Пример 6

Неопределённый интеграл.
Дробно-рациональная функция.
Pm ( x )
• Функция вида
называется дробно-рациональной
Qn ( x )
функцией или рациональной дробью.
Pm (x) - многочлен степени m.
Qn (x) - многочлен степени n.
Если m < n, то дробь правильная,
если m  n, то дробь неправильная.
P( x)
Всякую неправильную рациональную дробь
Q( x)
можно, путем деления числителя на знаменатель,
представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной
R( x)
рациональной дроби
, т.е.
Q( x)
P( x)
R( x)
 L( x) 
Q( x)
Q( x)
целая часть при делении
Пример 6.
4
x
_
x4  2x3
P( x) x 4  5 x  9

Q( x )
x2
 5x  9
x3  2x 2  4x  3
3
 5x  9
x
2
_
2x3  4x2
2
 5x  9
x
4
_
4 x 2  8x
_ 3x  9
3x  6
15
остаток R(x)
x2
частное L(x)- целая
часть при делении
x 4  5x  9
15
3
2
 x  2x  4x  3 
x2
x2
Простейшие рациональные дроби:
I.
III .
IV .
A
xa
II .
Ax  B
,
2
x  px  q
x
Ax  B
2
 px  q
A, B, p, q  R

k
A
, k  2, k  N
k
x  a 
p 2  4q  0
т.е. корни знаменателя
комплексные
, k  2, kN ,
p 2  4q  0
корни знаменателя комплексные
Теорема.
P( x)
Q( x)
Всякую правильную рациональную дробь
,
знаменатель которой разложен на множители



Q( x)  x  x1   x  x2   x  p1 x  q1  x  pm x  qm
k1
k2
2
s1
2
можно представить (и при том единственным образом)
в виде следующей суммы простейших дробей:

sm
Ak1
P( x)
A1
A2


  

2
k1
Q( x) x  x1  x  x1 
x  x1 
Bk 2
B1
B2


  
 
2
k2
x  x2  x  x2 
 x  x2 
C x  D1
C2 x  D2
  2 1

x  p1 x  q1 x 2  p2 x  q2


2
M 1 x  N1
M 2 x  N2
  2

x  pm x  qm x 2  pm x  qm

где
  

2
x
  
Cs1 x  Ds1
2
 p1 x  q1
x

s1
 
M sm x  N sm
2
 pm x  qm
A1 , A2 ,  , B1 , B2 ,  , C1 , D1 ,  , M1 , N1 ,  R

sm
Примеры:
1)
2)
3)
A
B
C
D
x2  4




2
3
3
x  2  x  3 x  2 x  2 x  2 x  3
x3  1
A B Cx  D
  2 2
2
2
x x 1
x x
x 1


7 x 2  8x  9
x  1x  2x 2  x  12

A
B
Cx  D
Mx  N

 2

x 1 x  2 x  x 1 x2  x 1 2


Пример 7. Представить дробь
в виде суммы простейших дробей.
2 x 2  3x  3
x  1 x 2  2 x  5

2 x 2  3x  3
A
Bx  C

 2
2
x  1 x  2 x  5 x  1 x  2 x  5

или



2 x 2  3x  3
A x 2  2 x  5  ( Bx  C )x  1

2
x  1 x  2 x  5
x  1 x 2  2 x  5




Отсюда следует


2 x 2  3x  3  A x 2  2 x  5  Bx  C x  1

2 x 2  3x  3   A  B  x 2   2 A  B  C  x  5 A  C 
x2
x
1
2  A B
 3  2 A  B  C
 3  5A  C
 A  1

