МОДУЛЬ 2 механика твердого тела 2014

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ № 2
«МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ»
Статика
•
результирующая сил,
действующих на твердое тело;
момент силы, результирующий
момент сил;
равновесное состояние тела,
условия равновесия;
виды равновесия
•
•
•
Динамика вращательного
движения твердого тела
•
•
•
•
Механика жидкости
•
•
•
•
свойства жидкости, модель
идеальной жидкости;
течение жидкости, поток, линии
тока, условие непрерывности;
законы сохранения в текущей
жидкости, трение в жидкости;
основные законы гидродинамики.
•
•
характеристики
вращательного движения
тел,;
закон Ньютона для
вращательного движения;
законы сохранения для
вращательного движения;
степени свободы
вращательного движения;
момент инерции тел;
вращение относительно оси,
относительно точки.
СТАТИКА
Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел
Моментом силы F относительно
неподвижной точки O называется
физическая величина,
определяемая векторным
произведением радиуса-вектора
r, проведенного из точки
O в точку A приложения силы, на
силу F (мера действия силы)
 

 
M  r, F
  
M  r F
M  Fr sin   Fl
плечо силы — кратчайшее
расстояние между линией действия
силы и точкой O
Моментом силы F относительно неподвижной оси z —
называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось
вектора M момента силы, определенного относительно
произвольной точки O данной оси z .
СТАТИКА
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
1. равнодействующая
всех сил, приложенных к
телу, была равна нулю
F  F1  F2  ...
2. Правило моментов: тело,
имеющее неподвижную ось
вращения, находится в
равновесии, если векторная сумма
моментов всех приложенных к телу
сил относительно этой оси равна
нулю:

 Mi  0
i
СТАТИКА
Виды равновесий
1. безразличное равновесие
2. устойчивое равновесие
3. неустойчивое равновесие.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ.:
Моментом импульса (количества
движения) материальной точки A
относительно неподвижной точки
O называется физическая величина,
определяемая
векторным
произведением:
  
 
L  r , p   r , m 
 

L  r  m
Моментом импульса системы
материальных точек относительно
неподвижной точки O называется
физическая величина, определяемая
векторным произведением:
 N 

L   rk  mk k
k 1
N
N



d  d N 
d
d 
L   rk  mk k   rk  mk k   rk  mk  k
dt
dt k 1
dt
k 1 dt
k 1
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ.:
N
N



d  d N 
d
d 
L   rk  mk k   rk  mk k   rk  mk  k
dt
dt k 1
dt
k 1 dt
k 1
N
N


 e N N 
d  N 
i
r

m


r

m
a

r

F

r

F




k
k
k
k
k k
k
k
k
kj
dt
k 1
k 1
k 1
k 1 k  j
d 
L
dt
e
e

 rk  Fk  M
N
Сумма моментов
внешних сил
k 1
уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Изменение момента импульса системы определяется
только
моментами внешних сил, аналогично
тому на
по II закону Ньютона
векторное
произведение
частицу
действуют внешние и
изменение импульса
системы
параллельных как
векторов
внутренние силы
равно 0определяется внешними силами
Момент импульса и закон его сохранения
Моментом импульса
относительно неподвижной
оси z называется скалярная
величина Lz , равная проекции
на эту ось вектора момента
импульса, определенного
относительно произвольной
точки O данной оси.
Закон сохранения момента
импульса:
момент импульса
замкнутой системы
сохраняется, т.е. не
изменяется с течением
n
n
Lz   mii ri  miri 2 J z
времени:
i 1
i 1
dLz
d
 Jz
 Jz  M z
dt
dt
Lz  J z   const
Момент инерции твердого тела
(системы точек) относительно
оси z
Это — фундаментальный
закон природы. Он является
следствием изотропности
пространства:
инвариантность физических
законов относительно выбора
направления осей координат
системы отсчета.
Для симметричных тел,
вращающихся вокруг своей оси
симметрии
Уравнение вращения
симметричного твердого
тела вокруг оси симметрии
Для тел произвольной
формы применимо
выражение в проекции на
некоторую ось
Уравнение вращения
несимметричного
тела
d
d z
Lz  J z
 Mz
dt
dt


