1. Познакомиться с парадоксами и софизмами

Правильно понятая ошибка- это путь к
открытию»
(И.П.Павлов)
Занятие математического кружка
Преподаватель математики ГОУ НПО
РМЭ ПУ № 15 Корчагина Т.Г.
Page 1
Почему мы решили
рассмотреть эту тему?
Многие очень любят решать
задачи и разгадывать
математические ребусы, но в
математике есть задачи,
которые не похожи на другие,
они как будто бы правильные, но
в то же время неправильные.
Это софизмы!
Page 2
Поиск
заключенных в
софизме ошибок,
ясное понимание
их причин ведут к
осмысленному
постижению
математики и,
кроме того,
показывает, что
математика – это
живая наука.
Page 3
Задачи:
1. 1. Познакомиться с
парадоксами и софизмами;
узнать, в чем их отличие.
2. 2.
Понять, как найти ошибку в
них.
Page 4
А теперь немного
истории…
В Древней Греции «софисты» (от
греческого слова sofos, означающего
мудрость) – мыслители, люди,
авторитетные в различных вопросах.
Их задачей обычно
было научить
убедительно
защитить любую
точку зрения.
Page 5
Где появились софизмы?
В Древней Греции.
Для чего они создавались? С какой
целью?
Появление софизмов заставило
задуматься математиков о логическом
строении геометрии и арифметики.
Кто придумал
математические
софизмы?
Мудрец Зенон Элейский
в V веке до нашей эры.
Page 6
Софизм - формально
кажущееся
правильным, но по
существу ложное
умозаключение,
основанное на
неправильном подборе
исходных положений
(словарь Ожегова)
Page 7
Математический софизм –
удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются
незаметные, а подчас и довольно тонкие
ошибки.
Особенно часто в софизмах выполняют
"запрещенные" действия или не учитываются
условия применимости теорем, формул и
правил.
Page 8
арифметические
(числовые)
алгебраические
геометрические
логические
Page 9
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys —
число), наука о числах, в первую очередь о
натуральных (целых положительных) числах и
(рациональных) дробях, и действиях над ними.
Так что же такое арифметические софизмы?
Арифметические
софизмы – это
числовые выражения,
имеющие неточность
или ошибку, не
заметную с первого
взгляда.
Page 10
 2=3
 5=6
 2·2=5
1=0,
 или уравнение
x-a=0
не имеет решения
Page 11
Докажем, что 5=6.
Возьмем тождество:
35+10-45=42+12-54
Вынесем за скобки общий множитель:
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
Разделим обе части на (7+2-9)
Получим 5=6
Где ошибка?
Page 12
Ошибка допущена при
делении верного равенства
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
на число (7+2-9)=0.
Этого делать нельзя.
Любое равенство можно
делить только на число,
отличное от нуля!
Page 13
Алгебра — один из больших разделов
математики. Она возникла под
влиянием нужд общественной
практики, в результате поисков общих
приёмов для решения однотипных
арифметических задач.
Приёмы эти заключаются обычно в
составлении и решении уравнений. Т.е.
алгебраические софизмы – намеренно скрытые
ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Page 14
1. Неравные числа равны
2. Если одно число больше
другого, то эти числа равны
3. Любые два неравных числа равны
4. Чётное число равно нечётному.
5. Сумма любых двух одинаковых чисел равна
нулю.
6. Всякое положительное число является
отрицательным.
Page 15
Геометрические софизмы – это
умозаключения или рассуждения,
обосновывающие какую-нибудь заведомую
нелепость, абсурд или парадоксальное
утверждение, связанное с
геометрическими фигурами и действиями
над ними.
Page 16
1. «Через точку на прямую можно
опустить два перпендикуляра»
2. «Внешний угол треугольника равен
внутреннему, не смежному с ним»
3. «Катет равен
гипотенузе»
4. «Все треугольники равносторонние»
Page 17
Кроме математических софизмов,
существует множество других. Понять
абсурдность таких утверждений проще, но
от этого они не становятся менее
интересными. Очень многие софизмы
выглядят как лишенная смысла и цели игра
с языком; игра, опирающаяся на
многозначность языковых выражений, их
неполноту, недосказанность. Эти софизмы
кажутся особенно наивными и
несерьезными.
Page 18
1. «Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?»
— «Нет». —
«Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?»
— «Знаю».
«Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит,
не знаешь то, что знаешь».
2. «Пусть есть стакан, наполненный водой до
половины.
Тогда стакан, наполовину полный, равен стакану,
наполовину пустому.
Увеличим обе части равенства вдвое, получим, что
стакан полный равен стакану пустому».
Page 19
Парадокс (греч. "пара" "против", "докса" - "мнение")
близок к софизму.
Но от него он отличается тем, что это не
преднамеренно полученный противоречивый
результат.
Парадокс - странное, расходящееся с
общепринятым мнением, высказывание, а
также мнение, противоречащее (иногда
только на первый взгляд) здравому смыслу
(словарь Ожегова).
Математический парадокс – высказывание,
которое может быть доказано и как истинна,
и как ложь.
Page 20
Это парадоксы, которые
затрагивают
сферы логики и здравого смысла.
Казалось бы, парадокс - и парадокс
себе, и стоит ли
сильно по его поводу переживать.
Однако некая легенда гласит, что
древнегреческий
философ Кронос, не в силах
разрешить его, от
огорчения умер.
Page 21
В некой деревне, в которой живет один
единственный парикмахер, был издан указ:
"Парикмахер имеет право брить тех и только
тех жителей деревни, которые не бреются
сами".
Может ли парикмахер брить самого себя?
Каждый мэр города живет или в своем городе,
или вне него.
Был выделен один специальный город, где
бы жили мэры, не живущие в своих городах.
Где должен жить мэр этого специального
города?
Page 22
Роберт Кауфман - художник,
писатель и программист из НьюДжерси. Обучаясь в колледже он
разработал свой художественный
стиль, основанный на законах
информатики и математики, а
также под влиянием работ
математика Б. Мандельброта изобретателя фрактальной
геометрии и работ голландского
художника М.К. Эшера. Его работы
демонстрируют визуальные
парадоксы, используя
математические структуры как
выразительное средство. Он
называет свой стиль
математическим сюрреализмом.
Page 23
Работа художника
Матье Хэмакерза
Page 24
Page 25
Заключение
Итак, мы познакомились с
увлекательной темой, узнали много
нового.
Тема нашей работы далеко не
исчерпана. Мы рассмотрели лишь
некоторые, самые известные примеры
софизмов и парадоксов. На самом деле
их намного больше. Мы продолжим
изучение этой темы в дальнейшем.
Page 26