полностью работу

Агафонова Л. В.
Учитель математики высшей категории, МКОУ «СОШ №5» п. Большой Исток, Сысертский
городской округ, Свердловская область
Поурочное планирование элективного курса
«Элементы алгебры и теории чисел» 7
класс
(Изучаем математику в компьютерном классе)
2012г
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
1
Пояснительная записка.
Программа элективного курса «Элементы алгебры и теории чисел» для 7 класса
предназначена для использования в вариативной части школьного компонента базисного учебного
плана общеобразовательного учреждения.
Содержание материала соответствует государственной программе для общеобразовательных
учреждений, а в отдельных его частях – государственной программе для школ с углубленным
изучением математики. Программа разработана в соответствии с Методическими рекомендациями
по образовательной области «Математика» базисного учебного плана Свердловской области. При
необходимости программа может послужить подспорьем при подготовке учащихся к внеклассной
работе, например, к участию в олимпиадах. Таким образом, эта программа предназначена для
учащихся с оптимальным и расширенным уровнем развития.
Курс рассчитан на 34 часа, 1 урок в неделю, причем некоторые из них проводятся в
компьютерном классе.
Цели курса:
 усвоение, углубление и расширение математических знаний;
 интеллектуальное, творческое развитие учащихся;
 формирование устойчивого интереса к предмету;
 приобщение к истории математики как части общечеловеческой культуры;
 развитие информационной культуры;
 развитие элементарных навыков владения компьютером.
Задачи курса: обеспечение достаточно прочной базой математической подготовки,
необходимой для продуктивной деятельности в современном информационном мире; овладение
определенным уровнем математической и информационной культуры.
Содержание курса.
В данном курсе частично представлено содержание курса алгебры 7 класса: темы «Уравнения
и системы уравнений» и «Функции и графики»; частично углубленное содержание материала
предыдущих классов: тема «Натуральные и целые числа», «Делимость чисел»; а также
дополнительные темы: «Элементы теории множеств» и «Элементы комбинаторики». Последние две
темы в настоящее время в общеобразовательной школе не изучаются, хотя очевидна полезность
этого раздела математики в современном информационном мире. Материал темы «Элементы
комбинаторики» примыкает к материалу темы «Элементы теории вероятностей» из вариативного
курса для учащихся 8 класса.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
2
1. Натуральные и целые числа. Делимость чисел.
Натуральные и целые числа Простые числа. Решето Эратосфена. Составные числа. Степень с
натуральным показателем. Основная теорема арифметики (каноническое разложение на простые
множители).
Деление. Делители чисел. Признаки делимости на 3,4,5,7,9,11.
Свойства делимости.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. Взаимно
простые числа.
2. Элементы теории множеств.
Понятие множества. Числовые множества. Подмножество. Операции над множествами
(объединение, пересечение, разность, дополнение). Диаграммы Эйлера – Венна. Алгебра множеств.
Разбиение множеств на подмножества.
Конечные и бесконечные множества.
3. Элементы комбинаторики.
Основные законы перечислительной комбинаторики: правило суммы и правило произведения.
Размещения, перестановки, сочетания.
Треугольник Паскаля.
4. Уравнения и системы уравнений.
Линейные уравнения с числовыми и буквенными коэффициентами.
Линейные уравнения с параметром.
Неопределенное уравнение первой степени с двумя неизвестными и его график. Решение в
целых числах.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Задачи на составление уравнений.
5. Функции и графики.
Графики зависимостей. Чтение графиков. Графики прямой и обратной пропорциональных
зависимостей. Линейная функция. Функция y =
k
x
Программа состоит из достаточно крупных и изолированных блоков, что дает возможность
учителю варьировать структуру изложения материала, стимулировать творческую инициативу.
Проведение практических занятий с использованием компьютера целесообразно в настоящие
дни, т.к. в эпоху научно – технической революции наша задача максимально использовать
технические средства в обучении. Появление новых «электронных учебников», методических
пособий позволяет сделать урок более интересным, наглядным и доступным. В зависимости от
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
3
подготовленности
класса
и
обеспечения
учебно-методическими
разработками
допустимо
варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, или переставлять темы. Поурочное
планирование, включая самостоятельные и контрольные работы, производится также в зависимости
от подготовленности класса. Для поддержания и развития интереса к математике необходимо
включать в процесс обучения занимательные задачи, компьютерные логические и развивающие
игры, необычные задания, сведения из истории математики.
Требования к подготовке учащихся.
 Знать и правильно употреблять термины, относящиеся к делимости целых чисел:
простые, составные числа, кратное и делитель числа, наибольший общий делитель,
наименьшее общее кратное; уметь применять признаки делимости;
 Уметь иллюстрировать на примерах (используя компьютерную программу) понятия
множества, подмножества, объединения и пересечения множеств;
 Уметь решать простейшие комбинаторные задачи с помощью полного перебора;
 Иметь представление о графике неопределенного уравнения, читать графики.
Формы контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки
Контрольные задания и проверочные работы по темам курса могут быть выполнены
непосредственно на компьютере (при выполнении тестовых заданий, итоговых упражнений,
решении кроссворда и т.д.), представлены детям в виде игры («КВН»), в традиционном виде.
Контроль может быть представлен как индивидуальными заданиями, так и групповой работой
учащихся. Это может быть:
1) Изучение отдельных несложных вопросов, например самостоятельное изучение тем
«Решето Эратосфена», «Алгоритм Евклида», «Линейные уравнения с числовыми и
буквенными коэффициентами»;
2) Выполнение практических работ, исследовательских проектов по закреплению
пройденного материала (например, по темам «Операции над множествами», «Функции
и графики»);
3) Творческие работы учащихся.
Оценивание учащихся.
Оценка знаний по данному элективному курсу не является обязательной. Возможно
оценивание в форме зачета (зачет – незачет), возможно по традиционной пятибалльной системе. В
этом случае при оценке выполнения заданий учитель может руководствоваться следующими
критериями:
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
4
«5» - ученик выполнил верно, более 85% предложенной работы;
«4» - верно выполнено 60 – 85% задания;
«3» - ученик, верно, выполнил 40 – 45% контрольного задания или проверочной работы.
Исправления и зачеркивания, если они сделаны аккуратно, не являются основанием для
снижения оценки.
Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся при работе по программе ни в коем
случае не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку учащихся, что
ведет, как правило, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам обучения
не намного превышают требования основной общеобразовательной школы.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
5
Перечень учебно-методического обеспечения.
1. Программа по математике для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение,
2. Программа по математике для школ (классов) с углубленным изучением математики. – М.:
Просвещение, 1996.
3. Методические рекомендации по образовательной области «Математика»./ А. Ф. Клейменов,
В. Н. Ушаков, А. Е. Шнейдер. – Екатеринбург: ИРРО,1998.
4. Алгебра 7./ Ш.А. Алимов и др. – М.: Просвещение, 2000.
5. Алгебра 7./ Ю. Н. Макарычев и др. – М.: Просвещение, 2000.
6. Математика 6./ Н. Я. Виленкин и др. – С-Пб.: Харворд, 2001.
7. Алгебра 8./ Н. Я. Виленкин и др. – М.: Просвещение, 1998.
8. Алгебра 7./ К.С. Муравин и др. – М.: Дрофа, 1996.
9. Математика 5./ Г.В. Дорофеев и др. – М.: Просвещение, 1999.
10. Математика 6./ Г.В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 1995..
11. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. / М. Л. Галицкий и др. – М.: просвещение, 1994.
12. Башмаков. М. И.
Уравнения и неравенства. (Методическая разработка для учащихся
ВЗМШ). – М.: Изд. АПН СССР, 1987.
13. Виленкин Н.Я. Множества. Пособие для учителя. М.Просвещение, 1986.
14. Варга Т. Математика 2 . Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и
вероятность.: (Математические игры и опыт). Пер. с нем. – М.: Педагогика, 1978.
15. Варга Т., Глеман М. Вероятность в играх и развлечениях: Элементы теории вероятностей в
курсе сред. Школы. Пособие для учителя / Пер. с фр. А. К. Звонкина. – М.: Просвещение,
1979.
16. Горина Д.Г Комбинаторика для школьников любого возраста.// Математика, приложение к
газете «Первое сентября», №19, 21, 1997.
17. Ю.Соловьев. Неопределенные уравнения первой степени. // Приложение к журналу «Квант»,
№2, 1994.
18. Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник. Контрольные и проверочные работы по алгебре. 7 – 9 кл.:
Методическое пособие. - М.: Дрофа, 1997.
19. Н. Н. Воробьев. Признаки делимости. (Популярные лекции по математике). – М.: Наука,
1988.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
6
Электронные учебные издания.
1. Интерактивная математика 5 - 9. Электронное учебное пособие к учебным комплектам 5 – 6
кл. под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина., 7- 9 кл. под редакцией Г. В Дорофеева. – М.:
Дрофа, 2002.
2. Математика, 5 – 11 кл. Практикум. 1 С: Школа. Электронное учебное пособие.
3. Математика 5 – 11 кл. Практика. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
4. Рефераты и сочинения 2005. Точные науки. – ООО «Бизнессофт», Россия, 2005.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
7
Учебно-тематический план.
№
уро
Наименование темы
Лекции
Практика
ка
1. Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел.
1
часов
5
9
3
7
1
6
Натуральные и целые числа. Простые и составные числа.
Простые
2
4
Всего
и
составные
числа.
Основная
теорема
1
арифметики.
Свойства делимости. Признаки делимости.
1
3
Признаки делимости
4
Признаки
5
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
1
делимости.
Делимость
целых
чисел.
1
1
Делимость чисел. Наибольший общий делитель.
6
Кратные числа. Наименьшее общее кратное.
7
Кратные числа. Наименьшее общее кратное.
8
Урок-соревнование
1
1
1
9
1
2. Элементы теории множеств.
10
Понятие
множества.
Способы
4
задания
множеств.
1
Конечное и бесконечное множество.
11
Задание множеств с помощью диаграмм
12
Пустое множество. Числовые множества.
1
13
Подмножество. Разбиение множеств на подмножества.
1
14
Операции над множествами. Пересечение множеств.
1
1
Диаграмма Эйлера-Венна.
15
Операции над множествами. Сумма и разность множеств.
16
Алгебра множеств
1
1
3. Элементы комбинаторики.
5
17
Понятие о науке Комбинаторика.
1
18
Правило произведения
1
19
Размещения
1
20
Перестановки
1
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
8
21
Сочетания
22
Решение задач. (Тест)
1
1
4. Уравнения и системы уравнений.
23
Линейные
уравнения
8
с
числовыми
и
буквенными
1
с
числовыми
и
буквенными
1
1
9
3
3
13
34
коэффициентами.
24
Линейные
уравнения
коэффициентами. Основные правила решения уравнений.
25
Линейные уравнения с параметром
26
Решение уравнений. Решение уравнений с параметрами
27
Неопределенное уравнение с параметром
1
28
Решение неопределенных уравнений в целых числах
1
29
Неопределенные уравнения с двумя переменными и его
1
1
1
график
30
Системы
двух
линейных
уравнений
с
двумя
1
неизвестными.
31
Решение задач с помощью составления уравнений.
1
5. Функции и графики
32
График зависимостей. Чтение графиков.
1
33
Графики
1
прямой
и
обратной
пропорциональных
зависимостей. Линейная функция. Функция y =
34
k
x
Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график.
1
Свойства графика линейной функции.
Итого:
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
21
9
I. Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел.
Урок 1.
Тема урока: Натуральные и целые числа. Простые и составные числа.
Цель: Вспомнить понятия натуральное число, целое число. Свойства действий над
натуральными числами. Вспомнить понятия простое число, составное число, правило разложения
составного число на простые множители. Познакомить детей с историко-библиографическим
материалом.
Учить детей приводить собственные примеры на известные им правила и формулы, давать
полные ответы, используя научные термины.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение нового материала
1. Понятие о натуральном числе. Целые числа.
Вопрос: Вспомните, какие числа мы называем натуральными? Приведите примеры.
Определение: Числа, употребляемые для счета предметов, называются натуральными.
Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Такую запись называют десятичной. (0 – не является натуральным числом!)
Множество натуральных чисел обозначается: N = 1,2,3,..., n,...

Вопрос: Какие арифметические действия над натуральными числами мы можем выполнять?
Над натуральными числами выполняются следующие операции: сложение, вычитание,
умножение, деление, возведение в степень, и т.д..
Вопрос: А какие свойства действий над числами вы знаете? Приведите примеры на каждое
свойство.
Переместительное свойство
Правило: Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых
a+b=b+a
Правило: Произведение чисел не изменяется при перестановке множителей.
a∙b=b∙a
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
10
Сочетательное свойство
Правило: Чтобы прибавить к сумме двух числе число, можно к первому числу прибавить
сумму второго и третьего.
(a + b) + c = a + (b + c)
Правило: Чтобы умножить произведение двух числе на третье число, можно первое число
умножить на произведение второго и третьего.
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
Распределительное свойство
Правило: Для того чтобы умножить сумму двух числе на число, можно умножить на это
число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
Правило: Для того чтобы умножить разность двух чисел на число, можно умножить на это
число, уменьшаемое и вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
(a – b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c
Вопрос: Существует не только множество натуральных чисел. В 6 классе, на уроках
математики, мы с вами познакомились с новым для вас множеством чисел. Кто вспомнит, как оно
называется? (Множество целых чисел)
Назовите, пожалуйста, числа, которые мы называем целые (записываем примеры на доске).
Есть ли среди названных чисел натуральные?
(Выделяем те числа, которые являются
натуральными)
Как мы называем числа, которые являются целыми, но не являются натуральными?
(отрицательные числа или противоположные числа, нуль) (Рассмотреть на примере числовой
прямой)
Определение: Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль называют
целыми числами.
Множество целых чисел обозначается: Z= ...,n,...,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,...n,...
Целые числа
Отрицательные числа
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
Нуль
Натуральные числа
11
2. Делимость чисел.
Правило: Разделить число а на число b - значит найти такое число х, при умножении
которого на число b получается число а , т.е.:
a:b=x,
если x · b = a
Итак, а – делимое, b – делитель, х – частное.
Определение: Деление – действие, обратное действию умножения.
Его смысл заключен в нахождении одного из двух множителей, если известны произведение и
другой множитель.
Определение: Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а
делится без остатка.
Пример: Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
3. Простые и составные числа.
Теперь вспомним, какие числа мы называем «простыми», а какие «составными». Приведите
пример составного и простого числа.
Определение: Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя:
единицу и само это число.
Определение: Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух
делителей.
Примеры:
а) число 9 имеет три делителя (1,3,и 9), следовательно, оно составное;
б) число 17 имеет два делителя, значит, оно простое;
в) число 1 имеет только один делитель – само это число, поэтому оно не является ни
составным, ни простым.
Любое составное число мы можем разложить на простые множители.
Правило: Разложить составное число на простые множители означает записать данное
число в виде произведения простых чисел, которые являются делителями данного
числа.
При любом способе записи получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка
множителей.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
12
Исторический материал. Решето Эратосфена
III. Закрепление материала
Задание: Разложить на простые множители числа 180; 1368.
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание
Повторить все основные понятия темы.
Разложить на множители числа 127; 6660, определить количество простых множителей в
разложении чисел.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
13
Урок 2
(Практическое занятие в компьютерном классе.)
Работаем с электронным учебником Математика 5 – 11 кл. Практика.
Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
Тема урока: Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
Цель: Научиться применять свои знания для анализа учебной задачи; выделять сходные
признаки; находить ответ на поставленный вопрос не с помощью цепочки вычисления, а используя
свои рассуждения, опираясь на основные законы, правила и свойства.
Познакомить детей с каноническим разложением составного числа.
Научить детей работать с электронным учебником, находить нужную информацию и вводить
свои ответы для дальнейшего их анализа компьютером.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
Два ученика оформляют на доске свое разложение заданных числе. В это время с остальными
учащимися проводится устный опрос.
III. Объяснение нового материала
Урок начинается с коллективной работы под руководством учителя. Просматриваются
структурные элементы пунктов – рубрики «Основные сведения» и «Упражнения». Одновременно
учитель должен убедиться в том, что каждый ученик, как минимум, может воспользоваться мышью
(управлять курсором).
Затем работаем с рубрикой «Инструментарий», пункт «Разложение на простые множители».
Задача: 1.Рассмотреть таблицу, определить ее функции;
2. Научиться искать нужное количество делителей.
При этом ученики уяснят, что им придется пользоваться также клавиатурой (вводить цифры,
буквы), линейкой прокрутки, перемещением окна.
В ходе выполнения этих упражнений учащиеся познакомятся и с различными формами
представления ответа. Кроме того, они могут воспользоваться «подсказкой».
Работаем коллективно:
Задание:

