R - Акмуллинская олимпиада

Дистанционная Акмуллинская олимпиада «Физика в задачах» 9 класс (II тур)
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия – Ягафаров
Имя – Максим
Отчество – Айдарович
Класс – 9
Школа – СОШ с. Петровское
Город (село) – с. Петровское
Район – Ишимбайский район
Ф.И.О. учителя – Зуев Алексей Владимирович
1) Решение:
Найду высоту S по формуле (начальную скорость не учитываю, т. к. она равна нулю)
𝑣
𝑆= 𝑡
(1)
2
𝑣
𝑡=
(2)
𝑎
Соберу (1) и (2)
𝑣2
𝑆=
(3)
2𝑎
Это есть искомая высота. Найду скорость при ударе с Землей (начальную скорость
не учитываю, т. к. она равна нулю)
𝑉
(4)
𝑆= 𝑡
2
𝑉
𝑡=
(5)
𝑔
Соберу (4), (5), (3) и выражу V
𝑔
𝑉 = √2𝑆𝑔 = 𝑣√ − это есть искомая скорость
𝑎
Ответ: 𝑆 =
𝑣2
2𝑎
; 𝑉 = 𝑣√
𝑔
𝑎
2) Решение:
Пусть L – длина окружности, на которой расположены отверстия, тогда расстояния
𝐿
между отверстиями первого диска равны
(т. к. всего 101 отверстие), а второго
101
𝐿
. Допустим два отверстия у дисков совпали (световое пятно там), тогда
100
𝐿
𝐿
следующее отверстие первого диска находится на расстоянии
, а второго
101
100
и когда отверстие первого диска «дойдет» до отверстия второго, световое пятно
переместится в следующее отверстие второго диска, то есть во одно и то же время
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
пятно проходит расстояние
, а диск
−
=
. Найду время, за
100
100
101
10100
которое диск совершает один оборот
𝐿
𝐿
10100
= 10100.
Теперь найду кол-во оборотов, которое совершает пятно за это время:
𝐿
10100 ∙
= 101𝐿
100
Значит пятно совершает 101 оборот за время одного оборота диск.
Если будет двигаться второй диск, то первыми совпадут не следующие по часовой
стрелке отверстия, а против часовой и за одно и то же время пятно будет
𝐿
𝐿
проходить против часовой стрелки
, а второй диск по часовой
, то есть
101
10100
пятно будет совершать 100 оборотов в другом направлении.
Ответ: при движении первого диска пятно совершает 101
оборот за время одного оборота диска, при движении второго
- 100 оборотов в другом направлении
3) Решение:
Напишу уравнение для координаты y (вертикальное движение)
𝑔𝑡 2
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑣𝑡 −
.
2
Но, так как котенок приземлится на доску, то у=0, отсюда:
𝑔𝑡 2
0 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑣𝑡 −
2
𝑔𝑡
(1).
𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑣 =
2
Теперь рассмотрю изменение координаты x, котенок должен преодолеть
расстояние L, но т к доска тоже будет двигаться в противоположную сторону
(следствие из закона сохранения импульса) их скорости будут складываться. То
есть:
(2).
𝐿 = (𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣 + 𝑉𝑥 )𝑡
Где V – скорость дощечки, найду ее. Т. к. импульс дощечки и кота был равен нулю,
то после прыжка импульс доски будет противоположен импульсу кота:
𝑉=𝑣
𝑚
𝑀
Но доска не может двигаться в этом направлении, т к ей препятствует лед. Значит
ее действительная скорость направлена вправо и равна.
𝑚
𝑉𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣
𝑀
Подставлю это значение в формулу (2)
𝑚
𝐿 = (𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣 ) 𝑡
𝑀
𝐿
𝐿
𝑡=
𝑚 .
𝑚 =
(𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣 𝑀) 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣(1 + 𝑀)
Подставлю это значение в формулу (1)
𝑔
𝐿
𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑣 = ∙
2 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑣(1 + 𝑚 )
𝑀
𝐿𝑔
𝑣=√
𝑚
2𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ (1 + 𝑀)
Наименьшее v можно получить при 𝛼=45
𝐿𝑔
𝑣=√
𝑚
1+𝑀
Ответ: √
𝐿𝑔
𝑚
1+𝑀
; 𝛼 = 45°
4) Решение:
αα
Рассмотрю все силы действующие на кубик
n – сила реакции опоры
mg – cила тяжести
ma - ускорение
n
α
mg
ma
Вектор ma сонаправлен с наклонной плоскостью клина, а n перпендикулярен ей,
значит угол между этими векторами прямой. Угол между n и mg равен α, т. к.
