Vvedenie

2009г.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(Г.А.Суворченкова)
.
Содержание.
Часть 1. Функции одного переменного.
1.1. Элементы теории множеств и математической логики.
1.2. Функции. Классификация функций.
Часть 2. Теория пределов.
2.1. Предел числовой последовательности.
2.2. Предел функции (определения, геометрический смысл).
2.3. Бесконечно малые функции и их свойства.
2.4. Основные теоремы о пределах.
2.5. Понятие о неопределённостях. Первый и второй замечательные пределы.
2.6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.
2.7. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми функциями. Сравнение
бесконечно больших функций.
Часть 3. Непрерывность функции.
3.1. Определение непрерывности.
3.2. Классификация точек разрыва.
3.3. Основные теоремы о непрерывных функциях.
3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод бисекции.
Часть1. Функции одного переменного.
Опорный (краткий) конспект №1.
1.1. Элементы теории множеств и математической логики.
A  B  {x | x  A  x  B}
A  B  {x | x  A  x  B}
A \ B  {x | x  A  x  B}
B  A  A \ B  {x  A | x  B}
1.2. Функции. Классификация функций.
y  f ( x), x  X , y  Y  X  Y : x  X  только один y  Y , X  D( f ) - область
определения, E ( f )  { y  Y | y  f ( x), x  D( f )} - область значений, E ( f )  Y , x независимая переменная (аргумент), y - зависимая переменная (функция).
Основные элементарные функции:
1) y  C , C - const
C
x
1
2) y  x n , n  R \ {0} - степенная, D ( f ) и E ( f ) зависят от n ;
3) y  a x , a  0, a  1 - показательная, D( f )  R, E ( f )  (0,)
2
y1( x)
1
y2( x)
x
4) y  log a x, a  0, a  1 - логарифмическая, D( f )  (0,), E ( f )  R
0
1
y1( x)
y2( x)
x
5) Тригонометрические:
y  sin x, D( f )  R, E ( f )  [1, 1]


2
1
y ( x)
1
1
1
x
y  cos x,
D ( f )  R,
E ( f )  [1, 1 ]

2
y ( x)
1
1


2
2
x
y ( x)
2
x



y  tg x, D( f )  R \   k , k  Z , E ( f )  R
2

y  ctg x, D( f )  R \ {k }, k  Z


2
y ( x)
x
Обратные тригонометрические функции:
  
y  arcsin x, D( f )  [1, 1 ], E ( f )   , 
 2 2

2
1
1
1
y ( x)
1
0
1

1
2
x
y  arccos x, D( f )  [1, 1],
E ( f )  [0,  ]
3

1
1
y ( x)


2

2
1
0
1
x
  
y  arctg x, D( f )  R, E ( f )    , 
 2 2

2
y ( x)
 
 
2


2
2
x
y  arcctg x, D( f )  R, E ( f )  (0,  )

y ( x)
( )


2
2
x
Сложные функции (суперпозиция функций):
y   ( f ( x))  y  f ( x), z   ( y ), x  X , z  Z , y  Y .
Элементарные функции – функции, которые могут быть записаны одной формулой,
составленной из основных элементарных функций с помощью конечного числа
арифметических операций и операций суперпозиции.
Классификация элементарных функций.
4
Элементарные функции
Трансцендентные функции
Алгебраические функции
Рациональные
Целые рациональные
(многочлены)
Иррациональные
Дробнорациональные
1.1. Элементы теории множеств и математической логики.
П.1. Понятие о множестве.
Понятие множества, совокупности объектов, элементов считается первичным,
неопределяемым.
Множество A задано, если о любом объекте (элементе) a можно сказать, принадлежит он
этому множеству ( a  A) или не принадлежит ( a  A) . Для данного объекта a и для
данного множества A всегда a  A или a  A , но не то и другое вместе.
Множества A и B считаются равными ( A  B) , если они состоят из одних и тех же
элементов.
Множество можно задать списком, перечислив все его элементы. Запись
A  {a1 , a2 ,, an } означает, что множество A состоит из элементов a1 , a2 ,, an .
Примеры. 1) {1,2,25}  {25,2,1}  {1,25,2,1}.
2) Пустой список { } задаёт множество, не имеющее элементов, которое называется пустым
множеством и обозначается символом  .
3) {{1,2}}  {1,2}: множество в правой части состоит из двух элементов, а множество в левой
части имеет только один элемент.
Другой способ задания множества – указание его характеристического свойства.
Характеристическое свойство множества – это такое свойство, которым обладает каждый
элемент множества, но не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные
характеристические свойства. Например, множество квадратов можно задать как множество
прямоугольников с равными смежными сторонами, а можно и как множество ромбов с
прямым углом.
Множества бывают конечные и бесконечные. Очевидно, списком можно задать только
конечное множество.
5
Некоторые множества имеют стандартные обозначения:
N - множество всех натуральных чисел:
Z - множество всех целых чисел;
Z  - множество всех неотрицательных целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
 ={0,1} - булев отрезок.
Если из x  A следует x  B , то пишут A  B и говорят, что A - подмножество B (или
A включается в B ).
Очевидно, N  Z   Z  Q  R  C. Пустое множество считается подмножеством любого
множества.
Примеры. 1) A  {x  N | x  7} - множество натуральных чисел, меньших 7, т.е.
A  {1,2,3,4,5,6} ;
2) {x  R | sin x  0}  {x  R | x  n , n  Z } , так как sin x  0 тогда и только тогда, когда
x  n для некоторого целого n .
П.2. Взаимно-однозначное соответствие и эквивалентные множества.
Если 1) каждому элементу множества A каким-либо образом сопоставлен единственный
элемент множества B и
2) при этом каждый элемент множества B оказывается сопоставлен одному и только
одному элементу из A , то говорят, что между множествами A и B установлено взаимнооднозначное соответствие.
Замечание. Если между A и B установлено взаимно-однозначное соответствие, то
различные элементы x1  x2  A должны переходить в различные элементы y1  y2  B .
Доказательство от противного: допустим, x1  x2 , x1 переходит в y и x2 переходит в
y ; тогда получаем противоречие с п.2).
Если между множествами A и B может быть установлено взаимно-однозначное
соответствие, то A и B называются эквивалентными. Конечные множества эквивалентны
только тогда, когда у них одинаковое число элементов.
Определение. Число элементов конечного множества A называется его мощностью и
обозначается | A | .
Бесконечное множество может быть эквивалентно своему подмножеству, не
совпадающему с ним. Например, можно установить взаимно-однозначное соответствие
между множеством всех натуральных чисел N и множеством всех чётных натуральных
чисел, сопоставив каждому n  N его удвоение 2n :
1, 2, 3,  , n, 
  

2, 4, 6,  , 2n, 
Счётными называются множества, эквивалентные множеству N . Можно доказать, что Q счётное множество, а R - несчётное множество.
П.3. Действия над множествами.
1) Суммой двух множеств A и B называется множество A  B  {x | x  A или x  B}.
2) Пересечением A и B называется множество A  B  {x | x  A и x  B}.
3) Если B  A, то разность A \ B  {x | x  A, x  B} .
Если есть множество T , в котором содержатся A и B , то разность T \ B называется
дополнением B в T . Например, множество Q иррациональных чисел можно описать как
Q  R \ Q.
6
Свойства операций над множествами:
1) A  B  A, A  B  B.
2) A  A  B, B  A  B.
3) Если A  B, B  C , то A  C.
Из 1),2),3) следует справедливость 4):
4) A  B  A  B.
5) ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C )
Свойства
6) ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C )
дистрибутивности
7) A  B тогда и только тогда, когда A  B и B  A.
8) A  B  B  A; A  B  B  A (коммутативное или переместительное свойство).
( A  B)  C  A  ( B  C ) (ассоциативное, или
9) ( A  B)  C  A  ( B  C );
сочетательное свойство).
10) Для конечных множеств A и B выполняется равенство | A  B || A |  | B |  | A  B | .
Пример. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21- немецкий язык, а 15 –
английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни
немецкий языки?
Решение. Пусть A - множество студентов курса, изучающих английский язык, B множество студентов курса, изучающих немецкий язык. По условию задачи:
n( A)  32, n( B)  21, n( A  B)  15 . Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни
английский, ни немецкий язык.
1 способ.
1) Найдём число элементов в объединении данных множеств A и B . Для этого
воспользуемся формулой: n( A  B)  n( A)  N ( B)  n( A  B)  32  21  15  38.
2) Найдём число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки:
40  38  2 .
2 способ.
1) Изобразим данные множества с помощью кругов Эйлера и определим число элементов в
каждом из непересекающихся подмножеств
A
B
17
15
6
C
n(C)=40
Так как в пересечении множеств A и B содержится 15 элементов, то студентов, изучающих
только английский язык, будет 17 (32-15=17), а студентов, изучающих только немецкий, - 6
(21-15=6). Тогда n( A  B)  17  15  6  38 , и, следовательно, число студентов курса,
которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40-38=2.
7
Опишем ещё один способ построения новых множеств из уже построенных. Пусть A, B - два
множества. Через A  B обозначим множество, состоящее из упорядоченных пар (a, b)
таких, что a  A, b  B . Иначе говоря, c  A  B тогда и только тогда, когда c есть пара
(a, b) , причём a  A, b  B . Мы будем обозначать a через Пр1 c , b - через Пр2 c и называть
их первой и второй проекциями элемента c , Пр1 (a, b)  a , Пр2 (a, b)  b .
Множество A  B называется декартовым произведением A и B . Аналогично определяется
декартово произведение n множеств A1 , A2 ,, An : его элементами являются упорядоченные
наборы вида (a1 , a2 ,, an ) , где a1  A1 , a2  A2 ,, an  An . Декартово произведение n
одинаковых множителей A обозначается A n . Например, множество R n состоит из
упорядоченных наборов вещественных чисел вида ( x1 ,, xn ) ; оно называется n - мерным
арифметическим пространством.
Множество B n состоит из последовательностей нулей и единиц длины n , оно называется
n - мерным булевым кубом. Его элементы называются битовыми строками длины n .
Так как декартовы произведения A  B и B  A состоят из различных элементов, то
декартово произведение множеств A и B свойством коммутативности не обладает.
Аналогично можно показать, что для этой операции не выполняется и свойство
ассоциативности. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств,
( A \ B)  C  ( A  C ) \ ( B  C ) .
т.е. ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C ) ,
Утверждение. Мощность декартова произведения конечных множеств равна произведению
их мощностей.
Доказательство. Проведём индукцию по числу сомножителей, начиная со случая двух
сомножителей. Пусть A  {a1 ,, ak }, B  {b1 ,, bl }. Тогда A  B  B1    Bl , где
B1  {a1}  B,, Bk  {ak }  B - непересекающиеся множества, каждое из которых содержит l
элементов. Значит, число элементов в множестве A  B равно l

l


l  kl . База
k
слагаемых
индукции завершена.
Совершим индукционный переход. Предположим, что утверждение теоремы верно для n
сомножителей. Рассмотрим n  1 конечных множеств A1 , A2 ,, An1 . По предположению
| A1  A2   An || A1 || A2 |  | An | . Отсюда получаем, используя также справедливость
утверждения теоремы для двух множителей:
| A1  A2   An  An1 || ( A1  A2   An )  An1 || A1  A2   An || An1 |
| A1 || A2 |  | An | | An 1 | .
Следствие. | An || A | n .
Примеры: 1) Булев куб B n содержит 2 n элементов.
2) Задача. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 5,4 и 7?
Решение. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой
упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества
A  {5,4,7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т.е. число элементов в декартовом
произведении A  A . Согласно правилу, n( A  A)  n( A)  n( A)  3  3  9. Значит, двузначных
чисел, записанных с помощью цифр 5,4 и 7, будет 9.
3) Задача. Количество элементов множества {a}  {b, c}  {d , e, f } равно
1) 5;
2) 3;
3) 6;
4) 2.
Правильный ответ 3), так как n1  n2  n3  1  2  3  6 . Здесь n1 - мощность множества {a} , n 2 мощность множества {b, c} , а n3 - мощность множества {d , e, f } .
П.4. Элементы математической логики.
8
Понятие высказывания является исходным и не определяется, а лишь поясняется.
Высказывание – это утверждение, которое является либо истинным, либо ложным, но не то и
другое вместе. Пусть И обозначает истинное высказывание, а Л – ложное.
Примеры:
1) 2  2  4
— И.
2) 2  3
— Л.
3) Река Дон впадает в Азовское море
— И.
4) Париж – столица Италии
— Л.
5) x<2
— не высказывание
(истина или ложь – зависит от x).
6) Слава российским студентам!
— не высказывание.
Определение. Два высказывания a и b называются равносильными (обозначение a  b ),
если оба они истинны или оба ложны.
Логические связки. Из высказываний с помощью логических связок могут быть построены
новые (составные) высказывания. Таким образом, логические связки можно понимать как
операции на множестве высказываний. В следующей таблице приведены наиболее
употребительные логические связки (отрицание – унарная, остальные – бинарные).
Название
Прочтение
Обозначение
Отрицание
Неверно, что или не …
ˉ
Конъюнкция
…и…

