***** 1 - Сайт Учителя Математики

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО
СОДЕРЖАНИЯ
(ЕГЭ 2015)
Презентация учителя математики
высшей категории МБОУ СОШ №10
с УИОП ЩМР МО
Скрябиной Галины Вячеславовны
Что необходимо знать и понимать
при решении задач на проценты:
•
•
•
•
•
•
1%-это одна сотая часть чего-либо;
За 100% принимаем ту величину, с которой сравниваем;
Формулы для подсчёта процентов:
если величину S увеличить на а%, то получим S(1+0,01а);
если величину S уменьшить на а%, то получим S(1-0,01а);
если величину S дважды увеличить на а%, то получим
S(1+0,01а)2;
• если величину S дважды уменьшить на а%, то получим
S(1-0,01а)2.
Формула вычисления сложных процентов.
An  А0  (1 
р n
) , где An  будущая стоимость, А0  текущая стоимость, p100
процентная ставка за расчётный период (день, месяц, год,…); n- количество
расчётных периодов.
Вывод формулы вычисления сложных процентов:
Для вычисления значения за один период воспользуемся формулой для
вычисления числа, которое на заданный процент больше от исходного числа
A1  A0  (1 
p
)
100
Для второго периода
A2  A1  (1 
p
p 2
)  A0  (1 
)
100
100
…….
Для n-ого периода
An  An 1  (1 
p
p n
)  A0  (1 
)
100
100
Что необходимо знать и понимать при решении
задач на погашение кредита равными долями
Пусть размер кредита S.
Процент банка равен а%, а ежегодная выплата по кредиту
равна Х.
Тогда через год после начисления процентов и выплаты
суммы X размер долга равен: S( 1+0,01а ) - X.
Обозначим р= 1+ 0,01а.
Тогда через два года размер долга составит: (Sр – X)р-X
Через три года: ((Sр – X)р-X)р – X.
Через четыре года (((Sр – X)р-X))р – X)р – X.
...через п лет Sрп- X(рп-1+….р3+р2+р+1).
Для подсчета величины в скобках иногда
применяется формула суммы n членов
геометрической прогрессии.
Здесь b1  1, q  a
Формула для суммы n членов геометрической
прогрессии:
n
b1  (1  q )
Sn 
1 q
Размер долга через n лет
X  (1  а )
Sа 
1 а
n
n
ЗАДАЧА № 1.
В июле планируется взять кредит
на сумму 8 052 000 рублей. Условия
его возвращения таковы:
-каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом
предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить
некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был
полностью погашен четырьмя равными платежами ( то есть
за четыре года? )
РЕШЕНИЕ:
А=8 052 000 рублей
ДОЛГ
остаток
1, 2(1, 2 А  в)
1,2А
выплаты в
1,2А-в
1, 23 А 
1, 24 А  1, 23 в
1, 22 в  1, 2в 1, 22 в  1, 2в
в
в
в
1, 22 А  1, 2в  в 1, 23 А  1, 22 в 1, 24 А  1, 23 в 
1, 2в  в
1, 22 в  1, 2в  в
1, 2 А  1, 2 в  1, 2 в  1, 2в  в  О
4
3
2
1, 24 А  в 1, 23  1, 22  1, 2  1
Посчитаем сумму 4-ёх членов геометрической прогрессии, где
первый член -1; знаменатель – 1,2
1, 2 А  2, 2  2, 44  в
4
1, 24  А 1, 24  8О52ООО
в

2, 2  2, 44
2, 2  2, 44
в= 3110400
Ответ: 3 110 400 рублей
ЗАДАЧА №2
В июле планируется взять кредит в
банке на некоторую сумму.
Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом
предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить
некоторую часть долга.
Найдите число х, если известно, что если каждый год выплачивать
по 777 600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года,
а если ежегодно выплачивать по 1 317 600 рублей, то кредит
будет полностью погашен за 2 года.
РЕШЕНИЕ:
А-сумма кредита к=1+х/100
ДОЛГ
кА
выплаты в
к  кА  в 
в
кА-в
3
к в  кв
2
в
к Ак в
к А  кв  в
 кв  в
3
остаток
2
в
2
к Ак в
4
к Ак в
 кв
3
2
к Ак в 
4
3
к 2 в  кв  в
к 4 А  к 3в  к 2в  кв  в  О
 2
к А  кв  в  О
4
3
2

к
А

777
6ОО
к

к
 к  1


 2

к А  1 317 6ОО  к  1
к2 
13176к 2  7776к 2  7776
к 2  1, 44
х
1
 1, 2
1ОО
777 6ОО  к  1  к 2  1
1 317 6ОО  к  1
54ООк 2  7776
к=1,2
х=2О
Ответ: х=20%
ЗАДАЧА № 3
В июле планируется взять кредит
в банке на сумму 10 млн рублей на
5 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению
с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплати ть
часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же
величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после
погашения кредита?
РЕШЕНИЕ
долг
июль
10
8
6
4
2
долг
январь
1,1*10
1,1*8
1,1*6
1,1*4
1,1*2
1,1*8-6
1,1*6-4
1,1*4-2
1,1*2
выплаты 1,1*10-8
0
Посчитаем все выплаты:
1,11О  8  1,1 8  6  1,1 6  4  1,1 4  2  1,1 2 
1,11О  8  6  4  2   8  6  4  2  
1,1 3О  2О  33  2О  13
Ответ: 13 млн рублей
ЗАДАЧА № 4
В июле планируется взять кредит
в банке на сумму 6 млн рублей на
некоторый срок. Условия возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом
предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить
часть долга;
-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
-меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы
наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн руб.?
РЕШЕНИЕ
n – срок выплаты кредита.
долг
(июль)
выплата
остаток
6 млн
7, 2 
6(n  1)
n
...
6
n
0
6  n  1
n
6  n  1
n
Так как самая большая выплата – это первая, то остальные
можно не считать.
6  n  1
7, 2 
 1,8
n
7,2n-6n+6≤1,8n
0,6n≥6
n≥10
Ответ: на 10 лет
ЛИТЕРАТУРА
А.В. Семёнов, И.В.Ященко и др. Как получить
максимальный балл по ЕГЭ.
Москва. «Интеллект-Центр», 2015
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!