Методы моментов. Метод сферических гармоник. Уравнение переноса в Р1-приближении. Диффузионное приближение.

Московский инженерно-физический институт
(государственный университет)
Физико-технический факультет
Лекция 11
Методы моментов.
Метод сферических гармоник.
Уравнение переноса в Р1-приближении.
Диффузионное приближение.
Границы применимости диффузионного
приближения в задачах расчета защит.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений
Методы моментов
Методы моментов или полиномиальные
методы основаны на представлении угловой
зависимости потока нейтронов в виде ряда по
полной системе ортогональных функций.
Эти разложения ограничиваются конечным
числом членов, что позволяет получить решаемую
систему уравнений.
При этом пространственное представление
зависимости потока нейтронов обычно получают с
помощью введения дискретной пространственной
сетки, в узлах которой вычисляются значения потока.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений
Метод сферических гармоник
Угловая зависимость потока нейтронов Ф(х, ) представляется в
виде ряда по полиномам Лежандра Pm() в плоской геометрии и
по сферическим гармоникам в общем случае
2m  1
Ф ( х,  )  
  m ( х)  Pm (  )
2
m 0
M
Свойства сферических гармоник:
1) они образуют полную систему функций
2) они обладают свойством ортогональности
3) использование разложения индикатрисы рассеяния по полиномам
Лежандра приводит к упрощению решаемой системы уравнений
2m  1
 s ( х,  0 )  
  mS ( х)  Pm (  0 )
m  0 4
M
Ф8-01Н
Теория переноса излучений
Уравнение переноса в Р1-приближении
Р1-приближение уравнения переноса означает слабую зависимость
потока нейтронов от угловой переменной. В плоской геометрии:
Ф( x,  )  0 ( x)  3  1 ( x)
коэффициенты разложения имеют физический смысл:
φ0(х) – интегрального по углам потока нейтронов, φ1(х) – тока нейтронов
Свойство нормировки полиномов Лежандра:
1, m  0
1 1
d  Pm (  )  


1
2
0, m  0
Свойство ортогональности полиномов Лежандра:
1
2
1

,m  k

d


P
(

)

P
(

)

 2m  1
m
k
1

0, m  k
1
Уравнение переноса
сводится к системе:
Ф8-01Н
d
1 ( x)   0 ( x)   0 ( x)  Q0 ( x)
dx
d
 0 ( x)  31 ( x)  1 ( x)  3Q1 ( x)
dx
Теория переноса излучений
Диффузионное приближение
Используемые приближения:
1) Слабая зависимость потока нейтронов от угловой переменной:
Ф( x,  )  Ф( x)  3  J ( x)
Ф(х) и J(x) – поток и ток нейтронов
2) Отсутствие зависимости источника нейтронов от угловой переменной:
Q1 ( x)  0, 0 ( x)   a ( x), 1 ( x)  tr ( x),
d
 0 ( x)   D( x)  1 ( x)
dx
- закон Фика
d
d
 [ D( x)  Ф( x)]   a ( x)  Ф( x)  Q0 ( x)
dx
dx
Ф8-01Н
Теория переноса излучений
- уравнение диффузии
Границы применимости диффузионного
приближения в задачах расчета защит
Решение уравнения диффузии, получаемого
с учетом приближений слабой зависимости потока
нейтронов от угловой переменной и отсутствием
зависимости источника нейтронов от угловой
переменной, дает хорошие результаты в
областях рассматриваемой системы удаленных
от границ системы и границ раздела областей с
резко различными свойствами.
Эти ограничения в задачах расчета защит
не всегда выполняются.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений