1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Раздаточный материал №1 по теме:
«Комплексные числа»
Содержание
§1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ........................................................... 2
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА ................................................... 5
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ...................................................................................................................... 10
УПРАЖНЕНИЯ .................................................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1: ФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ..................................................... 13
ПРИЛОЖЕНИЕ 2: ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ЛОГАРИФМ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ........................................................................................................................ 15
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ............................................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
§1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
 25 во множестве действительных чисел смысла не имеет.
Пусть  25  (1)  25  5  1  5i , где i   1 - так называемая мнимая единица, которая численного значения во множестве действительных чисел, конечно
же, не имеет.
i 2  1
Нетрудно
видеть,
что
(действительное
число),
3
2
4
2
2
i  i  i  i, i  i  i  (1)  (1)  1 (опять-таки действительное число). При
увеличении натурального показателя степени при мнимой единице ситуация повторяется: i 5  i 4  i  i, i 6  i 4  i 2  1, i 7  i и т.д. Так как мнимая единица с
показателем степени, кратным четырём, равна единице, то имеем соотношение,
позволяющее свести показатель степени при мнимой единице к числам 0,1,2 и 3,
которые дают выражения, равные  1 или  i . Итак, имеет место формула:
i n  i mk  i k ,
(1)
где n, m  N , m кратно четырём, k  0,1,2,3 (черта сверху обозначает, что k может
принимать только перечисленные значения). Например, i 123  i 1203  i 3  i .
В дальнейшем будем обращаться с мнимой единицей как с обычной буквой в алгебре, понижая, если нужно, её показатель степени по формуле (1).
Чисто мнимые числа (произведения действительных чисел на мнимую
i
единицу) 5i,  2i, , i 3 и т.п. будем рассматривать в комплексе (отсюда и назва2
ние комплексных чисел) с действительными числами как одно из слагаемых двучлена x  iy  z , где x, y  R , а z – общее обозначение комплексного числа. Это
необходимо для того, чтобы ранее рассмотренные числовые множества входили в
создаваемое множество комплексных чисел С, то есть: N  Z  Q  R  C , а
z  C . Введённый двучлен z  x  iy называется алгебраической формой комплексного числа, где действительное число x называют действительной частью
комплексного числа и обозначают как Re z (реал z [от двух первых букв французского слова reele – действительный]), а действительное число y называют
мнимой частью комплексного числа и обозначают как Im z (имажимейра z [от
двух первых букв французского слова imagimaire - мнимый]). Итак, имеем по определению алгебраическую форму комплексного числа:
(2)
z  x  iy , где z  C; x, y  R, x  Re z, y  Im z .
Ещё раз подчеркнём, что мнимая часть комплексного числа есть число действительное, стоящее множителем перед мнимой единицей. Если x  0 , то имеем
чисто мнимое число z  iy ; если y  0 , то имеем действительное число z  x ; при
этом множество R можно считать подмножеством множества C .
Множество комплексных чисел неупорядоченное, понятия больше или
меньше здесь не имеют смысла, ибо мнимая единица численного значения не
имеет. Равенство комплексных чисел имеет место в том и только том случае, когда равны как действительные, так и мнимые части сопоставляемых комплексных
чисел, то есть:
(3)
Z1  Z 2 , если Re Z1  Re Z 2 и Im Z1  Im Z 2 .
Введём в рассмотрение так называемые комплексно сопряженные числа,
обозначаемые, как z и отличающиеся от z знаком перед мнимой частью. Итак,
если z  x  iy , то z  x  iy . Например, представим пары комплексно
сопряженных чисел: z  2  i, z  2  i; z  1  3i, z  1  3i .
Выражение
2
Операции сложения и вычитания с комплексными числами, заданными в
алгебраической форме, реализуются очень просто: для этого достаточно произвести соответствующие операции отдельно в действительной и мнимых частях. Например, пусть z1  4  i, z 2  3  5i .
Тогда: z1  z 2  (4  3)  i(1  5)  1  4i ;
z1  z 2  (4  3)  i(1  (5))  7  6i ;
z1  z 2  (4  i )  (3  5i )  1  6i .
Интересно, что сумма комплексно сопряженных чисел есть величина действительная, равная 2 Re z . В самом деле, z  z  ( x  iy )  ( x  iy )  2 x  2 Re z .
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производим по общим правилам алгебры, понижая, если нужно, показатель степени
мнимой единицы.
Например, пусть z1  4  3i, z 2  1  i;
Тогда: z1  z 2  (4  3i)(1  i)  4  4i  3i  3i 2  4  7i  3  1  7i;
z1  z 2  (4  3i )(1  i )  4  4i  3i  3i 2  4  7i  3  1  7i ,
то есть z1  z 2  z1  z 2 , что нетрудно показать и в общем виде:
z1  z 2  ( x1  iy 1 )( x 2  iy 2 )  x1 x 2  ix1 y 2  iy 1 x 2  i 2 y1 y 2  x1 x 2  y1 y 2  i( x1 y 2  x 2 y1 ) (*);
z1  z 2  ( x1  iy1 )( x2  iy 2 )  x1 x2  ix1 y 2  ix 2 y1  i 2 y1 y 2  x1 x2  y1 y 2  i( x1 y 2  x2 y1 ) (**).
Как видим, выражения (*) и (**) комплексно сопряженные.
Отметим ещё, что произведение комплексно сопряженных чисел есть величина
действительная
и
неотрицательная.
В
самом
деле,
2
2 2
2
2
z  z  ( x  iy )( x  iy )  x  i y  x  y .
Очевидно, что деление и умножение комплексных чисел на действительное
число не вызывает затруднений: для этого достаточно почленно разделить или
умножить отдельно действительную и мнимую части исходного числа на требуемую величину. Например:
2  4i
 1  2i ; 3(3  i )  9  3i .
2
При делении комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, поступают следующим образом: 1) операцию деления производят через “чёрточку”;
2) создают в знаменателе действительное число, для чего и числитель и
знаменатель умножают на одно и то же число, комплексно сопряженное
знаменателю;
3) после реализации в числителе обычного умножения, делят
результат на действительное число, образованное в знаменателе; то есть:
z
z z
z z
(4)
z1 : z 2  1  1  2  2 1 2 2 .
z 2 z 2 z 2 x2  y 2
Например, пусть z1  5  3i, z 2  1  i ;
z
5  3i 1  i 5  5i  3i  3 2  8i
Тогда z1 : z 2  1 