Запишите два числа в первой сотне имеющих 9 делителей (число 1100);

Запишите все простые числа в промежутке от 376 до 441 (379, 383, 389 и др.)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
14
После этого выполняются некоторые упражнения. Ребята делятся на группы так, чтобы два
соседних рабочих места выполняли разную работу.
П.2 «Делимость натуральных чисел», п. 2.2. «Простые и составные числа», п.2.3.
«Разложение на простые множители»
1 группа: Выполнение упражнений №1, №3, №6
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
15
2 группа: Выполнение упражнений №2, №4, №7
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
16
IV. Закрепление материала
1 группа: Упражнение №1, п. 2.3. «Разложение числа на простые множители»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
17
Упражнение №11, п. 2.2. «Простые и составные числа»
2 группа: Упражнение №4, п. 2.3. «Разложение на простые множители»
Упражнение №12, п. 2.2. «Простые и составные числа»
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Урок 3.
Тема урока: Свойства делимости. Признаки делимости.
Цель: Усвоить основные понятия: деление, делитель натурального числа, делимое,
частное. Закрепить основные свойства, признаки делимости. Познакомить детей с историческим
материалом.
Учить детей ориентироваться при выполнении нестандартных заданий; приводить
собственные примеры, анализировать.
Ход урока.
I. Организационный момент
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
18
Проверка домашнего задания
II.
Проверить усвоение учащимися основных понятий темы прошлого урока и качество
выполнения дом. задания.
Для некоторых учащихся индивидуальное задание во время устного опроса.
Задание: Укажите делители чисел 25, 73, 48.
III. Объяснение нового материала.
1. Свойства делимости.
Особо нужно запомнить, что:
0: а = 0, если а ≠ 0
а : 0 – нельзя!
a:b=
a
b
Исторический материал: Знак деления : впервые появился в 1202 г. В работах Леонардо
Пизанского. Однако есть еще один знак деления —, впервые введенный У. Джонсоном в 1633 г.
Таким образом, записи 76 : 19 и
76
означают одно и тоже.
19
2. Признаки делимости.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 25.
(Детям можно раздать памятки на основные признаки)
Правило: Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число
делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не
делится на 2.
Правило: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не
делится на 3, то и число не делится на 3.
Правило: Число делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр данного числа,
делится на 4.
Правило: Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число
делится без остатка на 5.
Правило: Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае
оно на 6 не делится
Правило: Число делится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой
единиц делится на 7.
Правило: Натуральное число делится на 8, если три последние цифры числа нули или
образуют число, делящееся на 8. В противном случае оно на 8 не делится.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
19
Правило: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма
цифр числа не делится на 9, то и само число не делится на 9.
Правило: Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без
остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка
на 10.
Правило: Если разность между суммой цифр числа, стоящих на четных местах, и суммой
цифр, стоящих на нечетных местах делится на 11, то и само число делится на 11.
Правило: Если последние две цифры числа нули или образуют число, делящееся на 25, то и
само число делится на 25.
IV. Закрепление материала
Ребята работают с памяткой «Признаки делимости».
Задание: 1)Определить, какие из чисел 2862, 537, 680, 5787, 276 делятся на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10.
2) Вычислить (любое длинное выражение, содержащее в итоге нуль в знаменателе)
3) Занимательные задания по теме.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание
Придумать пять чисел (не менее трех знаков). Проверить, какие делители имеют данные
числа. Использовать делители из памятки «Признаки делимости».
Урок 4
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Математика 5 – 11 кл. Практика. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
Тема урока: Признаки делимости.
Цель: Усиление внимания к идейным аспектам этой темы за счет снятия проблем
технического характера и создания условий для наблюдения, экспериментирования, обеспечения
возможности работы с обширным числовым материалом. Создание условий для лучшего усвоения
взаимосвязи умножения и деления.
Ход урока.
I. Обучение работе с программой
1. Инструментарий.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
20
При изучении этой темы используется следующий набор компьютерных инструментов из
лаборатории «Делимость чисел»:
 Деление с остатком;
 Разложение на два множителя;
 Разложение на простые множители;
 Диаграмма «Количество простых делителей»
Работу начинаем с повторения, т.е. вспоминаем, как работать с данной программой. Для этого
выполняем все вместе Упражнение №4 п.2.3 «Разложение на простые множители». Если кабинет
оснащен медиапроектором, то учитель работает с ним.
Идея упражнений такого типа – здесь формируется понимание некоторых факторов.
Например, число делится на 4, если в разложении на простые множители есть два множителя,
равные 2; число делится на 6, если в разложении есть простые множители 2 и 3.
II. Выполнение учебных упражнений
Работаем все вместе. Учитель работает с медиапроектором, показывая на экране, то, что
должны получить ребята.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
21
Упражнение №4, п. 2.1 «Делители и кратные»
Упражнение №11
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
22
Затем выполняется особый вид упражнений – так называемый «Экспресс-контроль»,
предназначенный для проверки важных практических умений, которыми должен овладеть каждый
учащийся.
Вариант 1
Вариант 4
III. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
23
Урок 5
Тема урока: Признаки делимости. Делимость целых чисел. Наибольший общий делитель.
Алгоритм Евклида.
Цель: Рассмотреть и закрепить правила деления положительных и отрицательных чисел;
усвоить понятия: делитель, общий делитель, наибольший общий делитель, взаимно простые числа.
Научить находить общий делитель для двух и более чисел с помощью «алгоритма Евклида».
Познакомить с историческим материалом.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение нового материала.
1. Признаки делимости на 7, 8, 25.
Ребята работают с памяткой «Признаки делимости».
Задание: Из чисел 349, -623, 539, -867 выберите те числа, которые делятся на 7.
( -623, 539).
Задание: Из чисел -456000, 567888, 5544, -6992 выберите те числа, которые делятся на 8.
(все)
Задание: Из чисел 8755, -78900, 3750, 12425 выберите те числа, которые делятся на 25.
( -78900, 3750, 12425)
Вопрос: Выполняя задание, мы с вами получили разные числа. К какому числовому
множеству из известных вам, они принадлежат?
(мн. Z – целых чисел)
Вопрос: Какие правила деления целых чисел вы знаете?
Правило: При делении чисел с разными знаками надо разделить модуль делимого на модуль
делителя и поставить перед частным знак «-«.
a : (− b) = −
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
a
b
24
Правило: Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить
модуль делимого на модуль делителя.
− a : (− b) =
a
b
Таким образом: При делении чисел с одинаковыми знаками результат положителен; при
делении чисел с противоположными знаками результат отрицателен.
Приведите примеры.
2. Наибольший общий делитель.
Определение: Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое а
делится без остатка.
Определение: Если числа a и b оба делятся на число с, то с называется общим делителем
чисел а и b.
Пример:
Найдем общие делители чисел 48 и 60.
Для числа 48 делителями являются: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Для числа 60 делителями являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Из них 12 – наибольший общий делитель.
Определение: Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b,
называют наибольшим общим делителем этих чисел. (НОД)
Правило: Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) Разложить их на простые множители;
2) Выписать те множители, которые входят в разложение каждого из чисел;
3) Найти произведение этих чисел.
Например, найти НОД (6600; 6300):
6600=2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11
6300=2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7
НОД (6600; 6300) = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 =300
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
25
Определение: Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий
делитель равен единице.
Например, 1) НОД (75; 14) = 1,
Значит 75 и 14 – взаимно простые числа.
2) 20, 9, и 77 взаимно простые числа, так как НОД (20; 9; 77) = 1.
Задание: Найти НОД (28; 48)
Найти НОД (51; 19)
3. Алгоритм Евклида.
При нахождении наибольшего общего делителя двух чисел полезно знать еще одно правило,
называемое «алгоритм Евклида».
Пример: Найти НОД (270; 186). Разделим 270 на 186 с остатком:
270 : 186 = 1 (ост. 84)
Далее разделим делитель на остаток и т.д.:
186 : 84 = 2 (ост. 18)
84 : 18 = 4 (ост. 12)
18 : 12 = 1 (ост. 6)
12 : 6 = 2 (ост. 0)
Наибольшим общим делителем чисел 270 и 186 является последний ненулевой остаток, т.е.
число 6.
III. Закрепление материала
Найти НОД (72; 48), НОД (3; 7), НОД (234; 180), используя разные способы.
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание
Повторить основные понятия, изучить «алгоритм Евклида» на трех собственных примерах.
Привести пример двух пар взаимно простых чисел.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
26
Историческая справка
Урок 6
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Математика 5 – 11 кл. Практика. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
Тема урока: Делимость чисел. Наибольший общий делитель.
Цель: Закрепить знания учащихся по теме, путем решения учебных задач. Проверить усвоение
основных понятий.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Работа с компьютером. Решение задач.
Упражнение №9, п. 2.1. «Делители и кратные»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
27
Упражнение №10.
Решение задачи с обсуждением и анализом решения.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
28
Упражнение №9, п. 2.3. «Разложение числа на простые множители»
Далее работаем группами, (соседние рабочие места выполняют разные упражнения)
1 группа: Упражнение №7, п. 2.3. «Разложение числа на простые множители»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
29
Упражнение № 11
2 группа: Упражнение № 8
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
30
Упражнение № 10
III. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
31
Урок 7.
Тема урока: Кратные числа. Наименьшее общее кратное.
Цель: Рассмотреть и закрепить правило нахождения общего кратного чисел; усвоить понятия:
кратное, общее кратное, наименьшее общее кратное. Научить находить наименьшее общее кратное
для двух и более чисел. Познакомить с историческим материалом.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Объяснение материала.
1. Общее кратное.
Определение: Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое
делится на а без остатка.
Пример.
1) для числа 18 кратные: 18, 36, 54, 72, 90 и др.
2) для числа 7 кратные: 7, 14 , 21, 28, 35, 42 и др.
Правило: 1) любое число имеет бесконечное число кратных;
2) наименьшим кратным для числа является само число.
Определение: Общим кратным для двух и более чисел будет число, которое является
кратным для каждого из этих чисел.
Пример. 1) Для числа 8 кратные: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
2) Для числа 12 кратные: 12, 24, 36, 48, 60,….
Таким образом, общие кратные для чисел 8 и 12 являются числа: 24, 48, 72, …
Задание:
Найти ОК для чисел 7 и 3.
2. Наименьшее общее кратное
Из общих кратных двух (или нескольких) чисел особо выделяют то, которое является
наименьшим общим кратным этих чисел.
Пример.
НОК(8; 12)=24
НОК(3;7)=21
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
32
Определение: НОК натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и а и b
Запомнить!
1) Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух
чисел является их наименьшим общим кратным;
2) Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее
кратное этих чисел равно их произведению.
Пример.
1) НОК(9; 18)= 18;
2) НОК (2; 8; 16) =16, так как 8 делится на 2, а 16 делится на 8;
3) НОК (7; 10) =70, так как 7 и 10 – взаимно простые числа.
Правило: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) Разложить их на простые множители;
2) Выписать множители, входящие в разложение (лучше наиболее длинного) одного
из чисел;
3) Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) Найти произведение получившихся множителей.
Пример.
Найдем наименьшее общее кратное чисел 360 и 825, придерживаясь этого правила
1) 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
825 = 3 · 5 · 5 · 11
2) выпишем наиболее длинное разложение:
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5;
3) добавим к нему недостающие множители из второго разложения: 5 и 11;
4) НОК(360; 825) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 11 = 19 800
Задание:
Найти НОК чисел 2940; 550 и 63.
Кроме этих правил еще полезно знать:
Произведение наименьшего общего кратного двух чисел и наибольшего общего делителя этих
чисел равно произведению самих этих чисел, т. е.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
33
НОК (a; b) · НОД (a; b) = a · b
Пример.
a) Найти НОК (20; 48)
Так как очевидно, что НОД (20; 48) = 4, то
20  48
= 240
4
НОК (20; 48) =
b) Найти НОК (72; 60)
НОД (72; 60) = 12, тогда
72  60
= 360
12
НОК (72; 60) =
III. Закрепление материала.
Учащимся раздаются карточки с заданиями или задания оформляются на доске.
Задание1: Заполните таблицу. Для этого впишите в клетки числа, удовлетворяющие обоим
условиям.
Число
Кратно 3
Кратно 5
Кратно 7
Кратно 4
Кратно 11
Кратно 15
Задание 2:Вместо звездочек вставьте такие цифры, чтобы четырехзначное число 7*4* было
кратно 2, 3, 5, 6, 9, 10 одновременно.
Задание 3: Назовите наименьшее трехзначное число, кратно: а) 2, б) 3; в) 5; г) 9; д) 2 и 5
одновременно; ж) 3 и 5 одновременно.
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание
Найти НОК(12; 18), НОК(18; 30), НОК(5; 10; 12).
Знать основные правила и определения.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
34
Урок 8.
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Математика 5 – 11 кл. Практика. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
Тема урока: Кратные числа. Наименьшее общее кратное.
Цель: Отработать понятия «делитель», «кратное». Усвоить взаимосвязь умножения и деления,
терминов «делитель», «кратное».
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
III. Выполнение упражнений
Работаем фронтально.
Упражнение №4, п. 2.1 «Делители и кратные»
Задание:
Назовите три наименьших числа, для которых число 43065 является кратным
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
35
Упражнение №5
Упражнение №3, п. 2.3. «Разложение на простые множители»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
36
Упражнение №4 п. 2.4 «Деление с остатком»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
37
В конце урока ребята самостоятельно решают задачу. Можно обсуждать ее решение вслух,
выслушиваются предложения и идеи каждого ученика.
Упражнение №8
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Учащимся предлагается самим оценить работу на уроке каждого ученика и себя лично.
V. Домашнее задание
Повторить основные понятия всех тем раздела «Натуральные и целые числа. Делимость
чисел».
Урок 9
Урок-соревнование
Цель: Закрепить умение решать задачи разных типов по темам раздела «Натуральные и целые
числа. Делимость чисел».
Ход урока.
Из учащихся формируется две команды, выбирается капитан, придумывается название
команде. За каждый правильный ответ команда получает один балл. Подведение итогов после
каждого конкурса.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
38
I. Разминка.
1) Назовите простые числа, отличающиеся друг от друга на 2
(3 и 5), (11 и 13)
2) Пентагон – это…(пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник)
3) Как называется знаменитый труд Евклида? («Начала», «Евклидова геометрия»,
«Концы»)
4) Сколько «девяток» в ряду натуральных чисел от 1 до 100? (двадцать)
5) На одном острове живут вместе рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы,
которые всегда лгут. Человек говорит: «Я – лжец». Является ли он уроженцем острова
лжецов и рыцарей?
6) Сотая часть числа (процент)
7) Может ли при делении получиться 0? (да)
8) Число разрядов в классе? (Три)
9) Какой знак нужно поставить между двойкой и тройкой, чтобы получилось число
больше 2 и меньше 3? (запятая)
10) К однозначному числу больше нуля приписали такую же цифру. Во сколько раз
увеличилось число? (в 11 раз)
II. Конкурс капитанов. «Поднимись на вершину горы»
1
11
24
714
1
1
12
77
1020
6
Задание для капитана 1 команды:
1) НОД (3; 5)
2) Выбрать число кратное 3: 26; 714; 1001
3) НОК (3; 8)
4) ОД(5555; 77)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
39
5) НОД (96; 810) по алгоритму Евклида
Задание для капитана 2 команды:
1) НОД (270; 186) по алгоритму Евклида
2) Выбрать число кратное 4: 3054; 1020; 4206
3) НОК (7; 11)
4) ОД (3636; 48)
5) НОД (11; 21)
III. «Покажи на что способен»
В это время команды выполняют задание:
1. Вычислить
27 · 17 +23 · 17
43 · 31 + 47 · 31
(850)
(2790)
2. Найти НОК
136 и 98
128 и 74
(6544)
(4736)
3. Найти НОК
54 и 46
82 и 38
(2)
(2)
IV. Догонялки (разгадай кроссворд)
5 д
3 е
в
к
е
л
и
д
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
4 м
н
о
ж
и
т
е
л
и
7 к
т
р
6 п
1 д
8 д е
е
л
и
м
9 о
с
а
т
ь
2 ч
а
с
т
н
о
е
р
о
л
ь
е
б
щ
и
н
о
е
т
о
и
е
е
й
40
Вертикаль.
1. Ключевое слово (написать последним) тема «Делимость»
2. Результат деления (частное)
3.Древний математик, который придумал правило нахождения НОД чисел (Евклид).
Основатель геометрии.
4. Как называются числа входящие в простое разложение натурального числа (множители).
Горизонталь.
5. Как называют число, на которое делится другое натуральное число (делитель)
6. Как называется число, которое имеет только два делителя (простое)
7. Как называется число, которое делится на данное число без остатка (кратное)
8. Действие обратное умножению (деление)
9. Как называют делитель, одинаковый у нескольких чисел (общий)
V. Подведение итогов игры.
Награждение победителей, выставление оценок
II. Элементы теории множеств
Урок 1
(Урок проводится в компьютерном классе. Для демонстрации используется диапроектор.
Наглядность оформлена в виде слайдов в программе Microsoft PowerPoint)
Тема: Понятие множество. Способы задания множеств. Конечное и бесконечное множество.
Цель: Познакомиться и усвоить понятия: множество, элемент множества, характеристическое
свойство, конечное множество, бесконечное множество. Научиться определять и
задавать множества по простым и сложным признакам.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
41
1. Понятие множества.
Понятие множества, подобно понятиям точки, числа и т.д., не сводится к другим понятиям
математики и не определяется. Вместо определения этого понятия приведем примеры. Можно
говорить о множестве всех учеников данной школы, о множестве всех людей на Земле, о множестве
всех клеток человеческого тела, о множестве всех треугольников на плоскости, множестве всех
целых чисел и т.д.
Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы или понятия в
одно целое – множество, состоящее из этих предметов. Основатель теории множеств Георг Кантор
(1845-1918) выразил это следующими словами:
«Множество есть многое, мыслимое, как единое целое».
Историческая справка.(слайд)
Упражнения (устно):
1. Какие названия применяются для обозначения множеств животных?
2. Как называется множество артистов, работающих в одном театре?
3. Какие названия применяют для обозначения множеств военнослужащих?
4. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?
5. Как называется множество цветов в вазе?
6. Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих
полюсов?
Определение: Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его
элементами
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
42
То обстоятельство, что объект х является элементом множества А, записывают так:
х А,
(читается: х есть элемент множества А, или х принадлежит А, или х содержится в А, или А
содержит х).
Например, если
А
есть
множество
всех
четных
натуральных
чисел,
то
(слайд)
3
2  А,1024  А,7  А,  А и т.д.
4
Упражнения (слайды):
1. Пусть А – множество делителей числа 60. Верна ли запись 7  А ? Верна ли запись
10  А ? Составьте список элементов множества А.
2. Пусть А – множестов всех многочленов от одного переменного х, все коэффициенты
которых целые.
Верна ли запись х 2  15 х  6  А ? Верна ли запись х 2  у 2  1  А ? Верна ли запись
3 3
7
х 1  А ? Верна ли запись х 2  5  А ?
4
6
3. Пусть А – множество всех треугольников. Перечислите
геометрические фигуры на рисунке , принадлежащие этому
множеству. Из скольких элементов состоит множество
треугольников на рисунке.
Определение: Множество называют конечным, если можно сосчитать все элементы
данного множества и указать их количество, в противном же случае множество называют
бесконечным.
Например, конечные множества – множество людей живущих в одной квартире; множество
учеников в данном классе4 множество картофеля, выращенного на данном поле. Бесконечные
множества – множество волос на голове человека; множество звезд в космосе, множество
микроорганизмов; множество рыб в океане и т.д.
2. Способы задания множества.
Возможны различные способы задания множества. Один из них состоит в том, что дается
полный список элементов, входящих в множество. Множество иногда можно задать перечислением
его элементов. Например, множество стран на земном шаре задается их списком в географическом
атласе, множество учеников – их списком в классном журнале, множество слов, использованных
А.С.Пушкиным в его произведениях, - их списком в «Словаре пушкинского языка». Если
множество задано списком, то употребляются фигурные скобки, в которые помещают названия
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
43
всех элементов множества, разделенные запятыми. Так, 1,2,3 обозначает множество, состоящее
из чисел одни два, три и только из них.
Но не все множества можно задать списком. Если множество содержит бесконечно много
элементов, то такой список составить нельзя. Множество считается заданным, если указано
некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты.
Такое свойство называется характеристическим свойством множества.
Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами.
Например,
множество
{2,4}
может
быть
задано
как
множество
четных
чисел,
удовлетворяющих неравенству 1<x<5;
Задание множества его характеристическим свойством применяется в геометрии. В геометрии
множество
точек,
обладающих
данным
характеристическим
свойством,
часто
называют
геометрическим местом точек с данным свойством. Например, биссектриса угла есть
геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от его
сторон.
Множество элементов, обладающих данным характеристическим свойством, обозначают так:
пишут фигурные скобки, в них – обозначение элемента множеств, после него – двоеточие, а потом
– характеристическое свойство.
Например, запись (слайд)
A={x: -3 ≤ x ≤ 4}
означает, что множество А состоит из всех
чисел х, удовлетворяющих неравенству -3 ≤ х ≤ 4.
III. Закрепление материала.
Упражнение (задания оформлены в идее слайдов):
1.
Составьте список элементов множества, заданных характеристическим свойством:
а) А={х: х2-8х+15=0}
б) А={х: х  N, -11< x ≤ -3}
в) А ={x: x4-10x+9=0}
2.
В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством.
Найдите элементы, не обладающие этим свойством:
а) {2, 6, 15, 84, 156}
б) {2, 7, 13, 16, 29}
в) { 1, 9, 25, 67, 121}
г) {треугольник, квадрат, трапеция, круг, правильный шестиугольник}
д) {жираф, аист, корова, барсук, собака}
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
44
3.
На рисунке слева изображены фигуры, обладающие некоторым характеристическим
свойством, а справа – фигуры, обладающие другим характеристическим свойством.
Угадайте, в чем состоят эти свойства.
IV. Подведение итогов урока.
V. Домашнее задание.
Угадайте, по какому закону составлено бесконечное множество, содержащее числа (слайд):
3 4 5 6
,...;
А)  , ,
 4 9 16, 25
2 4 6 8
Б)  , , , ,...
 5 8 11 14
Урок 2
Изображение множества и его подмножеств с помощью построения диаграмм.
Цели:
Изучить способ построения диаграмм в программе Microsoft Excel.
Научиться строить диаграмы в данной программе, задавая определенное множество
Научиться выделять, с помощью диаграммы, часть заданного множества в процентном
соотношении.
Научиться читать простейшие диаграммы.
Ход урока:
1.Дать определение термина "диаграмма"; назвать виды знакомых даиграмм.
2. Знакомство с программой Microsoft Excel, с мастером диаграмм
3. Практическая работа
Построить диаграмму, отображающую общее количество хищников, птиц и
Задание 1.
земноводных
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
45
в зоопарке г. Екатеринбурга.
хищники
птицы
земноводные
17
43
11
(Для построение используем
Гистограмму №1)
Задание 2.
Построить диаграмму для множества "Персонал МОУ "СОШ №5" п.Б. Исток
(1. задать таблицу ,определив категории работников (множеств). 2. Высчитать
количество элементов каждого множества. 3.Составть таблицу. 4. Построить
диаграмму)
учителя
ученики
32
работники повара
6
2
4
(Для построения используем
Линейчатую диагр-4)
Задание 3.
женщины
7
Построить диаграмму множества "Моя семья" (Дом. Работа)
мужчины
девочки
7
мальчики
5
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
6
46
(Для построения используем Нестадартные - Диаграмма - деревянная)
Построить диаграмму, отражающую успеваемость вашего класса за
Задание 4.
предыдущий учебный год в процентах
отличники ударники
успевающ
8%
38%
неуспев
46%
8%
(Для построения используем Нестандартные-Вырезанные сектора)
4. Подведение итогов урока
5. Выставление оценок
Урок 3
Тема: Пустое множество. Числовые множества.
Цель: Познакомиться и усвоить понятия: пустое множество, числовое множество. Научиться
задавать пустое множество и находить множество корней числового множества.
Повторить понятие корень уравнения, характеристическое свойство множества.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
III. Тест. (детям выдаются карточки с тестовым заданием)
Карточка 1
1. Впишите в геометрические фигуры первые буквы названий животных, изображенных на
рисунке. Впишите в схему названия множеств, укажите их характеристические свойства.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
47
Животные
Летающие
Животные
Птицы
2. Разделите все слова на 4 группы. Впишите слова в фигуры на рисунке.
Все слова: КРОТ, СЛОН, КОЗА, СЕНО, ГНЕЗДО, СОСНА, КЕДР, МЫШЬ.
слова
Слова на
Букву «С»
Названия
животных
Названия животных
На букву «С»
IV. Объяснение материала
1. Пустое множество.
Само название «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать
много (по крайней мере два) элементов. Но это не так. В математике приходится рассматривать и
множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее ни одного элемента.
Определение: Множество, не
имеющее ни одного элемента, называют пустым
множеством.
Примерами могут служить:
1. множество точек пересечения двух параллельных прямых;
2. множество треугольников, сумма углов которых отлична от 1800;
3. множество прямоугольных треугольников, у которых два угла прямые;
4. множество шестиногих собак;
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
48
Фактически во всех примерах речь идет об одном и том же множестве: пустое множество
единственное – нет разных пустых множеств.
Пустое множество обозначается так: Ø.
Множество решений системы уравнений
2 х  5 у  1