L  J
d  e
LM
dt
Lz  J zz
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Моментом инерции материальной точки
относительно
оси
вращения
называется
произведение массы этой точки на квадрат
кратчайшего расстояния от оси:
Моментом
инерции
системы
(тела)
относительно оси вращения называется
физическая
величина,
равная
сумме
произведений масс n материальных точек
системы на квадраты их расстояний до
рассматриваемой оси.
В случае непрерывного распределения
масс эта сумма сводится к интегралу.
Главный момент инерции — момент инерции
относительно
главной
оси
вращения
проходящей через центр масс.
J i  mi ri
2
n
J   mi ri
2
i 1
m
J   r 2 dm
0
J T     r 2 dV
V
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси
оно вращается и как распределена масса тела по объему.
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
теорема Штейнера:
момент инерции тела Jz относительно произвольной оси
z равен сумме момента его инерции JC относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс C тела,
и произведения массы m тела на квадрат расстояния a
между осями:
J z  J C  ma
2
1
1 2 1 2
l
2
J z  J C  m   ml  ml  ml
4
3
 2  12
величина момента инерции
зависит от выбора оси вращения.
2
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Моменты инерции однородных тел массой m, имеющих
правильную геометрическую форму и равномерное
распределение массы по объему:
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ.
Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z
проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой
угловой скоростью ω = const . Кинетическая энергия тела:
n
mii2
mi (ri ) 2  2
K вр  


2
2
2
i 1
i 1
n
Если тело совершает
поступательное и вращательное
движения одновременно, то его
полная кинетическая энергия равна
сумме кинетических энергий:
2
J

2
z
m
r


i i
2
i 1
n
m
J z
K

2
2
2
2
мерой инертности при вращательном движении служит
момент инерции тела.
РАБОТА ВНЕШНЕЙ СИЛЫ
При повороте тела под действием силы F на бесконечно малый
угол dϕ точка приложения силы A проходит путь ds=rdϕ и
работа равна:
dA  F sin rd  M z d
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической
энергии
2
 J k 
  J zd
dA  dK  d 
 2 
d
d
Mz  Jz
Mz
 J z
dt
dA  M z d


M  J
dt
M z d  J zd
0
A   M z d
0
Работа силы, совершаемая при
повороте тела на угол 0
СВОБОДНЫЕ ОСИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ
• Если результирующая сила, действующая на ось, равна нулю, то
такая ось вращения тела называется свободной осью
• Для тела любой формы
существует три взаимно
перпендикулярные,
проходящие через центр масс
тела оси, которые могут
служить свободными осями.
Такие оси называются
главными осями инерции.
• Вращательное движение тела
в отсутствии внешних сил
называется свободным
вращением. В этом случае
сохраняется кинетическая
энергия, а в отсутствие
внешних моментов сил
направление и модуль
момента импульса.
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
•
Если тело несимметрично относительно оси вращения, то
внутренние центростремительные силы не
уравновешиваются
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
В телах вращения оказывается
устойчивой ось, соответствующая
наибольшему моменту инерции
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ
При закреплении тела в
центре масс его
положение при любых
движениях тела
остается неподвижным
В каждый момент времени
вращение тела, закрепленного
в одной точке, можно
рассматривать как вращение
тела вокруг мгновенной оси,
которая изменяет свое
положение и в теле, и в
пространстве, но всегда
проходит через закрепленную
точку и совпадает по
направлению с вектором
угловой скорости
ГИРОСКОПЫ
• модель симметричного волчка,
необходимо строго различать ось
симметрии (которая может быть
определена визуально) и
мгновенную ось вращения,
совпадающую с направлением
вектора угловой скорости
• симметричный волчок вращается
со скоростью  вокруг мгновенной
оси и со скоростью z вокруг своей
оси симметрии. При этом
направление вектора L
представляет собой некоторую
неподвижную ось, вокруг которой
ось симметрии совершает
вращение. Такое вращение оси
симметрии относительно
неподвижной оси называется
регулярной прецессией.
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Механика жидкости
Давление в жидкости и газе.
Физическая модель несжимаемой жидкости – плотность которой
всюду одинакова и не меняется со временем. На каждый элемент
поверхности ∆S тела, помещенного в жидкость, со стороны
молекул жидкости действует сила ∆F направленная
перпендикулярно поверхности.
Давлением жидкости называется физическая величина,
F
определяемая нормальной силой, действующей со
p
стороны жидкости на единицу площади: единица
S
давления — паскаль (Па).
Жидкость несжимаема, и ее плотность не зависит
от давления.
При поперечном сечении S столба жидкости,
его высоте h и плотности ρ вес P =ρgSh,
возникает давление p на дно сосуда –
гидростатическое давление.
p
P gSh