Дизъюнкция
… или …


Импликация
если … то
Эквиваленция
… эквивалентно …
или
~

Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X ,
называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке
в него значений переменной из множества X .
Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те,
которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких
значений переменной называют множеством истинности высказывательной формы.
Например, множеством истинности высказывательной формы x  5 , заданной на множестве
действительных чисел, будет промежуток (5; ) . Множество истинности высказывательной
формы x  5  8 , заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного
числа 3.
Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой T . Тогда,
согласно определению, всегда T  X .
Истинность или ложность составного высказывания ( и высказывательной формы)
определяется истинностью или ложностью его частей, соединённых логической связкой.
Уточним их содержание и приведём таблицу истинности для каждой из логических связок.
1) Отрицание.
Определение. Отрицанием высказывания  называется высказывание  , которое ложно,
если  истинно, и истинно, если высказывание  ложно.
Таблица истинности отрицания:


И
Л
Л
И
2) Конъюнкция высказываний.
Определение. Конъюнкцией высказываний  и  называется высказывание    , которое
истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих
высказываний ложно.
Таблица истинности конъюнкции:

 

9
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза “и” (при этом в
речи конъюнкция может выражаться не только союзом “и”, но и другими: “а”, “но”, “не
только, но и”). Например: “Число 15 делится не только на 3, но и на 5” – конъюнкция
высказываний “Число 15 делится на 3” и “Число 15 делится на 5”.
3) Дизъюнкция высказываний.
Определение. Дизъюнкцией высказываний  и  называется высказывание    , которое
истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба
высказывания ложны.
Таблица истинности дизъюнкции:



И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Отметим, что в математике союз “или” используется как неразделительный, то есть
допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание
“15 кратно 3 или 5”, согласно определению, считают истинным, поскольку оба
высказывания “15 кратно 3 ” и “15 кратно 5” истинны.
Можно доказать (прямой проверкой с помощью таблиц истинности) свойства 1-12
операций ,  и
:
1) a  a - закон двойного отрицания;
2) a  b  b  a, a  b  b  a - коммутативность дизъюнкции и конъюнкции;
3) a  (b  c)  (a  b)  c, a  (b  c)  (a  b)  c - ассоциативность дизъюнкции и
конъюнкции;
4) a  (b  c)  (a  b)  (a  c), a  (b  c)  (a  b)  (a  c) - взаимная
дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции;
5) a  a  a, a  a  a - законы идемпотентности;
6) a  b  a  b , a  b  a  b - законы де Моргана;
7) a  И  И, a  Л  Л, a  Л  a, a  И  a - законы истины и лжи;
8) a  (a  b)  a, a  (a  b)  a - законы поглощения;
9) (a  b)  (a  b )  a - закон склеивания;
10) (a  b)  a  b  a - закон вычеркивания;
11) a  a  И – закон исключения третьего;
12) a  a  Л – закон противоречия.
4) Импликация.
Определение. Высказывательная форма  (x) следует из высказывательной формы  (x ) ,
если  (x) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях x , при которых
 (x ) истинно.
Высказывание  ( x)   ( x) прочитать можно по-разному:
a) из  (x ) следует  (x) ;
б) всякое  (x ) есть  (x) ;
в) если  (x ) , то  (x) ;
10
г)  (x) есть следствие  (x ) ;
д)  (x ) есть достаточное условие для  (x) ;
е)  (x) есть необходимое условие для  (x ) .
Как и любое высказывание, предложение  ( x)   ( x) может быть либо истинным, либо
ложным. Но так как оно может быть сформулировано “всякое  (x ) есть  (x) ”, то его
истинность устанавливается путём доказательства, а ложность – с помощью контрпримера
(см. п.6).
5) Эквиваленция.
Определение. Предложения  (x ) и  (x) равносильны, если из предложения  (x ) следует
предложение  (x) , а из предложения  (x) следует предложение  (x ) .
Высказывание  ( x)   ( x) прочитать можно по-разному:
а)  (x ) равносильно  (x) ;
б)  (x ) тогда и только тогда, когда  (x) ;
в)  (x ) - необходимое и достаточное условие для  (x) ;
г)  (x) - необходимое и достаточное условие для  (x ) .
Предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны.
П.5. Структура теоремы. Виды теорем.
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством
рассуждения (доказательства).
С логической точки зрения теорема – высказывание вида    , где  и  высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение 
называется условием теоремы, а предложение  - её заключением.
Есть разные способы (см. п.4, а)-е) для    ), но удобнее теорему формулировать в
виде “если …, то …”, поскольку сразу видно её условие (что дано) и заключение (что надо
доказать).
Для всякой теоремы “если  , то  ” можно сформулировать предложение “если  , то  ”,
которое называют обратным данному. Но не всегда это предложение является теоремой.
Рассмотрим теорему: “если четырёхугольник является прямоугольником, то в нём
диагонали равны”. Предложение, обратное данному: “если в четырёхугольнике диагонали
равны, то четырёхугольник является прямоугольником”- ложное высказывание
(контрпример: в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является
прямоугольником).
Если же предложение “если  , то  ” истинно, то его называют теоремой, обратной
данной “если  , то  ” .
Для всякой теоремы “если  , то  ” можно сформулировать предложение “если не  , то
не  ”, которое называют противоположным данному. Но не всегда это предложение
является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме “если
четырёхугольник является прямоугольником, то в нём диагонали равны “, будет ложным:
“если четырёхугольник не является прямоугольником, то в нём диагонали не равны “.
В случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют
теоремой, противоположной данной.
Таким образом, если для теоремы    сформулировать обратное    или
противоположное    предложения, то их надо доказывать ( и тогда их называют
соответственно обратной или противоположной теоремами) или опровергать.
(   )  (    ) .
С другой стороны, имеет место закон контрапозиции:
11
Согласно этому закону предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также
является теоремой, и вместо данной теоремы можно доказывать теорему, обратно
противоположную данной.
На законе контрапозиции основано доказательство теоремы "от противного”. Например,
вместо теоремы “если четырёхугольник является прямоугольником, то в нём диагонали
равны” можно доказывать обратно противоположную теорему “если в четырёхугольнике
диагонали не равны, то он не является прямоугольником”.
Заметим, что если для данной теоремы    справедлива обратная    , то их можно
объединить в одну    , и тогда в формулировке будут использоваться слова
“необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”. Доказательство теоремы   
сводится к доказательству двух взаимно-обратных теорем    и    .
Задача. Необходимым и достаточным условием делимости натурального числа a на 24
является
1) a  4 и a 6; 2) a  2, a 3 и a  4; 3) a  2 и a 12; 4) a 3 и a 8 .
Решение. Во всех ответах указываются условия, необходимые для делимости натурального
числа a на 24, но только условие 4) является и достаточным для делимости числа a на 24.
Правильный ответ- 4).
П.6. Кванторы общности и существования.
Выражение “для любого x ” в логике называется квантором общности по переменной x и
обозначается x . Запись “ x  X  (x) ” означает: “для любого x  X истинно
высказывание  (x ) ”.
Выражение “существует x такое, что …” в логике называется квантором существования
по переменной x и обозначается символом x .
Запись “ x  X  (x) ” означает: “существует (хотя бы один) x  X такой, что  (x )
истинно”.
Обозначения  и  для кванторов – это перевёрнутые латинские буквы A и E, которые
являются первыми буквами английских слов “All” и “Exist”.
Заметим, что в математике наряду со словом “любой” употребляют слова “всякий”,
“каждый”, а вместо слова “существует” используют слова “некоторые”, “найдётся”, “есть”,
“хотя бы один”.
Обратим внимание на особенности употребления в математике слова “некоторый”. В
обычной речи, говоря “некоторые”, имеют в виду “по меньшей мере один, но не все”, в
математике же слово “некоторые” означает “по меньшей мере один, но, может быть, и все”.
Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путём доказательства.
Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.
А истинность высказывания с квантором существования устанавливается с помощью
конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо
провести доказательство.
Заметим, что убедиться в ложности высказывания – значит опровергнуть его.
Правило: для того, чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора
общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и
построить отрицание предложения, стоящего после квантора.
x  X  ( x)  x  X  ( x)
x  X  ( x)  x  X  ( x)
Пример. Определение. Функция y  f (x) называется ограниченной на множестве M , если
 K  0 x  M | f ( x) | K
(1)
Определение. Функция y  f (x) называется неограниченной на M , если K  0
x  M | f ( x) | K   K  0 x  M :| f ( x) | K .
(2)
12
(2) – отрицание (1).
1.2.Функции. Классификация функций.
П.1. Понятие функции.
Определение. Пусть X и Y - 2 множества, и пусть каждому x  X по какому-то правилу f
ставится в соответствие некоторый y  f ( x)  Y . Тогда говорят, что задана функция
y  f (x) с областью определения X .
Таким образом, функция – это правило, по которому элементу x ставится в соответствие
элемент y .
Определение. Областью значений E ( f ) функции y  f (x) называется множество тех
y  Y , для которых найдётся такой x  X , что y  f (x) . Другими словами,
E ( f )  { y  Y | x  D( f )  X , y  f ( x)} .
Очевидно, E ( f )  Y .
Замечание. Иногда допускают, чтобы в определении функции каждому x  X
соответствовало несколько элементов из Y. В этих случаях говорят, что y есть многозначная
функция от x . При исследовании таких функций выбирают промежутки, где они
однозначны.
Функции обычно задают:
1) аналитически (т.е. с помощью одной или нескольких формул);
2) таблицей;
3) графически.
Мы будем дальше рассматривать числовые функции одной переменной, тогда X  R и
Y  R.
График функции y  f (x) - это множество всех точек ( x, y ) плоскости Oxy , для которых
y  f (x). Другими словами, график  - это   {( x, y)  R 2 | x  D( f ), y  f ( x)}.
Обратная функция. Пусть задана однозначная функция y  f (x) . Предположим, что для
y  E ( f )  Y существует ровно один x  X такой, что f ( x)  y. Определим тогда g ( y )  x
для указанных x и y . Это задаёт функцию g с областью определения E ( f ) и областью
значений X , т.е. D( g )  E ( f ) и E ( g )  X . Такая функция называется обратной к функции f
Очевидно, g ( f ( x))  x для x  X и f ( g ( y ))  y для y  E ( f ) .
Примеры:
1
1. Для функции y  2 x обратной функцией является функция x  y ;
2
2
2. Для функции y  x , x  [0,1] , обратной функцией является x  y ; заметим, что для
функции y  x 2 , заданной на отрезке [1;1] , обратной не существует, так как одному
1
1
1
значению y соответствует два значения x (так, если y  , то x1  , x 2   ).
4
2
2
3. Для функции y  sin( x), x  [  2;  2] обратной является функция x  arcsin( y ) .
Из определения обратной функции вытекает, что функция y  f (x) имеет обратную тогда
и только тогда, когда функция f (x) задаёт взаимно однозначное соответствие между
множествами D и E .
Если X  R, Y  R, то y  f (x) и x  g ( y ) есть числовые функции, графики которых
совпадают как множества на плоскости Oxy. Если поменять местами x и y в определении
13
g (т.е. считать g функцией от новой переменной x со значениями y ), то графики y  f (x)
и y  g (x) симметричны относительно прямой y  x .
f ( x)
g( x)
x
x
П.2. Суперпозиция функций.
Пусть y  f ( x), D( f )  X , E ( f )  Y . Пусть также задана функция z   ( y ) с
f