4 х  10 у  6
также пусто.
Проверьте, решив
систему.
Зачем
же
вводят
пустое
множество?
Во-первых,
когда
множество
задано
своим
характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с
таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех треугольников таких, что все их
углы прямые. Для человека не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях
нет. Однако мы с вами знаем, что такое множество пусто, т.к. сумма углов в треугольнике равна
1800, а это значит , что треугольник не может содержать более чем один прямой угол.
Упражнения: (устно)
1. Укажите среди следующих множеств пустое:
а) Множество прямоугольников с неравными диагоналями;
б) Множество прямоугольников с неравными сторонами;
в) Множество треугольников, медианы которых не пересекаются в одной точке;
г) Множество целых корней уравнения 4х – 1 = 0.
2. Числовые множества
Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть
буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т.д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта
теории множеств и ее приложимость к самым разнообразным областям знания (математике, физике,
лингвистике, экономике и т.д.) Для математики особо важную роль играют множества,
составленные из «математических» объектов – чисел, геометрических фигур и т.д. Очень часто
встречаются числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа.
Примерами числовых множеств являются:
а) Множество всех целых чисел;
б) Множество всех положительных чисел;
в) Множество всех натуральных чисел;
г) Множество всех чисел удовлетворяющих неравенству х < 8; и т.д.
Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа a и b, a < b, то
множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству a ≤ x ≤ b, называют числовым отрезком или,
если это не вызывает недоразумений, просто отрезком и обозначают [a, b]. На числовой оси ему
соответствует отрезок с концами a и b. (см. рис 1)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
49
С числовыми множествами приходится иметь дело при
решении уравнений и неравенств. С каждым уравнением
связано множество – это множество его корней, т.е. чисел, при
a
b
подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество.
Например, для уравнения
Рис.1.
4
5

множество корней состоит из одного числа -2.
х  2 3х  1
V. Закрепление материала.
Упражнения.
1. Найти множество корней уравнений.
12
9