 gh
S
S
Давление в жидкости и газе.
Закон Паскаля: давление в любом
месте покоящейся жидкости
одинаково по всем направлениям,
причем давление одинаково
передается по всему объему, занятому
покоящейся жидкостью.
Закон Архимеда: на тело, погруженное
в жидкость или газ, действует со
стороны этой жидкости (газа)
направленная вверх выталкивающая
сила, равная весу вытесненной телом
жидкости (газа) - ρ — плотность
жидкости, V — объем погруженного в
жидкость тела.
FA  gV
Уравнение неразрывности.
• Движение жидкости называется течением, а совокупность
частиц движущейся жидкости – потоком.
• Графически движение жидкостей изображается с помощью
линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним
совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в
данный момент времени.
• Линии тока проводятся так, чтобы густота их была больше
там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где
жидкость течет медленнее.
• Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется
трубкой тока.
Течение жидкости называется
установившимся (или
стационарным), если форма
и расположение линий тока, а
также значения скоростей в
каждой ее точке со временем
не изменяются.
Уравнение неразрывности.
Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на
поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для
данной трубки тока.
Это уравнение вытекает из условия несжимаемости жидкости и
равенства объемов жидкости, которые должны пройти через
соответствующие сечения трубки
S11  S22
S  const
Уравнение Бернулли
Идеальной
жидкостью
называется
воображаемая
жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.
В стационарно текущей идеальной жидкости выбираем трубку
тока,
ограниченную сечениями S1 и S2 . По закону сохранения энергии
изменение полной энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и
S2 равно работе внешних сил по перемещению этой массы жидкости
A = E2 − E1 .
Уравнение Бернулли
— выражение закона
сохранения энергии
применительно к
установившемуся
течению идеальной
жидкости.
Механика жидкости
m12
m 22
E1 
 mgh1
E2 
 mgh2
A  F1l1  F2l2
2
2
l   t l2  2 t F1  p1S1 F2   p2 S2
1
1
V  S11t  S22 t
m  V
статическое давление
m12
m 22
 mgh1  p1S11t 
 mgh2  p2 S 2 2 t
2
2
динамическое давление
 2
2
 gh  p  const
уравнение Бернулли
гидростатическое
давление
Следствия уравнения Бернулли
1. Давление в жидкости,
текущей
по
горизонтальной трубе
переменного
сечения,
больше в тех сечениях
потока,
в
которых
скорость ее движения
меньше, и наоборот,
давление меньше в тех
сечениях, в которых
скорость больше.
2. Формула Торричелли
gh  p0 
 2
2
  2 gh
 p0
Следствия уравнения Бернулли
3. подъемная сила крыла.
Из-за специального профиля крыла и наличия угла атаки, т. е. угла
наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха,
скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем
под крылом. Вертикальная составляющая этой силы называется
подъемной силой. Горизонтальная составляющая представляет
собой силу сопротивления среды.
4. Эффект Магнуса
Циркуляция
воздуха,
обусловленная силами вязкого
трения, возникает
также
вокруг вращающегося тела.
Эффект
Магнуса
проявляется, например, при
полете закрученного мяча
при игре в теннис или
футбол.
Вязкость (внутреннее трение)
Вязкость — это свойство реальных жидкостей оказывать
сопротивление перемещению одной части жидкости относительно
другой.
Динамическая
При перемещении
одних вязкость
слоев (или
реальной жидкости
вязкость).
относительно других просто
возникают
силы внутреннего трения,
Единица вязкости
—
направленные по касательной
к поверхности
слоев. Градиент
паскаль-секунда
скорости ∆v/∆x показывает,
как быстро меняется скорость при
переходе от слоя к слою в направлении x перпендикулярном
Закон Ньютона
направлению движения слоев.
Сила внутреннего трения
Сила сопротивления
d
Fтр  S x
dy


