Решение показательных неравенств.

Решение показательных
неравенств.
Необходимые умения.
Знать свойства степеней с рациональным показателем и
уметь преобразовывать выражения содержащие степени и
корни.
Уметь решать рациональные неравенства методом
интервалов. http://ta-
shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_1_reshenie_racionalnykh_neravenstv_
metodom_intervalov/15-1-0-85
Понимать значение понятий: система, совокупность.
Уметь решать системы и совокупности.
http://ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_2_sistemy_i_sovokupnosti/15-1-0-86
Следует помнить, что неравенство является
показательным, если основание степени больше нуля и не
равно единице.
09.05.2016
2
Некоторые методы решения показательных
неравенств.
Назад
Простейшие показательные неравенства
Сведение неравенства к простейшему
Метод введения новой переменной
Разложение на множители
Сведение к равносильной совокупности
Метод рационализации (замены множителей)
Простейшие показательные неравенства
Методы
Неравенство вида a f(x)< a g(x), где а>0 и а≠1,
называется показательным
Решение основано на следующем свойстве показательной
функции:
- функция у=ах возрастает, если а>1
- функция у=ах убывает, если 0<а<1
a f ( x )  a g( x )
Таким образом:
f(x)<g(x)
при а>1
09.05.2016
f(x)>g(x)
при 0<а<1
4
Простейшие показательные неравенства
Пример 1. 23 4 x 5  23 3 x 8
23  1 
4 x  5  3x  8
Ответ : x  13
Пример 3. 

  3 ,14  1 
4 x 2  5  3 x  2
4 x2  3 x  7  0

7
4
4 x 2 5
3 x  2
1
7

Ответ :    ;   1;
4

Методы
Пример 2. 0 ,234 x 5  0 ,233 x 8
0  0 ,23  1 
4 x  5  3x  8
Ответ : x  13
Пример 4.
3


3 5


3
3

5
6
6
27
25
3
4 x 5
 3
  3 
 5
3 x 8
3
 1
5
4 x  5  3x  8
Ответ : x  13
5
Свойства
Сведение неравенства к простейшему
Пример 5.
3
3
3
x 2  4 ,5
x 2  4 ,5
x 2 4
3
Методы
1
27
30 ,5  3 3
 3 3
x 2  4  3
x2  1  0
1
Ответ :
1
 ;1  1;
Свойства
Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 6.  10  3 x  3
2 x



0
,
81
 3 


3 x 3
2 x
 10 
 81 





 32 
 100 


1
3 x  3 
4 x
2
10
9
 
 
 
 
 9 
 10 
2
2
1
( 3x2  3 )  4 x
2
3 x2  3  8 x
3 x2  8 x  3  0
2
 10 


 9 

1
3 x2 3
2

 10 


 9 
4x

1
3
3
 1 
Ответ :   ;3 
 3 
Свойства
Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 7. 5 x 1  2 x  2  8  10 x
5
x 1
2
x2
2 2
5
 2 (5 2 )
5
x2 3 x2
5
x  1( x 2  3 x  2 )
 x 2 4 x 3
10
2
 x 2 4 x 3
3 x2
3
5 x 1  2 x  2
3
2
x2 3 x2
2
x 2 3 x2
 10 0
 x2  4 x  3  0
x2  4 x  3  0
x2 3 x2
)
1
x  2  3 ( x 2  3 x  2 )
 x 2 4 x3
( 2 (5 2 )
3
1
1
1
3
Ответ : ( 1;3 )
9
Свойства
Методы
Сведение неравенства к простейшему
 1 
 
 16 
Пример 8.
 1
 
2
4 x 1
1  1
 
2 2
 1
 
2
4x
4 x2
x 0 , 25
 1
 
4
 1
 
2
2
 1  1
   
2 2
4x
4 x3
5  1
 
8 2
4x
5

4
3
5

8
 1
 
2
3
4x
4 x3
5

4
 1  1
   
2 2
 1  1  1   1
          
2 2 2  2


2
2 x 1
5

4
4x
5

4
5

4
 1
 
2
 1
 
2
4x
4x
2
 1
 
2
1
4 x  1
1
Ответ : x   4
10
Свойства
Сведение неравенства к простейшему
Пример 8.
Методы
2 2 x 1  3 2 x 1  3 2 x  7  2 2 x
2  2 2 x  3  32 x  32 x  7  2 2 x
2  7   2 2 x  1  3  32 x

9  2 2 x  4  3 2 x  32 x  9

22 x 4

2x
3
9
2
 
3
2x
2
 
3
2x  2
2
Ответ : x  1
11
Свойства
Метод введения новой переменной
Пример 9.
Методы
25 x  4  5 x  5  0
5
2x
 45 5  0
x
Замена : 5 x  t  5 2 x  t 2
t2  4t  5  0
( t  5 )( t  1 )  0
5
 t  5
t  1

1
5 х  5
 x
5  1
 нет решений
 x
0
5

5

Ответ : x  0
Свойства
Метод введения новой переменной
Пример 10.
Методы
25 x  4  5 x  5  0
5
2x
Замена : 5 x  t  5 2 x  t 2
 45 5  0
x
t2  4t  5  0
( t  5 )( t  1 )  0
5
 t  5

t  1
1
5 x  5
 x
5  1
x  R
 x
0
5

5

Ответ : x  0
Свойства
Методы
Метод введения новой переменной
Пример 11.
5
5

12 x  143 12 x  2
5
5

12 x  143 12 x  144
5
5

t  143 144 t
Замена : 12 x  t
 144 t ( t  144 )  0
5  144 t  5  ( t  143 )  0  5
144 t  ( t  143 )  0
t1
143t  143  0
5x  1
5 x  50
Ответ : x  0
Свойства
Метод введения новой переменной
Методы
Пример 12. ( 19  6 10 ) x  6  ( 10  3 ) x  1  0
Заметим, что выражение
( 10  3 )2 x  6  ( 10  3 ) x  1  0 в первой скобке равно
квадрату выражения,
t2  6  t  1  0
находящегося во второй
скобке
( t  ( 3  10 )( t  ( 3  10 ))  0
Замена : ( 10  3 ) x  t
 3  10
 3  10
 t  3  10 ( 10  3 ) x  3  10  x  R