областью определения D( )  Y . Тогда правило x 

y

z определяет функцию z
от x , или z   ( f ( x)). Такая функция называется сложной функцией, а операция взятия
функции от функции называется суперпозицией функций.
П.3. Некоторые классы функций.
1. Функция y  f (x) называется монотонно возрастающей на X 0  D( f ),
если x1 , x2  X 0 , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ). Аналогично определяются монотонно
убывающие функции, а также неубывающие и невозрастающие функции (только в
последних двух случаях неравенства нужно писать нестрогие).
2. Функция y  f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на X 0  D( f ), если
k x  X 0  f ( x)  k (соответственно k x  X 0  f ( x)  k ).
3. Функция y  f (x) называется чётной (нечётной), если D ( f ) симметрична относительно
x  0 и x  D( f )  f ( x)  f ( x) (соответственно f ( x)   f ( x)) .
4. Функция y  f (x) называется периодической с периодом T  0 ,
если x  D( f )  x  T  D( f ) и f ( x  T )  f ( x) . Наименьший из периодов называется
основным.
 1, если x рационально
Пример. Функция Дирихле y ( x)  
имеет периодами все
0, если x иррационально
положительные рациональные числа; основного периода нет.
П.4. Элементарные функции.
Основными элементарными функциями называются следующие:
1) степенная y  x (  R);
2) показательная y  a x (a  0, a  1);
3) логарифмическая y  log a x (a  0, a  1);
4) тригонометрические функции y  sin x, y  cos x, y  tg x, y  ctg x;
5) Обратные тригонометрические функции
y  arcsin x, y  arccos x, y  arctg x, y  arcctg x
14
(области определения и графики этих функций см. [3], гл.1, §8 и гл.3, §14,а также Опорный
конспект №1).
Определение. Элементарной функцией называется функция, которая построена из основных
элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий и конечного
числа суперпозиций (и может быть записана одной формулой). Из определения следует, что
элементарные функции заданы аналитически.
 x, если x  0
Пример. Функция y | x | 
- элементарная, так как | x | x 2 .
 x, если x  0
 x 2  1, если x  0
Пример. Функция y  
 x, если x  0
- не элементарна.
П.5. Алгебраические и трансцендентные функции.
1) Многочлены (или целые рациональные функции) – функции вида
y  Pn ( x)  a 0 x n  a1 x n 1    a n , n  Z 0 ;
P( x)
2) Дробно-рациональные функции – функции вида
, где P( x), Q( x) - многочлены;
Q( x)
3) Иррациональные функции – те, которые получаются из многочленов с помощью
конечного числа арифметических операций и операций возведения в степень с
рациональным нецелым показателем:
4) Алгебраической называется функция y  f (x) , которая удовлетворяет некоторому
уравнению вида P0 ( x) y n  P1 ( x) y n 1    Pn ( x)  0 , где Pi (x) - многочлены. Все функции из
разделов 1-3 - алгебраические, причём для иррациональных функций степень n равна 2,3
или 4. Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной (например,
y  cos x, y  2 x , y  ln x и т.д.).
Таблица классификации элементарных функций приведена в Опорном конспекте №1.
Литература. [1. с.4-8, 18-30]; . [2. с.116-127]; . [3. с.16-28]; . [6. с.84-91]; . [7. с.10-42,
55-88]; . [8. с.4-22, 38-47].
Часть 2. Теория пределов.
Опорный конспект №2.
2.1. Предел числовой последовательности.
y n  f (n), n  N , lim y n  a     0 K  K ( )  R : n  K | y n  a |   .
n 
Геометрически: n  K  xn  (a   , a   ) .
2.2. Предел функции (определения, геометрический смысл).
lim f ( x)  b    0   0 : 0 | x  a |  | f ( x)  b |  .
xa
Геометрически: x  (a   , a   ) и x  a  f ( x)  (b   , b   ) .
15
y
b
b
b 
a 
a 
a
x
2.3. Бесконечно малые функции и их свойства.
 (x )  б.м., x  a  lim  ( x)  0 .
x a
 ,  - б.м., x  a  (   ) - б.м., x  a .
 (x ) - б.м., x  a, f ( x) - ограниченная, x  a  f ( x)   ( x) - б.м., x  a .
Свойство 1:
Свойство 2:
2.4. Основные теоремы о пределах.
Теорема 3(о связи функции с её пределом):
f ( x)  b   ( x),  ( x) - б.м., x  a  lim f ( x)  b .
x a
Теорема 4: lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
xa
xa
Теорема 5. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
Теорема 6. lim
xa
x a
x a
f ( x)
f ( x) lim
 xa
, lim g ( x)  0 .
g ( x) lim g ( x) x  a
xa
Теорема 7. h( x)  f ( x)  g ( x), x  a  lim h( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
x a
xa
Теорема 8. f ( x)  g ( x), x  a  lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
x a
2.5. Понятие о неопределённостях. I и II замечательные пределы.
0  

0
0
  ,   , [0  ] , [  ] , [1 ] , [0 ] , [ ] - неопределённости.
0
 
I замечательный предел:
lim
x 0
sin x  0 
    1.
x
0
n
 1
II замечательный предел: lim 1    [1 ]  lim (1   )1 /   e .
n 
 0
 n
2.6. Сравнение б.м. Эквивалентные б.м.
0    o(  ), x  a


A  0,     O(  ), x  a
 ( x)  0  
lim
 
xa  ( x)
1  ~  , x  a
0 
не существует   ,   несравнимы при x  a


 lim 1 .
x a 
x a 
1
Теорема.  ( x) ~ 1 ( x),  ( x) ~ 1 ( x), x  a  lim
16
Теорема.  ( x) ~  ( x), x  a   ( x)   ( x)  o( ( x)) и  ( x)   ( x)  o(  ( x)), x  a .
2.7. Б.б. функции, их связь с б.м. . Сравнение б.б. функций.
f (x ) - б.б., x  a ( lim f ( x)  )  M  0     ( M )  0 : 0  | x  a |   |
xa
f ( x) | M
.
1
1
 0   ,     0 .
Связь б.м. и б.б. :
2.1. Предел числовой последовательности.
Числовой последовательностью называется числовая функция натурального аргумента, т.е.
всякому натуральному числу n сопоставляется число f (n) . Значения f (n) чаще обозначают
f n и называют членами последовательности. Иногда удобно изображать последовательность
геометрически:
1) как график функции от аргумента n :
f(n)
0
1
3
2
4
5
n
2) как последовательность точек на числовой прямой:

1
4
1
3
1
2
1
Последовательность { f n } называется ограниченной сверху (снизу), если
M : n  N  f n  M ( f n  M ) .
Последовательность { f n } называется ограниченной, если M  0 : n  N | f n | M .
Последовательность { f n } называется монотонно возрастающей (убывающей), если
n  N  f n  f n1 ( f n  f n1 ) .
17
Последовательность
{ 1n }
является ограниченной и монотонно убывающей.
Определение. Число a называется пределом последовательности y n  f (n) при n   ,
если для любого   0 существует число k (зависящее, вообще говоря, от  ) такое, что для
всех n  k выполняется неравенство | y n  a |  . Это записывают как a  lim yn , или
n 
y n n
 a . Запись этого определения с использованием логических

символов: a  lim y n    0 k  k ( )  R n  N , n  k | y n  a |  .
n 
Пример 1. Пусть y1  y 2  y3    a . Покажем, что тогда a  lim y n . Действительно, для
n 
  0 возьмём k  k ( )  0 . Тогда для любого n  k (т.е. для любого n  N ) имеем
| y n  a || a  a | 0   , что и требуется в определении предела.
В этом примере k  0 годится сразу для всех   0 ; но это далеко не всегда так (с
уменьшением  k  k ( ) , вообще говоря, растёт).
Определение. Интервал U  (a)  (a   , a   ) называется  -окрестностью точки a .
Множество U  (a) \ {a} называется “проколотой”  -окрестностью точки a и обозначается
0
U  (a) .
Геометрический смысл понятия предела последовательности.
1 способ изображения: | y n  a |     y n  a    a    y n  a  
y
a 
a
a 
1
2
3
k
n
lim y n  a  для любого   0 все точки графика последовательности, начиная с некоторого номера,
n 
попадут в полосу между a   и a   .
Прежде , чем перейти ко 2-му способу изображения последовательности, дадим
Определение. Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не
превосходящее x .
Обозначение: [x ] -целая часть x . Например, [1.5]  1; [1,5]  2; [3]  3.
18
График функции y  [x ] :
(здесь значения функции в целых точках равны аргументу: [ x]  x ).
4
3
2
1
-5 -4
-3
-2
-1
0 1 2
-1
3
4
5
-2
-3
-4
-5
2 способ изображения :
lim y n  a  y[ k ]1 , y[ k ] 2,  (a   , a   ), т.е. в любую  -окрестность U  (a)  (a   , a   )
n 
попадают все точки последовательности, начиная с y[ k ( )]1 . Другими словами, в любую
окрестность U  (a) попадают все точки последовательности, кроме конечного числа (вне
любой  - окрестности может находиться лишь конечное число членов последовательности :
y1 , y 2 ,  , y[ k ( )] ).
y2
 y[ k ]
x
a 
y[ k ]1
a
y[ k ]  2
a 
y3
y1
Отрицание к утверждению a  lim y n :
n 
a  lim y n    0 такое, что k  R n  N , n  k  | y n  a |  .
n 
Пример 2. y n 
1
; докажем, что lim y n  0 .
n
n
19
Доказательство. Зададим   0. Ищем k  k ( ) такое, чтобы из n  k следовало
1
1
| y n  a |  , т.е. | y n |  . Но | y n | , поэтому нужно   при n  k. Поскольку
n
n
1
1
1
    n, достаточно принять k ( )  .
n


Пример 3. y n  (1) n .
Докажем, что lim y n не существует, от противного. Предположим, что lim y n  a. Возьмём
n
n 
1
  . Тогда все y n , начиная с некоторого, должны попасть в
2
1
1
U  (a)  (a   , a   )  (a  , a  ). Но y n  1 или -1, а длина интервала U  (a) равна 1.
2
2
Поэтому в него одновременно не могут попасть значения 1 и -1. Значит, либо все y 2 n  1,
либо все y 2 n 1  1 не будут принадлежать U  (a). Т.е. за пределами U  (a) окажется в
любом случае бесконечное число точек последовательности y n . Это противоречит
определению предела последовательности.
Теорема (о единственности предела последовательности).
Если последовательность имеет предел, то он единственен.
Доказательство (от противного). Предположим, что lim y n  a. и lim y n  b , a  b .
n
n 
|ba|
) точек a и b :
Выберем непересекающиеся  - окрестности (0   
2
U  (a)  U  (b)   .
x
b
a
Согласно геометрическому смыслу последовательности
k1 :n  k1  xn  U  (a) и k 2 :n  k 2  xn  U  (b)  n  max( k1 , k 2 )  xn  U  (a)  U  (b),
чего быть не может.
Теорема (необходимое условие сходимости). Если последовательность сходится (имеет
конечный предел), то она ограничена.
Доказательство. Пусть lim y n  a. . Возьмём любое   0 , например,   1 . Тогда
n 
 k : n  k  a  1  y n  a  1. Последнему неравенству могут не удовлетворять лишь
y1 , y 2 ,, y[ k ] . Обозначим P  min( y1 , y 2 ,, y[ k ] , a  1) , Q  max( y1 , y 2 ,, y[ k ] , a  1)
 P  y j  Q при всех j  N , что требовалось доказать.
Замечание. Ограниченность последовательности не является достаточным условием
существования предела, как показывает рассмотренная выше последовательность {( 1) n } .
20
Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости).
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.
2.2.Предел функции (определения, геометрический смысл).
П.1. Понятие окрестности.
№
Множества
1
a   x  a ,
где   0

x  (a   , a   )

| x  a | 
2
a   x  a ,
причём x  a

x  (a   , a) 
( a, a   )

0 | x  a | 
3
x  K, K  R
Обозначение
U  (a)

U  (a)
U k ( )
Название
Рисунок
  окрестность точки
a
a 
a
a 
x
a 
a
a 
x
проколотая

окрестность
точки a
K  окрестность
()  ти
x
K
x
4
5
x  K, K  R
| x | K , K  0
U k ()
U k ()
K  окрестность
()  ти
K
x
K
K  окрестность
  ти
K
K
x
21
6
a  x  a ,
где   0

U  (a  0)
x  ( a, a   )
7
a    x  a,
где   0

U  (a  0)
правая
  окрестность
точки a
левая
  окрестность
точки a
a
a 
a 
a
x
x
x  (a   , a)
Задача.   окрестность точки (числа) a  1 может принадлежать множеству
1) (1; 2)  (0; 3);
2) (1; 2) \ [0; 2);
3) (0; 2) \ (0; 1);
4) (1; 2]  [0; 3) .
Решение. Так как
1) (1; 2)  (0; 3)  (0; 2),
2) (1; 2) \ [0; 2)  (1; 0),
3) (0; 2) \ (0; 1)  [1; 2),
4) (1; 2]  [0; 3)  (1; 3),
то правильными ответами являются 1) и 4).
П.2. Понятие предела функции.
Смысл всех равенств вида
lim f ( x)  b ,
где a, b могут быть числами, а могут быть и
xa
символами  ,   и  , состоит в том, что f (x) сколь угодно близка к своему пределу b ,
лишь только x достаточно близко к своему пределу a (при этом x  a ).
Здесь “близость” к числу (или символу) означает принадлежность к окрестности этого
числа (или символа).
Определение предела на языке окрестностей можно сформулировать так: для любой
окрестности U (b) существует окрестность U (a) такая, что как только x  U (a) ( x  a) , то
f ( x)  U (b) . С использованием кванторов  (для любого) и  (существует) предыдущее
определение можно переписать так:
Определение. Равенство lim f ( x)  b означает, что
xa
U (b) U (a) : x  D( f ), x  U (a) ( x  a)  f ( x)  U (b) .
Учитывая, что здесь a и b могут быть конечными числами или символами
 ,  , , а также что вместо x  a возможны x  a  0 ( x стремится к a слева)
или x  a  0 ( x стремится к a справа), получаем 4  6  24 различных случаев
определения.
Дадим аккуратные определения в некоторых из этих случаев, используя таблицу п.1.
Будем предполагать, что функция f (x) определена в некоторой окрестности a (кроме,
может быть, самой точки a ).
Определение 1. Число b называется пределом f (x) при x , стремящимся к числу a , если

для всякого   0 существует такое   0 , что как только x  U  (a )  f ( x)  U  (b) .
На языке неравенств это означает (см. таблицу п.1, случаи 1,2):
Определение 1`. lim f ( x)  b     0   0 : 0 | x  a |  | f ( x)  b |  .
xa
Замечание 1. Отметим, что в определении 1  может принять любое значение, а 
находится уже при заданном  ; таким образом  зависит, вообще говоря, от  ,    ( ) ,
и разным  могут соответствовать разные  .
22
Пример 1. Покажем, что lim ( 2 x  1)  5 .
x 3
Зададим любое   0 . Надо показать существование (найти!) такое   0 , что при любом x ,
удовлетворяющем неравенству 0 | x  3 |  , будет выполняться неравенство
| (2 x  1)  5 |  . Но последнее неравенство равносильно

| 2 x  6 |   2 | x  3 |  | x  3 | .
2

Выберем в качестве искомого  число : тогда
2

0 | x  3 |  | x  3 | | 2 x  6 |  | (2 x  1)  5 |  , что и требовалось.
2


Итак, при  
(а также при любом другом  таком, что 0    ) требуемое в
2
2
определении предела выполняется, так что 5 действительно есть lim (2 x  1) .
x 3

Отметим ещё, что найденное в примере   (как и другие  , удовлетворяющие
2

неравенству 0    ) зависит от  .
2
Замечание 2. Отметим также, что в определении никак не участвует число f (a ) . Таким
образом, может оказаться, что f (a)  b (как в предыдущем примере f ( x)  2 x  1,
f (3)  2  3  1  5 , и lim ( 2 x  1)  5 = f (3) ), но также возможно f (a)  b или даже f (a ) не
x 3
определено (если a  D( f ) ).
1, если x  3
Пример 2. f ( x)  
. Тогда lim f ( x)  1 (т.е. lim f ( x)  f (3)  2 ).
x 3
x 3
2, если x  3
Доказательство. Зададим любое   0 . Ищем   0 такое, что при любом x ,
удовлетворяющем неравенству 0 | x  3 |  , будет выполняться неравенство | f ( x)  1 |  .
Так как f ( x)  1 при x  3 , то неравенство равносильно неравенству | 1  1 |  , т.е. 0   ,
что верно при любом   0 .
В этом примере  не зависит от  .
Геометрическая интерпретация определения 1 (1`).
Для графика y  f (x) утверждение lim f ( x)  b означает, что для всякой полосы
xa
 y  (b    y  b   ) найдётся полоса  x  (a    x  b   ) такая, что при x   x , x  a

(то есть x  U  (a) ) график y  f (x) будет принадлежать  y :
23
y
b
b
b 
a 
a
a 
x
Точка (a; b) может принадлежать (см. пример 1), а может и не принадлежать (см.
замечание 2 и пример 2) графику y  f (x) . При уменьшении  полоса  y сужается; но
каждый раз мы должны быть в состоянии так уменьшить  , что на участке (a   , a   ) \ {a}
график функции помещается внутри  y (в более сложных, чем в примере 2, случаях с
уменьшением  уменьшается и  ( ) ).
Определение 2. lim f ( x)  b ( b -число), если для всякого   0 существует такое K  K ( ) ,
x  
что как только x  U k ()  f ( x)  U  (b) .
На языке неравенств это означает (см. таблицу п.1, случаи 1,3):
Определение 2`. lim f ( x)  b    0 K  K ( ) : x  K | f ( x)  b |  .
x  
Геометрическая интерпретация определения 2 (2`).
Для графика y  f (x) утверждение lim f ( x)  b означает, что для всякой полосы
x  
 y  (b    y  b   ) найдётся K  K ( ) такое, что при x  K график функции y  f (x)
будет принадлежать  y .
y
b
b
b 
x
O
K
24
При уменьшении  полоса  y сужается; при этом K  K ( ) , вообще говоря, растёт с
уменьшением  .
Замечание 3. Отметим, что определение 2 аналогично определению предела
последовательности lim f n  A (см.2.1).
n 
Определение 3. lim f ( x)   (см. таблицу п.1,случаи 2,5)
xa
 K  0    ( K )  0 : 0 | x  a |   | f ( x) | K .
1
Пример 3. lim   .
x 0 x
Доказательство. Зададим K  0 . Ищем   0 такое, что при любом x , удовлетворяющем
1
неравенству 0 | x  0 |  , будет выполнено неравенство | f ( x) | K . Так как f ( x)  ,
x
1
1
1
последнее неравенство равносильно неравенству | |  K 
 K | x | .
x
| x|
K
1
1
1
 0; тогда 0 | x | 
Выберем в качестве искомого  число
 K , что и означает
K
K
|x|
| f ( x) | K .
1
1
Итак, при  
(а также при любом другом  таком, что 0    ) требуемое в
K
K

определении предела выполняется, так что
действительно является пределом функции
1
y  при x , стремящимся к 0.
x
1
График функции y  :
x
Для любого K  0    ( K )  0 такое, что 0  | x  0 |    |
функции y 
1
|  K , то есть график
x
1
лежит либо в полуплоскости y  K , либо в полуплоскости y  K при
x

любых x  U  (0) .


 1
 
 x
K
2
2
K
t
t
x x x 0.5   0.5
При увеличении K
   ( K )  0 , вообще говоря, уменьшается.
25
Определение 4. lim f ( x)   (см. таблицу п.1,случаи 3,4)
x  
 K M  M (K ) : x  M  f ( x)  K .
Геометрическая интерпретация определения 4.
M
K
f ( x)
K
t
x x M
Определение 5. Функция называется бесконечно большой при x , стремящемся к a ( a - число
или символ  ,   или  ), если lim f ( x)  
(в правой части этого равенства может
xa
быть   или   ).
Определения 4,5 – это определения бесконечно больших функций при x  a, x  
соответственно.
П.3. Односторонние пределы.
Определение 6. Число b называется пределом функции f (x) в точке a (при x , стремящимся
к a справа, если    0     ( )  0 : a  x  a   | f ( x)  b |  .
Обозначение: f (a  0)  lim f ( x)  b .
x a  0
Определение 7.
f (a  0)  lim f ( x)  b    0     ( )  0 : a    x  a | f ( x)  b |  .
x a 0
Если 
lim f ( x)  b , то 
xa
f (a  0) и 
f (a  0) , причём f (a  0)  f (a  0)  b .
Из существования обоих односторонних пределов f (a  0)  b1 и f (a  0)  b2
существование предела в точке a следует только при b1  b2 .
Таким образом, справедлива теорема:
Теорема 1(необходимое и достаточное условие существования конечного предела).
Для того, чтобы функция имела конечный предел при x , стремящемся к a , необходимо и
достаточно, чтобы в точке x  a существовали, были конечны и равны между собой оба
односторонних предела.
1
Пример 4. Для функции y  arctg
x
1

1 
y (0)  lim arctg   ,
y (0)  lim arctg  .
x  0
x  0
x
2
x 2
1
Так как y (0)  y (0) , не существует lim arctg .
x0
x
26

2
 1
atan

 x
 
 
2
  
 
 2 

2


2
2
x x x 0  0
Задание для самостоятельной работы.
Дайте оставшиеся 24-7=17 определений предела (см. определения 1-7) и приведите
геометрические интерпретации (эскизы графиков).
П.4. Единственность предела.
Теорема 2. Если функция имеет предел при x  a , то он единственен ( a может быть и
конечным числом, и символом  ,   или  ).
Доказательство. Для определённости предположим, что x   . Проведём доказательство
теоремы от противного. Предположим, что lim f ( x)  b1 и , с другой стороны,
x  
lim f ( x)  b2 , причём b1  b2 . Выберем непересекающиеся окрестности U  (b1 ) и
x  
точек b1 и
0
U
0
(b2 )
| b1  b2 |
) . Так как lim f ( x)  b1  для выбранного  0  0
x  
2
f ( x) U  (b1 ) . Так как lim f ( x)  b2  для того же
b2 (0   0 
K 1 : x  K 1

x  
0
 0  0 K 2 : x  K 2 
f ( x) U  (b2 ) .
0
Выберем K  max{ K1 , K 2 } . Тогда x  K
не может, так как
U
0
f ( x) U  (b1 ) и
0
f ( x) U  (b2 ) , чего быть
0
(b1 )  U  (b2 )   - пустое множество.
0
Вывод: при x   функция либо вовсе не имеет предела, либо имеет один предел. Для
x  , x  , x  a, x  a  0, x  a  0 теорема доказывается аналогично.
П.5.Связь между понятиями ограниченной функции и функции, имеющей
конечный предел.
Определение. Говорят, что утверждение  истинно при x  a , если оно истинно в
некоторой проколотой окрестности точки a .
Теорема 3. Если функция имеет конечный предел при x  a , то она ограничена при
x a.
Доказательство. Дано:  lim f ( x)  b . Предположим для определённости, что теперь a xa
число. Так как lim f ( x)  b -число ( a -тоже число), то по Определению 1 для   1
xa
  0  0 : 0  | x  a |  0 | f ( x)  b | 1. Для этого же  0  0
27
| f ( x) || ( f ( x)  b)  b || f ( x)  b |  | b | 1 | b | (первое неравенство следует из известного
числового неравенства |    ||  |  |  | , справедливого для всех чисел  ,  ).

