Циклоида

МОУ «Лицей» с. Ельники
Исследовательская работа
по математике
«Тайны циклоиды»
Выполнила: ученица 10 класса
Каштанова Екатерина
Руководитель: Москаева Н.В.,
учитель математики
2010 г.
Цели:
-Знакомство с циклоидой,
изучение ее свойств;
-Расширить геометрические
представления;
-Повысить интерес к изучению
геометрии.
Содержание.










История циклоиды
Немного о циклоиде
Построение циклоиды.
Кривая наикратчайшего по времени спуска
Таутохрона
Эпициклоида и кардиоида
Еще одна «родственница» циклоиды
Лепестки Роберваля
Парадоксы странные, но истинные.
Заключение
История циклоиды
Рулетта является линией столь
обычной, что после прямой и
окружности нет более часто
встречающейся линии; она так
часто вычерчивается перед глазами
каждого, что надо удивляться тому,
как не рассмотрели ее древние, ибо
это не что иное, как путь,
описываемый в воздухе гвоздем
колеса, когда оно катится своим
движением с того момента, как
гвоздь начал подниматься от земли,
до того, когда непрерывное
качение колеса не приводит его
опять к земле после окончания
целого оборота.
Паскаль
Немного о циклоиде.
Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч
или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или
кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет
вычерчивать кривую, называемую циклоидой.
Определяется она как кривая, которую описывает точка обода
колеса, катящегося без проскальзывания по прямой линии.
видео\циклоида.wmv
Элементы циклоиды
Подобно прямой линии,
циклоиду представляют
бесконечной кривой,
т.е. что круг (его
называют производящим
кругом) катится по
прямой (направляющей
прямой) неограниченно
долго. При этом
получается кривая,
состоящая из
бесконечного ряда арок.
Отдельные арки
соединяются в точках, в
которых имеют общую
(вертикальную)
касательную. Эти точки
называются точками
возврата циклоиды. Они
соответствуют самым
Самые высокие положения находятся посередине между
низким положениям той точками возврата и называются вершинами циклоиды.
точки катящейся
Отрезок прямой между двумя соседними точками
окружности, за которой возврата, равный длине окружности (т.е. 2πr),
мы следим и которая
называется основанием циклоиды (точнее основанием
описывает циклоиду.
одной арки циклоиды).
Построение циклоиды.
1.
2.
4.
3.
видео\касательная.wmv
У циклоиды много замечательных свойств.
И основное свойство циклоиды: касательная к циклоиде проходит
через «верхнюю» точку производящего круга.
Обратим внимание на
положение касательной к
циклоиде. Если
велосипедист едет по
мокрой дороге, то
оторвавшиеся от колеса
капли будут лететь по
касательной к циклоиде
и при отсутствии щитков
могут забрызгивать
спину велосипедиста.
Кривая наикратчайшего по времени спуска
Циклоида имеет ряд
замечательных свойств.
За одно из них она получила
название брахистохроны. Это
слово произошло от греческого
«brachistos», что означает
«кратчайший» и «chronos», что
означает «время», т. е.
брахистохрона - это кривая
наикратчайшего по времени
спуска.
Якоб Бернулли (1654-1705) профессор
математики
Базельского
университета
(с
1687).
Широко
использовал
методы математического анализа
при изучении геометрических
кривых.
ОПЫТ.
Время наименьшего спуска у
шарика, двигающегося по
циклоидальному желобу. Это
впервые установили швейцарские
математики братья БЕРНУЛЛИ (в
1696 году) точным расчетом.
Доказательства Бернулли
послужили толчком для развития
новой отрасли математики вариационного исчисления.
видео\три машинки.wmv
видео\таутахронный маятник.wmv
Таутохрона
Другим синонимом циклоиды является таутохрона (от греческих
слов «tautos» - тот же самый, «chronos» - время). Христиан ГЮЙГЕНС,
голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник.
Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О),
сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АВ) и дал
возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ).
