Document 4938865


Дерево — это связный ациклический граф.

Связность означает наличие путей между любой парой вершин,
ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершинами
имеется только по одному пути.

Ориентированное (направленное) дерево -ориентированный граф, не
содержащий циклов)

Дерево не имеет кратных рёбер и петель.

Любое дерево с вершинами содержит ребро. Более того, конечный связный
граф является деревом тогда и только тогда, когда , где — число вершин, —
число рёбер графа.

Граф является деревом тогда и только тогда, когда любые две различные его
вершины можно соединить единственным элементарным путём.

Любое дерево однозначно определяется расстояниями (длиной наименьшей
цепи) между его концевыми (степени 1) вершинами.

Для любых трёх вершин дерева, пути между парами этих вершин имеют
ровно одну общую вершину.


Двои́чное де́рево — древовидная структура данных, в которой каждый узел имеет
не более двух потомков (детей). Как правило, первый называется родительским
узлом, а дети называются левым и правым наследниками.
Для практических целей обычно используют два подвида бинарных деревьев —
двоичное дерево поиска и двоичная куча.
Общее применение






управление иерархией данных;
упрощение поиска информации (см. обход дерева);
управление сортированными списками данных;
синтактический разбор арифметических выражений , оптимизация программ;
в качестве технологии компоновки цифровых картинок для получения различных
визуальных эффектов;
форма принятия многоэтапного решения
Двоичное дерево поиска — это двоичное дерево, для которого выполняются следующие дополнительные условия
Свойства дерева поиска:

Оба поддерева — левое и правое, являются двоичными деревьями поиска.

У всех узлов левого поддерева произвольного узла X значения ключей данных меньше, нежели значение ключа
данных самого узла X.

В то время, как у всех узлов правого поддерева того же узла X значения ключей данных не меньше, нежели
значение ключа данных узла X.
Для различных операций двоичное дерево поиска можно определить так:

Двоичное дерево состоит из узлов (вершин) — записей вида (data, left, right), где data — некоторые данные
привязанные к узлу, left и right — ссылки на узлы, являющиеся детьми данного узла - левый и правый сыновья
соответственно. Для оптимизации алгоритмов конкретные реализации предполагают также определения поля
parent в каждом узле (кроме корневого) - ссылки на родительский элемент.

Данные (data) обладают ключом (key), на котором определена операция сравнения "меньше". В конкретных
реализациях это может быть пара (key, value) - (ключ и значение), или ссылка на такую пару, или простое
определение операции сравнения на необходимой структуре данных или ссылке на неё.

Для любого узла X выполняются свойства дерева поиска: key[left[X]] < key[X] ≤ key[right[X]], т. е. ключи данных
родительского узла больше ключей данных левого сына и нестрого меньше ключей данных правого.

Основным преимуществом двоичного дерева поиска перед другими структурами данных является возможная
высокая эффективность реализации основанных на нём алгоритмов поиска и сортировки.
Есть три способа обхода:

Прямой

Поперечный

Обратный
Префиксный (прямой) обход — сначала обрабатывается
текущий узел, затем левое и правое поддеревья;
Префиксный обход: A, B, D, H, E, C, F, I, J, G

Инфиксный
(симметричный)
обход
—
сначала
обрабатывается левое поддерево текущего узла, затем корень,
затем правое поддерево;
инфиксный обход: D, H, B, E, A, I, F, J, C, G

Постфиксный (обратный) обход — сначала
обрабатываются левое и правое поддеревья текущего узла,
затем сам узел.
постфиксный обход: H, D, E, B, I, J, F, G, C, A
1.
Двои́чная куча, пирамида, или сортирующее де́рево — такое двоичное дерево,
для которого выполнены три условия:
2.
Значение в любой вершине не меньше, чем значения её потомков.
3.
Глубина листьев (расстояние до корня) отличается не более чем на 1 слой.
4.
Последний слой заполняется слева направо.
5.
Также двоичная куча просто реализуемая структура данных, позволяющая
быстро (за логарифмическое время) добавлять элементы и извлекать элемент с
максимальным приоритетом (например, максимальный по значению).
class Heap {
int[] data; // массив с элементами (индексация с 1, 0 - фиктивная вершина)
int pnt = 0; // указаетель на последний элемент
/* Конструктор */
Heap(int size) {
data = new int [size + 1];
}
/* Добавить элемент */
void add(int x) {
data[++pnt] = x;
for (int v = pnt, p = v >> 1; p > 0 && data[p] > data[v]; swap(data, p, v), v = p, p >>= 1);
}
/* Извлечь минимум */
int extractMin() {
int ret = data[1];
swap(data, 1, pnt--);
for (int v = 1; (v << 1) <= pnt; ) {
int l = v << 1;
int r = l + 1;
if (r <= pnt && data[r] < data[l] && data[r] < data[v]) swap(data, v, v = r);
else if (data[l] < data[v]) swap(data, v, v = l);
else break;
}
return ret;
}
}