Таким образом, существует проколотая окрестность U  0 (a) точки a , для всех точек
которой | f ( x) | 1 | b | , что и означает ограниченность функции f (x) в проколотой
окрестности точки a , то есть при x  a .
1
Теорема 4. Если lim g ( x)  b , причём b  0 , то функция
является ограниченной при
xa
g ( x)
x a.
0
|b|
|b|
 0. Тогда  0  0 : x  U  0 (a )  | g ( x)  b |
Доказательство. Возьмём  0 
. Но
2
2
| g ( x)  b | | b  g ( x) |  | b |  | g ( x) |
(последнее неравенство следует из числового
неравенства |    |  | |  |  |  | | )
0
|b|
|b| |b|
1
2
 | g ( x) |  | b | 
 x  U  0 (a )  | b |  | g ( x) | 
, а это и означает



2
2
2
| g ( x) | | b |
1
ограниченность функции
при x  a .
g ( x)
2.3. Бесконечно малые функции и их свойства.
Определение. Функция y  f (x) называется бесконечно малой при x  a, если lim f ( x)  0
xa
(здесь a  число или символ ,  ,   ) .
Определение. Последовательность { f n } называется бесконечно малой, если lim f n  0 .
n 
1
Примеры. 1. y  2 - б.м. (бесконечно малая) при x   .
x
2
2. y  ( x  2) - б.м. при x  2 .
1
3. y  2 x 2 - б.м. при x  2  0 .
Свойства бесконечно малых функций.
Свойство 1. Сумма двух б.м. при x  a функций есть функция, б.м. при x  a .
Доказательство. Пусть  ( x),  ( x) - б.м. при x  a . Надо доказать, что
f ( x)   ( x)   ( x) - б.м. при x  a .
Для определённости будем считать, что a - число. Тогда нам надо доказать, что
lim f ( x)  0
xa
(1)
0
(1)    0    ( )  0 : x  U  (a) (т.е. 0  | x  a |   )  | f ( x)   .
Возьмём произвольное   0 . Так как по условию lim  ( x)  0 , для
xa
1 

2
0
 0  1  0 : x  U 1 (a ) (т.е. 0  | x  a |  1 ) 
|  ( x) | 

2
(2)
28
Так как по условию lim  ( x)  0 , для  2   1 
xa
0 | x  a |   2 ) 
|  ( x) | 
Выберем   min (1 ,  2 )  0 . Тогда при

2
0
 0  2  0 : x  U  2 (a ) (т.е.

(3)
2
0 | x  a |  | f ( x) ||  ( x)   ( x) ||  ( x) |  |  ( x) |


 ,
ч.т.д.
2 2
Свойство 1`. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая функция.
Свойство 2. Произведение б.м. при x  a функций на функцию, ограниченную при
x  a , есть функция б.м. при x  a .
Доказательство. Для определённости пусть a   . Пусть  (x ) - б.м. при x   , g (x ) ограниченная при x   . Надо доказать, что f ( x)   ( x)  g ( x)  б.м. при x   , то есть
lim f ( x)  0 . Зададим   0 . Найдём K  K ( ) : x  K 

x  
| f ( x) | 
Так как g (x ) ограничена при x   , M  0 и K1 : x  K1 
| g ( x) | M
Так как lim  ( x)  0 , то для  1 
x  

M
(4)
(5)
 0  K 2 : x  K 2 
|  ( x ) |

M
(6)
Возьмём K  max{ K1 , K 2 }  (5) и (6) справедливы:

x  K | f ( x) ||  ( x)  g ( x) ||  ( x) |  | g ( x) |
M  ,
ч.т.д.
M
Следствие 1. Произведение двух б.м. функций есть б.м. функция ( так как б.м. имеет
конечный предел 0 при x  a , а, значит, по теореме 3,(см. 2.2 ) б.м. является ограниченной
при x  a , и её произведение на другую б.м. по доказанной теореме является б.м.).
Следствие 2. Произведение б.м. функции на число есть снова б.м. функция (т.к.
постоянное число C можно рассматривать как ограниченную функцию f ( x)  C ).
sin x
1
 0 , так как - б.м. при x   , а sin x - ограниченная при x   (т.к.
Пример. lim
x 
x
x
sin x 1
  sin x - б.м. функция.
| sin x | 1 при x  R , в частности и при x   ) 
x
x
Свойство 3. Частное от деления б.м. при x  a функции на функцию, имеющую при
x  a конечный и отличный от 0 предел, есть функция б.м. при x  a .
1
Доказательство. Пусть lim g ( x)  B  0 ( B -число) и  (x )  б.м. при x  a , тогда
xa
g ( x)
 ( x)
1
ограниченная при x  a по теореме 4 (см.2.2), а частное f ( x) 
- б.м. при
  ( x) 
g ( x)
g ( x)
x  a по свойству 2, ч.т.д.
2.4. Основные теоремы о пределах.
П.1. Связь существования конечного предела с б.м. функцией.
Теорема 1 (необходимое условие существования конечного предела)..
Если
29
lim f ( x)  B ,
(1)
f ( x)  B   ( x) ,
(2)
xa
где a - число или символ, b - число, то
где  (x ) - б.м. при x  a .
Доказательство. Пусть для определённости a - число. Обозначим
 ( x)  f ( x)  B .
(3)
0
(1)    0    ( )  0 :  x  U  (a) | f ( x)  B |  |  ( x) |    ( x) - б.м. при
x  a . Из (3)  f ( x)  B   ( x) , ч.т.д.
Теорема 2 (достаточное условие существования конечного предела).
Если f ( x)  B   ( x) , где B - число,  (x ) - б.м. при x  a ( a - число или символ), то
lim f ( x)  B .
xa
Доказательство. Пусть a - число. (2)   ( x)  f ( x)  B .  (x ) - б.м. при
0
 x  U  (a) |  ( x) |  | f ( x)  B |   lim f ( x)  B ,
x  a    0    ( )  0 :
xa
ч.т.д.
Объединение теорем 1,2 приводит к теореме 3:
Теорема 3 (необходимое и достаточное условие существования конечного предела).
Для того, чтобы функция имела конечный предел B (при x  a ), необходимо и
достаточно, чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы этого числа B и б.м.
(при x  a ).
П.2.Основные теоремы о пределах.
Свойства предельного перехода в равенствах (теоремы 4-7).
Теорема 4. Предел суммы двух функций существует и равен сумме пределов слагаемых
(при условии, что пределы слагаемых существуют и конечны).
Доказательство. Обозначим lim f ( x)  B и lim g ( x)  C (по условию B и C - числа). Так
xa
xa
f ( x)  B   ( x) , где  (x ) - б.м. при x  a . Так как
как lim f ( x)  B , то по теореме 1
xa
lim g ( x)  C , по теореме 1 g ( x)  C   ( x) , где  (x ) - б.м. при x  a . Следовательно,
xa
f ( x)  g ( x)  B   ( x)  C   ( x)  ( B  C )  ( ( x)   ( x))  по теореме 2
 lim ( f ( x)  g ( x))  B  C , то есть  lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) ,
xa
xa
x a
x a
ч.т.д.
Замечание 1. Как обычно, a - число или символ ,  ,   .
Замечание 2. Теорема верна для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 5. Предел произведения двух функций равен произведения пределов
сомножителей при условии, что пределы сомножителей конечны.
Доказательство. Обозначим lim f ( x)  B и lim g ( x)  C (по условию B и C - числа). Так
xa
xa
f ( x)  B   ( x) , где  (x ) - б.м. при x  a . Так как
как lim f ( x)  B , то по теореме 1
xa
lim g ( x)  C , по теореме 1 g ( x)  C   ( x) , где  (x ) - б.м. при x  a . Следовательно,
xa
f ( x)  g ( x)  ( B   ( x))  (C   ( x))  B  C  (C   ( x)  B   ( x)   ( x)   ( x))  B  C  б.м. при
lim ( f ( x)  g ( x))  B  C , то есть
x  a  (по теореме 2) 
x a

lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) , ч.т.д.
xa
x a
x a
Теорема 6. Предел частного двух функций равен частному пределов при условии, что
пределы числителя и знаменателя (делимого и делителя) конечны, а предел делителя не
равен 0.
30
Доказательство. Обозначим lim f ( x)  B и lim g ( x)  C  0 (по условию B и C - числа).
xa
xa
Так как lim f ( x)  B , то по теореме 1
xa
f ( x)  B   ( x) , где  (x ) - б.м. при x  a . Так как
lim g ( x)  C , по теореме 1 g ( x)  C   ( x) , где  (x ) - б.м. при x  a , а C  0 .
xa
Следовательно,
f ( x) B B   B C  B    C  C  B    B   C    B
 
 
 2
. Здесь
g ( x) C C   C
C2  C 
C C
  C    B - б.м. при x  a , а, обозначив  ( x)  C 2  C   ( x) , по теореме 2 имеем :
 C    B
- б.м. при x  a (по свойству 3 б.м.., см.2.3)  (по
 lim  ( x)  C 2  0 
xa
C2  C 
f ( x)
f ( x) lim
f ( x) B
 xa
теореме 2)  lim
, ч.т.д.
 , то есть lim
xa g ( x)
x a g ( x)
lim g ( x)
C
xa
Замечание 1. Теоремы о пределах функций справедливы и при a  ,  ,  , при
x  a  0 и x  a 0.
Замечание 2. В теоремах о пределах функций допускаются и бесконечные пределы там, где
это имеет смысл:
()  ()  ;
()  ()  ;
()  ()  ;
    ;
b     (b  0);
b
    0 (b  );
b 
 0    (b  0).
Теорема 7 (предел сложной функции).
Пусть дана сложная функция y   ( x), z  f ( y ) , т.е. z  f ( ( x)) . Пусть lim  ( x)  C ,
xa
0
lim f ( y)  B и x  U (a)
y C
y  C . Тогда  lim f ( ( x))  B (т.е. lim f ( ( x))  lim f ( y) xa
xa
yC
формула замены переменной).
Доказательство. Нужно доказать, что
0
  0    ( )  0 :  x  U  (a)  f ( ( x))  U  ( B) (т.е. | f ( ( x))  B |  ). Возьмём
произвольное   0 . Так как lim f ( y)  B , для взятого
y C
0
  0    ( )  0 : y  U  (C )  f ( y )  U  (B) . А так как lim  ( x)  C , для найденного
xa
0
0
  0    ( ( ))  0 : x  U  (a)  y   ( x)  U  (C ) (при достаточно малом
0
0
  0 y  C по условию)  x  U  (a)  y  U  (C )  f ( ( x))  U  (B) , ч.т.д.
Свойства предельного перехода в неравенствах (теоремы 8,9).
Теорема 8 (о “зажатой” функции).
Пусть функции y  f ( x), y   ( x),
0
окрестности U (a)
y  g ( x) определены в некоторой проколотой
0
( a - число) и пусть x  U (a)
f ( x)   ( x)  g ( x)
(4)
31
Пусть  конечные
lim f ( x)  B и
x a
Доказательство. Возьмём   0. Т.к.
0
1  0 : x  U 1 (a) 
Так как
lim  ( x)  B .
lim g ( x)  B . Тогда 
xa
x a
lim f ( x)  B ,
xa
f ( x)  U  ( B) 
b    f ( x)  b  
0
lim g ( x)  B ,  2  0 : x  U  2 (a) 
x a
(5)
g ( x)  U  (b) 
b    g ( x)  b  
(6)
Пусть   min{ 1 ,  2 }  0  (в силу (4),(5) и (6) ) b    f ( x)   ( x)  g ( x)  b   , т.е.
 ( x)  U  (b) , что и доказывает теорему.
Замечание. Теорема справедлива и при бесконечном a , а также при x  a  0 и x  a  0 .
Теорема 9. Если f ( x)  0 при x  a и  lim f ( x)  B , то B  0 .
xa
Доказательство. Пусть теперь a   и проведём доказательство от противного, то есть
B
lim f ( x)  B , для     0 K : x  K 
предположим, что B  0. Так как
x  
2
B
B
3B
B
 f ( x)   0 , т.е. в
| f ( x)  B |    B    f ( x)  B    B   f ( x)  B  
2
2
2
2
некоторой K - окрестности U K () точки (   ) функция f ( x)  0 , что противоречит
условию: f ( x)  0 при x   . Вывод: предположение B  0 неверно, значит, B  0 , ч.т.д.
lim h( x) и  lim g ( x) , то
Следствие. . Если h( x)  g ( x) при x  a и 
x a
lim h( x) 
x a
x a
lim g ( x) . Для доказательства введём функцию f ( x)  h( x)  g ( x)  0 при
x a
x  a  (по теореме 9)
lim f ( x)  0 
x a
lim h( x)  lim g ( x)  0 
x a
ч.т.д.
Замечание. Если h( x)  g ( x) при x  a , то всё равно
lim h( x) 
xa
lim h( x) 
x a
x a
lim g ( x) ,
x a
lim g ( x) (при условии
x a
1
1
1
  ( n   ). Но lim  0 и
n