При этих условиях конец маятника (Т) движется по циклоиде
(таутохроне), а период колебания не зависит от величины
начального отклонения
Представим себе ледяную горку, спуск которой имеет форму
циклоиды. У этой горы есть интересные свойства. Если в
разных точках ее (на разной высоте) стоят готовые к старту
спортсмены с салазками (рис. 6), и по команде одновременно
эти салазки начинают скользить, то первым к финишу (т. А)
придет не спортсмен К, как кажется. Все спортсмены
достигнут точки А одновременно! Поэтому ее называют
таутохроной - «равновременной».
видео\три машинки 2.wmv
Эпициклоида и кардиоида
Древние ученые не знали циклоиду, но
они знали и успешно пользовались ее
близкой родственницей –
эпициклоидой.
Если радиус неподвижной окружности
равен радиусу подвижной, то
эпициклоиду называют кардиоидой (что
по гречески означает«сердцевидная»).
Еще одна «родственница»
циклоиды
Другой «родственницей» циклоиды
является гипоциклоида.
Если радиус неподвижной окружности в
4 раза больше радиуса подвижной, то эта
гипоциклоида называется астроидой .
Лепестки Роберваля
Кривую, составленную из точек Et при всевозможных t,
Роберваль назвал «спутницей циклоиды». Легко понять,
что «спутница циклоиды» - это сдвинутая синусоида (на 1
вверх и на π/2 вправо). «Спутница циклоиды» разбивает ее
на три части: фигуру под синусоидой и две симметричные
фигуры, названные «лепестками Роберваля».
Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую
изменение синуса в зависимости от изменения его угла.
Для построения синусоиды нужно разделить окружность
на равные части и на такое же количество равных частей
разделить отрезок прямой АВ = 2πR. Из одноименных
точек деления провести взаимно перпендикулярные
линии, в пересечении которых получают точки,
принадлежащие синусоиде.
Парадоксы странные, но истинные.
Если мы заставим первую монету катиться по второй так, чтобы она прошла
ровно половину окружности (как указано стрелкой), мы можем ожидать, что,
придя к точке, диаметрально противоположной первоначальной, монета
перевернется вниз головой по сравнению с исходной позицией. Мы
убеждены, что, пройдя половину окружности, монета должна повернуться
на 180°. Если же мы проделаем эксперимент с реальной монетой, то
убедимся, что она окажется снова в исходном положении — будто бы она
прошла полную окружность, а не ее половину.
монеты.AVI
Такое странное поведение циклоиды может служить объяснением
того факта, что точки колеса, находящиеся на некотором
удалении от самой нижней точки, при качении колеса движутся в
горизонтальном направлении быстрее, чем точка,
соприкасающаяся с дорогой.
Можно показать, что точка,
соприкасающаяся с дорогой,
двигаясь вверх, все больше и
больше ускоряется и достигает
наибольшей горизонтальной
скорости в верхнем своем
положении, то есть на
максимальном расстоянии от
дороги.
Заключение
Героическая история циклоиды завершилась с концом XVII века.
Она так таинственно возникала при решении самых разных задач, что
никто не сомневался, что она играет совершенно исключительную роль.
Пиетет перед циклоидой держался долго, но прошло время, и стало ясно,
что она не связана с фундаментальными законами природы, как, скажем,
конические сечения. Задачи, приводившие к циклоиде, сыграли огромную
роль в становлении механики и математического анализа, но когда
величественные здания этих наук были построены, оказалось, что эти
задачи являются частными, далеко не самыми важными. Произошла
поучительная историческая иллюзия. Однако, знакомясь с поучительной
историей циклоиды, можно увидеть много принципиальных фактов из
истории науки.
У всех на руках есть часы. А ведь в них используется циклоида,
так что, не будь её, что было бы на белом свете? Если вовремя не
раздается знакомый звонок будильника, вас ожидает неприятный
разговор с начальником. Влюбленные были бы в большой растерянности,
если бы из города исчезли все часы. Ценить и беречь время в наш век самое главное. Я думаю, что одно это полностью доказывает полезность и
необходимость этой кривой.