Fc  6r
• для жидкостей вязкость η с увеличением температуры
уменьшается,
• для газов вязкость η с увеличением температуры
увеличивается, что указывает на различие в них механизмов
внутреннего трения.
Два режима течения жидкостей
1.Течение называется
ламинарным (слоистым), если
вдоль потока каждый
выделенный тонкий слой
скользит относительно
соседних, не перемешиваясь с
ними. (рис. (а)).
2. Течение называется
турбулентным (вихревым), если
частицы жидкости переходят из
слоя в слой (имеют составляющие
скоростей, перпендикулярные
течению). (рис. (b)).
d d
Re 



Количественно переход от одного режима течения к другому
характеризуется числом Рейнольдса: γ = η / ρ— кинематическая
вязкость; ρ — плотность жидкости; v — средняя по сечению трубы
скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например
диаметр трубы.
При Re ≤ 1000 наблюдается ламинарное течение, переход от
ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ≤
Re ≤ 2000, а при Re=2300 (для гладких труб) течение — турбулентное.
Методы определения вязкости.
1. Метод Стокса основан на измерении скорости медленно
движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.
На шарик, плотностью ρ и радиусом r , падающий в жидкости
вязкостью η и плотностью ρ′ вертикально вниз со скоростью v,
действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила
сопротивления
4 3
P  r g
3
4 3
FA  r  ' g
3
При равномерном движении
F  6r
P  FA  F  0
2(    ' ) gr 2

9
Методы определения вязкости.
2. Метод Пуазейля: этот метод основан на ламинарном течении
жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и
длиной l . В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой
радиусом r и толщиной dr.
Сила внутреннего трения, действующая
на боковую поверхность этого слоя
При установившемся течении эта сила
уравновешивается силой давления,
действующей на основание того же
цилиндра
d
d
F  
dS  
2rl
dr
dr
d

2rl  pr 2
dr
p
d  
rdr
2l
p 2 2

(R  r )
4l
Метод Пуазейля.
p 2 2

(R  r )
4l
скорости частиц жидкости распределяются
по параболическому закону, причем
вершина параболы лежит на оси
капилляра. За время t из капилляра
вытечет жидкость, объем которой
R
2pt
2pt  r 2 R 2 r 4  R 4 pt
2
2

V   t 2rdr 
r ( R  r )dr 
  

4l 0
4l  2
4
8l
0
R

R 4 pt
8Vl
ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ
Характеристики вращательного движения тел, момент силы,
условия равновесия.
2.
Момент импульса. Закон сохранения.
3.
Момент инерции, примеры.
4.
Основное уравнения динамики вращательного движения.
5.
Энергия при вращательном движении. Работа.
6.
Понятие о гироскопе и гироскопических силах. Прецессия.
Устойчивость вращения
7.
Основные законы и понятия механики жидкости.
8.
Уравнение Бернулли. Следствия уравнения Бернулли
9.
Методы определения вязкости.
10. Вязкость. Два режима течения жидкостей.
1.