  B3
C  2

Следовательно
2 x 2  3x  3
1
3x  2

 2
2
x  1 x  2 x  5 x  1 x  2 x  5


Пример 8. Представить дробь
в виде суммы простейших дробей.
3x  4
xx  2x  1
3x  4
A
B
C
 

xx  2x  1 x x  2 x  1
или
3x  4
A x  2x  1  B x x  1  C x ( x  2)

x x  2 x  1
x x  2 x  1
Отсюда следует
3x  4  A x  2x  1  B x ( x  1)  C x ( x  2)
Итак
Пусть
3x  4  A x  2x  1  B x ( x  1)  C x ( x  2)
x  0:
 4  2 A 
x  1 :
 7  3C
x  2:
2  6B
A2
7
 C
3
1
 B
3
Следовательно
3x  4
2
1
7
 

xx  2 x  1 x 3 x  2 3 x  1
Интегрирование дробно-рациональных функций.
P( x)
R( x)
 L( x) 
Q( x)
Q( x)
неправильная дробь
правильная дробь
целая часть (многочлен)
Интегрирование всякой рациональной дроби сводится к
интегрированию многочлена и нескольких простейших
дробей. Вид простейших дробей определяется корнями
знаменателя Q(x):
I случай.
Корни знаменателя действительны и различны
Q( x)  ( x  a)( x  b)x  d 
R( x)
В этом случае дробь
разлагается на простейшие дроби
Q( x)
I типа:
R( x)
A
B
D



Q( x) x  a x  b
xd
Тогда

R( x)
A
B
D
dx  
dx  
dx    
dx 
Q( x)
xa
x b
xd
 A ln x  a  B ln x  b    D ln x  d  C
Пример 9. Вычислить интеграл
3
x
_
x3  x 2  2x
x3
 x 2  x  2 dx
x2  x  2
x 1
2

x
 2x
_
 x2  x  2
3x  2
x3
3x  2
 x 2  x  2 dx   x  1 dx   x 2  x  2 dx 
3x  2
  x dx   dx  
dx 
( x  1)( x  2)
3x  2
A
B
A( x  2)  B( x  1)



( x  1)( x  2) x  1 x  2
( x  1)( x  2)
3x  2  A( x  2)  B( x  1)
пусть
тогда
x  1:
5  3A

x  2 :
 4  3B 
5
A
3
B
4
3
3x  2
5
4


( x  1)( x  2) 3( x  1) 3( x  2)
5 dx 4 dx
  x dx   dx  
 

3 x 1 3 x  2
x2
5
4

 x  ln x  1  ln x  2  C
2
3
3
II случай.
Корни знаменателя действительны, причем
некоторые из них кратные:
Q( x)  ( x  a) k1 ( x  b) k2   x  d  m
k
R( x)
В этом случае дробь
разлагается на простейшие дроби
Q( x)
I и II типов.
x 2
dx
Пример 10. Вычислить интеграл 
3
x  1 x  2
2
x2  2
A
B
C
D




2
3
3
( x  1) ( x  2) x  1 x  1 x  1 x  2
x2  2
A( x  1) 2 x  2  B( x  1)( x  2)  C ( x  2)  D( x  1)3

3
( x  1) ( x  2)
x  13 x  2
x 2  2  A( x  1) 2 x  2  B( x  1)( x  2)  C ( x  2)  D( x  1)3
A
2
9
B
1
3
C  1
D
2
9
Тогда
2
1
2
x2  2
1
9
3
9




( x  1)3 ( x  2) x  1 x  12 x  13 x  2
x2  2
2 dx 1
dx
dx
2 dx
 x  13 x  2 dx   9  x  1  3  x  12   x  13  9  x  2
dx
 
 ln x  1  C
x 1

dx
 x  2  ln x  2  C
1
dx
dt
t
1
1
2
 
  2   t dt 
C   C  
C
2
( x  1)
t
1
t
x 1
dx
dt
t 2
1
1
3
 
  3   t dt 
C   2 C  
C
3
2
( x  1)
t
2
2t
2( x  1)
x 1  t
d ( x  1)  dt
dx  dt
x2  2
2 dx 1
dx
dx
2 dx
dx






