Некоторые применения метода математической индукции.

Некоторые применения
метода математической
индукции
Подготовил: учитель
математики Назарбаев
Интеллектуальной школы
физико–математического
направления г. Актобе,
Медведева Е.А..
План:








Введение
Применение метода математической индукции в задачах на
суммирование.
Доказательства тождеств
Доказательство неравенств методом математической
индукции
Применение математической индукции к решению вопроса
о делимости
Применение метода математической индукции при
изучении свойств числовых последовательностей
Таблица часто используемых формул
Заключение
Введение
Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с
низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда
стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама
природа предначертала ему размышлять индуктивно.
В основе всякого математического исследования лежит дедуктивный и
индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений от общего к частному, т.е.
рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а
заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе
от частных результатов к общим.
По своему первоначальному смыслу слово «Индукция» применяется к
рассуждениям, при помощи которых получает общие выводы, опираясь на ряд
частных утверждений. Простейшим методом рассуждения такого рода является
полная индукция.
Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное
число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев человек
не может, тут как раз таки на помощь и приходит метод математической индукции.
Принцип математической индукции:
Если предложение A(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из
того, что оно истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что
оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предложение A(n) истинно для
любого натурального числа n.
Применение метода математической
индукции в задачах на суммирование.
Пример1: Доказать, что
,
x n 1  1
1  x  x  x  ...  x 
x 1
2
где
3
n
x 1
Решение:
x2  1
S1  1  x 
x  1 верна.
, следовательно, при n=1 формула
Пусть k – любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.
x k 1  1
Sk  1  x  x  ...  x 
x 1
Докажем, что тогда
2
k
Sk 1  1  x  x 2  ...  x k  x k 1 
В самом деле,
Sk 1  Sk  x
k 1
xk 2  1
x 1
x k 1  1 k 1 x k  2  1

x 
x 1
x 1
Значит по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n.
Доказательства тождеств.
Пример2: Доказать верность тождества
12
22
n2
n(n  1)

 ... 

1* 3 3 * 5
(2n  1) * (2n  1) 2(2n  1)
для любого натурального
.
Решение:
1) при n=1 тождество верно
12
1(1  1)

1 * 3 2(2  1)
2) Предположим, что при n=k
12
k2
k (k  1)
 ... 

1* 3
(2k  1) * (2k  1)
2(2k  1)
3)Докажем, что тождество верно при n=k+1.
12
k2
(k  1) 2
k (k  1)
(k  1) 2
 ... 




1* 3
(2k  1)( 2k  1) (2k  1)( 2k  3) 2(2k  1) (2k  1)( 2k  3)
k 1
k
k 1
(k  1)( k  2)( 2k  1) (k  1)( k  2)
(
)*( 
)

2k  1
2 2k  3
2(2k  1)( 2k  3)
2(2(k  1)  1)
Из приведенного доказательства видно, что утверждение верно при любом натуральном n.
Доказательство неравенств
методом математической
индукции
Пример3: Доказать Неравенство Бернулли, что если
Решение:
1)
2)
n  2, x  0
то справедливо
(1  x) n  1  n * x
При n=2, неравенство справедливо, так как (1  x) 2  1  2 x  x 2  1  2 x значит А(2) истинно.
Докажем, что A(k)  A(k  1)
справедливо неравенство.
если
k 2
. Предположим, что А(к) истинно, т.е., что
(1  x) k  1  k * x
(1)
Докажем, что тогда и А(к+1) истинно, т.е., что справедливо неравенство
(1  x)k 1  1  (k  1) * x
В самом деле, умножив обе части неравенства (1) на положительное число
(1  x)k 1  (1  k * x)(1  x)
1 x
получим
Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем
(1  k * x)(1  x)  1  (k  1) * x  k * x 2  1  (k  1) * x
В итоге получаем, что
(1  x)k 1  1  (k  1) * x
Итак, A(k)  A(k  1) На основании принципа математической индукции можно утверждать, что
неравенство Бернулли справедливо для любого
n  2.
Применение математической
индукции к решению вопроса о
делимости.
Условимся вместо фразы «делится нацело на» пользоваться знаком
Пример4: Доказать, что

(32 n 1  40n  67)64
Решение: Если
n 1
, то
33  40  67, а 064
Пусть утверждение справедливо при
Докажем, что тогда
n  k т.е.
(32 k 1  40k  67)64
(32 k  3  40(k  1)  67)64
В самом деле,
32 k  3  40(k  1)  67  9 * 32 k 1  40k  27  9(32 k 1  40k  67)  320k  576 
 9(32 k 1  40k  67)  64(9  5k )
Но
9(32 k 1  40k  67)  64(9  5k )64
Утверждение доказано
Применение метода
математической индукции при
изучении свойств числовых
последовательностей
Пример5: Доказать, что ряд Фибоначчи обладает следующим свойствам:
an2  an 1 * an 1  (1) n
Решение:
Для n  1 утверждение справедливо.
Предположим, что при n  k
ak2  an 1 * an 1  (1) k
и докажем, что тогда
ak21  ak * a 2  (1) k 1
В самом деле,
ak21  ak * ak  2  ak21  ak (ak  ak 1 )  ak 1 (ak 1  ak )  ak2  (ak2  ak 1 * ak 1 )  (1) k  (1) k 1
Тем самым интересующее нас свойство доказано.
Пример6: Доказать, что справедливо неравенство
(1  a  a 2 ) m  1  m * a  (m *
Решение:
1) При m  1
m 1
) * a2 , a  0
2
(1  a  a 2 )1  1  a  (2 / 2) * a 2
обе части равны.
2) Предположим, что при m  k
(1  a  a 2 ) k  1  k * a 
k (k  1) 2
*a
2
3) Докажем, что при m  k  1 неравенство верно
(1  a  a 2 ) k 1  1  (k  1) * a 
(k  1)( k  2) 2
*a
2
(1  a  a 2 ) k 1  (1  a  a 2 )(1  a  a 2 ) k  (1  a  a 2 )(1  k * a 
k (k  1) 2
*a ) 
2
k (k  1)
k (k  1)
 k  1) * a 2  (
 k ) * a3 
2
2
k (k  1) 4
(k  1)( k  2) 2

* a  1  (k  1) * a 
*a
2
2
 1  (k  1) * a  (
Мы доказали справедливость неравенства при m  k  1 , следовательно, в силу метода
математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального m
Вычислить предел:
Таблица часто используемых
формул:
Заключение
Данную научную работу можно использовать при проведении
факультативов в школьном курсе математике, а также при чтении
спецкурсу для студентов специальности математики.