ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

А.Г. Кускочева,
cтудент Горно-Алтайского государственного университета
(г. Горно-Алтайск, Россия)
ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Статья посвящена построениям гиперболических поверхностей второго порядка и их использованию в практической жизни.
Гиперболоид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид,
внешность) — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением:
x2

y2

z2
 1 — однополостный гиперболоид (1), где a и b — дейa2 b2 c2
ствительные полуоси, а c — мнимая полуось. Гиперболоид имеет три
плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью хОу. В
1)
x2
y2
z2
 1 . Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где
b2 c2
действительная полуось – b, а мнимая полуось – c.
поэтому

2

y2
1.
a
b2
Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями a и b (рис.1).
Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. В этой плоскости x = 0,
этой плоскости z = 0, поэтому
Рис.1. Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением
2
x
z2

 1 . Изобразим эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж,
a2 c2
не будем отображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении
плоскостью yOz (рис.2). Найдем линии пересечения поверхности с
плоскостями z = ±h, h > 0. Уравнения этих линий:
x2
a2

y2
b2
 1
h2
c2
,
z = ±h. Первое уравнение преобразуем к виду:
x2
h2
a (1  2 )
c

2
a1  a 1 
y2
h2
b (1  2 )
c
,
то
2
h2
b1  b 1 
есть
к
виду
x2
a12

y2
b12
1
(2),
где
h2
. Уравнение (2) является уравнением
c2
c2
эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия
1
,
h2
и полуосями a1 и b1. Изобразим полученные сечения:
c2
Рис.3. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений
Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида
приведено на рисунке ниже:
Рис.4. Однополостный гиперболоид
Если в уравнении (1) a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае
поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz,
вокруг оси Oz:
Рис.5. Однополостный гиперболоид вращения
2)
Двуполостным
гиперболоидом
называется
2
поверхность,
x
y
z2


 1 , где a
a 2 b2 c2
и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.
Двуполостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии, три оси
симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатными плоскостями, координатными осями и началом координат. Для
построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями.
Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. В этой плоскости z=0,
каноническое уравнение которой имеет вид (3)
2
x2 y2

 1 . Координаты ни одной точки плоскости yOz не
a2 b2
могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный
гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с
поэтому 
y2 z2

 1 . Это
b2 c 2
уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось – c,
а мнимая полуось – b. Построим эту гиперболу:
плоскостью yOz. В этой плоскости x=0, поэтому 
Рис.6. Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью yOz
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой, с уравнением
x2 z 2
 2  2  1 . Изобразим эту гиперболу без асимптоты и уберем
a
c
асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 7). Найдем линии
пересечения поверхности с плоскостями z = ±h, h>0. Уравнения этих
x2 y 2 h2


 1 , z = ±h. Очевидно, что ни одна точка не может
a2 b2 c2
удовлетворять этим уравнениям, если |h|<c. Если h = c или h = –c, то
плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку (0; 0;c)
или (0; 0; –c). Эти точки называются вершинами гиперболоида.
Пусть
|h|>c.
Первое
уравнение
преобразуем
к
виду:
линий:
x2
y2

 1 , то есть к виду (4): x2/a12 + y2/b12 =1, где
2
2
h
h
a 2 ( 2  1) b 2 ( 2  1)
c
c
a1  a
h2
1 ,
c2
b1  b
h2
 1 . Уравнение (4) является уравнением
c2
эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия
h2
 1 и полуосями а1 и b1. Изобразим полученные сечения:
c2
Рис.7. Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений
Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида
приведено на рисунке 8:
Рис.8. Двуполостный гиперболоид
Если в уравнении (3) a = b, то сечения гиперболоида плоскостями,
параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае
поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и
может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz,
вокруг оси Oz (рис. 9).
Рис.9. Двуполостный гиперболоид вращения
Поверхности второго порядка часто используются в технике и архитектуре. Такие конструкции из стальных сетчатых оболочек были спроектированы инженером Владимиром Григорьевичем Шуховым, они
представляют собой башни. Принцип устройства гиперболоидных башен
Владимир Григорьевич использовал в сотнях сооружений: водонапорных
башнях, опорах линий электропередачи, мачтах военных кораблей.
Гиперболоидные конструкции наиболее широко используются в
строительстве и вызывают всеобщий восторг. Для высоких сооружений
основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции
прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.
Спустя годы гиперболические конструкции все более модернизируются и используются во всем мире в различных своих проявлениях. Современное общество восхищается творениями архитекторов, даже не подозревая, что всё это геометрия. Наука, которую некоторые людей считают абсолютно ненужной. Но стоит лишь немного углубиться в историю создания окружающих нас предметов и становится ясно, что геометрические образы являются основой мироздания.
Литература
1. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия [Текст] / В.А. Ильин,
Э. Г. Позняк. – М.: Наука-физматлит, 1999. – 224 с.
2. Шухова, Е.М. Владимир Григорьевич Шухов. Первый инженер
России [Текст] / Е. М. Шухова. – М.: МГТУ, 2003. – 368 с.