критерии согласия Проверка статистических гипотез «

Лекция 7
(продолжение)
Проверка статистических
гипотез
«
критерии согласия »
1
Критерий согласия хи-квадрат
Пирсона
Разработан
первоначально
для дискретных
распределений:
Статистический ряд:
X
P
X
v
x1
v1
x1
p1
xL
vL
xL
pL
v1 
 vL  N
Нулевая гипотеза: исследуемая случайная величина
имеет заданный закон распределения.
2
Статистика критерия:
 
2
2
 X1, X 2 ,
L
, XL   
l 1
 vl  Npl 
2
Npl
Является мерой близости теоретических вероятностей Рl
и эмпирических (экспериментальных) частот vl
Имеет асимптотическое (при n -->oo ) распределение
хи-квадрат.
Число степеней свободы равно:
• L-1, если распределение полностью задано.
• L - 1 - r, если дополнительно оценивается r
неизвестных параметров распределения.
3
Для нахождения критической области необходимо по
заданной вероятности ошибки первого рода (уровню
значимости критерия)  найти квантиль хи-квадрат
распределения на уровне 1-  .
1
1- 
Область
принятия
гипотезы
C
Критическая область
4
Подсчитываем значение статистики критерия и сравниваем
его с критической точкой. Если
2  C
То нулевая гипотеза отвергается.
В противном случае она принимается на уровне значимости 
Критерий легко приспосабливается и для непрерывных
распределений путем их дискретизации.
Проверку гипотезы удобно совмещать с построением
гистограмм.
5
Пять шагов проверки гипотезы
1. Сформулировать нулевую H0 и альтернативную H1
гипотезы.
2. Выбрать статистику критерия T(X) и уяснить её закон
распределения.
.
3. Задать уровень значимости критерия По таблицам
квантилей распределения статистики найти критические
точки и указать критическую область.
4. Подсчитать значение статистики критерия и проверить
условие попадания в критическую область.
5. Сделать вывод о принятии нулевой или альтернативной
гипотезы.
6
Простейшие параметрические
гипотезы
Гипотезы о среднем значении гауссовской случайной
величины
Дано: Проведено две серии независимых испытаний
одинакового объема, по результатам которых
получены оценки математического ожидания a0 и a1.
Проверить нулевую гипотезу: a0 = a1 .
7
Случай 1. Дисперсия известна и равна 2
Статистика критерия
a1  X 1 ,  a0  X 0 T 
a1  a0
D  a1  a0 

a1  a0
2

2

a1  a0
2
n
n
Имеет стандартное распределение
8
Выбор критической области зависит от вида альтернатив.
Альтернатива первая:
H1 : a0  a1