и (3х – 8) 4=15 - 6х
6 х  2 3х  1
2. Сформулируйте тождество а2 – b2 =(a – b)(a + b) как утверждение о пустоте некоторого
множества.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание.
1. Приведите примеры двух пустых множеств.
2. Придумайте уравнение и укажите множество его корней.
Урок 4
Тема: Подмножество. Разбиение множеств на подмножества.
Цель: Усвоить понятие подмножество, разбиение. Научиться выделять подмножество из
заданного множества по его отличительным признакам. Понять суть разбиения одного
множества на несколько подмножеств.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
III. Объяснение нового материала.
1. Подмножество.
Определение: Если каждый элемент множества В является в то же время элементом
множества А, то говорят, что В – подмножество в А, и пишут В  А .
Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество Ø и
само множество А. Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
50
Приведем примеры подмножеств:
а) Числовой отрезок [-1, 3] есть подмножество числового отрезка [-4, 5];
б) Множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;
в) Множество звезд нашей Галактики является подмножеством множества всех звезд
вселенной;
г) Множество учеников восьмого класса данной школы есть подмножество множества
всех учеников этой школы.
Пусть конечное множество А содержит n элементов. Подсчитаем, сколько подмножеств имеет
это множество. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества: пустое
множество Ø и множество {a}. Если множество А содержит два элемента a и b, то число
подмножеств уже равно 4: Ø, {b}, {a}, {a,b}. Мы получили их из предыдущих двух множеств
добавлением элемента b.
Точно так же, если множество А содержит 3 элемента a, b, c, то число его подмножеств равно
8, среди них уже найденные 4 подмножества, не содержащих элемента с: Ø, {b}, {a}, {a,b}.
Прибавляя к каждому из них элемент с, получим еще четыре подмножества:
{c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. В итоге получим: Ø, {b}, {a}, {a,b}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Ясно, что множество из 4 элементов имеет 16 подмножеств, множество из 5 элементов – 32
подмножества, вообще множество из n элементов имеет 2n подмножеств.
Упражнения.
1. Даны множества:
а) множество А всех трапеций; б) множество В всех прямоугольников; в) множество С всех
четырехугольников; г) множество D всех квадратов; д) множество Е всех параллелограммов; е)
множество F всех многоугольников.
Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая
обозначала подмножество предыдущего.
Решение: В этом списке указаны фигуры, которые являются частным случаем фигур другого
типа (рис.1.). Но это и означает, что эти множества являются подмножествами следующих
множеств, а именно: F  C  A  E  B  D
F
C
A
E
B
D
Рис.1
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
51
Если геометрическая фигура Х является частью геометрической
фигуры Y, то множество точек фигуры Х есть подмножество точек
фигуры Y (рис.2.).
X
Рис.2
Y
2. Разбиение множеств.
Рассмотрим теперь понятие разбиения множества.
Определение: Пусть множество Х состоит из нескольких множеств А, В, …, N, …, причем
никакие два из них не имеют общих элементов. Тогда говорят, что множество Х
разбито на разные подмножества А, В, …N, … .
Например, множество всех клеток шахматной доски можно разбить на множество черных
клеток и множество белых клеток или множество клеток первых четырех горизонталей и клеток
последних четырех горизонталей. А множество всех карт в колоде можно разбить на множество
пик, множество треф, множество бубен и множество червей или множества черных и красных карт.
Разбиение на подмножества часто используется для классификации объектов. Например, когда
составляют каталог книг в библиотеке, то сначала разбивают их на художественную литературу,
книги по общественно-политическим наукам, по естественным наукам, по математике и т.д. После
этого
каждое
полученное
подмножество
разбивают
на
более
мелкие
подмножества:
художественную литературу разбивают на прозу, поэзию и драматургию; книги по общественным
наукам – на книги по философии, политической экономии и т.д.; книги по естественным наукам –
на книги по физике, химии, биологии, геологии и т.д.; книги по математике – на книги по
арифметике, алгебре, геометрии, математическому анализу и т.д. Такое разбиение позволяет потом
легко отыскивать нужную книгу.
IV. Закрепление материала.
Работаем по карточкам. Карточки могут быть разные, а могут быть одинаковые в зависимости
от мест посадки детей в классе.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
52
Карточка 1.
1. Соедините линией множество и его подмножество. Подчеркните подмножество в каждой
паре.
Вигвамы
Растения
Деревья
Барсуки
Водоемы
Врачи
Барометры
Жилища
Животные
Озера
Приборы
Люди
2. В каждой группе соедините линиями множество и его подмножества. Подчеркните названия
подмножеств.
Страны
Столицы
Яблоки
Города
Персики
Сады
Вокзалы
Плоды
Крылья
Знаки препинания
Птицы
Стаи
Точки
Гуси
Запятые
Двоеточия
3. Подчеркните в каждом предложении множество двумя чертами, а его подмножество – одной
чертой.

Некоторые члены Галактического Совета уже прибыли.

Борагор избран Председателем Совета

Некоторые корабли выполняют обязанности межгалактических патрулей.

Среди участников Совета нет единодушия

Хорхи являются на заседание Совета без приглашения
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
53

