ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ И ОКРУЖНОСТИ
advertisement
МОУ «Гимназия с. Ивантеевка Ивантеевского района Саратовской области» Элективный курс для предпрофильного обучения по математике «Замечательные точки ,прямые, окружности, кривые» Автор: Малюкина Полина Васильевна, учитель математики МОУ «Гимназия с. Ивантеевка Ивантеевского района Саратовской области» 2009 год «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ И ОКРУЖНОСТИ» Пояснительная записка Предлагаемый элективный курс предпрофильной подготовки предназначен для учащихся 8 классов, ориентированных на выбор естественно научного профиля, рассчитан на 12 часов. Курс посвящен замечательным точкам, прямым, окружностям, кривым. . На мы часто встречаемся с ними не только в математике, но и в других сферах деятельности и курс «Замечательные точки ,прямые, окружности . ,кривые » позволит углубить знания учащихся, заглянув в прошлое . Данный курс имеет большой развивающий потенциал, так как способствует формированию внимательного отношения к построению, приучает анализировать информацию. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни. Если же подойти к этим проблемам с позиции научного развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, и их необходимость. Данный курс предполагает расширить представления об уже знакомых геометрических фигурах, помогает видеть их в более сложных конфигурациях; предусматривает решение несложных задач; отрабатывает практический навык построения геометрических фигур. Привлекает особое внимание своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные факты. В то же время решение их, как показывает практика, является одним из слабых мест в подготовке учащихся. Изучая этот курс, учащиеся увидят геометрию с новой, неожиданной стороны: красивые интересные задачи, новые факты. При изучении курса предполагается компьютерная поддержка занятий и вовлечение в творческую деятельность учащихся. Все это дает возможность подготовить учащихся к переходу на другую ступень обучения; ориентировать учащихся на профили, связанные с математикой, составной частью которой является геометрия. Кроме этого, хорошая подготовка по геометрии в первую очередь развивает логическое мышление, а значит, создает условия качественного усвоения других предметов . Значительная часть элективного курса основана на практической работе темы распределены в нарастающей степени сложности и могут быть использованы при осуществление дифференцированного подхода. Содержание курса позволяет ученику любого уровня обученности активно включатся в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя, поэтому при изучении акцент следует делать не столько на приобретение дополнительных знаний, сколько на развитее способности учащихся приобретать эти знания в результате построения. Учитывая сильную загруженность детей курс не содержит сложных доказательств теорем, а включенный в программу материал имеет познавательный интерес для учащихся, который позволяет передать красоту математики. Нет необходимости требовать от учащихся запоминания всех фактов, имен, т. д. Достаточно того ,что в процессе изучения математики они ознакомятся коротко с историей ее развития, вспомнят эпоху, в которой прошло то или иное открытие, услышат имена выдающихся ученых. Не все, но многое из услышанного останется в памяти. Математика потеряет ореол «сухой» науки, а значит, станет несколько интереснее, такое расширение знаний будет только полезным, так как оно дает еще один толчок к пробуждению интереса к науки. Вопросы, рассматриваемые в курсе , выходят за пределы объема обязательных знаний, но вместе с тем они тесно примыкают к основным вопросам программного материала. Основными формами занятий могут быть уроки – практикумы на построение, лекции. Итоговое занятие можно провести в виде собеседования за круглым столом. Цели изучения курса по выбору, рассчитанного на учащихся 8 классов: 1)создание мотивации на выбор профиля, связанного с математикой; 2)систематизация, расширение и углубление знаний по планиметрии. 