Интегрирование простейших рациональных дробей

Математический анализ
Раздел: Неопределенный интеграл
Тема: Интегрирование простейших
рациональных
дробей
Лектор Ефремова О.Н.
2012 г.
§ 3. Рациональные дроби
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется отношеPm ( x)
ние 2-х многочленов, т.е. функция вида
,
Pn ( x)
где Pm(x), Pn(x) – многочлены степени m и n соответственно.
Если m < n, то рациональная дробь называется правильной.
В противном случае (т.е. если m  n) дробь называется
неправильной.
Неправильная рациональная дробь представима в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби:
Pm ( x)
Pr ( x)
 Q( x) 
,
Pn ( x)
Pn ( x)
где Q(x) – некоторый многочлен степени m – n,
Pr(x) – многочлен степени r < n.
(многочлены Q(x) и Pr(x) получаются в результате деления с
остатком Pm(x) на Pn(x) )
Интегрирование простейших
рациональных дробей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Простейшими рациональными дробями I,
II, III типа называются соответственно правильные дроби
вида
A
A
Ax  B
,
,
,
x  a ( x  a)
x  bx  c
где D = b2 – 4c < 0 , m – натуральное число (m > 1).
m
2
1) Интегрирование простейших дробей I типа:
dx
d ( x  a)
A
 x  a dx  A x  a  A x  a  A ln x  a  C .
2) Интегрирование простейших дробей II типа:
A
( x  a)  m 1
d ( x  a)
 ( x  a) m dx  A ( x  a) m  A  m  1  C .
3) Интегрирование простейших дробей III типа:
Ax  B
dx
2
x  bx  c
D  b 2  4c  0

а) Выделим полный квадрат в знаменателе:
2
2
2
2

b
b
b
b
b


2
 c,
c x   
( x 2  bx )  c   x  2  x    
2
4
2 4  4


b2
 b 2  4c
D
 c 
   0,
4
4
4
2

b

2
x  bx  c   x    q 2 .
2

b
б) Сделаем замену: t  x  .
2
В результате интеграл будет приведен к виду
At  M
 t 2  q 2 dt .
в) Представим получившийся интеграл в виде суммы 2-х
интегралов:
At  M
At
M
 t 2  q 2 dt   t 2  q 2 dt   t 2  q 2 dt .
В первом – внесем под знак дифференциала знаменатель,
At
t
d (t 2  q 2 ) A d (t 2  q 2 )
 t 2  q 2 dt  A t 2  q 2  2t  2  t 2  q2 
A
 ln( t 2  q 2 )  C ;
2
Второй интеграл – табличный:
M
t
M
arctg  C .
dt 
2
2
q
q
t q

г) Вернемся к исходной переменной x .