n
n
n
1
 1
 1
lim     0 , что согласуется с неравенством lim  lim    ( 0  0 - верное неравенство).
n


n 
n


n
 n
 n
существования обоих пределов). Например,
2.5. Понятие о неопределённостях. Первый и второй замечательные
пределы.
П.1. Понятие о неопределённостях.
 
0  

 0  ,    , 1 ,
 0 , 0 0 . Для раскрытия неопределённостей надо использовать специальные приёмы
(преобразование выражения, стоящего под знаком предела так, чтобы можно было
применить теоремы о пределах).
Так называемые неопределённости – пределы вида [  ()], [0  ],
   
32
2n 2  3n  5   
    (разделим числитель и знаменатель на старшую из
n  3n 2  4n  7

3 5
2n 2  3n  5
2  2
2
n n  200  2 .
n
 lim
степеней n , т.е. на n 2 ) = lim
2
n  3n  4n  7
n 
4 7
300 3
3  2
2
n n
n
2
( x  6)  ( x  1)
x  5x  6  0 
Пример 2. lim 2
 (сокращение на ( x  1)  0 возможно:
    lim
x

1
x 1 x  9 x  8
( x  8)  ( x  1)
0
x  6 1 6
7

   1 .
при x  1 x  1)= lim
x 1 x  8
1 8
7
Пример 3. lim x  (  x  1  x )  [  [  ]]  (умножаем и делим на выражение,
Пример 1. lim
x 
сопряжённое
скобке)= lim
x  (  x  1 x)  (  x  1 x)
 lim
x
 
    (делим числитель
 x  1 x  
x  
 x  1 x
и знаменатель на старшую степень
x
1
1
1
x
 lim
x ) = lim
     .
 lim
x  
x  
x
1  x x
1
1 1 0
x
1 x





2
2
x
x
x2 x
x
 ( ( x) )
 (  x)
x 
П.2. Первый замечательный предел.
Теорема 1 ( I замечательный предел).
sin x
 1.
x 0
x
lim

Доказательство. Пусть сначала x  (0; ) ; построим в тригонометрическом круге радиусом
2
ˆ
R  1 угол x  AOB и в точке A проведём касательную к окружности до пересечения её с
прямой OB в точке C :
33
Y
C
B
x
O
A
X
По свойству площадей S OAB  S сектора OAB  S OAC . Так как S OAB 
1
  | OA |  | OB |  sin x 
2
1
S OAC   | OA |  | AC |
2
1 2
sin x
1
x
 R  sin x 
(поскольку R  1 ), S сектора OAB   R 2  x 
и
2
2
2
2
tg x
sin x x tg x
 
, то неравенство для площадей принимает вид
2
2
2
2

sin x  x  tg x
(1)
Разделим все части последнего неравенства на sin x  0 :
x
1
sin x
1

 cos x 
1
(2)
sin x cos x
x
  
Так как все функции в этой формуле чётные, то неравенство справедливо и для x    ; 0  .
 2 
Теперь докажем, что lim cos x  1 , т.е.
x 0
   0    ( )  0 : x, | x |    | cos x  1 |   2 sin 2
x
  . Так как
2
x
x
|x|
|x|
  
 2 | sin | (из-за x    ,  )  2 | sin
| 2 
(ввиду (1)) | x | , то достаточно,
2
2
2
2
 2 2
чтобы меньше  была последняя величина | x | , значит, в качестве  годится любое число из
полуинтервала (0;  ] . Кроме того, lim 1  1 . Тогда по теореме 8 о “зажатой” функции (см.
2  sin 2
x0
sin x
 1 , ч.т.д.
x 0
x
раздел 2.4), переходя в (2) к пределу при x  0 , получаем lim
Примеры.
tg x  0 
sin x
sin x
1
 lim
 lim
 1 1  1 .
    lim
1. lim
x

0
x

0
x

0
x 0 x
x  cos x
x
cos x
0
34
2
1  cos x  0 
    lim
x 0
x2
 0  x 0
2  sin 2
2. lim
x2
x
x

sin 

2  1  lim 
2  1  1.
2 x 0  x 
2 1 2


 2 
П.3. Число e .
Теорема 2 ( II замечательный предел для последовательностей).
n
 1
Последовательность x n  1   является монотонно возрастающей и ограниченной, а,
 n
следовательно, имеет конечный предел, который называется числом e :
n
 1
e  lim 1  
n 
 n
Доказательство этой теоремы см., например, в 15.4 ,[2]
Число e - иррациональное и e  2,71828.
def
(3)
П.4. Второй замечательный предел.
Теорема 3 (II замечательный предел для функций).
x
 1
lim 1    e
x 
x

(4)
Доказательство.
1. Пусть x   . Если n  [x] - целая часть x , то
1
1 1
1
1
1
   1
 1  1 
n  x  n 1 
n 1 x n
n 1
x
n
n
x
1 

 1
 1
1 
  1    1  
x
 n 1

 n
Если x   , то n   . Но по теореме 2 (равенство (3))
n
1 
1 


lim 1 
 lim 1 


n 
n 
 n 1
 n 1
n 1
n 1
n 1
(5)
1 

: lim 1 
  e :1  e ,
n 
 n 1
n
 1
 1
 1
lim 1   : lim 1    lim 1    e  1  e
n 
n


n


 n
 n
 n
 по теореме 8 о “зажатой функции” (см.УЭ4) из (5)  
x
 1
lim 1    e
x  
x

2. Пусть теперь x   . В соответствии с теоремой 7,УЭ4 сделаем замену переменной
y  x :
 1
 1
lim 1    lim 1  
x  
y  
x
y


 e 1  e 
x
y
 y 1

 lim 
y  
 y 
y
y
 y 

1 
  lim 1 

 lim 
y   y  1
y  
y  1 



y 1
(6)

1 

 1 
y  1 

x
 1
lim 1    e
(7)
x  
x

Из равенств (6) и (7) вытекает равенство (4)..
1
Если в равенстве (4) сделать замену   (   0 при x   ), то оно запишется в виде
x
lim 1     e
1
 0
(8)
35
Равенства (4) и (8) называются вторым замечательным пределом. Они широко
используются при раскрытии неопределённости [1 ] .
Примеры.
3 
 x  2


1. lim 
  [1 ] =(выделим целую часть дроби)= lim 1 
 
x  x  1
x  
x 1



x
x
3x
x 1 x 1


3
3
3
x 1 1



; тогда
 , и при x   будет   0 )
lim 1 
   (примем  
x  
x 1
3

x 1 



3x
3x
lim
3x
3
 
    lim
= lim e x 1  e x   x 1  e 3 , т.к. lim
 3.
x   x  1
x 
   x 1  1
x
Замечание. Перестановка символа предела и функции в предпоследнем из равенств (9)
возможно в силу непрерывности экспоненциальной функции y  e x  exp( x) (см.УЭ3,
подмодуль 3).
1
ln( 1  x)  0 
1
    lim  ln( 1  x)  lim ln( 1  x) x  (в силу
2. lim
x 0
x 0
x
 0  x 0 x
1
x
замечания)= ln lim (1  x)  ln e  1 (обозначение log e b  ln b - натуральный логарифм b ).
x 0
2.6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные
бесконечно малые.
Скорости стремления бесконечно малых к нулю можно сравнивать, рассматривая их
отношения.
Определение. Пусть  (x ) и  (x) - две б.м. при x  a ( a - число, или ,  ,   ).
 ( x)
1) Если lim
 B  0, B   , то  (x ) и  (x) - б.м. функции одного и того же порядка.
x a  ( x)
Обозначение:   O (  ) (читается “О большое от  (при x  a )”).
 ( x)
1`) Если lim
 1 , то  (x ) и  (x) называются эквивалентными б.м. функциями при
x a  ( x)
x  a :  ( x) ~  ( x) ( x  a) . Говорят, что эквивалентные б.м. функции стремятся к нулю с
одинаковой скоростью.
 ( x)
2) Если lim
 0 , то  (x ) называется б.м. более высокого порядка, чем  (x) , и
xa  ( x)
обозначается  ( x)  o(  ( x)) ( x  a) (читается:”o малое от  (x) при x  a" ). В этом
случае б.м. функция  стремится к нулю быстрее, чем  .
 ( x)
3) Если lim
  , то  (x ) называется б.м. более низкого порядка, чем  (x) (при
xa  ( x)
x  a )    o( ) ( x  a) .
 ( x)
4) Если lim
не существует, то б.м.  (x ) и  (x) называются несравнимыми при x  a .
x a  ( x)
Примеры.
sin x
 1.
1. sin x ~ x ( x  0), т.к. lim
x 0
x
2. Сравнить б.м. ( x  3) и ( x 2  9) при x  3 :
36
x3
1
1
 lim
 , значит, ( x  3) и ( x 2  9) - б.м. функции одного порядка, но не
2
x

3
x3 6
x 9
эквивалентны.
x2
3. x 2  o( x) при x  0, т.к. lim
 0  x 2 более высокого порядка, чем x .
x 0 x
4. x m  o( x n ) при m  n  0, x  0 .
1
sin x
1
 ( x)
 lim
5.  ( x )  ,  ( x) 
- б.м. при x   , lim
не существует. Вывод:
x  sin x
x a  ( x)
x
x
 (x ) и  (x) - несравнимые функции.
Теорема 1. Пусть  ,1 ,  , 1  б.м. функции при x  a . Если  ~ 1 ,  ~ 1 при x  a и
lim
x 3