Хорхи – это обитатели планеты Хорхон.
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание.
Даны множества:
а) Множество А всех позвоночных;
б) Множество В всех животных;
в) Множество С всех млекопитающих животных;
г) Множество D всех волков;
д) Множество Е всех хищных млекопитающих
Выписать буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждая следующая
буква обозначала подмножество предыдущего множества.
Урок 5
(Урок проводится в компьютерном классе. Для демонстрации используется диапроектор.
Наглядность оформлена в виде слайдов в программе Microsoft PowerPoint, упражнение №4 выполняется в
программе Microsoft Excel)
Тема: Операции над множествами. Пересечение множеств. Диаграмма Эйлера - Венна.
Цель: Усвоить понятие: пересечение множеств. Научиться находить пересечение: числовых
множеств, геометрических фигур, заданных множеств с произвольными элементами по
совпадающим характеристическим свойствам.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
III. Объяснение нового материала.
В сентябре 1887 года знаменитому сыщику Шерлоку Холмсу понадобилось выяснить название
одного парусного судна1. Он знал об этом корабле не слишком много: в январе или феврале 1883
года оно было в Пондишери, в январе 1885 года – в Данди, а сейчас стояло в Лондонском порту.
Пользуясь этими данными, он все-таки установил название корабля. Для этого достаточно было
сравнить три множества: множество парусников, бывших в указанное время в Пондшери,
1
Конан Дойль «Пять апельсиновых зернышек»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
54
множество парусников, находившихся сейчас в Лондоне. Оказалось, что только одно судно входило
во все три множества – американский корабль «Одинокая звезда». А так как Шерлок Холмс полагал
к тому же, что преступники родом из Америки, то круг замкнулся, и преступление было раскрыто.
Искать общие элементы множеств приходится не только сыщикам. Ученый-бактериолог,
ищущий возбудителя болезни, наблюдает у одного больного этой болезнью одних микробов, у
другого – других, у третьего – третьих. Множества микробов, наблюдаемых у разных больных,
различны, но обычно два или три микроба наблюдается у всех больных этой болезнью На них и
падает подозрение как на возбудителей болезни. И дальнейшее исследование показывает, кто же
истинный виновник заболевания.
(Демонстрация всех таблиц, рисунков, формул производится через диапроектор.)
На рисунке 1 прямые
MN и PQ
P
N
пересекаются в точке R.
R
Эта точка принадлежит как прямой MN,
так и прямой PQ, т.е. является общим
элементом двух множеств – множества точек
Q
Рис.1
M
прямой MN и множества точек прямой PQ .
Точно также множество точек прямой
MN и множество точек окружности Г имеют
N
B
два общих элемента – точку А и точку В
(рис.2). Прямая и окружность пересекаются в
двух точках.
A
M
Г
Определение: Пересечением множеств
Рис. 2
А и В называют новое множество Х,
содержащее те и только те элементы, которые входят в оба множества А и В. Пересечение
множеств называют также их произведением.
Пересечение множеств А и В обозначают А  В или АВ.
Например, если А – множество мальчиков обучающихся в данной школе, а В – множество
всех учеников из 8 класса, то АВ ( А  В ) – множество мальчиков, которые учатся в 8 классе.
С понятием пересечения множеств приходится иметь дело и в арифметике. Пусть А –
множество натуральных делителей числа 72:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72},
а В – множество натуральных делителей числа 54:
B = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}.
Тогда множество АВ состоит из чисел 1, 2, 3, 6, 9, 18:
AB = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
55
Эти числа являются общими делителями для 72 и 54. Наибольший элемент множества АВ
равен 18. Это – наибольший общий делитель чисел 54 и 72.
Иногда приходится пересекать множество геометрических фигур. Например, множество всех
квадратов является пересечением множества всех прямоугольников с множеством всех ромбов,
квадрат – это фигура, являющаяся одновременно прямоугольником и ромбом.
Это
Прямоугольник
Это параллелограмм, у
Ромб
которого все углы
параллелограмм, у
которого все
стороны равны
равны
Это параллелограмм, у
Квадрат
которого все углы и стороны
равны
(Пересечение фигур демонстрируется в
движении, через диапроектор).
Наглядно
пересечение
двух
геометрических фигур показать очень
просто. Изобразим две произвольные
фигуры и заштрихуем их внутреннюю
область по-разному. Та часть каждой
фигуры,
на
которой
штриховка
наложится одна на другую и будет
Рис.3.
являться пересечением двух данных множеств (фигур) (рис.3.).
IV. Закрепление материала.
Упражнения.
1. Распределите представленные фигуры внутри круга.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
56
Решение
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
57
2. Найти пересечение множества натуральных чисел, делящихся
на 4 с множеством натуральных чисел, делящихся на 6;
3. Как с помощью двух колышков и веревок привязать козу,
чтобы она могла, есть траву лишь на части луга, ограниченной
двумя дугами окружности? (рис.4.)
Рис.4.
4. Найти пересечение числового отрезка [0, 4] с числовым
отрезком [1, 5];
V.
VI.
Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Домашнее задание.
Найти пересечение числового отрезка [0, 2] с числовым отрезком [3, 7].
Урок 6
(Урок проводится в компьютерном классе. Для демонстрации используется диапроектор.
Наглядность оформлена в виде слайдов в программе Microsoft PowerPoint
Практические задания выполняются в программе Microsoft Word)
Тема: Операции над множествами. Сумма и разность множеств.
Цель: Усвоить понятия: сумма множеств, разность множеств, объединение, дополнение.
Научиться находить сумму и разность: числовых множеств, геометрических фигур,
заданных
множеств
с
произвольными
элементами
по
совпадающим
характеристическим свойствам.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
III. Объяснение нового материала.
1. Сумма множеств.
Еще чаще, чем пересекать множества, приходится объединять их. Уже первоклассник,
складывая три палочки и две палочки, объединяет два множества. Вообще, действие сложения
натуральных чисел связано с подсчетом числа элементов объединения двух множеств. Но здесь
надо иметь в виду одну тонкость. Пусть есть два сплава. Один сплав содержит железо, углерод,
ванадий и марганец, а второй – железо, углерод, хром и никель. В каждый сплав входят по 4
химических элемента, но если мы сплавим их вместе, то в новый сплав войдут только 6 элементов:
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
58
железо, углерод, ванадий, марганец, хром и никель. Дело в том, что железо и углерод были в обоих
сплавах, то есть объединяемые элементы имели непустое пересечение. Поэтому будет правильнее
сказать, что сложение натуральных чисел связано с объединением непересекающихся множеств.
Если же пересечение множеств не пусто, то в их объединении повторяющиеся элементы
считаются лишь по одному разу. Таким образом,
Определение: Суммой нескольких множеств А, В, … называют новое множество, состоящее
из тех и только тех элементов, которые входят хоть в одно из слагаемых
множеств. Сумму множеств называют также их объединением.
Сумму двух множеств А и В обозначают А  В или А + В.
Упражнения: (работаем с компьютером задания на выбор учащихся. Обязательно для
выполнения два задания.)
1. Составьте геометрическую фигуру, которая является объединением двух
прямоугольных треугольников.
2. Изобразите пирамиду, которая является объединением двух различных
геометрических фигур. Выделите каждую фигуру цветом.
3. Изобразите обязательный и необходимый атрибут Новогоднего праздника, под
который принято прятать подарки.
2. Разность множеств.
Полицейский инспектор Варнике осмотрел сейф, закурил свою трубку м сказал:
«Электродрелью вскрывают сейфы только пять взломщиков: Алек Кунце, Фриц Шмидт, Густав
Хойгер , Генрих Кунтцман и Томас Мюллер. Но Алек, Фриц и Густав сейчас находятся в тюрьме
Моабит. Придется спросить Генриха и Томаса, где они провели прошлую ночь…»
Метод, которым воспользовался инспектор Варнике, основан на операции вычитания
множеств. Он имел дело с двумя множествами – множеством взломщиков, пользовавшихся
электродрелью, и множеством В всех обитателей тюрьмы Моабит. Удалив из множества А все
элементы, принадлежащие множеству В, он сузил круг подозреваемых преступников.
Определение: Разностью двух множеств А и В называют новое множество А – В, в которое
входят все элементы множества А, не
принадлежащие В.
M
При этом не предполагается, что множество В
является частью множества А. Таким образом, при
A
B
вычитании множества В из множества А из А удаляют
пересечение А и В:
N
А – В = А – АВ
Рис.1.
(слайд)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
59
Например, если А – множество точек первого круга на рисунке 1, а В – множество точек
второго круга, то их разностью является множество точек не заштрихованной фигуры. При этом
точки дуги MN удаляются из фигуры.
Если А – множество всех учащихся 7 класса данной школы, а в – множество всех девочек,
которые учатся в этой школе, то А – В - множество всех мальчиков, которые обучаются в 7 классе
этой школы.
В случае, когда В – часть множества А, А – В называют дополнением к В в множестве А и
обозначают ВА
IV. Закрепление материала.
Упражнения:
1. Найти дополнение множества правильных треугольников в множестве всех правильных
многоугольников.
2. Сформулируйте правило, по которому из фигур
первых двух столбцов получаются фигуры третьего
столбца (рис.2.)
3. Найти сумму множества четных чисел и множества
нечетных чисел.
4. Пусть множество А есть отрезок [1, 6],множество В
– отрезок[2, 7], множество С – отрезок [-1, 3] и
Рис. 2.
множество D – отрезок [2, 5]. Найти множества:
а) А + В + С + D;
б) ABCD;
в) AB +CD;
г) (A + D)(C + D);
д) (A + B)C + D.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание.
Найти сумму множеств остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников.
Урок 7
(Обзорная лекция)
Тема: Алгебра множеств.
Цель: Усвоить основные действия над множествами, на основе проведения аналогии с
основными действиями над числами.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
60
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
III. Повторение изученного материала
Работа по карточкам
Заполните пустые клетки таблицы
1 множество
2 множество
Объединение множеств
Самолеты
Машины, садящиеся на воду
Вагоны
Контейнер для перевозки
жидкости
Люди
Человек, который лечит
животных
Животные
Живые существа, которые
кормят детенышей молоком
IV. Объяснение нового материала.
Мы познакомились с основными действиями над множествами – сложением, вычитанием, и
умножением
(пересечением)
множеств.
Эти
действия
обладают
целым
рядом
свойств,
напоминающих свойства действий над числами. Как известно, вся арифметика целых чисел и
алгебра многочленов построены на немногих законах действий над числами, которые выражаются
следующими равенствами:
a+b=b=a
(коммутативность сложения);
(a + b) + c = a + ( b + c)
(ассоциативность сложения);
a+0=a
(существование нуля)
a + (-a) = a – a = 0
(существование противоположного элемента)
ab = ba
(коммутативность умножения)
(ab)c = a (bc)
(ассоциативность умножения)
a (b + c) = ab + bc
(дистрибутивность умножения относительно сложения)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
61
a·1=a
(существование единицы)
и
a·0=0
Большинство этих свойств действий над числами имеют место и для действий над
множествами. Например, ясно, что для любых двух множеств имеем А + В = В + А, т.е. А + В и В +
А обозначает одно и то же – множество, в которое входят все элементы из А и из В и никаких
других элементов. Точно так же ясно, что
(А + В) + С = А + (В + С)
- это множество, которое составлено из элементов всех трех множеств А, В, С.
Точно так же доказывается, что АВ = ВА и (АВ) С = А(ВС) – множества, АВ и ВА состоят из
общих элементов множества А, В, и С.
Несколько сложнее доказать дистрибутивность умножения множеств относительно сложения,
т.е. выполнение равенства
А (В +С) = АВ + АС
(1)
Доказательство рассмотрим на рисунках. На первом из
них заштриховано пересечение множества А с множеством В
+ С, а на втором – пересечения А с В и А с С. Эти рисунки
делают равенство (1) совершенно очевидным.
А
В
С
+
Роль нуля в действиях над множествами играет пустое
множество Ø. Именно справедливы равенства:
Рис.1.
А + Ø = А, АØ = Ø, соответствующим равенствам:
а + 0 = а, а · 0 = 0 для чисел.
Таким
образом,
сложение
и
умножение
множеств
обладают теми же свойствами, что и сложение, и умножение
А
чисел. Поэтому все формулы алгебры многочленов, в которые
входят лишь действия сложения и умножения, например
тождество
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2, остаются справедливыми и для
множеств:
(А + В)2 = А2 + 2АВ + В2, где положено
А2 = АА и 2АВ = АВ + АВ
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
В
С
Рис.2.
62
Но алгебра множеств имеет и своеобразные черты. Ее основное своеобразие состоит в том, что
если одно из множеств А и В является подмножеством другого, то формулы для суммы и
произведения множеств упрощаются, а именно если А  В, то А +
В = В и А · В = А. Это сразу становится ясно из рисунка 3. В
частности, так как А  А , то А + А = АА = А.
В
Это позволяет упростить формулы алгебры множеств.
Например, так как А2 = А, В2 = В, АВ  А, то А2 + 2АВ = А + 2АВ =
А
А, и формула принимает вид (А + В) = А + В. Вообще, в алгебре
2
множеств не имеет смысла говорить о степенях, так как для любого
n имеем Аn = А.
Покажем
Рис.3.
теперь,
что
для
множеств
есть
и
второй
«распределительный закон», которого нет для чисел. Он выражается формулой А + ВС = (А + В)
(А + С).
Чтобы доказать его, достаточно раскрыть сперва скобки по правилу (1) и заметить, что
множества АВ и АС являются подмножествами в А: АС  А и АВ  А.
Кроме того, АА = А, а поэтому АА + АС + ВА + ВС = А + ВС. Р
Отметим теперь, что операция вычитания множеств также не
А = АВ
В=А+В
похожа по своим свойствам на операцию вычитания чисел. Для любых
трех чисел a, b, c верно равенство a + (b - c) = (a + b) – c. А для трех множеств А, В, С, вообще
говоря, А + (В – С) ≠ (А + В) – С
Дело в том, что при сложении множеств повторяющиеся элементы берутся только один раз, а
вычитать можно и множество, не содержащееся в уменьшаемом. Поэтому, если, например, все три
множества А, В, С совпадают, А = В = С, т о А + В = А и поэтому (А + В) – С = А – А - пустое
множество, а А + (В – С) = А + Ø = А.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
63
III. Элементы комбинаторики
Урок 1
Тема: Понятие о науке «Комбинаторика»
Цель: Дать понятие науки «Комбинаторика»; познакомить учащихся с историей данной науки;
привести примеры нескольких комбинаторных задач с решениями для привития
интереса учащимся к данной науке.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики.
Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин и
связанным с этим расцветом конечной математики. В настоящее время комбинаторные методы
применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании,
вычислительной математике и т.д.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в
определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись
еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов –
во время битвы, инструментов – во время работы. По мере усложнения производственных и
общественных отношений все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке,
иерархии, группировке.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда
наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую
очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. О таких играх
английский поэт Уордсворт писал:
Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить, тонким.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.) В каждой из
этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше
изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
64
Не только азартные игры давали пищи для комбинаторных размышлений математиков.
Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали тайные шифры, а
секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры,
основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах
букв с использованием ключевых слов и т.д.
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются
комбинаторными.
Область
математики,
в
которой
изучаются
комбинаторные
задачи,
называется
комбинаторикой
Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную
задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.
Характерной чертой комбинаторных задач является то, что в них идет речь о конечном
множестве элементов. Чтобы устранить влияние конкретного вида выбираемых и распределяемых
предметов, надо воспользоваться общим языком теории множеств: говорить о множествах и
подмножествах (частях), об объединении нескольких множеств, об их пересечении (образовании
общей части) и т.д. С точки зрения теории множеств комбинаторика изучает подмножества
конечных множеств, их объединение, пересечение, а также различные способы упорядочения этих
подмножеств. Одной из общих задач комбинаторики является следующая.
1. Найти конфигурацию элементов, обладающую ранее заданным свойством.
В некоторых случаях такую конфигурацию удается найти сразу.
Например, если требуется расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы
на каждом отрезке было по 4 точки, то после недолгих раздумий
мы вспоминаем фигуру пятиконечной звезды и располагаем наши
элементы, как показано на рисунке.
Иногда для отыскания той или иной конфигурации оказываются полезными соображения
симметрии. Если не удается найти решение из простых соображений, применяется теория чисел,
теория групп и т.д.
Бывает, что и это не помогает – искомая конфигурация никак не складывается. Конечно, если
задача возникла из практики, то в большинстве случаев можно быть уверенным в существовании
решения. Гораздо в худшем положении оказываются шахматисты, рассчитывающие комбинацию,
или специалисты по шифрам, придумывающие новый код с заданным свойством. Они не знают
заранее, существует ли то, что они ищут, не является ли их труд поиском черной кошки в черной
комнате, если ее там нет. Таким образом, возникает вторая проблема комбинаторики.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
65
2. Доказать существование или отсутствие конфигурации с заданными свойствами.
Во многих случаях бывает недостаточно найти одну конфигурацию с заданными свойствами, а
требуется описать все возможные конфигурации и найти их число. Например, можно потребовать
найти не одно, а все возможные расположения 10 точек на 5 отрезках, при которых на каждом
отрезке лежат по 4 точки. Можно доказать, что кроме пятиконечной звезды есть еще пять
расположений с заданным свойствами:
Любое другое расположение с требуемыми свойствами отличается от одного из указанных
шести лишь размерами отрезков, но не взаимным расположением. Итак, мы пришли еще к двум
проблемам комбинаторики, которые в XVIII и XIX веках исчерпали содержание этой науки.
3. Найти общее число конфигураций с заданными свойствами.
4. Описать все способы решения данной комбинаторной задачи, дать алгоритм перечисления.
Бурное развитие экономических приложений математики привело к возникновению и
изучению обширного (и, может быть, сейчас самого важного) класса комбинаторных задач – задач
на оптимизацию.
5. Из всех решений комбинаторной задачи выбрать самое оптимальное по тем или иным
параметрам.
Например, существует очень много способов прикрепить потребителей каменного угля к
шахматам. Экономист же будет искать способ, при котором транспортные расходы окажутся
минимальными.
Одной из классических оптимизационных задач является «задача о коммивояжере», в которой
требуется наметить путь бродячего торговца, объезжающего заданные n городов, причем он должен
по одному разу побывать в каждом городе и проделать весь путь за наименьшее время. Несмотря на
усилия многих специалистов, до сих пор нет общего решения этой задачи.
Таким образом, различают несколько уровней решения комбинаторных задач.
1. Начальным уровнем является поиск хотя бы одного расположения объектов, обладающего
заданным свойством. Иногда удается доказать, что данная комбинаторная задача не имеет решения.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
66
2. Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете
числа таких решений, об описании всех решений данной задачи.
3. Часто бывает, что различные решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от
друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает проблема отыскания оптимального
варианта решения такой задачи.
Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений
комбинаторной задачи, называется теорией перечислений. Он тесно связан с теорией вероятностей.
Во многих случаях при вычислении вероятности данного события надо найти число
возможных вариантов и число благоприятных вариантов. Число вариантов отыскивается
комбинаторными методами.
Комбинаторика как наука стала развиваться в VIII века параллельно с возникновением теории
вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число
различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат
итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и
французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный
раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об
искусстве
комбинаторики»,
опубликованной
в
666г.
Он
также
впервые
ввел
термин
«комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. В современном
обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. Так, с
помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием «проблема четырех
красок» : удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две
страны, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет.
II. Подведение итогов урока.
Урок 2
Тема: Правило произведения.
Цель: Дать понятие «кортеж»; познакомит учащихся с правилом произведения в
комбинаторике; закрепить данное правило при решении задач.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
67
Любой номер, составленный из трех цифр, нельзя рассматривать как множество из трех
элементов, так как:
1) В номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не
повторяются;
2) В номерах важен порядок цифр (175 и 571 – совсем разные номера), а в множествах
порядок элементов роли не играет.
Поэтому при изучении таких объектов, как номера или слова (в них буквы могут повторяться, а от
перестановки букв слово меняется), вводится новое математическое понятие «кортеж».
Определение: Пусть имеется несколько множеств Х1, …, Xk. Представим себе, что их
элементы сложены в мешки, а мешки пронумерованы. Вытащим из первого мешка
какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1 и
будем продолжать этот процесс до тех пор, пока из мешка Хк не будет вытащен
элемент ак. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в каком
они появились из мешков (а1, а2. а3, … ак). Это и будет кортеж длины k,
составленный из элементов Х1, Х2, …, ХK. Элементы а1, а2. а3, … ак называют
компонентами кортежа.
Элементы кортежа могут повторяться, так как в определении не сказано, что элементы
множеств Х1, Х2, …, ХK не могут иметь одинаковых элементов.
Определение: Два кортежа называют равными в том или только том случае, когда они
имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же
элементы.
Примером кортежа длины 5 являются номера телефонов в г. Салехарде, они составлены из
элементов множества Х = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Слова русского языка (точнее, их запись) – кортежи
различной длины, составленные из букв русского алфавита, а предложения – кортежи,
составленные из русских слов.
Правило произведения. Если элемент
а1 можно выбрать n1 способами, после каждого
выбора этого элемента следующий за ним элемент а2 можно выбрать n2
способами … а после выбора элементов а1, …, аk-1 элемент аk выбирается nk
способами, то кортеж (а1, а2. а3, … ак) можно выбрать n1 · n2 · n3 · … · nk
способами.
III. Закрепление материала. Решение задач.
Задача 1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги.
Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
68
Решение: Каждый путь искомого вида задается котрежем (а1, а2), где а1 – один из путей,
соединяющих В и С. Так как по условию а 1 можно выбрать пятью способами, а
а2 – тремя
способами, то кортеж (а1, а2) можно по правилу произведения составить 5 · 3 =15 способами.
Ответ: 15 путей.
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы слова «полка»?
Решение: В этом слове две гласные буквы (о, а) и три согласные (п, л, к). Каждый искомый
выбор задается кортежем (а1. а2), где а1 – гласная буква, а а2 – согласная. Так как а1 можно выбрать
двумя способами, а а2 – тремя способами, то кортеж (а1, а2) можно по правилу произведения
выбрать 2 · 3 =6 способами.
Ответ: 6 способов.
Задача 3. Имеется шесть перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать
из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были
различных размеров?
Решение: Эту задачу тоже можно решить по правилу произведения. Перчатка на левую руку
может быть выбрана шестью способами. После того, как она выбрана, перчатку на правую руку
можно выбрать лишь пятью способами (размеры перчаток должны быть разными). Поэтому всенго
имеется 5 · 6 + 30 способов.
Ответ: 30 способов.
Задача 4. Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из
них, но и указать, кто на «втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?
Решение: Эту задачу также можно решить по правилу произведения. На первом метсе Парис
может выбрать тремя способами, на второе – двумя способами (одна претендентка уже находится
на первом месте), на третье место – одним способом. Поэтом имеем 3· 2 · 1 = 6 способов.
Ответ: 6 способов.
Задача 5. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по
итогам первенства по футболу, если число команд 12?
Решение. На золотую медаль претендуют 12 команд, на серебряную - 11 команд (одна получит
золотую медаль). По правилу произведения получаем 12 · 11 = 132 способа.
Ответ: 132 способа.
IV. Подведение итогов урока.
V. Домашнее задание.
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?
(9способов)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
69
Урок 3
Тема: Размещения
Цель: Проверить усвоение правила произведения; сформулировать определение размещений с
повторениями и без повторений; закрепить на задачах число размещений с
повторениями или без повторений.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания
III. Объяснение материала
Размещения с повторениями
Определение: Множества Х1, … Хк, из элементов которых составляются кортежи, могут
иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же
множеством Х, состоящие из n элементов. Кортежи длины k , составленные из
элементов n – множества Х, называют размещениями с повторениями из n
элементов по k, а их число обозначают Аk n .
Из правила произведения сразу вытекает, что число размещений с повторениями из n
элементов по k равно произведению k сомножителей, каждый из которых равен n:
Аk n = n
Перед решением задач с учащимися необходимо по данной формуле вычислить несколько
значений, чтобы при решении задач не возникало трудностей работы с самой формулой.
Упражнение: Вычислите А35 ; А5 3
Решение: Имеем: А35  53  125 ; А53  35  243
Задача 1. Для запирания автоматической камеры применяется секретный замок, который
открывается лишь тогда, когда набрано «тайное слово». Это слово набирают с помощью пяти
дисков, на каждом из которых изображено 12 букв. Сколько неудачных попыток может быть
сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающего его наудачу?
Решение: Из условия задачи видно, что порядок выбираемых букв существенен. Поэтому мы
имеем дело с кортежем длиной 5 (пять дисков). Каждый элемент кортежа может быть выбран 12-ю
способами (букв на каждом диске 12). Поэтому число комбинаций равно 12 5 = 248.832.
Следовательно, неудачных попыток может быть 248.831.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
70
Ответ: 248 831
Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9,
если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?
Решение: Здесь порядок цифр существенен (2678 или 6278 – это различные числа). Поэтому
имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать
пятью способами (цифр дано пять). Поэтому число различных комбинаций равно 45 = 1024.
Ответ: 1024
Задача 3. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или
«нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?
Решение: Получаем кортеж длины 4 (столько вопросов в бюллетене), каждый элемент может
быть выбран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно
24 = 16
Ответ: 16
Задачи для домашней работы.
Задача 4. Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем
мудрецам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каждый из мудрецов высказал свое мнение.
Сколько могло возникнуть вариантов ответа на поставленный вопрос у этой тройки?
Решение: Здесь вновь кортеж длиной 3 (три мудреца), каждый элемент которого может быть
выбран шестью способами. Поэтому число различных возможностей равно 63 = 216
Ответ: 216
Задача 5. У Лены есть восемь красок. Она хочет написать ими слова «Новый год». Сколькими
способами она может это сделать, если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом?
Решение: Кортеж длиной 8 (восемь букв), каждый элемент может быть выбран восемью
способами (восемь красок). Поэтому число способов равно 88
Ответ: 88
Размещения без повторений
Определение: Произведение всех чисел от 1 до n называется факториалом и обозначается
n!.
В комбинаторике 0! = 1 и 1! = 1.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
71
Упражнение: Вычислите: 4!; 6!.
Решение: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
При решении комбинаторных задач часто необходимо вычислить факториал, поэтому
целесообразно использовать на доску следующую таблицу.
Таблица факториалов целых чисел от 0 до 10:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
n!
1
1
2
6
24
120
720
5040
8
9
10
11
40320 362880 36288800 399168000
Определение: Кортежи длины k , составленные из элементов n – множества Х так, что все
элементы каждого кортежа должны быть различными, называют размещениями
без повторений из n элементов по k, а их число обозначают Аk n
Чтобы сосчитать Аk n , будем рассуждать так: на первое место n кандидатов. После того, как
оно заполнено, на второе место – n-2 кандидата и т.д. На k-е место имеется n-k+1 кандидат.
Применяя правило произведения, находим
Аk n  nn  1  ...  n  k  1
Эту формулу можно записать иначе, умножив числитель и знаменатель на (n - k)· … · 1
Аk n 
n!
n  k !
3
Упражнение. Вычислите: А5 ; А5 3 .
Решение. А35 
5!
5!
  3  4  5  60
5  3! 2!
Из определения размещений без повторений следует, что n > k, поэтому вычислить А5 3
нельзя.
Задача 1. В высшей лиге первенства России по футболу участвуют 16 команд. Разыгрывается
три медали: золотая, серебряная и бронзовая. Перед началом первенства был объявлен конкурс
знатоков, в котором требовалось указать распределение медалей. Сколько различных ответов
можно дать на этот вопрос?
Решение. Здесь речь идет о кортежах длины 3. Но ни один элемент не может входить дважды
(одна и та же команда не может получить и золотую, и серебряную медали). Значит, число
различных ответов находим следующим образом:
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
72
А316 
16!
16! 16  15  ...  1