3) развитие мышления школьников, их интеллектуальных и творческих способностей, формирование геометрической компетентности. Задачи курса: 1)развитие геометрического воображения и образного пространственного, логического мышления; 2)формирование навыков выполнения и применения компьютерных презентаций для усиления наглядности, привлекательности курса и развитию межпредметных связей; 3)повторение и углубления курса планиметрии; 4)воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации. .Результаты обучения. Учащиеся должны уметь: Выполнять геометрические построения; Использовать возможности компьютера Применять в своей работе различные источники учебной информации Проявить себя в самостоятельной деятельности на основе использования исторического материала Учащиеся должны знать: замечательные точки, прямые , окружности, кривые. Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения, так и повысить уровень его общей математической культуры. Особое место в обучении следует отвести содержанию учебного материала, при котором вырабатываются практические навыки , стимулирующие познавательную активность учащихся. Тематический план учебного материала. № Содержание курса Кол Технология -во реализации час ов 1 Описанная окружность. Биссектрисы, вписанная и вневписанные окружности. Высоты. Медианы. Ортоцентр. Ортотреугольник. Центроид Прямая Эйлера. Изогональные точки. Точка Лемуана . Линии — симедианы 1 Презентация Учителя. Практикум на построение 1 Лекция.Практикум 3 Окружность девяти точек. 1 4 Точки Жергонна и Нагеля. 1 Лекция Практикум на построения Лекция, практикум 5 Теорема Чевы. Прямые чевианы. Теорема Менелая. Теорема Морлея. Трисектрисы углов 1 Лекция, практикум 6. Теорема Пифагора. Четыре доказательства теоремы Пифагора. 1 Лекция, практикум 7. Задача Фаньяно. Точка Ферма— Торричелли. 1 8. Алгебраические кривые: овал Кассини, 1 лемнискаты Бернулли, конхоида Никомеда Рассказ учащихся. Фронтальная работа с классом Демонстрация опыта. Доказательство правильности построения. Практикум на построение 2 9. Механические кривые: брахистохроны, циклоида, таутохрона, эпициклоида, кардиоида, астроида. 1 10. Ученик имеет возможность выступить с подготовленным сообщением: эллипс, циссоида Диоклеса, квадратриса, кривая Гиппия, «Пируэты» окружности, кривая 1 Круглый стол (презентации, доклады, буклеты, 11 12 Штейнера. Итоговое занятие . Подготовить сообщения (презентации, доклады, буклеты): гипотрохоиды и эпитрохоиды. Специально подобранными математическими зависимостями приготовить математический цветник. Резервный. Подведение итогов. Итого 1 Интересные чертежи 1 12 Занятие 1 Цели: Открыть тайны геометрии. Познакомить с замечательными точками, прямыми , окружностями, показать их построение . Способствовать формированию внимательного отношения к построению. Описанная окружность. Так называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника. Её центр обычно обозначают буквой О , а радиус — R (рис. 1). Чтобы убедиться в том, что такая окружность существует и является единственной для любого треугольника, обратите внимание: центр О — общая вершина трёх равнобедренных треугольников, основания которых стороны данного треугольника. Высоты этих треугольников, опущенные на основания, служат одновременно и их медианами. Таким образом, центр описанной окружности лежит на пересечении трёх перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых в их серединах. Они так и называются — серединные перпендикуляры. И обратно: поскольку каждый из трёх серединных перпендикуляров к сторонам треугольника состоит из точек, равноудалённых от концов стороны, к которой он проведён, точка пересечения любых двух из них находится на одинаковом расстоянии от всех трёх вершин, а значит, лежит на третьем перпендикуляре. Итак, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке центре описанной вокруг него окружности. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри его, в прямоугольном — на гипотенузе, а у тупоугольного треугольника — вне его. Биссектрисы, вписанная и вневписанные окружности. Вписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся всех его сторон (рис. 2). Другими словами, центр I вписанной окружности удалён от всех трёх сторон треугольника на одно и то же расстояние г, равное её радиусу. Множество точек внутри треугольника, равноудалённых от двух его сторон, есть биссектриса угла, образованного этими сторонами. Поэтому доказать, что вписанная в треугольник окружность существует и она единственная, можно так же, как было сделано в случае описанной окружности, только равноудалённость центра окружности от вершин надо заменить равноудалённостью от сторон, а серединные перпендикуляры — биссектрисами. Попутно устанавливается, что все три биссектрисы имеют единственную общую точку — центр 1. Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника (рис. 3), называются вневписанными. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Таким образом, шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей. Высоты. Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника (рис. 4, а), в прямоугольном — совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном — находится вне треугольника на пересечении продолжений высот (рис. 4, 6). Если Н — ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх точек А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками. Докажем, что ортоцентр треугольника существует. На рис. 5 треугольник АВС — это серединный треугольник для А1В1С1 значит, высоты первого треугольника являются серединными перпендикулярами второго. Следовательно, они пересекаются в центре Н описанной Рис 1 Рис 3 Рис 2 около второго треугольника окружности, и этот центр совпадает с ортоцентром треугольника АВС. Рисунок 3 помогает вывести теорему о высотах из теоремы о биссектрисах. Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, на рисунке любой из центров четырёх окружностей (вневписанных и вписанной) является ортоцентром треугольника с вершинами в трёх других центрах, а точки А, В и С служат основаниями его высот. Можно как бы <перевернуть это наблюдение и доказать, что высоты произвольного треугольника — биссектрисы ортотреугольника, т. е. треугольника Рис. 4. ортоцентр треугольника. Рис. 4 Рис5 образованного основаниями высот, Отсюда следует, что они имеют общую точку. Медианы. Можно доказать, что точка Р, расположенная внутри треугольника АВС, лежит на медиане, проведённой к стороне ВС тогда и только тогда, когда площади треугольников РАВ и РАС равны (рис. 6, а). Исходя из этого и рассуждая так же, как при доказательствах теорем о биссектрисах и серединных перпендикулярах треугольника, убеждаемся в том, что и медианы пересекаются в одной точке — М (рис. 6, 6), причём все три треугольника, МАВ, МВС и МСА, имеют равную площадь или равновелики. Более того, в любом треугольнике точка М делит каждую медиану в одном и том же отношении 2: 1, считая от вершины. Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку. Рис 6 Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан — центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё последней попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. Любопытно, что центр масс проволочного треугольного контура совпадает с другой точкой — с центром вписанной окружности его серединного треугольника. Занятие 2.. Цели: познакомить с прямой Эйлера, показать связь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Ввести новые понятия . Прямая Эйлера. Леонард Эйлер сделал целый ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид М любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении ОМ : МН = 1: 2. Прямая ОН называется Рис 7 прямой Эйлера данного треугольника (рис.7). Попробуйте доказать теорему о прямой Эйлера, пользуясь рис.5. Изогональные точки. Есть и другая интересная взаимосвязь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Можно показать, что, прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности, т. е. содержат её радиусы (рис. 8). Справедлива и более общая теорема: Если три прямые, проведённые из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, симметричные им относительно соответствующих биссектрис, тоже проходят через одну и ту же точку. Подобные две точки называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника изогональными центру описанной окружности. Рис 8 Рис 9 Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получают новые замечательные линии — симедианы. Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника. Она является центроидом треугольника А 1В1С1, образованного её проекциями на стороны исходного треугольника (рис. 9). Занятие 3. Цели: Познакомить с самым удивительным свойством этой окружности: она касается четырёх окружностей треугольника — вписанной и трёх вневписанных. Продолжая рассуждения, связанные с прямой Эйлера, можно доказать, что Середины сторон треугольника (точки 1, 5 и 7), основания его высот (точки 2,4 и 8) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки 3, б и 9) лежат на одной окружности (рис.10). Её радиус равен половине радиуса описанной окружности, а центр F лежит посередине отрезка ОН. Окружность F называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера, или окружностью Фейербаха - по имени Карла Фейербаха, провинциального учителя математики из Германии, родного брата философа Людвига Фейербаха. К. Фейербах открыл рис 10 Рис 11 ещё одно, самое удивительное свойство этой окружности: она касается четырёх окружностей треугольника — вписанной и трёх вневписанных (рис. 11). Занятие 4 Цели: Рассмотреть виды точек. Расширить представление о точки. Выстроить целостную строгую логическую систему усвоения построение точек. Познакомить с биографиями ученых. Точки Жергонна и Нагеля. Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке J (рис.12). Она называется точкой Жергонна. Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, тоже пересекаются в одной точке N— точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I — центр вписанной окружности, проходит через центроид М треугольника и делится им в отношении NM : МI= 2:1 (рис. 12). Рис 12 Сообщение учащихся об ученых . Занятие 5 Цели: знакомство с новым понятием прямыми- чевианами, трисектрисы. раскрыть таину применения теорем к биссектрисам внутренних и внешних углов треугольника.. Развивать графические способности учащихся Теорема Чевы. После такого изобилия теорем о трёх прямых, проходящих через одну точку возникает вопрос: нет ли какого-то общего способа доказывать аналогичные утверждения? Такой способ действительно есть. Его нашёл итальянский геометр и механик Джованни Чева, Выберем на сторонах ВС, СА и АВ треутольника АВС точки А1, В1 и С1 и соединим их прямыми с противоположными вершинами. Такие прямые называют прямыми Чевы или чевианами. Теорема Чевы гласит (рис. 13, а): Если три чевианы пересекаются в одной точке, то отношения, в которых их основания А1, В1 и С1 делят стороны треугольника, удовлетворяют равенству ВА1/А1С *СВ1/В1А*АС1 /С1В=1 (*) Данное соотношение будет выполняться и тогда, когда точка пересечения прямых лежит вне треугольника или все они параллельны. При этом две из трёх точек А1, В1 и С1 находятся на продолжениях сторон треугольника (рис. 13, 6, в). В таком случае говорят, что основания чевиан делят эти стороны в соответствующих отношениях внешним образом. Справедлива и обратная теорема: Если точки А1, В1 и С1 на прямых, ограничивающих треугольник АВС, удовлетворяют условию Чевы, причём собственно на его сторонах лежат все три либо ровно одна из них, то соответствующие чевианы пересекаются в одной точке или параллельны.√ Из этой теоремы можно вывести все приведённые выше утверждения о пересечении трёх прямых в треугольнике. Сообщение учащихся об ученых Теорема Менелая. При обсуждении теоремы Чевы на сторонах треугольника лежат либо все три основания чевиан, либо только одно из них. Без этой оговорки можно попасть в условия другой классической теоремы, Рис.13 носящей имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (I‘—II вв.): Если стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжения пересекаются некоторой прямой в точках А1, В1 и С1 соответственно, то выполняется соотношение (*) (рис. 13, г). Обратная теорема также справедлива. при этом ровно одна либо все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника. Для примера применим теоремы Чевы и Менелая к биссектрисам внутренних и внешних углов треугольника. Согласно известному свойству, биссектриса АD треугольника АВС делит сторону ВС на части, пропорциональные прилежащим к ним сторонам: ВD/DС = ВА/АС. Тоже верно и для биссектрисы АЕ (рис. 13, д): ВЕ/ЕС = = ВА/АС. Подставляя эти равенства для соответствующих биссектрис в теорему Чевы, получим уже знакомую нам теорему о том, что три внутренние или одна внутренняя и две внешние биссектрисы (т. е. биссектрисы внешних углов) пересекаются в одной точке. А из теоремы Менелая аналогично вытекает, что основания одной внешней и двух внутренних биссектрис, проведённых из разных вершин, лежат на одной прямой. Теорема Морлея. Эта красивая теорема была сформулирована в конце ХIХ столетия американцем Фрэнком Морлеем. Проведём трисектрисы углов треугольника — прямые, которые делят углы на три равные части. Отметим точки пересечения пар трисектрис, прилежащих к каждой из сторон треугольника (рис.14). Отмеченные точки будут вершинами правильного треугольника. Рис14 Воистину геометрия треугольника неисчерпаема, если такая жемчужина могла сохраниться незамеченной на протяжении более чем двух тысячелетий! Занятие 6 Цели: показать учащимся, как математически верно (используя различные приемы) можно доказать одну теорему различными способами. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах, называют метрическими соотношениями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений — теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами прямоугольного треугольника: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.√ Представить себе эту теорему отдельно от имени великого грека уже невозможно, но на самом деле соотношение, которое она утверждает, было известно древним математикам за много веков до Пифагора. О наиболее известном частном случае теоремы —« египетском треугольнике» а со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42= 5 ) — говорится в папирусе, который историки относят приблизительно к 2000 г. до н. э. То же соотношение встречается и на вавилонских клинописных табличках, и в древнекитайских, и в древнеиндийских трактатах (см. статьи «Древний Египет», «Междуречье», «Древний Китай, «Средневековая Индия»). Однако в современной истории математики считается, что именно Пифагор дал его первое логически стройное доказательство. Справедливо и утверждение, обратное теореме Пифагора: Если стороны треугольника удовлетворяют равенству а2 + Ь2 = с2 , то этот треугольник прямоугольный. Действительно, если такое равенство выполняется для какого-то треугольника, то он будет равен по трём сторонам прямоугольному треугольнику с катетами а и Ь. Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше — в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом. ЧЕТЫРЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА Рис 1,2 Рис 3,4 Со времён Пифагора появилось несколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, так что она даже попала в Книгу рекордов Гиннесса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного. В «Началах» Евклида теорема дана в следующей формулировке: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Суть довольно сложного доказательства состоит в том, что больший квадрат предстаёт в виде суммы двух частей, равновеликих меньшим квадратам. Но можно и просто разрезать первый квадрат на такие куски, из которых составляются два других квадрата. Одно из подобных доказательств приведено на рис. 1. Его называют «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исходному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются. Другой чисто геометрический способ прямого доказательства теоремы Пифагора — не разрезание, а дополнение квадратов до равных фигур равными же фигурами. Рис 2 иллюстрирует доказательство такого типа, данное Леонардо ла Винчи. (Попробуйте восстановить его по чертежу.) В следующей группе доказательств теоремы Пифагора используются формулы для вычисления площади, т. е. геометрия в них сочетается с алгеброй. Одно из таких доказательств приведено в трактате индийского математика Х” в. Бхаскары. Оно знаменито тем, что весь текст к чертежу (рис. 3) состоит из единственного слова «Смотри!». Историки считают, что Бхаскара выражал площадь с2 квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму плошадей четырёх треугольников 4(аЬ/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов (а — Ь)2, т. е. После упрощения это равенство превращается в знакомую формулу а2+ Ь2= с2 . В ряде доказательств используется подобие треугольников. Вот, возможно, наиболее характерное из таких доказательств. Высота, опушенная на гипотенузу, разбивает данный прямоугольный треугольник площади S на два ему подобных с площадями Sa, и Sb (рис. 4). При этом его стороны оказываются гипотенузами трёх треугольников. Площади треугольников относятся, как квадраты этих сторон: Sa:Sb:S=а2:Ь2:с2. НоSa,+Sb=5. Следовательно, а2 + Ь2= с2. В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками А(х1;y1) и В(х2 У2) в декартовых координатах: АВ=√ (x2 —x1 )2 + (y2 — y1)2 .