x
 t  3  10 ( 10  3 )  3  10 ( 10  3 ) x  ( 10  3 )0

0  10  3  1
Ответ : x  0
Свойства
Методы
Метод введения новой переменной
( 3  2 2 )x  ( 3  2 2 )x  6  0
Числа (a-b) и (a+b)
1
t  6  0 t  0
являются взаимно
t
2-b2=1
обратными,
если
a
t2  6t  1  0
(наш случай)
( t  ( 3  2 2 )( t  ( 3  2 2 ))  0
Замена : ( 3  2 2 ) x  t 
Пример 13.
1
(32 2 ) 
t
x
32 2
t  3  2 2

 t  3  2 2
32 2
( 3  2 2 ) x  ( 3  2 2 )1
x  1

0  32 2  1 
x
1
 x  1
( 3  2 2 )  ( 3  2 2 )
Ответ : ( ;1 )  ( 1; )
Свойства
Разложение на множители
Пример 14.
Методы
8 x  3  4 x  2 x  2  12  0
2 3 x  3  2 2 x  4  2 x  12  0
Замена : 2 x  t
t 3  3  t 2  4  t  12  0
t 2 ( t  3 )  4( t  3 )  0
( t 2  4 )( t  3 )  0
( t  2 )( t  2 )( t  3 )  0
( 2 x  2 )( 2 x  2 )( 2 x  3 )  0  ( 2 x  2 )( 2 x  3 )  0
2x  2  0
2 x  21
Ответ : x  1
Свойства
Разложение на множители
Методы
Пример 15. 4  8 x  6  12 x  2  18 x  3  27 x  0
4  2 3 x  6  2 2 x  3 x  2  2 x  32 x  3  33 x  0
Замена : 2 x  a
3x  b
4a 6 a b  2ab  3b  0
3
2
2
3
2  a 2 ( 2 a  3b )  b 2 ( 2 a  3 b )  0
( 2a 2  b 2 )( 2a  3b )  0
( 2  2 2 x  3 2 x )( 2  2 x  3  3 x )  0  ( 2  2 x  3 2 x )  0
2 2 x 1  3 2 x 1  0
2
2 x 1
2
 
 3
3
2 x 1
2 x 1
1
3
2 x 1
0
2
 
3
2 x 1
2
 
3
2x  1  0
0
Ответ : x  0 ,5
Свойства
Разложение на множители
Методы
3 3 x  3 2 x 1  3 x 1  1  0
Пример 16.
33 x  3  32 x  3  3 x  1  0
Замена : 3 x  a
a 3  3a 2  3a  1  0
( a 3  1 )  ( 3a 2  3a )  0
( a  1 )( a 2  a  1 )  3a( a  1 )  0
( a  1 )( a 2  a  1  3a )  0
a1 0
( a  1 )( a 2  2a  1 )  0
a1
( a  1 )( a  1 )  0
3x  1
( a  1)  0
3 x  30 Ответ :
2
3
x0
Свойства
Сведение к равносильной совокупности
Пример 17.
( x  4x )
2
x 2 5 x
( x  4x )
2
x 2 5 x
1
 ( x 2  4 x )0
Если х2-4х≠1, то необходимо
рассматривать два случая:
 x  4 x  1
 2
 x  5 x  0

2

0

x
 4x  1

 x 2  5 x  0

2
Методы
Во первых, заметим, что
если х2-4х=1, то неравенство
выполнено; при х=0 - не имеет
смысла
x  2  5  решения
2
1)  x  4 x  1  0
 2
x  5x  0
( x  ( 2  5 ))( x  ( 2  5 ))  0

 x( x  5 )  0
5
2 5
0
2 5
Свойства
Сведение к равносильной совокупности
Пример 17.
( x  4x )
2
 x 2  4 x  1
 2
1)
x

5
x

0


2

0

x
 4x  1

 x 2  5 x  0

x 2 5 x
1
5
Методы
x  2  5  решения
2 5
2 5
0
2

0

x
 4x  1
2)
 2
x  5 x  0
 ( x  ( 2  5 ))( x  ( 2  5 ))  0

  x( x  4 )  0

2
5
 x( x  5 )  0
5
0
4
2 5
Решение – объединение решений двух случаев
Ответ : ( ;5 ]  [ 2  5 ;0 )  [ 2  5 ; )
Свойства
Метод замены множителей
Методы
Знак выражения hf-hg совпадает со знаком выражения
(h-1)(f-g)
Пример 17 (второй способ). ( x  4 x )
2
( x  4x )
2
x 2 5 x
x 2 5 x
 ( x 2  4 x )0  0
 1 при х=0 - не имеет
смысла
( x 2  4 x  1 )( x 2  5 x )  0
x( x  ( 2  5 ))( x  ( 2  5 ))( x  5 )  0


5


2 5
0

2 5
Ответ : ( ;5 ]  [ 2  5 ;0 )  [ 2  5 ; )
Свойства
Методы
Спектр решения таких задач значительно
расширится после изучения темы «Логарифмы»
Мы сможем записывать решение, например,
такого неравенства:
2x  3
Источники
Мордкович А. Г. Задачник (профильный
уровень) 11 класс
Алтынов П. И. «Контрольные и зачетные
работы по алгебре. 11 класс»
Методы