 16  15  14  3360
16  3! 13! 13  12  ...  1
Ответ: 3360.
Задача 2. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из
четырех человек для участия в эстафете на 100 + 200 + 4= = + 8= = (м). Сколькими способами это
можно сделать?
Решение: Имеем кортежи длиной 4. Ни один элемент не может входить дважды (один бегун на
один отрезок дистанции). Значит,
А
4
30

30!
30!

 27  28  29  30  657720
30  4! 26!
Ответ: 657 720
Задача 3. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя
буквы А, B, C, D, E и F?
Решение: Имеем кортежи длиной 3 (у треугольника три вершины). Ни один элемент не может
входить дважды. Значит,
5!
5!
А  5  3!  2!  5  4  3  60
3
5
Ответ: 60
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание.
Задачи для домашней работы.
Задача 1. Сколько всего различных пятизначных чисел, не содержащих нуля?
Задача 2. В классе изучают девять предметов. Сколькими способами можно составить
расписание на понедельник, если в этот день должно быть шесть разных уроков?
Ответы: 1. 15120; 2. 720
Урок 4
Тема: Перестановки
Цель: Проверить усвоение темы прошлого занятия через проверку домашнего задания;
познакомить учащихся с перестановками без повторений и с повторениями; закрепить
новую тему.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
73
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания
III. Объяснение материала
Перестановка без повторений
Определение: Два размещения без повторений из n элементов по n состоят из одних и тех
же элементов, расположенных в различном порядке. Такие размещения называют
перестановками из n элементов. Их число обозначают Pn.
P
n

n!
A  n  n!  n!
n
n
Упражнение. Вычислите: Р3; Р5.
Решение: Р3=3! = 6
Р5 = 5! = 120
Задача 1. Найдите число способов расстановки восьми ладей на шахматной доске, при
которых они не бьют друг друга.
Решение. Каждый искомый способ задается перестановкой восьми чисел 1, 2, …, 8. Эти числа
указывают номера горизонталей занятых полей на первой, второй, …, восьмой вертикалях. Значит,
таких перестановок 8!. Таким образом, ладьи можно расставить 8! = 40 320 способами.
Задача 2. Сколькими способами можно переставлять друг с другом цифры 1, 2, 3,и 4?
Решение. Р4 = 4! = 24
Ответ: 24.
Задача 3. За столом пять мест. Сколькими способами можно рассадить пятерых гостей?
Решение: Р5 = 5! = 120
Ответ: 120
Перестановки с повторениями
Определение: Пусть дан кортеж длины n, составленный из элементов множества
Х={x1,…,xk}. Причем буква х1 входит в этот кортеж n1 раз, …, буква xk – nk раз.
Тогда n = n1 + … + nk/Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут
получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются
перестановками с повторениями из букв x1,…,xk, имеющими состав (n1,…,nk).
Число таких перестановок обозначим Р(n1,…,nk).
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
74
Pn1 ,..., nk  
n!
, где n = n1 + … + nk
n1!...  nk !
Упражнение: Вычислите: Р(2, 5, 3); Р(1, 2, 3, 4).
Решение: Р(2, 5, 3); n = 2 + 5 + 3 = 10, n1 = 2, n2 = 5, n3 = 3.
P2,5,3 
10!
2!3  4  5  6  7  8  9  10

 2  2  9  10  360
2!5!3!
2!1  2  3  4  5  1  2  3
P1,2,3,4  
7!
 420
1!2!3!4!
Задача 1. Сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова
«математика»?
Решение: Это слово имеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1)
поэтому получим
P2,3,2,1,1,1 
10!
 151200
2!3!2!1!1!1!
Ответ: 151 200
Задача 2. У мамы два яблока и три груши. Каждый день в течении пяти дней она дает сыну по
одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Решение: P2,3 
5!
 10
2!3!
Ответ: 10
Задача 3.
Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в четыре
одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте было по семь открыток?
Решение: Пометим конверты цифрами 1, 2, 3, 4. Тогда число различных раскладок равно
P7,7,7,7  
28!
7!4
Сотрем пометки. Теперь конверты можно произвольно переставлять друг с другом, не меняя
результата раскладки (теперь они неотличимы друг от друга). Так как число различных
перестановок четырех конвертов равно Р4 = 4! Раз и поэтому оно равно
Ответ:
28!
4
4!7!
28!
4
4!7!
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
75
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание.
Задачи для домашней работы.
Задача 1. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «Ингредиент»?
Задача 2. Сколькими способами можно посадить за круглый стол пять мужчин и пять женщин
так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Ответы: 1. 226 800; 2. 5! · 5! = 14 400
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
76
Дополнительный материал для учителя.
При желании учитель может внести «оживление» в изучении данной темы, используя на уроке
комбинаторные логические игры. Такие игры можно использовать в компьютерном варианте,
прибавив, таким образом, интерес к уроку.
Используем диск «Логические игры» и рассмотрим такие игры, результат в которых
достигается
путем
перестановок
элементов, например «Пятнашки»,
«Линии»
пространстве
в
трех
мерном
со
звуковым
эффектом, «Abysma» (передвигаем
кубики, чтоб не осталось пустого
места), «Aqua Bublle» (красочная
логическая
игрушка,
в
которой
предстоит стрелять разноцветными
шариками из пушки, соединяя их в линии) и т.д.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
77
Урок 5
Тема: Сочетания
Цель: Дать понятие сочетаний с повторениями и без повторений; закрепить тему при решении
задач.
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания
III. Объяснение материала
Сочетания с повторениями
Определение 1. Два кортежа называются эквивалентными, если они имеют одинаковый
состав.
Определение 2. Классы эквивалентности, на которые разбивается вся совокупность
кортежей длины k из n элементов, называются сочетаниями с повторениями n
элементов по k, их число обозначают
Упражнение. Вычислите:
C
3
4

С
k
n

n  k  1
n  1!k!
4  3  1  6!  20
4  1!3! 3!3!
3  4  1 6!
4
C 3  3  1!4!  2!4!  15
Задача 1. В кондитерском отделе продаются пирожные четырех сортов: наполеонов, эклеры,
песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить семь пирожных?
Решение. Здесь рассматриваются сочетания с повторениями из 4 (четыре вида пирожных) по
7 (столько пирожных покупают). Значит,
С
7
4

4  7  1!  10!  8  9  10  120
4  1!7! 3!7! 1  2  3
Ответ: 120 способов.
Задача 2. В почтовом отделении продают открытки 10 видов. Сколькими способами можно
купить в нем 12 открыток?
Решение: Здесь рассматриваются сочетания с повторениями из 10 по 12. Имеем
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
78
С

10
12
10  12  1!  21!  13  14  15  16  17  18  19  20  21  293930
10  1!12! 9!12!
1 2  3  4  5  6  7  8  9
Ответ: 293 930.
Сочетания без повторений
Определение: Число k-подмножеств Х называют сочетаниями из n по k.Число таких
сочетаний обозначают
С
k
n
C
Упражнение. Вычислите:
Решение:
C
3
5

С ;С
3
5
5
3
k
n

n!
k!n  k !
5!
5!

 10
3!5  3! 3!2!
По определению сочетаний без повторений следует, что k>n. Поэтому вычислить
С
5
3
нельзя.
Задача 1. Сколькими способами в игре «Спортлото» можно выбрать шесть номеров из 49?
Решение.
Здесь рассматриваются сочетания без повторения (одно число может быть по
правилам игры выбрано не более одного раза) из 49 по 6.
С
6
49

49!
49! 49  48  47  46  45  44


 13983816
6!40  2! 6!43!
1 2  3  4  5  6
Ответ: 13 983 816.
Задача 3. У Робина-Бобина Барабека 40 соседей. Он решил пригласить двоих из них на обед.
Сколько у него способов это сделать?
Решение: Здесь рассматриваются сочетания без повторений.
С
2
40

40!
40! 40  39


 780
2!40  2! 2!38!
1 2
Ответ: 780.
Задача 3. Дама сдавала в багаж семь предметов. Все они оказались украденными, но два
каких-либо (по ее выбору) ей согласились поискать. Сколько у нее есть возможностей
выбрать два любимых предмета?
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
79
Решение:
С
2
7

40!
7! 7  6


 21
2!7  2! 2!5! 1  2
Ответ:21.
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание.
Задачи для домашней работы.
Задача 1. Сосчитайте, каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник
купил билет с двумя числами.
Ответ:
2
810
Подготовиться к зачетной работе. Повторить правила, определения, посмотреть решенные
задачи.
Урок 6.
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Тема: Решение задач.
Цель: Проверить:
 умение решать простейшие комбинаторные задачи, определять тип
задачи и способ ее решения;
 усвоение учащимися основных терминов и правил;
 умение ориентироваться в новой учебной ситуации.
Ход урока.
I.
II.
Организационный момент
Объяснение материала
1. Знакомство с этапами работы
Сегодня практическое занятие покажет, на сколько хорошо вы смогли разобраться в
изучаемой нами теме на данном этапе. Вы будете выполнять тест. Компьютерная программа
позволит сразу же по окончании работы узнать результат. Оценка, полученная вами за выполнение
теста, будет выставлена в журнал.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
80
Прежде чем приступить к работе проверим домашнее задание, повторим основные правила и
определения.
2. Выполнение теста
III. Подведение итогов урока Выставление оценок.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
81
IV. Уравнения и системы уравнений
Урок 1
Тема: Линейные уравнения с числовыми и буквенными коэффициентами.
Цель: Познакомить с понятиями: уравнение, корень уравнения, решение уравнения.
Рассмотреть примеры простейших линейных уравнений и способы их решения.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
1. Введение в тему
Определение: Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «=», образуют
числовое или буквенное равенство.
Определение: Любое
верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство,
справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством.
Пример 1.
Числовое тождество
5 · 7 – 6 = 20 + 9
Пример 2.
Буквенное тождество
(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3
Определение: Равенство, содержащее неизвестные буквенные величины и не являющееся
тождеством, называется уравнением.
Определение: Уравнение называется буквенным, если некоторые известные величины,
входящие в него, выражены буквами, в противном случае уравнение называется числовым.
Пример 3.
3х + 2 = 5
числовое уравнение
Пример 4
2bх + 1 = 3
буквенное уравнение
Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита: x, y, z,
t, u, v, w. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т.д.
неизвестными.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
82
Определение: Решением уравнения называется такой буквенный или числовой набор
неизвестных, который обращает его в тождество (соответственно числовое или буквенное).
Определение: Решение уравнения называют также его корнем.
Пример 5.
Решением числового уравнения
3х – 8 = 17 – 6х
Пример 6
Решением буквенного уравнения ах + 12 = 7 – ах
является число
25
9
является выражение
19
2а
Правило: Решить уравнение – значит, найти все его решения или установить, что их нет.
Определение: Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ax + b
= c, где а≠0.
Это уравнение всегда имеет единственное решение х =
сb
a
2. Повторение основных понятий и правил.
Учащиеся отвечают на вопросы учителя по новому теоретическому материалу.
III. Закрепление материала.
Задание: Определите тип уравнения (числовое или буквенное), решите уравнения.
а) х + 0,2х = 9,6
д)
б) 1,3х – 2 = 2,6х +11
в) 4 + bx = а
2
х  9  2  1 х
3
6
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание.
Составить и решить два числовых уравнения и два буквенных уравнения.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
83
Урок 2
Тема: Линейные уравнения с числовыми и буквенными коэффициентами. Основные правила
решения уравнений.
Цель: Закрепить понятия: уравнение, корень уравнения, решение уравнения. Рассмотреть
основные правила решения уравнений, разобрать их применений на примерах.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
Проверочная работа:
Решить уравнения: (по выбору учащихся)
а) 4 = а – (bx – 1)
б)
1  bx
1
a
III. Объяснение материала.
Основные правила решения уравнений:
Правило 1: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное
слагаемое (если а + х = b, то х = b – a)
Примеры:
7 + х = 23;
х + 0,2 = 1
х = 23 – 7
х = 1 – 0,2
х = 16;
х = 0,8
Правило 2: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность
(если х – а = b, то х = а + b)
Примеры:
х – 8 = 5;
х = 8 + 5;
х = 13
Правило 3: Чтобы найти неизвестное
вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть
разность (если а – х = b, то x = a – b)
Пример:
9 – х = 1,3;
х = 9 – 1,3;
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
х = 7,7
84
Правило 4: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на
известный множитель (если ax = b, то x = b : a)
Примеры:
б) 
А) 0,2х = 6
1
х  0,4
7
х = 6 : 0,2
 1
х = 0, 4 :   
 7
х = 30
х = 0,4 · (-7)
х = - 2,8
Правило 5: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное
(если a : x = b, то х = a : b)
Пример: х : 0,3 = 4;
х = 4 · 0,3;
х =1,2
Правило 6: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное
Пример: 0,8 : х = -5;
Х = 0,8 : (-5);
Х = -0,16
Правило 7: Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной
части уравнения в другую, изменив при этом его знак.
Правило 8: Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на
одно и тоже число, не равное нулю.
IV. Закрепление материала. Отработка применения правил 7, 8 на примерах.
Правило 7
а) 5х +3(3х +7) = 35
б) 5(х – 3) – 2(х – 7) + 7(2х + 6) = 7
в) 0,36х – 0,6 = 0,3(0,4х – 1,2)
Правило 8:
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
85
а)
3х 6  х