С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны Ix2 —x11 и Iy2 — y11 ). Но, с другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, — такие, как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (х; у), для которых (х-х0)2 +(y-yо)2 = соnst, где (хо;уо) — некоторая заданная точка (центр окружности). Можно определить и все другие геометрические понятия в терминах расстояний: в частности, отрезок АВ — это множество таких точек С, что АС + СВ = АВ. А стоит добавить ещё одну координату и соответствующее слагаемое (z2 — z1)2 в формулу расстояния — и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности. Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos2 α + sin2 α = 1 — это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде. В геометрии треугольника есть несколько замечательных задач о наибольших и наименьших значениях связанных с ним величин, без которых рассказ о треугольнике будет неполным. При решении таких задач на первый план выступают соотношения между элементами треугольника, выражаемые неравенствами. Занятие 7 Цели: Рассмотреть секреты магии решения задач Фаньяно и Ферма— Торричелли, используя не геометрические методы. Неравенство треугольника. Это неравенство утверждает, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. При составлении современных курсов геометрии неравенство треугольника часто включается в систему аксиом, т. е. принимается без доказательства, хотя в <Началах> Евклида это теорема. В качестве аксиомы оно включается в список основных свойств расстояний: расстояние между двумя точками не больше суммы расстояний от них до любой третьей точки. Из неравенства треугольника следует, что отрезок является кратчайшей из линий, соединяющих две точки. Именно это свойство используется при решении двух классических экстремальных задач из геометрии треугольника. Задача Фаньяно. Требуется вписать треугольник минимального периметра в данный остроугольный треугольник. Эта задача называется задачей Фаньяно — по имени итальянского математика, опубликовавшего в 1755 г. её аналитическое решение. Искомым треугольником всегда будет ортотреугольник(рис.15). Этот результат можно пояснить с помощью законов физики. Вспомним, что высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника. Иначе говоря, любые две стороны ортотреугольника образуют равные углы со стороной исходного треугольника, проходящей через их общую вершину. Поэтому луч света (или бильярдный шар), пущенный вдоль стороны ортотреугольника, отражает от сторон Рис16 Рис 15 «большого» треугольника в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения», будет раз за разом обегать ортотреугольник по периметру, т. е. периметр ортотреугольника и есть траектория такого луча, а свет, как известно, распространяется по кратчайшему пути. Имеется ещё одна, «механическая, интерпретация задачи Фаньяно. Пусть треугольник сделан из проволоки, причём на каждую его сторону надето маленькое кольцо. Через кольца продета натянутая нить с пружинками (рис.16). Какое положение она займёт, когда сожмется максимально, если считать, что в системе нет трения? Конечно, то положение, при котором её длина минимальна. Учитывая, что сумма сил, действующих на каждое кольцо в окончательном положении нити, равна нулю, нетрудно вычислить, что отрезки нити будут составлять равные углы с соответствующими сторонами треугольника, откуда и следует, что нить образует ортотреугольник. Конечно, такого рода рассуждения не могут служить геометрическими доказательствами, но они порой подсказывают решение задачи. Задача Ферма—Торричелли. Эта точка в треугольнике связана с именами сразу трёх выдающихся учёных прошлого. Впервые о ней говорилось в работах французского математика Пьера Ферма, который решал задачу о местоположении в треугольнике АВС такой точки Е, что сумма FА +F В + FС её расстояний до вершин была бы минимальной. швейцарский геометр Якоб Штейнер рассматривал ту же проблему в несколько более общем виде: он пытался найти кратчайшую сеть дорог, соединяющих три пункта. Оказывается, что такая сеть всё равно должна состоять из трёх сходящихся в одной точке прямолинейных дорог, причём одна из этих дорог может сжаться в точку (как и в задаче