока они сокращаются.
Получилось? Отлично, едем дальше. Переведите смешанные числа в
обыкновенные дроби:
1
2
1
4
2
1
1
3
2
5
6
25
Ответы (в беспорядке):
7
79
6
25
5
2
7
5
Без проблем? Отлично!
А теперь переводим обыкновенные дроби и смешанные числа в
десятичные дроби. Без калькулятора, разумеется!)
7
4
2
1
15
5
2
3
1
10
5
5
8
4
6
Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):
0,125; точно не переводится; 2,7; 3,75; 3,8; 1,4.
И здесь всё сходится? Удачно!
Не всё получилось? Это зря... Как вы будете ответы на задания "В" в ЕГЭ
записывать!?
На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые
моменты по дробям. Далее мы повторим действия с дробями. Как их
складывать-вычитать и умножать-делить.
Сложение и вычитание дробей.
Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет
(очень надеюсь!). Ну, уж совсем забывчивым, напомню: при сложении
(вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и
дают числитель результата. Типа:
3 2 3+2 5
+ =
=
7 7
7
7
Или:
7
5
7−5
2
1
−
=
=
=
12 12
12
12 6
Короче, в общем виде:
а 𝑐 𝑎±𝑐
± =
𝑏 𝑏
𝑏
А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот
оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:
2 3
2×2 3
4
3
7
+
=
+
=
+
=
5 10 5 × 2 10 10 10 10
Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с
целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и
4/10 это одна и та же дробь! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже
ничего.
Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы
из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения.
Ещё пример:
47 15 47 15 × 3 47 45
2
1
−
=
−
=
−
=
=
48 16 48 16 × 3 48 48 48 24
Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на
3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:
5 2
+
7 9
Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила
знаем! Преобразуем каждуюдробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Это называется «приведём к общему знаменателю»:
5 × 9 2 × 7 45 14 59
+
=
+
=
7 × 9 9 × 7 63 63 63
Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое
нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить
перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к
примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!
Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это
попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и
привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:
1 3 7 5
+ + −
2 4 8 16
И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4,
8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится
и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число
и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.
Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце
всё подсокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...
Дорешайте пример самостоятельно. Должно получиться 29/16.
Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь?
А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными
выражениями. Итак, нам надо сложить два дробных выражения:
𝑥+2 𝑥−3
+
=
𝑥
𝑥+1
Надо
сделать
знаменатели
одинаковыми.
Причём
только
с
помощью умножения! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не
могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо
было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и
записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу
пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:
𝑥+2 𝑥−3
+
=
𝑥
𝑥 + 1 𝑥(𝑥 + 1)
И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем!
А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в
первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой
дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:
𝑥 + 2 𝑥 − 3 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + (𝑥 − 3)𝑥
+
=
=
𝑥
𝑥+1
𝑥(𝑥 + 1)
Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на
которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки
появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весьзнаменатель! А не
их отдельные кусочки...
В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в
числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е.
перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях,
перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее
произведение! Получим:
𝑥 2 + 𝑥 + 2𝑥 + 2 + 𝑥 2 − 3𝑥
2𝑥 2 + 2
=
𝑥(𝑥 + 1)
𝑥(𝑥 + 1)
Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от
практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто
освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на
автомате!
И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают
на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку?
Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а
очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби.
В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так
далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с
этим дробями по всем правилам.
Ну, по сложению - вычитанию дробей вполне достаточно. Осталось
вспомнить умножение - деление. И можно будет потренироваться.
Умножение и деление дробей
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще.
Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители
(это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
𝑎 𝑐 𝑎×𝑐
× =
𝑏 𝑑 𝑏×𝑑
Например:
5 7 35
11
× =
=1
4 6 24
24
Всё предельно просто. И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не
надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!)
дробь и их перемножить, т.е.:
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎×𝑑
÷ = × =
𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏×𝑐
Например:
1 1 1 8 8
÷ = × = =2
4 8 4 1 4
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт
более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок)
будет меньше!
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и
внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая
необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание,
сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем
напутать при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным
дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя
деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Самостоятельная работа
Вычислить:
1
2 × 0,3
2
0,75 +
2
3
0,3 2
+ −1
1
5
2
2 3
+
3 4
1
1
+1
2
3
2 3 5 1
− + − −
3 4 6 2
Ответы:
3
4
;1
5
12
;0;
17
22
; −1
1
4