2
3
 x  13 x  2




9 x  1 3 x  1
x  1 9 x  2
2
1
1
2
  ln x  1 

 ln x  2  C 
2
9
9
3( x  1)
2( x  1)
2 x2
1 2x
 ln

C
2
9
x  1 6( x  1)
III случай. Среди корней знаменателя есть комплексные
различные:
Q( x)  ( x 2  p1 x  q1 )  ( x 2  pm x  qm )( x  a)k1 x  d  m
k
R( x)
В этом случае дробь
разлагается на простейшие дроби
Q( x)
I , II и III типов.
x
dx
Пример 11. Вычислить интеграл  2
( x  1)x  1
x
Ax  B
C
 2

2
( x  1)( x  1) x  1 x  1
x
( Ax  B)( x  1)  C ( x 2  1)

2
( x  1) ( x  1)
x 2  1 x  1


x  ( Ax  B)( x  1)  C ( x 2  1)
1
A
2
1
B
2
1
C
2
Тогда
x

2
( x  1)( x  1)
1
1
 x  12
1 x 1 1 1
2

  2
 
2
x 1
x 1
2 x  1 2 x 1
2
x
1 x 1
1 dx
 ( x 2  1)x  1 dx   2  x 2  1 dx  2  x  1 
1
x
1 dx
1 dx
  2
dx   2
 

2 x 1
2 x 1 2 x 1
1
1
1
2
  ln x  1  arctan x  ln x  1  C
4
2
2

где
dx
 x  1  ln x  1  C
x
1 dt 1
1
  2
dx    ln t  C  ln x 2  1  C
x 1
2 t
2
2
x2 1  t


d x 2  1  dt
2 x dx  dt
dt
x dx 
2
IV случай. Среди корней знаменателя есть комплексные
кратные:
Q( x)  ( x 2  p1 x  q1 ) s1  ( x 2  pm x  qm ) sm ( x  a)k1 x  d  m
k
В этом случае разложение дроби
простейшие дроби IV типа.
R( x)
Q( x)
будет содержать и
Пример 12. Вычислить интеграл
x 4  4 x 3  11x 2  12 x  8
 ( x 2  2 x  3)2 x  1 dx
x 4  4 x 3  11x 2  12 x  8
Ax  B
Cx  D
E
 2


2
2
2
2
( x  2 x  3) ( x  1)
x  2x  3 x  2x  3
x 1


x 4  4 x 3  11x 2  12 x  8  ( Ax  B)( x  1)( x 2  2 x  3) 
 (Cx  D)( x  1)  E ( x 2  2 x  3) 2
A0
B0
C 1
D  1
E 1
x 4  4 x3  11x 2  12 x  8
x 1
dx
 ( x 2  2 x  3)2 x  1 dx   ( x 2  2 x  3)2 dx   x  1
dx
 
 ln x  1  C
x 1

 x
x 1
2

 2x  3
x 1  t
d  x  1  dt
dx  dt
2
dx  
x 1
x  1
2
2

t

2
dx  
t
2
2
(1)

2
t
t 2
2
dt  
2
t

2
dt 
2
2
2
(2)

2
dt 
1 dy 1 2
1 y 1
dt   2   y dy  
C 
2
2 y
2
2 1
t2  2
1 

t

t2  2  y


d t 2  2  dy
2t dt  dy
t dt 
dy
2
1
1

C   2
C
2y
2 t  2
2  2 2 dt  
t  2
2
2  t2 t2
t
2
2


u  t


du  dt

2
dt
t2
dt   2

dt 
2
2
t 2
t 2



2 
t2  2 
1 
v 2

2 t 2 
dv 

t dt




dt
t
dt 
t
1 dt
  2
 2
   2
 2
  2

t 2  2 t 2
2 t 2  2 t 2 2 t 2





t

1
t


arctan
C
2
2 t  2 2 2
2

1
t
1
t


arctan
C 
2
2
2 t  2 2 t  2 2 2
2
1 t
1
t
 2

arctan
C 
2 t  2  2 2
2
x2
1
x 1


arctan
C
2
2 x  2 x  3 2 2
2
Итак
x 4  4 x3  11x 2  12 x  8
x 1
dx
 ( x 2  2 x  3)2 x  1 dx   ( x 2  2x  3)2 dx   x  1 
x2
1
x 1


arctan
 ln x  1  C
2
2 x  2 x  3 2 2
2