1


, то  lim
, причём lim  lim 1 .
x a 
xa 
xa 
x a 
1
1


 1 (см. определение 1`). Но
 1 и lim
Доказательство. По условию lim
xa 
x a 
1
1
 lim
   



 lim   1  1   (по теореме о пределе произведения)= 1  lim 1  1  lim 1 , ч.т.д.
xa 
x a 
x a 
x a 
1
1
 1 1  
lim
Теорема позволяет заменять в отношениях б.м. функции на более простые эквивалентные.
Таблица 1 эквивалентных бесконечно малых (при x  0 ).
1) sin x ~ x
2) arcsin x ~ x
3) tg x ~ x
4) arctg x ~ x
5) 1  cos x ~
x2
2
6) e x  1 ~ x
7) a x  1 ~ x  ln a
8) ln( 1  x) ~ x
x
ln a
m
10) (1  x)  1 ~ mx
Теорема 2 (признак эквивалентности бесконечно малых функций).
Для того, чтобы две б.м. функции были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их
разность была более высокого порядка , чем каждая из них.
Доказательство. Пусть  (x ) и  (x) - б.м. функции при x  a . Надо доказать:
 ( x) ~  ( x) ( x  a)   ( x)   ( x)   ( x)  o( ( x)),  ( x)  o(  ( x)) ( x  a) .
9) log a (1  x) ~
  ( x) 
 ( x)   ( x)
 ( x)
 lim 1 
 lim
  1 1  0 ,
xa
x a
xa  ( x)
 ( x)
  ( x) 
1) Пусть  ( x) ~  ( x) ( x  a) . Тогда lim
т.е.   o( ) . Аналогично   o(  ) .
2) Пусть теперь дано, что  ( x)   ( x)   ( x)  o( ( x)),  ( x)  o(  ( x)) ( x  a) . Тогда
  ( x) 
 ( x)   ( x)  0 
 ( x)
 1  0  1  1 , то есть  ~  при x  a .
    lim 
 lim
x a
xa  ( x)
 ( x)
 0  x a   ( x) 
lim
Теорема 2 доказана.
Следствие. Сумма двух или нескольких б.м. функций разных порядков эквивалентна б.м.
слагаемому низшего порядка по сравнению с остальными.
37
arctg ( x 3 )  (e x  1)
x3  x2
x2
1
Пример. lim

lim

lim
 .
4
2
2
x 0 (1  cos 2 x )  sin x
x 0 ( 2 x )
x 0 2 x
2
 x4
2
Пусть  (x )  б.м. при x  a . Используя таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых и
теорему 2, можно составить следующую таблицу .
Таблица 2.
Эквивалентности при x  a
Равенство при x  a
sin  ( x)   ( x)  o( ( x))
1. sin  ( x) ~  ( x)
tg  ( x)   ( x)  o( ( x))
2. tg  ( x) ~  ( x)
arcsin  ( x)   ( x)  o( ( x))
3. arcsin  ( x) ~  ( x)
arctg ( x)   ( x)  o( ( x))
4. arctg ( x) ~  ( x)
2
5. 1  cos  ( x) ~
 ( x) 2
2
 ( x)
6. e
 1 ~  ( x)
 ( x)
7. b
 1 ~  ( x)  ln b
8. ln( 1   ( x)) ~  ( x)
 ( x)
9. log b (1   ( x)) ~
ln b
m
10. (1   ( x))  1 ~ m   ( x)
1  cos  ( x) 
 ( x) 2
 o( ( x) 2 )
2
e
 1   ( x)  o( ( x))
 ( x)
b
 1   ( x)  ln b  o( ( x))
ln( 1   ( x))   ( x)  o( ( x))
 ( x)
 o( ( x))
log b (1   ( x)) 
ln b
(1   ( x)) m  1  m   ( x)  o( ( x))
 ( x)
2.7. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми
функциями. Сравнение бесконечно больших функций.
Определение. Функция y  f (x) называется бесконечно большой (б.б.) при x  a, если
lim f ( x)  .
xa
Пусть a   .
Определение (на языке неравенств). f (x) - б.б. функция при x   , если
 M  0  K  K ( M ) : x  K | f ( x) |  M .
Если lim f ( x)   , то f (x)  положительная б.б. функция, а если lim f ( x)   , то
xa
xa
f (x ) - отрицательная б.б. функция.
Теорема 1 (связь б.б. и б.м. функций).
1
- б.м. функция при x  a .
f ( x)
1
2) Если  (x ) - б.м. при x  a , не обращающаяся в 0 при x  a , то
- б.б. при x  a .
 ( x)
1
Доказательство. Пусть lim f ( x)  . Надо доказать, что lim
 0.
xa
x a f ( x)
Пусть для определённости a будет числом. Зададим   0 . Ищем    ( )  0 такое, что
1) Если f (x) - б.б. функция при x  a , то
1
1
   | f ( x) |  . Так как по условию lim f ( x)   , для
xa

f ( x)
1
1
M   0    ( M )  0 : x : 0  | x  a |  | f ( x) | . Искомое  найдено.


2-я часть теоремы доказывается аналогично.
Свойства бесконечно больших функций.
1) Сумма б.б. функции и ограниченной функции есть б.б. функция.
для x : 0  | x  a |   
38
2) Сумма двух б.б. функций одного знака будет б.б. функцией того же знака .
3) Если f (x)  б.б. при x  a , lim g ( x)  A  0 , то f ( x)  g ( x) - б.б. функция при x  a .
xa
Примеры.
1. x n (n  0) - б.б. при x   .
1
2.
- б.б. при x  0 .
x
3. 2 x -б.б. при x   .
1
x
4. 2  б.б. при x  0 .
Сравнение бесконечно больших функций.
Определение. Пусть f ( x), g ( x) - б.б. функции при x  a .
f ( x)
1) Если lim
 B  0 , B   , то f (x) и g (x ) называются б.б. одного порядка.
x a g ( x)
f ( x)
1`) Если lim
 1 , то f (x) и g (x ) - эквивалентные б.б. функции: f ( x) ~ g ( x) при x  a .
x a g ( x)
f ( x)
2) Если lim
  , то f (x) - б.б. функция более высокого порядка, чем g (x ) .
xa g ( x)
f ( x)
3) Если lim
 0 , то f (x) - б.б. функция более низкого порядка, чем g (x ) .
xa g ( x)
f ( x)
4) Если lim
не существует, то f (x) и g (x ) называются несравнимыми б.б.
xa g ( x)
функциями.
Имеют место теоремы 2, 3, аналогичные теоремам 1 и 2 из предыдущего раздела 2.6.
Теорема 2. Предел отношения двух б.б. функций равен пределу отношения эквивалентных
им функций.
Теорема 3. Для того, чтобы две б.б. функции были эквивалентны, необходимо и
достаточно, чтобы их разность была б.б. более низкого порядка, чем каждая из них.
Доказательство.1) Пусть f (x) и g (x ) - б.б. при x  a функции и  ( x)  f ( x)  g ( x) .Если
 ( x)
 g ( x) 
f ( x)  g ( x)     
 lim 1 
 1  1  0 , т.е.  (x ) 

x a
xa f ( x)
f ( x) 
f ( x)
   x a 
б.б. более низкого порядка, чем f (x) .
 ( x)
 ( x)
2) Пусть lim
 0. Тогда
 0, lim
x a g ( x)
xa f ( x)
 g ( x)  ( x) 
g ( x)   ( x)
f ( x)
  1  0  1  f ( x) ~ g ( x) при x  a .

= lim
 lim 
lim
x a g ( x)
x a
xa g ( x)
g ( x)) 
g ( x)

Следствие (из теоремы 2).
Сумма двух или нескольких б.б. разных порядков эквивалентна б.б. слагаемому
наивысшего порядка по сравнению с другими.
Примеры.
1) Б.б. a 0  x n  a1  x n 1    a n 1  x ~ a 0  x n , если x   и a0  0 , но
f ( x) ~ g ( x) , то lim
 lim
2) б.м. a 0  x n  a1  x n 1    a n 1  x ~ a n 1  x , если x  0 и a n 1  0 .
3) Б.б.
x x ~
4) б.м.
x x ~
x при x   , но
4
x при x  0 .
39
Литература. [2. с.127-153]; [3. с.30-51, 56-58];
[4. с.34-122]; [5. с.69-84];
[6. с.91-102].
Часть 3. Непрерывность функции.
Опорный конспект №3.
3.1. Определение непрерывности.
0.1.
f (x ) непрерывна в точке x0  1) f (x ) определена в точке x 0 и её окрестности;
2) lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
0.2.
2`) lim y  0, где y  f ( x0  x)  f ( x0 )
В 0.1. вместо 2) можно использовать
x 0
- приращение f (x) в точке x 0 .
y
f ( x0 )
y
f (x )
0
y  f (x)
x  x0  x
x0
x
x
3.2. Классификация точек разрыва.
Точки разрыва (т.р.) - точки, в которых не выполняются условия непрерывности.
lim f ( x)  f ( x0  0) - предел слева, по значениям x  x0 ;
x x0 0
lim f ( x)  f ( x0  0) - предел справа, по значениям x  x0 .
x  x0  0
x  x0
x0
x  x0
Классификация точек разрыва:
1) устранимая т.р.: f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 );
2) точка скачка: f ( x0  0)  f ( x0  0), причём f ( x0  0) и f ( x0  0) конечны;
Устранимые т.р. и точки скачка называются точками разрыва 1-го рода.
3) т.р. 2-го рода – остальные т.р.
40
y
y
y
2)
1)
3)
x
x0
x
x0
x0
3.3. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. f ( x), g ( x) непрерывны в точке x0  f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x) и
f ( x)
(при
g ( x)
g ( x0 )  0) также непрерывны в точке x 0 .
Теорема 2. y   (x) непрерывна в точке x 0 , z  f ( y 0 ) непрерывна в точке y0   ( x0 ) 
z  f ( ( x)) непрерывна в точке x 0 .
Теорема 3. y  f (x) монотонна и непрерывна на (a, b)  обратная ей функция
x и непрерывна на соответствующем интервале ( f (a ), f (b))
x  g ( y ) тоже монотонна
(или на ( f (b), f (a )) ).
Теорема 4. Элементарные функции непрерывны в своих областях определения.
3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод бисекции.
C[ a ,b ] обозначает множество функций, непрерывных на отрезке; m - наименьшее, M -
наибольшее значения f (x) на [a, b]  m  f ( x)  M , x  [a, b] .
Свойство 1. f (x)  C[ a ,b ]  f (x) ограничена на [a, b]  K  0 : x  [a, b] | f ( x) | K .
Свойство 2. f (x)  C[ a ,b ]  x1 , x2  [a, b] :
f ( x1 )  M ,
Свойство 3. f (x)  C[ a ,b ] , f (a)  f (b)  0   c  (a, b) :
f ( x2 )  m .
f (c )  0 .
Свойство 4. f (x)  C[ a ,b ] , f (a)  f (b)  h между f (a ) и f (b)  c  (a, b) :
Свойство 2
Свойство 3
f (c )  h .
Свойство 4
y
M
y
m
f (b )
f (b )
y
h
f (a )
a
b
c
x
b
x
x
a
c
b
f (a )
Метод “половинного деления”.
41
y
f (b)  0
a
x1
x
ab
2
x
b
f (a)  0
a1  a, b1  x;
a b
x1  1 1 ;
2
a2  x1 , b2  b1  x;
a  b2
и т.д.
x2  2
2
3.1. Определение непрерывности.
Определение 1. Функция y  f (x) называется непрерывной в точке
x 0 , если выполняются
условия:
1) y  f (x) определена в точке x 0 и некоторой её окрестности;
2)  конечный lim f ( x) ;
x x0
3)
lim f ( x) = f ( x0 ) .
x x0
Расшифруем условие 3):
   0    ( )  0 : x, | x  x0 |   | f ( x)  f ( x0 ) | 
(по сравнению с определением предела функции здесь опущено условие x  x0 , так как при
x  x 0 последнее неравенство | f ( x)  f ( x0 ) |  заведомо верно при x  x0 ) .
Замечание. Так как
lim x  x0 , условие 3) Определения 1 можно переписать в виде
x x0
lim f ( x)  f ( lim x) ,
x x0
x x0
(1)
т.е. для непрерывной функции знаки предела и функции можно менять местами.
Геометрический смысл непрерывности.
Если функция y  f (x) непрерывна в точке x 0 , то график функции y  f (x) при x ,
близких к x 0 , близок к точке ( x0 , f ( x0 )) .
42
y
f ( x0 )
x
0
x0
y=f(x)
Второе определение непрерывной функции опирается на понятия приращения аргумента и
приращения функции. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой окрестности
U ( x0 ) точки x 0 . Для любого x  U ( x0 ) разность x  x0 называется приращением аргумента в
точке x 0 и обозначается x : x  x  x0  x  x0  x . При этом x может быть как
положительным, так и отрицательным.
Разность соответствующих значений функции y  f ( x)  f ( x0 )  y( x)  y( x0 ) называется
приращением функции в точке x 0 (соответствующим приращению аргумента x ).  y
также может быть как положительным, так и отрицательным.
y
f ( x0 )
y
f (x )
y  f (x)
0
x  x0  x
x0
x
x
Отметим, что на этом рисунке x  x  x0  0 , а y  f ( x)  f ( x0 )  0 .
Так как x  x0  x  0 , условие 3) в определении 1 равносильно условию
lim ( f ( x)  f ( x )  0  lim ( f ( x0  x)  f ( x0 ))  0 
x x0
x 0
lim y  0
x  0
(2)
43
Получаем второе определение непрерывности функции в точке, равносильное определению
1:
Определение 2. Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если:
1) y  f (x) определена в точке x 0 и некоторой её окрестности;
lim y  0 .
2)
x  0
Кратко:
Определение 2`. Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
3.2. Классификация точек разрыва.
Определение 1. Точка x 0 называется точкой разрыва функции y  f (x) , если:
1) либо x0  D( f );
2) либо не существует конечный предел lim f ( x) ;
x x0
3) либо
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
Определение 2. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода функции y  f (x) , если в этой
точке существуют и конечны оба односторонних предела
lim f ( x)  f ( x0  0) и
x x0 0
lim f ( x)  f ( x0  0) , но:
x  x0  0
f ( x0  0)  f ( x0  0) ,
1) либо
f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 ) .
2) либо
При этом в случае 1) x 0 называется точкой скачка, а в случае 2) x 0 называется точкой
устранимого разрыва.
Замечание. В точке устранимого разрыва либо функция не определена, либо
f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 ) . Если положить
f ( x0 )  f ( x0  0)  f ( x0  0) (т.е.
f ( x0 )  lim f ( x) ), то функция станет непрерывной в точке x 0 , т.е. разрыв можно
x x0
устранить, изменив значение функции в одной точке.
Определение 3. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из
односторонних пределов функции равен бесконечности или не существует.
Примеры.
1) y ( x)  [ x] - целая часть x .
44
y
4
3
2
1
-5 -4
-3
0 1 2
-1
-1
-2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
Функция имеет разрывы первого рода (скачки) во всех целых точках. В каждой точке
разрыва “скачок” функции y (n  0)  y (n  0)  1 (n  Z ).
sin x
2) y ( x) 
x
x0  0 - точка разрыва, так как функция не определена при x  0 . Это – устранимый разрыв
sin x
 1:
I рода, так как  lim
x 0
x
1
y ( x)
1
10
0
10
x 0
 sin x