5
3
б)
1
1 5 8
х 
 х
2
3 18 9
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание.
Придумать три уравнения на применение правила №8 и решить их.
Урок 3
Тема: Линейные уравнения с параметром.
Цель: Познакомить детей с новым видом уравнения и способами его решения. Ввести новое
понятие «параметр». Рассмотреть параметрические уравнения и научиться их решать.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания.
III. Объяснение нового материала
Пример: Решить уравнение cx – b(c – x) = a(b – x) – b(a – x).
cx – bc +bx = ab – ax – ab + bx
cx + ax = bc
x(c + a) = bc
x
bc
, (если a ≠ -c)
ca
Мы рассмотрели пример линейного уравнения с буквенными коэффициентами.
Переменные a, b, c, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются
параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Правило: Решить уравнение, содержащее параметры, - значит, указать, при каких значениях
параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение ах = 0, где а – параметр.
Решение. Если a = 0, то 0· x = 0; x – любое действительное число.
Если a ≠ 0, то x =
0
= 0.
a
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
86
Пример 2. Решить уравнение x + 8 = ax, где a – параметр.
Решение.
Перенесём ax в левую часть уравнения, а слагаемое 8 в правую честь, изменив при этом их
знаки:
X – ax = - 8, т.е. x (1 – a) = - 8.
Если 1 – а = 0, т. е. а = 1,то получим уравнение x · 0 = - 8, которое не имеет корней.
Если 1 – а ≠ 0, т. е. а ≠ 1, то уравнение имеет единственный корень x =
8
.
1 а
Пример 3. Решить уравнение аx = 2а, где а – параметр.
Решение.
Если а = 0, то 0 · x = 2 · 0,т. е. x – любое действительное число.
Если а ≠ 0, то x =
2а
, т. е. x = 2.
а
Пример 4. Решить уравнение (а2 -1) x = 2а2 + а – 3, где а – параметр.
Решение.
Данное уравнение является линейным относительно x. Оно имеет смысл при любых
действительных значениях параметра а. Приведём его к виду (а – 1) (а – 1) x = (2а + 3) (а – 1).
Если а = 1, то уравнение примет вид 0 · x = 0, т. е. x – любое действительное число.
Если а = -1, то уравнение примет вид 0 · x = - 2; это уравнение не имеет решений.
Если а ≠ ± 1 , то уравнение имеет действительное решение x =
2а  3
.
а 1
Выражение «имеет единое решение» означает, что каждому допустимому значению а соответствует
единственное значение x. Например, если а = 4, то x =
Пример 5 . Решить уравнение
2  4  3 11
=
; если а = 0, то x = 3 и т д.
4 1
5
8аx  5
2а  11 3 x  7


.
(а  1)( x  5)
a 1
x5
(1)
Решение.
Из условия следует, что (а-1)(x+5) ≠0, x ≠ - 5.
Умножим обе части уравнения (1) на (а – 1)(х + 5) и получим уравнение
8ах – 5 + (2а – 11)(х + 5) = (3х + 7)(а – 1), или
х(7а – 8) = 53 – 3а
53  3а
1
При а ≠ 1 , х =
7а  8
7
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
87
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых х = -5 :
при а= 
13
.
32
Таким образом, при а ≠ 1, а ≠ 1
х=
53  3а
= -5
7а  8
13
1
и а ≠
уравнение (1) имеет единственное решение:
32
7
53  3а
7а  8
При а = 1
13
1
и а =
решений нет, при а = 1 уравнение (1) не имеет смысла.
32
7
Заметим, что если при каком-либо значении параметра а = а0 данное уравнение не имеет
смысла, то оно при этом значении параметра не имеет и решения. Обратное утверждение неверно:
нельзя, например, утверждать, что при а = 
уравнение (1) значение а = 
13
уравнение (1) не имеет смысла. Если подставить в
32
13
, получим вполне определенное уравнение.
32
2,48 х  32
3х  7
 8,4 
9х  5
х5
Значит, при а = 
13
уравнение (1) имеет смысл, и при его решении получим уравнение
32
51,08х = -347, которое имеет корень х = 6,8.
IV. Закрепление изученного материала
Рассмотреть решение уравнений ребят, как параметрических уравнений, приготовленных
детьми в качестве домашнего задания к Уроку №2
Задание: Решите уравнение 4 = а – (bx – 1)
Решение:
4 = а – (bx – 1)
4 = а – bx + 1
bx = a + 1 – 4
bx = a – 3
x=
a3
, если b ≠ 0
b
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание.
(по карточкам)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
88
Урок 4.
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Математика 5 – 11 кл. Практика. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
Тема урока: Решение уравнений. Решение уравнений с параметром.
Цель: Отработать понятия «уравнение», «корень уравнения», «решение уравнения». Усвоить
взаимосвязь между видом уравнения и способами его решения..
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
III. Выполнение упражнений
Работаем фронтально в главе «Алгебра 7-9 кл.», гл. «Введение в алгебру», п. 1.6.
«Уравнения с одной переменной». Обсуждаем решение каждого уравнения.
Упражнение №8
Решение №8 (а)
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
Решение №8 (б)
89
Решение №8 (в)
Решение №8 (г)
IV. Закрепление изученного материала.
Самостоятельная работа.
Количество выполненных упражнений зависит от вычислительных навыков учащихся и
наличии оставшегося времени урока.
Упражнение №1
Решение №1
Далее ребята выполняют на выбор Упражнения №5 или №6, или частично и то и другое
упражнение.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
90
Упражнение №5
Упражнение №5(а)
Упражнение №5 (в)
Упражнение № 6
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
91
Решение №6 (б)
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Урок 5
Тема: Неопределенные уравнения с параметром.
Цель: Познакомить детей с новым видом уравнения и способами его решения. Ввести новое
понятие «неопределенное уравнение». Рассмотреть примеры уравнений и способы их
решений.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение нового материала
Определение: Неопределенное уравнение – это уравнение, содержащее более одной
переменной.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность,
внимание, умение анализировать. Такие уравнения в учебниках математики предлагаются в разделе
«Задачи повышенной трудности».
Рассмотрим уравнение с двумя переменными f(x; y)=0.
Определение: Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в
верное равенство, называют решением уравнения.
Если дано уравнение с двумя переменными х и у, то принять в записи его решения на первое
место ставить значение переменной х, а на второе – значение у.
Так, пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями уравнения х – 3у =10. В то же время
пара (1; 5) решением уравнения не является.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
92
Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную
через другую, например х через у, получив уравнение х = 10 + 3у. Выбрав произвольное значение у,
можно вычислить соответствующее значение х.
Например, если у = 7, то х = 10 + 3 · 7 = 31; значит, пара (31; 7) является решением уравнения;
если у = -2, то х = 10 + 3 (-2) = 4; значит, пара (4; -2) также является решением заданного
уравнения.
Определение: уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют
одни и те же решения (или оба не имеют решений).
III. Закрепление материала. Решение практических задач.
1. Решите уравнение у + 4х + 2ху = 0 в целых числах.
Решение. Выразим переменную у через х и выделим из дроби целую часть:

4х
2
 2 
2х  1
2х  1
Итак, у = -2 +
2
. Так как х, у – целые и -2
2х  1
- целое, то
2
должно быть целым; это
2х  1
возможно, если 2х + 1 является делителем числа 2, следовательно:
А) 2х + 1 = 1, откуда х = 0 и у = 0;
Б) 2х + 1 = -1, откуда х = -1 и у = -4;
В) 2х +1 = 2, откуда х =
1 1
,
- не целое число,
2 2
Решений нет;
1
1
Г) 2х + 1 = -2, откуда х =  1 ,  1 - не целое число,
2
2
Решений нет.
Ответ: (0; 0), (-1; -4)
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок
V. Домашнее задание Решите уравнение у + 6х + 3ху = 0 в целых числах
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
93
Урок 6
Тема: Решение неопределенных уравнений в целых числах.
Цель:
Повторить основные понятия темы: «уравнение», «неопределенное уравнение»,
«решение уравнения». Научиться решать задачи, анализировать, рассуждать.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
III. Решение задач
Задача:
1. Решите задачу.
В каком двузначном числе удвоенная сумма цифр равна их произведению?
Решение: Пусть ab – заданное двузначное число, (a + b) · 2 – удвоенная сумма цифр, a· b –
произведение его цифр.
По условию задачи (a + b)· 2= a · b . Решим уравнение, учитывая, что a и b – цифры, причем
ни а, ни b не равно нулю.
(a + b) · 2 = a · b, откуда a =
2b
. Выделим целую часть:
b2
2b
4
 2
b2
b2
Итак, a = 2 +
4
. b – 2 делитель 4, поэтому рассмотрим следующие варианты:
b2
1) b – 2 = 1, b = 3, a = 6;
2) b – 2 = -1, b = 1, a = -2  N
3) b – 2 = 2, b = 4, a = 4;
4) b – 2 = -2, b = 0, 0  N
5) b – 2 = 4, b = 6, a = 3;
6) b – 2 = -4, b = -2, -2  N .
Ответ: 63; 36; 44.
2. Решите задачу.
Для награждения победителей школьной олимпиады было закуплено несколько одинаковых
книг и одинаковых значков. За книги платили 10 р. 56 к., а за значки 56 к. Книг купили на 6 штук
больше, чем значков. Сколько было закуплено книг?
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
94
Решение: Пусть книга стоит х копеек, а значок у копеек. Тогда купили
значков. Книг куплено больше, чем значков на 6, получим уравнение
56
1056
книг и
х
у
1056
56
6 
;
х
у
1056у – 6ху = 56х,
у(528 – 3х) = 28х,
у=
28 х
528  3 х
у – стоимость значков, значит, у ≤ 56, то есть
28 х
х
 56 
2
528  3 х
528  3 х
х

1

х
528  3х
- натуральное число, поэтому 
х
528  3 х

2
 528  3х
Второе уравнение не имеет решения в натуральных числах. Из первого уравнения х = 132.
Значит, было закуплено
1056
 8 (книг)
132
Ответ: 8 книг
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок
V. Домашнее задание Построить график уравнения 2х – 3у = -6, найти точки пересечения
графика с осями координат.
Урок 7
Тема: Неопределенное уравнение с двумя переменными и его график.
Цель: Закрепить способ построения графика линейного уравнения. Усвоить, что графиком
линейного уравнения является - прямая. Рассмотреть частные решения, исходя из
условия задачи.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
Проверка осуществляется следующим образом:
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
95
 Перед началом урока учитель интересуется, справился ли кто-нибудь с домашним
заданием, так как перед учащимися была поставлена проблема, решение которй
требовало логических размышлений и анализа своих знаний;
 Выявив тех (того) учащихся которые справились с заданием правильно, учитель
приглашает для объяснений к доске одного из учеников.
Задание: Построить график уравнения 2х – 3у = -6, найти точки пересечения графика с осями
координат.
Решение: Графиком этого линейного уравнения
является прямая. Для построения прямой достаточно
знать две точки. Подставив в уравнение 2х – 3у = -6
вместо х значение 0, получим -3у = -6, откуда у = 2.
Подставив в уравнение
2х – 3у = -6 вместо у
значение 0, получим 2х = -6, откуда х= -3.
2х-3у=-6
Итак, мы нашли две точки графика: (0; 2) и (-3; 0).
Проведя через них прямую, получим график
уравнения 2х – 3у = -6.
Точки пересечения с осями координат:
Ось ОХ: (-3; 0)
Ось ОУ: (0; 2)
III. Закрепление знаний
Определение: Уравнение вида ax+by=c, где х, у – переменные, a, b, c – числа, называют
линейным; числа a и b называют коэффициентами при переменных, с –
свободным членом.
Графиком любого линейного уравнения
ax+by=c , у которого хотя бы один из
коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая;
если b = 0, то эта прямая параллельна оси ОУ,
если а = 0, то эта прямая параллельна оси ОХ.
-3х = 9
1
у  1
5
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
96
Задание 2. Построить график функции 3х – 5у = 15
Определить, при каких значениях х, переменная
у принимает отрицательные
значения.
Решение: Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой
достаточно знать две ее точки. Найдем координаты двух
точек. Построим прямую.
х
0
5
у
-3
0
3х-5у=15
Исследуем график уравнения.
У < 0 при х < 4.
Закрасим эту область цветным карандашом.
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание.
Построить график функции 6х – у = -12
Определить, при каких значениях у, переменная
х принимает
положительные
значения.
Урок 8
Тема: Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Цель: Закрепить навыки решения систем уравнений с двумя неизвестными знакомыми детям
методами. Повторить основные понятия темы: «система уравнений», «решение
системы».
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
При проверке домашнего задания, проанализировать способ решения, рассмотреть
полученный график на доске, повторить способ построения графика линейной функции.
III. Объяснение новой темы
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
97
Определение: Пусть даны два уравнения с двумя переменными. Если ставится задача найти
все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо
решить систему уравнений.
Определение: Решением системы называют пару значений переменных, обращающую в
верное равенство каждое уравнение системы.
Определение: Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
На уроках алгебры мы познакомились с такими методами решения систем уравнений как: Метод
сложения, метод подстановки заключается в следующем.
1) Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражен через х (или х
через у).
2) Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В
результате получается уравнение с одной переменной.
3) Находят корни этого уравнения.
4) Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответсвующие
значения у (или х).
Сегодня мы будем учиться решать системы неопределенных уравнений известными нам
методами.
Задание: Найти целые значения х и у, удовлетворяющие уравнению х2 – 3ху + 2у2 = 3
Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 -3ху – у2 + 3у2 = 3 (чтобы получить две скобки нам нужны четыре слагаемых, поэтому
одночлен 2у2 мы представили как многочлен (-у2 = 3у2))
(х2 – у2) – (3ху – 3у2) = 3
(х – у)(х + у) – 3у(х – у) = 3
(х – у)(х + 2у) = 3
Число 3 можно представить в виде произведения двух целых чисел, с учетом порядка
множителей, четырьмя способами:
3 = 1· 3 = 3 · 1 = (-1) · (-3) = (-3) · (-1), поэтому возможны
четыре случая:
х  у  1
1) 
,
х  2 у  3
 х  1