углы, у которых стороны перпендикулярны, равны ( n перпендикулярна грани
клина, mg перпендикулярна основанию). Отсюда
n=cosα∙mg
(1)
Теперь рассмотрю все силы действующие на клин (т. к. клин не движется их сумма
равна нулю)
kN
kN – сила;
Mg –сила тяжести;
N – сила реакции опоры;
n – сила, с которой на клин действует кубик.
Mg
N
α
n
Из чертежа следует
𝑘𝑁 = 𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑛 => 𝑘 =
𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑛
𝑁
𝑁 = 𝑀𝑔 + 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑛
Соберу формулы (1), (2), (3):
𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑚𝑔
𝑘=
𝑀𝑔 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 ∙ 𝑚𝑔
𝑠𝑖𝑛𝑎∙𝑐𝑜𝑠𝛼∙𝑚𝑔
Ответ: 𝑘 =
𝑀𝑔+𝑐𝑜𝑠2 𝑎∙𝑚𝑔
(2)
(3)
5) Решение:
Из условия равновесия в чистой воде, следует:
Mg=pSHg,
M=pSH;
(1)
После того, как растворили соль
Mg=PVg
M=PV
(2)
Но также мы знаем, что глубина погруженной в воду части сосуда в чистую воду на
h больше чем глубина в солевом растворе, то есть
H=h+V/S, подставлю это значение в формулу (1) и приравняю (1) и (2)
V
pS (h + ) = 𝑃𝑉
S
Sh + V
0,6 + 200
0,6
P=p
=p
=p+
p = p + 0,003p
V
200
200
То есть плотность солевого раствора на 0,003 долю больше плотности чистой воды
Ответ: на 0,003
6) Решение:
Рассмотрю нагрев в чайнике ледяной воды. По закону сохранения энергии работа,
совершенная электрочайником равна изменению внутренней энергии воды.
𝛥𝑄1 = 𝐴1
𝐴1 = 𝑁𝑡1
𝛥𝑄1 = 𝑐𝑚(𝑇кип − 𝑇0 ).
Приравняю:
(1).
𝑁𝑡1 = 𝑐𝑚(𝑇кип − 𝑇0 )
Рассмотрю нагрев в чайнике воды комнатной температуры (по закону сохранения
энергии работа, совершенная электрочайником равна изменению внутренней
энергии воды).
𝛥𝑄2 = 𝐴2
𝛥𝑄2 = 𝑐𝑚(𝑇кип − 𝑇)
𝐴2 = 𝑁𝑡2 .
Приравняю.
(2).
𝑐𝑚(𝑇кип − 𝑇) = 𝑁𝑡2
Теперь выражу из формулы (1) m и подставлю в формулу (2)
𝑁𝑡1
(𝑇 − 𝑇) = 𝑁𝑡2
с
𝑐(𝑇кип − 𝑇0 ) кип
(𝑇кип − 𝑇) 𝑡2
=
(𝑇кип − 𝑇0 ) 𝑡1
𝑡2
4.5мин
(100 С − 0 С) = 25 С
𝑇 = 𝑇кип − (𝑇кип − 𝑇0 ) = 100 𝐶 −
𝑡1
6мин
Ответ: 25 градусов
7) Решение:
Напишу уравнение теплового баланса для случая с первым кубиком льда:
𝛥𝑄1 = −𝛥𝑄2
−𝛥𝑄2 = 𝑐𝑀𝛥𝑡1
𝛥𝑄1 = 𝜆𝑚 + 𝑐𝑚(𝑡 − 𝑡0 ) где 𝑚 − масса кубика, 𝑡 − установившаяся температура.
Приравняю:
(1).
