Внутренний язык топоса:

Андрей Родин
Внутренний язык топоса:
новый альянс логики и геометрии
Санкт-Петербург, 26-28 июня 2008
План
• Классическая модель науки: Аристотель и
Фреге;
• Диаграммы Эйлера-Венна: геометрическая
логика;
• "Начала" Евклида и "Начала" Гильберта;
• Логицизм в математике и математизм в
логике;
• Внутренняя логика топоса;
• Заключение: логика, язык и естественные
науки.
Классическая модель науки
"Аксиома это мысль, чья истина несомненна, но при этом не
может быть доказана с помощью цепи логических выводов.
Аксиомами являются, например, законы логики. …
Аксиомы не противоречат друг другу, поскольку они
истинны."
(Фреге, Об основаниях геометрии)
Структура теории:
всеобщие логические аксиомы + специальные аксиомы
Пример: ZF
Аристотель: фундаментальная роль логики,
логика и метафизика (ср. закон тождества)
Вопрос: как устрооены аксиоматические геометрические теории (??)
Диаграммы Эйлера-Венна:
геометрическая логика
Б
А

А или Б
АБ
АиБ
АБ
не-А
\А
истина

Классическая или интуиционистская логика?
Булева или Гейтинговская решетка?
Логика в основаниях геометрии или наоборот?
"Начала" Евклида
Постулат 1:
провести прямую линию от данной точки до данной точки
Аксиома 1:
равные одному и тому же равны между собой
Проблема 1:
на данной прямой построить равносторонний треугольник.
Теорема 5:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Постулаты не имеют истинностных значений!
Проблемы и теоремы имеют общую структуру (Прокл):
(1) предложение, (2) выставление, (3) ограничение,
(4) построение, (5) доказательство, (6) заключение.
"Начала" Гильберта
Ответ Гильберта на критику Фреге:
"Вы говорите, что мои понятия, например, "точка" и "между
не определены одназначным образом. Но ведь совершенно
видно, что любая теория это только схема, определяющая
необходимые отношения между понятиями, и что базовые эл
менты каждый волен понимать как хочет. …."
Цена логицизма:
формализация, различие между синтаксисом и семантикой,
проблема интерпретации (ср парадокс Сколема)
Вывод: Классическая модель науки плохо работает в матема
Логицизм в математике:
сильная версия: сведение математики к логики
(Рассел)
слабая версия: Классическая модель науки
(Фреге, Гильберт ?, Цермело, Тарский…)
Математизм в логике:
сильная версия: сведение логики к математике
( "интуиционисты" Брауэр и Пуанкаре)
слабая версия: логика - часть математики
Почему Брауэр не принял формализацию интуиц
нистской логики Гейтингом?
"Неформальная строгость" Крейзеля
Внутренняя логика топоса
МакЛейн и Эйленберг (40-е гг. 20 в.): теория категорий
Гротендик (60-е гг. 20 в.): топос (пучков) как категорное
обобщение понятия топологического пространства
Ловер (60-е гг. 20 в.): аксиоматическое описание топоса
как категории особого вида; пред-пучки ("переменные
множества") вместо пучков. Интернализация кванторов
и истинностных значений. Примеры.
Ловер, Тьерни - "логические свойства" топоса
Логические и геометрические морфизмы топосов.
Изменение взгляда на соотношение синтаксиса и семантик
логики и геометрии. Математизм в логике?
Заключение: логика, язык и
естественные науки
Научная революция Нового Времени связана с отказом от
Классической (схоластической) модели науки.
Возрождение схоластической метафизики в Аналитической
философии.
От логического эмпиризма (позитивизма) к полноценному
эмпиризму в духе Милля: логика и язык как часть реальности
Революция в геометрии (19 в) и логике (20 в). Логический
плюрализм? Топосные основания математики.