Ферма). В такой формулировке, но уже для произвольного числа пунктов, задача приобретает и чисто практическое значение. Например, её приходится решать при прокладке кабельных сетей. Разработано несколько алгоритмов построения кратчайших сетей для данного расположения соединяемых пунктов. Но эта задача имеет неприятную особенность: с увеличением числа пунктов чрезвычайно быстро возрастает количество операций, выполняемых компьютером при её решении, — как показательная функция от числа пунктов. В итоге даже на сверх мощных компьютерах за приемлемое время удаётся решить задачу только для двух-трёх десятков точек. Чтобы улучшить имеющиеся алгоритмы, математики и сегодня продолжают исследовать структуру кратчайших сетей. Физическую модель для решения классической задачи Ферма можно сделать так: нарисуем треугольник на какой-нибудь доске, вобьём гвоздики в его вершинах, перекинем через каждый гвоздик нить с одинаковым грузом на конце и, наконец, свяжем свободные концы нитей в один узел . Когда грузы будут отпущены, они натянут нити. При этом общая длина отвесных частей нитей станет наибольшей, а сумма расстояний от узла до гвоздиков — наименьшей. Следовательно, узел установится в искомой точке. Поскольку на него будут действовать три равные по величине и уравновешивающие друг друга силы, направленные вдоль нитей, углы между нитями должны быть равны. Таким образом, стороны треугольника будут видны из точки Г под равными (по 120°) углами. Точку треугольника, положение которой удовлетворяет этим условиям, построил италь янский учёный Эванджелиста Торричелли, известный как изобретатель ртутного барометра. Рис. 17 Такая точка существует только в треугольниках с углами, не превосходящими 120°, и совпадает с точкой Ферма. Однако сама задача Ферма имеет решение и когда один из углов треугольника больше 120°. В этом случае точка Fсовпадает с вершиной тупого угла. Точку Торричелли можно получить так: построим на сторонах треугольника вне его правильные треугольники (рис. 17) и соединим отрезком каждую вершину исходного треугольника с вершиной правильного треугольника, построенного на противоположной стороне. Полученные отрезки равны, образуют друг с другом равные углы (по 60°) и пересекаются в одной точке Т — точке Торричелли. Занятие 8. Цели: Показать ,что кривые линии привлекают внимание не только изяществом своей формы, но и многими удивительными свойствами Алгебраические кривые Посмотрим еще раз на эти кривые в интересном ракурсе - в театре теней. Форма тени от обруча на плоском экране, освещенного точечным источником света (лампочкой), зависит от взаимного расположения обруча, экрана и источника света. Если весь обруч расположен к экрану ближе, чем источник света, то тень будет эллиптической (рис.18). Рис 18. Если одна точка обруча находится на таком же расстоянии от экрана, как источник света, а остальная часть обруча - ближе, то тенью служит парабола (рис. 19). Если же одна часть обруча находится к экрану ближе, чем источник света, а другая часть дальше то тень, будет гиперболической (рис. 20). Рис 19,20 ЗАМЕЧАНИЕ. Может случиться, что тенью обруча будет прямая или отрезок прямой, если источник света лежит в плоскости. Рассмотрим одну из таких кривых -. множество точек, произведение от которых до данных двух точек Рг и Р2 равно данной положительной величине р. Уравнения этих кривых можно записать так: ((х-с)2 + у2)((х + с)2 + у2)=р2, где 2с =F 1F 2. Такие кривые носят название овалов Кассини. Особенно интересную форму форму «восьмерки» - имеет овал Кассини при р = с2 (рис.21). Такая кривая носит название лемнискаты Бернулли. Рис 21 Рассмотрим еще одну кривую- конхоиду Никомеда. Она определяется так: на плоскости фиксируется точка О и прямая l, задается числе а. Через точку О проводят всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой l в обе стороны откладываются отрезки длины а. Вторые концы этих отрезков и образуют конхоиду (рис. 22). Рис 22 Древнегреческий математик НИКОМЕД (III в. до н. э.) с помощью конхоиды решал задачу трисекции угла. Задача. Поделить угол АОБ на три равные части. Решение, а) Пусть ОА = а. б) АВ II ОО, АВ = l в) Проведем окружность (А;ОА). При ее пересече нии с конхоидой, построенной по прямой l, точке О и числу а = ОА, получим точку С (рис23) г) СВ = ОА = а (по определению конхоиды ) д)ОА= АС = В, значит ∟АОС = ∟АСО =» (АС = СВ)=> ∟ ВАС = ∟АВС е) ∟ АСО = 2 ∟ СВА (по свойству внешнего угла треугольника) ж) ∟ СВА = ∟ВОЦ и значит, ∟АОС = 2∟ СОВ =⅓∟АОО. ∟АОС = ∟АСО, Рис 23 Занятие 9. Цель: Ввести новые понятия кривой : брахистохроны, циклоида, таутохрона, эпициклоида, кардиоида, астроида. Механические кривые. . Декартов лист, гипербола, парабола, эллипс, овал Кассини, конхоида - все это алгебраические кривые. Но уже Галилей и Декарт изучали кривую, описываемую точкой окружности, катящейся по прямой, -циклоиду («механическую кривую»). Слово «циклоида» произошло от греческого слова «сукloеides» - «кругообразный». Так назвал эту кривую в 1590 году Галилей (рис. 24). рис24 А 1А2 - основание циклоиды, А3 - вершина, А 3М -высота циклоиды, и дуга А1 А2 А3- арка циклоиды, прямая l - линия центров. Галилей экспериментально установил, что площадь под одной аркой циклоиды в 3 раза больше площади производящего циклоиду круга, а длина дуги арки равна четырем диаметрам круга. Циклоида имеет ряд замечательных свойств. За одно из них она получила название брахистохроны. Это слово произошло от греческого «,braсhistos», что означает «кратчайший» и «сhгоnоs», что означает «время», т. е. брахистохрона - это кривая наикратчайшего по времени спуска. Другим синонимом циклоиды является таутохрона (от греческих слов «tautos» - тот же самый, «chronos» - время). Такое название циклоиды связано с историей маятниковых часов, с попыткой ученых создать «идеальный» маятник, т. е. такой маятник, период колебаний которого не зависит от его размаха. Христиан ГЮЙГЕНС, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник. Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О), сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АО) И дал возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ). При этих условиях конец маятника (Т) движется по циклоиде (таутохроне), а период колебания не зависит от величины начального отклонения.(рис 25) Рис 25 Древние ученые не знали циклоиду, но они знали и успешно пользовались ее близкой родственницей -эпициклоидой, плоской кривой, описываемой точкой окружности, которая катится без скольжения по другой неподвижной окружности, касаясь ее извне (рис. 26). Рис 26 Если радиус неподвижной окружности равен радиусу подвижной, то эпициклоиду называют кардиоидой (рис27) Рис 27 . Другой «родственницей» циклоиды является гипоциклоида - плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся внутри и без скольжения по другой неподвижной окружности (рис. 28). В зависимости от соотношения длин радиусов подвижной и неподвижной окружностей, получаются различные формы гипоциклоид. Если радиус неподвижной окружности в 4 раза больше радиуса подвижной, то эта гипоциклоида называется астроидой (рис. 29). Рис 28, 29 Задачи, приводящие к циклоиде, сыграли огромную роль в становлении механики и математического анализа. Занятие 10. Цель: расширить их математический и общенаучный кругозор. провести круглый стол . Ученик имеет возможность выступить с подготовленным сообщением (презентации, доклады, буклеты): эллипс, циссоида Диоклеса, квадратриса, кривая Гиппия, «Пируэты» окружности, кривая Штейнера. Занятие 11. Цель: помочь учащимся отойти от математических штампов; - обеспечить развитие навыков самообразования через поисковую работу; Подготовленные сообщения (презентации, доклады, буклеты): гипотрохоиды и эпитрохоиды. Специально подобранными математическими зависимостями приготовить математический цветник. В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея под рукой персональный компьютер . Литература: 1. №41 год1997 газета МАТЕМАТИКА автор Е.Смирнова 2. А.И.Маркушевич. Замечательные кривые. М., Гос. издательство литературы 1952 3. Н.Б.Васильев, В.Л.Гутенмахер. Прямые и кривые.М,Наука,1978 4. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика.Э68 Ред.коллегия:М.Аксенова, В.Володин и др.-М.: Аванта 2005.-688с.ил ISBN 5-98986-017-x 5. Учебник Геометрии, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.А. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др / -15-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 258 с.: ил. .- ISВN 5-09-015051-6. 6. Факультативный курс по математике. Сост. И.Л. Никольская.М.,Просвещение,1991.с. 135-171.