𝑐𝑀𝛥𝑡1 = 𝜆𝑚 + 𝑐𝑚(𝑡 − 𝑡0 )
Напишу уравнение теплового баланса для случая со вторым кубиком льда (в
данном случае будет остывать не только чай но и вода, в которую превратился
первый кубик льда):
𝛥𝑄1 = −𝛥𝑄2
−𝛥𝑄2 = 𝑐𝑀𝛥𝑡2 + 𝑐𝑚𝛥𝑡2
(установившаяся в этот раз температура будет на 𝛥𝑡2 меньше установившейся
в прошлый раз) откуда:
𝛥𝑄1 = 𝑐𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡2 − 𝑡0 )
Приравняю:
(2).
𝑐𝑀𝛥𝑡2 + 𝑐𝑚𝛥𝑡2 = 𝜆𝑚 + 𝑐𝑚(𝑡 − 𝛥𝑡2 − 𝑡0 )
Выражу 𝑡 − 𝑡0 из формулы (1) и подставлю в формулу (2). Получу уравнение с
одной переменной,
𝑐𝑀𝛥𝑡1 − 𝜆𝑚
𝑐𝑀𝛥𝑡2 + 𝑐𝑚𝛥𝑡2 = 𝜆𝑚 + 𝑐𝑚 (
− 𝛥𝑡2 ).
𝑐𝑚
Решая которое получу
𝑀(𝛥𝑡1 −𝛥𝑡2 ) 100 г(12 С − 10 С)
𝑚=
=
= 10 г
2𝛥𝑡2
20 С
Ответ: 10 грамм
8) Решение:
Упрощу схему и обозначу узлы:
Найду RBC (соединение параллельное)
𝑅𝑃𝑇 ∙ 𝑅𝐾𝑆
𝑅3 (𝑅4 + 𝑅6 + 𝑅5 )
3000 Ом(4000 Ом + 6000 Ом + 5000 Ом)
𝑅𝐵𝐶 =
=
=
= 2500 Ом
𝑅𝑃𝑇 +𝑅𝐾𝑆 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅6 + 𝑅5 3000 Ом + 4000 Ом + 6000 Ом + 5000 Ом
Найду Ro ( соед. последовательное):
𝑅𝑜 = 𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐵𝐶 + 𝑅𝐶𝐷 = 𝑅1 + 𝑅𝐵𝐶 + 𝑅2 = 1000 Ом + 2500 Ом + 2000 Ом = 5500 Ом
𝑈
10,5 В
𝐼0 =
=
𝑅𝑜 5500 Ом
10,5 В
Соединение последовательно => 𝐼𝐵𝐶 = 𝐼0 =
5500 Ом
10,5 В
52,5
𝑈𝐵𝐶 = 𝐼𝐵𝐶 ∙ 𝑅𝐵𝐶 =
∙ 2500 Ом =
В
5500 Ом
11
Соединение параллельное => UPT=UBC =
52,5
11
В
52,5
UPT
UPT
11 В
𝐼𝑀𝑁 = 𝐼𝑃𝑇 =
=
=
= 318 ∙ 10−3 мА
R PT R 4 + R 6 + R 5 4000 Ом + 6000 Ом + 5000 Ом
Ответ: 318 ∙ 10−3 мА
9) Решение:
При последовательном соединении сила тока одинакова, а сопротивления
складываются, также известно, что сила тока обратно пропорциональна
сопротивлению, а напряжение неизменно. Отсюда можно сделать вывод, если
напряжение увеличилось в 2 раза, то сила тока уменьшится в два раза.
Ответ: уменьшится в 2 раза
10) Решение:
Сделаю чертеж, где H – высота, на которой подвешена лампа, h – рост человека,
S – путь человека, х – длина тени человека.
Прямоугольные треугольники АВС и KDC подобны по острому углу С, отсюда:
𝐴𝐵 𝐵𝐶
=
𝐾𝐷 𝐶𝐷
То есть:
𝐻 𝑆+𝑥
(1),
=
ℎ
𝑥
(2),
𝑆 = 𝑣𝑡
(3),
𝑥 = 𝑉𝑡
где 𝑉 − искомая скорость увеличения длины тени, соберу формулы (1), (2), (3)
𝐻 𝑣𝑡 + 𝑉𝑡
=
ℎ
𝑉𝑡
𝑣
ℎ∙𝑣
𝑉=
=
𝐻
−1 𝐻−ℎ
ℎ
ℎ∙𝑣
Ответ:
𝐻−ℎ