 у  2
х  у  3
2) 
,
х  2 у  1
х  5

у  2
 х  у  1
3) 
,
 х  2 у  3
х  1

у  2
 х  у  3
4) 
,
 х  2 у  1
 х  5

 у  2
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
98
Ответ: (-1; -2), (5; 2), (1; 2), (-5; -2).
IV. Закрепление материала
Задание: Решите уравнение х2 -2х + у2 – 4у + 5 = 0 в целых числах
Решение:
х2 – 2ху + у2 -4у + 5 =0
(х – 1)2 + (у – 2)2 = 0
Равенство возможно, если выполняется условие:
х  1  0
х  1


у  2  0
у  2
Ответ: (1; 2)
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание
Решите уравнение у2 + 4у + х2 – 6х + 13 = 0
Урок 9
Тема: Решение задач с помощью составления систем уравнений.
Цель:
Научить ребят устанавливать зависимость между компонентами и выражать ее
математическим языком; научить, правильно составлять систему уравнений, не забывая
данные значения в задаче.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
III. Объяснение новой темы
Обычно задачу с помощью системы уравнений решают по следующей схеме:
1) Вводят обозначения неизвестных и составляют систему уравнений;
2) Решают систему уравнений;
3) возвращаются к условию задачи и использованным обозначениям, записывают
ответ.
Например. Задача.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
99
Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно
30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то встреча произойдет через 2,5 ч после выхода
второго. Если же второй пешеход выйдет на 2 ч раньше первого, то встреча произойдет через 3 ч
после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?
Решение:
Пусть х км\ч – скорость первого пешехода, а у км\ч – скорость второго пешехода. Если первый
выйдет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет идти до встречи 4,5 ч, тогда как
второй – 2,5 ч. За 4,5 ч первый пройдет путь 4,5х км, а за 2,5 ч второй пройдет путь 2,5у км. Их
встреча означает, что суммарно они прошли путь 30 км, т.е.
4,5х + 2,5у = 30
первое уравнение
Если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет идти до встречи 5
ч, тогда как первый – 3ч. Рассуждая, как и выше, придем ко второму уравнению:
3х + 5у =30
4,5 х  2,5 у  30
В итоге получаем систему уравнений: 
3х  5 у  30
Откуда находим х = 5, у = 3.
IV. Решение задач. (Используются задачи, составленные с учетом НРК)
Задача 1.
В июне-июле 1996г состоялись выборы Президента РФ. Основная борьба развернулась между
лидером компартии Г.Зюгановым и президентом Б.Ельциным. Урал вновь стал территорией, на
которую Ельцин возлагал особые надежды. Земляки поддержали политику Президента.
Сколько процентов голосов от числа всех избирателей было отдано Б.Ельцину в Свердловской
и Челябинской областях, если известно, что в Свердловской области за Ельцина проголосовало на
7% населения больше, чем в Челябинской, а общий процент проголосовавших составил 14% в двух
областях вместе.
х  у  7
Решение: 
 х  у  147
Ответ: В Свердловской области отдали свой голос за Б.Ельцина 77%избирателей, а в
Челябинской – 70% от числа всех избирателей.
Задача 2.
У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на
год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых
больше, чем банк старшего брата. Сняв деньги со счетов через год, старший брат получил 4600
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
100
руб., а младший – 2400 руб. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала
поменяли свои банки?
2 ху

2 х  100  4600
Решение: 
 х  х( у  5) 2400

100
Ответ: 7100 руб.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание
В качестве домашнего задания можно предложить решить систему последнего уравнения,
если не успели дорешать задачу на уроке, в противном же случае - новую задачу.
Задача. (Условие задачи заранее отпечатано на листочках)
В 1965г. начавшаяся реформа в сельском хозяйстве страны, привела к заметному росту
производства сельскохозяйственной продукции. В среднем по региону урожайность поднялась с
8,5ц до 13,3ц с га.
Крестьянин собрал с двух участков 460т зерна. На второй год на первом участке урожай
увеличился на 15%, а на втором участке на 10% и общий урожай зерна составил 516т. Сколько тонн
зерна было собрано с каждого участка в первый год?
 х  у  460
Решение: 
1,15 х  1,1у  516
Ответ: В первый год крестьянином было собрано с первого поля 200т зерна, а со второго
216т.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
101
V. Функции и графики
Урок 1
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Интерактивная математика 5 – 9 кл. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2002.
Тема: График зависимостей. Чтение графиков.
Цель: Повторить понятия: зависимая переменная, независимая переменная, функция, график
функции, зависимость.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
1. Введение в тему
Начать урок следует с повторения уже знакомого детям материала.
Например, на рисунке 1 вы видите две кривые, начерченные сейсмографом – прибором,
записывающим колебания земной коры. Первая кривая получена, когда земная кора спокойна, на
второй видны сигналы землетрясения.
Рис. 1.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
102
На рисунке 2 – две кардиограммы. Первая показывает нормальную работу сердца, вторая
снята у больного.
Рис. 2
Сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло,
определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить
о нарушениях сердечной деятельности; изучение кардиограммы позволяет правильно поставить
диагноз заболевания.
Все эти люди изучают некоторые функции по графикам этих функций.
Сегодня мы с вами тоже будем читать графики, для того чтобы найти ответы на поставленные
вопросы.
Начинаем работу с электронным учебником.
Входим в раздел
«Графики вокруг
нас» 7 класс,
«Знакомство с
лабораторией»
слушаем и смотрим
демонстрационный
материал.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
103
Затем работаем с упражнениями. Упражнений достаточно много, поэтому ребят можно
разделить на группы. Более «сильным» учащимся преложить для рассмотрения задачи посложнее.
Начинаем
работать с упражнениями вместе, для того чтобы познакомиться с приемами
работы в данном электронном учебнике. Определяем переменные величины.
У
праж
нение
№1
III. Выполнение упражнений
Далее работаем по группам:
1 группа - Упражнение №3
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
104
2 группа – Упражнение №4
IV. Закрепление материала.
Далее все вместе выполняем задачу – исследование, упражнение №5
Выполняя каждое задание, необходимо устно указывать, какие переменные участвуют в
построении графика, между какими величинами устанавливается зависимость, какие из величин
являются зависимыми, а какие независимыми переменными.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
105
Урок 2
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Интерактивная математика 5 – 9 кл. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2002.
Тема: Графики прямой и обратной пропорциональных зависимостей. Линейная функция.
Функция y 
Цель:
k
x
Повторить понятия: прямая пропорциональность, обратная пропорциональность,
линейная функция, график функции, зависимость.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
1. Введение в тему
Начинаем урок с повторения основных понятий темы.
Что же такое функция, с какой функцией вы уже знакомы, что является графиком этой функции?
Определение: Две переменные величины х и у связаны функциональной зависимостью, если
каждому значению, которое может принимать переменная х, соответствует
одно и только одно значение переменной у.
Мы знакомы с линейной функцией и ее графиком.
Определение: Функция ,заданная формулой у = кх + b, где к,b – числа, х,у – переменные,
называется линейной.
График линейной функции – прямая линия.
Переменная х является независимой переменной, а переменная у - зависимой
переменной.
Определение: Функция, задаваемая формулой y = kx, где х – переменная, к – число,
называется прямой пропорциональностью.
Число к называется коэффициентом пропорциональности.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
106
Чем
больше
значение
коэффициента, тем ближе расположен
график к оси ОУ. Рассмотрим пример
построения графика функции y = kx/
Работаем
с
электронным
учебником. Входим в раздел «Графики
функций».
Построим график функции у = кх,
и будем менять значение коэффициента
произвольно. Глядя на движение графика
заданной функции, делаем вывод, что
при
увеличении
переменной
х
увеличивается значение переменной у.
Между переменными установлена прямая пропорциональная зависимость.
Будем изменять величину коэффициента в сторону уменьшения. При движении графика
функции увидим, что график ставится ближе к оси ОХ.
В данном электронном учебнике
мы можем построить функцию любого
вида.
Работаем
с
упражнениями
на
построение графика линейной функции.
Раздел «Графики функций», 8
класс.
Теперь рассмотрим на примере
расположения
графика
функции,
у
которой переменные связаны друг с другом обратно-пропорциональной зависимостью, т.е.
функцию y 
k
.
x
В этом случае коэффициент k > 0, x > 0 (рассмотреть пример произвольных функций, выбранных самими
детьми; установить различие линейной и гиперболической функций).
III. Выполнение упражнений
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
107
Упражнение №10
После
построения
каждого графика, исследуем
его на возрастание и убывание.
Обговариваем отличительные
признаки, по которым можно
определить
возрастает
функция или убывает.
IV. Закрепление материала.
Упражнение №11
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VI. Домашнее задание. Группа учеников готовит сообщение по теме «Свойства графика
линейного уравнения»
Урок 3
(Практическое занятие в компьютерном классе)
Работаем с электронным учебником
Математика 5 – 11 кл. Практика. Электронный учебник. – Дрофа – ДОС,2005.
Тема: Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график. Свойства графика линейной
функции.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
108
Цель:
Закрепить навыки исследования функций; уметь находить решение линейного
уравнения; определить степень владения и умение оперировать терминами и
основными понятиями темы. Проверить знание основных этапов построения.
Ход урока.
I. Организационный момент
II. Объяснение материала
Сегодня мы работаем с уже знакомым нам электронным учебником.
На этом практическом занятии я хочу увидеть, как вы усвоили основные понятия данной темы
и насколько четко и ясно вы понимаете поставленную перед вами задачу.
Работаем следующим образом. После ознакомления с заданием вы четко формулируете
вопрос и объясняете свои действия для получения верного ответа. Работаем фронтально с
упражнениями №1, №2. Далее упражнения по выбору - № 4 или 5, 6 или 8.
Каждый из вас должен выполнить в течении урока четыре упражнения.
III. Выполнение упражнений
Упражнение №1
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
109
Упражнение №2
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
110
Упражнения №4, 5
Эти
между
упражнения
собой.
похожи
Основная
задача
предельно ясна при ознакомлении с
упражнением.
Трудностей
при
выполнении
упражнений
у
учащихся возникнуть не должно
Упражнение №6
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
111
Упражнение №8 Задача-исследование
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
112
Приложение 1
Множества
1. Соедините линией множество и его подмножество.
Подчеркните подмножество в каждой паре.
Вигвамы
Растения
Деревья
Барсуки
Водоемы
Врачи
Барометры
Жилища
Животные
Озера
Люди
Приборы
2. В каждой группе соедините линиями множество и его подмножества.
Подчеркните названия подмножеств.
Страны
Столицы
Яблоки
Города
Персики
Сады
Вокзалы
Плоды
Крылья
Знаки препинания
Птицы
Стаи
Гуси
Точки
Запятые
Двоеточия
3. Подчеркните в каждом предложении множество двумя чертами, а его подмножество –
одной чертой.

Некоторые члены Галактического Совета уже прибыли.

Борагор избран Председателем Совета

Некоторые корабли выполняют обязанности межгалактических патрулей.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
113

Среди участников Совета нет единодушия

Хорхи являются на заседание Совета без приглашения

Хорхи – это обитатели планеты Хорхон.
4. Впишите в геометрические фигуры первые буквы названий животных, изображенных на
рисунке. Впишите в схему названия множеств.
Животные
Летающие
Животные
Птицы
5. Разделите все слова на 4 группы. Впишите слова в фигуры на рисунке.
Все слова: КРОТ, СЛОН, КОЗА, СЕНО, ГНЕЗДО, СОСНА, КЕДР, МЫШЬ.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
114
слова
Слова на
Букву «С»
Названия
животных
Названия животных
На букву «С»
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
115
Приложение 2
Объединение множеств.
Флаги с
фиолетовым
фоном
Флаги с
полосой
Флаги с полосой
на фиолетовом фоне
Заполните пустые клетки таблицы
1 множество
2 множество
Самолеты
Машины, садящиеся на воду
Вагоны
Контейнер для перевозки
жидкости
Человек, который лечит
животных
Живые существа, которые
кормят детенышей молоком
Люди
Животные
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
Объединение множеств
116
Задание 1
Составьте геометрическую фигуру, которая является объединением двух прямоугольных
треугольников.
Задание 2
Изобразите пирамиду, которая является объединением двух различных геометрических фигур.
Выделите каждую фигуру цветом.
Задание 3
Изобразите обязательный и необходимый атрибут Новогоднего праздника, под который принято
прятать подарки.
Задание 1
Составьте геометрическую фигуру, которая является объединением двух прямоугольных
треугольников.
Задание 2
Изобразите пирамиду, которая является объединением двух различных геометрических фигур.
Выделите каждую фигуру цветом.
Задание 3
Изобразите обязательный и необходимый атрибут Новогоднего праздника, под который принято
прятать подарки.
Задание 1
Составьте геометрическую фигуру, которая является объединением двух прямоугольных
треугольников.
Задание 2
Изобразите пирамиду, которая является объединением двух различных геометрических фигур.
Выделите каждую фигуру цветом.
Задание 3
Изобразите обязательный и необходимый атрибут Новогоднего праздника, под который принято
прятать подарки.
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
117
Приложение 3
Изображение множества и его подмножеств с помощью построения диаграмм.
Цели:
Изучить способ построения диаграмм в программе Microsoft Excel.
Научиться строить диаграмы в данной программе, задавая определенное множество
Научиться выделять, с помощью диаграммы, часть заданного множества в процентном соотношении.
Научиться читать простейшие диаграммы.
Ход урока:
1.Дать определение термина "диаграмма"; назвать виды знакомых даиграмм.
2. Знакомство с программой Microsoft Excel, с мастером диаграмм
3. Практическая работа
Задание 1.
Построить диаграмму, отображающую общее количество хищников, птиц и земноводных
в зоопарке г. Екатеринбурга.
хищники
17
птицы
43
земноводные
11
(Для построение используем Гистограмму №1)
Задание 2.
Построить диаграмму для множества "Персонал МОУ "СОШ №5" п.Б. Исток
(1. задать таблицу,определив категории работников (множеств). 2. Высчитать количесвто элементов
каждого множества. 3.Составть таблицу. 4. Построить диаграмму)
учителя
ученики
32
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
работники
6
повара
2
4
118
(Для построения используем Линейчатую диагр-4)
Задание 3.
Построить диаграмму множества "Моя семья" (Дом. Работа)
женщины
мужчины
7
девочки
7
мальчики
5
6
(Для построения используем Нестадартные-Диаграмма деревянная)
Задание 4.
Построить диаграмму отражающую успеваемость вашего класса за предыдущий
учебный год в процентах
отличники
ударники
8%
успевающ
38%
неуспев
46%
8%
(Для построения используем Нестандартные-Вырезанные сектора)
4. Подведение итогов урока
5. Выставление оценок
© Агафонова Л.В. п. Большой Исток.
119