, x0
Заметим, что функция y ( x)   x
 1, x  0
частности, и в точке x0  0 , т.к. lim y ( x)  lim
x 0
x 0
является непрерывной при всех x  R , в
sin x
 1  y (0) .
x
1
.
x
x0  0 - точка разрыва II рода, т.к. lim y ( x)   , lim y ( x)   .
3) y ( x) 
x  0
x  0
45
y ( x)
x
1
4) y ( x)  sin
x
x0  0 - точка разрыва II рода, т.к. lim sin
x 0
1
не существует:
x
1
y ( x)
0.5
0
0.5
1
x
3.3. Основные теоремы о непрерывных функциях.
П.1. Свойства функций, непрерывных в точке.
Теорема 1. Если функции y  f (x) и y  g (x) непрерывнц в точке x 0 , то в этой точке
f ( x)
также непрерывны и функции y  f ( x)  g ( x), y  f ( x)  g ( x), y 
(последнее при
g ( x)
условии, что g ( x0 )  0 ).
Доказательство. Поскольку все эти утверждения доказываются одинаково, то докажем,
например, только последнее утверждение. Пусть функции f (x) и g (x ) непрерывны в точке
x 0 (в некоторой окрестности которой они определены в силу условия 1) определения 1
непрерывности функции в точке).
1) Так как
lim g ( x)  g ( x0 )  0 , то при x  x0 g ( x)  g ( x0 )   ( x) , где  (x ) - б.м. при
x x0 0
x  x0  при x , достаточно близких к x 0 , g ( x)  0 
f ( x)
определена в точке x 0 и
g ( x)
некоторой её окрестности.
lim f ( x) f ( x )
f ( x)
f ( x ) x  x0
0



2) По теореме 6 раздела 2.4 о пределе частного  lim
x  x0 g ( x )
lim g ( x) g ( x0 ) g ( x)
x  x0
.
x  x0
Теорема 2(о суперпозиции непрерывных функций).
Пусть z  f ( ( x)) - сложная функция. Пусть функция y   (x) непрерывна в точке x 0 , а
функция z  f ( y ) непрерывна в точке y0   ( x0 )  сложная функция
z  f ( ( x)) непрерывна в точке x 0 .
Доказательство. Используем теорему 7 раздела 2.4
( lim  ( x)   ( x0 )  y0 , lim f ( y)  f ( y0 ) , здесь  ( x)   ( x0 ) допустимо). Имеем:
x  x0
y  y0
46
lim f ( ( x)) 
x  x0
lim f ( y)  f ( y0 )  f ( y0 )  f ( ( x0 ))  f ( ( x)) x  x , что и означает
y  y0
0
непрерывность сложной функции z  f ( ( x)) в точке x 0 .
Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в
каждой точке этого множества.
Теорема 3(свойство непрерывной и монотонной функции).
Пусть функция y  f (x) монотонна и непрерывна на некотором интервале (a, b) . Тогда
существует обратная ей функция x  g ( y ) , тоже монотонная и непрерывная на интервале
( f (a); f (b) ) (или ( f (b); f (a )) , если функция y  f (x) убывает).
Геометрическая иллюстрация теоремы.
Графики функций y  f (x) и x  g ( y ) совпадают (см. также п.1 раздела 1.2):
y
f(b)
f (a )
x
b
a
Замечание. Встречается обозначение x  f
1
( y ) для функции x  g ( y ) , обратной к
1
функции y  f (x) . Его надо отличать от ( f ( y )) 1 
, что имеет другой смысл.
f ( y)
П.2. Непрерывность элементарных функций.
Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна во всех точках, где она определена.
Доказательство. Так как любая элементарная функция получается из основных
элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и
суперпозиций, из теорем 1 и 2 следует, что достаточно доказать этот факт для основных
элементарных функций.
Проверим это только для некоторых из них, используя определение 2 непрерывной
функции.
lim y  lim 0  0 .
1) y  C :
x  0
2) y  x :
x  0
lim y  lim x  0 .
x  0
x 0
3) y  sin x :
x  x0
x  x0
| x |
x
| x |
| x |
 2 sin
 2
 cos
 2  sin
2
2
2
2
2
 
0 | y || x | (здесь использовано то, что x   0;  sin x  x ).
 2
| y || sin x  sin x0 | 2  sin
47
  
4) Непрерывность функции y  arcsin x ( D( y )  [1;1], E ( y )   ;  ) следует из
 2 2
  
теоремы 3, применённой к непрерывной и монотонной на  ,  функции y  sin x . И
 2 2
далее аналогично предыдущим примерам.
3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод бисекции.
Определение. Функция y  f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b] , если она
непрерывна в каждой точке интервала (a, b) и в точке x  a непрерывна справа
( lim f ( x)  f (a) ), а в точке x  b непрерывна слева ( lim f ( x)  f (b) ).
x b  0
xa  0
Обозначим множество функций, непрерывных на [a, b] , через C[ a ,b ] . Перечислим без
доказательства свойства функций, непрерывных на отрезке.
Свойство 1. Если функция f (x)  C[ a ,b ] , то она ограничена на этом отрезке (т.е.
 K  0 : x  [a, b] | f ( x) | K ).
Свойство 2. Если функция f (x)  C[ a ,b ] , то она достигает на этом отрезке своего
наибольшего M и наименьшего m значений, т.е. x1  [a, b] : f ( x1 )  M и
x2  [a, b] : f ( x2 )  m , причём x  [a, b]  m  f ( x)  M .
Геометрическая иллюстрация свойства 2:
y
M
m
a  x2
x1
b
x
Свойство 3. Если f (x)  C[ a ,b ] и на концах [a, b] принимает значения разных знаков
( f (a )  f (b)  0) , то  точка c  (a, b) , в которой f (c)  0 .
48
y
f (a )
f (a )  f (b)  0
b
x
a
c
f (b )
Геометрически ясно, что график непрерывной функции , являющийся непрерывной линией,
должен хотя бы раз пересечь ось Ox .
Свойство 4. Если f (x)  C[ a ,b ] , f (a)  f (b) , то для любого числа h между f (a ) и f (b )
найдётся точка c  (a, b) , в которой f (c)  h .
y
f (b )
h
f (a )
a
c
b
x
Таким образом, непрерывная функция на [a, b] принимает все свои промежуточные
значения.
49
Задача. Единственный действительный корень уравнения x 3  x 2  x  1  0 принадлежит
интервалу …
3
1

3

1


1)  ; 2 ;
2) 1;
3)  ; 1;
4)  0;
;
.
2
2

2

2


Решение. Правильным ответом является ответ 3). Действительно, пусть
f (x)  x 3  x 2  x  1 . Эта функция всюду непрерывна. Так как
3
2
1
1 1 1 1
1 1 1
f              1    0 , а f (1)  13  12  1  1  2  0 , то по
8
2 8 4 2
2 2 2
1

свойству 3  точка c   ; 1 , в которой f (c)  0 . Так как данное уравнение имеет
2

единственный корень (это следует из монотонности f (x) : поскольку
f `( x)  3x 2  2 x  1  0 x  R  f (x) возрастает на (,  ) ), то ответы 1), 2), 4)
неверны.
Метод бисекции (“половинного деления”).
Этот метод основан на свойстве 3 непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) и
используется для решения уравнения f ( x)  0 , где f (a)  f (b)  0 .
Алгоритм метода “половинного деления”.
Шаг 1. Вычисляем A  f (a ) и B  f (b) (по условию A  B  0   c  (a, b) : f (c)  0 ).
ab
Шаг 2. Вычисляем x 
.
2
Шаг 3. Вычисляем y  f (x) . Если f ( x)  0 , то x - корень уравнения.
Шаг 4. При y  f ( x)  0 , если y  A  0 , то полагаем b1  x, a1  a , иначе полагаем
a1  x, b1  b .
Шаг 5. Если b  a   (  заданная точность нахождения корня) то задача решена. В
ab
качестве искомого корня (с заданной точностью  ) принимается величина x 
. Иначе
2
процесс деления отрезка [a, b] пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2 и
a b
полагая x1  1 1 .
2
Литература: [2, с.153-161],
[3, с.51-56];
[6. с.103-109].
Список литературы.
1. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики.-М.:
Высшая школа, 1978, т.1.
2. Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс.- М.:
Айрис Пресс, 2008.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.: Интеграл-пресс,
2002, т.1.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальной и интегральное исчисление.-М.:
Наука, 1984.
5. Шипачёв В.С. Высшая математика.-:Высшая школа, 2003.
6. Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н.
Математика.-М.: Инфра – М., 2009.
7. Стойлова Л.П. Математика.-М.: Издательский центр “Академия”, 2007.
8. Данилов В.Г., Дубнов В.Л., Лакерник А.Л., Райцин А.М. Дискретная математикп.
Учебное пособие для вузов.-М.: Горячая линия – Телеком, 2008.
50
9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления..Физматлит, 2001, т.1.
51