 1  4i ;
z2
1 i 1 i
11
2
5  3i 1  i 5  5i  3i  3 2  8i
z1 : z 2 



 1  4i ,
1 i 1 i
2
2
z  z
то есть:  1   1 , что нетрудно показать и в общем виде:
 z2  z2
z1 x1  iy1 x 2  iy 2 x1 x 2  ix1 y 2  ix 2 y1  y1 y 2 x1 x 2  y1 y 2  i( x 2 y1  x1 y 2 )




(*);
2
2
2
2
z 2 x 2  iy 2 x 2  iy 2
x2  y 2
x2  y 2
3
x1  iy1 x2  iy 2 x1 x2  ix1 y 2  ix 2 y1  y1 y 2 x1 x2  y1 y 2  i( x2 y1  x1 y 2)
(**).



x2  y2
x2  y2
z 2 x2  iy 2 x2  iy 2
Как видим, выражения (*) и (**) комплексно сопряженные.
Операция возведения в натуральную степень комплексного числа, заданного в алгебраической форме, осуществляется при небольших показателях степени с помощью обычных формул сокращённого умножения или же (при n  4 ) с
помощью бинома Ньютона (или треугольника Паскаля). При достаточно больших
показателях степени эта операция становится очень уж затяжной. Более быстрый
способ возведения комплексного числа в натуральную степень реализуется с
помощью представления комплексного числа в тригонометрической форме, что
будет сделано в следующем параграфе. Сейчас рассмотрим несколько примеров,
где реализуются рассмотренные операции с комплексными числами, заданными
в алгебраической форме.
z1

Пример 1. Найти действительные числа x и y из условия равенства комплексных чисел:
9  2ix  4iy  10i  5 x  6 y .
Решение: 1) запишем комплексные числа, представленные в обеих частях условия, в стандартном виде: z  Re z  i Im z : 9  i(2 x  4 y )  5 x  6 y  10i ; 2) из условия равенства комплексных чисел (формула (4)) имеем систему двух уравнений
с двумя неизвестными, которую решаем обычным образом:
 9  5x  6 y  5x  6 y  9
Ответ : {3;1}.


2
x

4
y

10
x

2
y

5


Пример 2. Найти x , если известно, что выражение: (1  2ix ) 3  11 - чисто мнимое
число.
Решение: Так как чисто мнимое число имеет действительную часть, равную нулю,
то имеем:
Re((1  2ix ) 3  11)  0,
Re(1  3  2ix  3  4i 2 x 2  8i 3 x 3  11)  0,
Re(12  12 x 2  i (8 x 3  6 x))  0,
12  12 x 2  0, x  1. Ответ : x  1.
1 1
Пример 3. Упростить выражение: 2  5 .
i
i
Решение:
1 1
i
i



 i i  0.
i3 i5 i4 i6
 1  5i 
Пример 4. Вычислить: 
 .
 1 i 
Решение:
1-5i 1-i 3
-4-6i 3
= -(2+3i)3 = -(8+3 4 3i+3 2 9i2+27i3)= -(-46+9i)=46-9i
1+i 1-i =
2
3
4
§2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Комплексное число в алгебраической форме (формула 2) характеризуется упорядоченной парой действительных чисел x и y , что позволяет ввести формальное
определение комплексных чисел, которое предy
ставлено в Приложении 1. В этом параграфе буZ
дем рассматривать числа x и y как соответстZ ( x; y ) вующие координаты в прямоугольной системе
y
|Z |
координат на плоскости, которую назовём комплексной плоскостью и обозначим через Z .

x x При этом ось абсцисс назовём действительной
осью и будем откладывать на ней значения x , а
ось ординат назовём мнимой осью и будем от|Z |
кладывать на ней значения y . Таким образом,
Z ( x; y ) между множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости Z устанавРис. 1
ливается взаимно однозначное соответствие: каждому комплексному числу ставится в соответствие определённая точка на комплексной плоскости и, наоборот, каждой точке на комплексной плоскости соответствует определённое комплексное число. Расстояние от точки на комплексной
плоскости до начала координат назовём модулем комплексного числа Z и обозначим через | z | . Ясно, что:
| z | x 2  y 2 .
(5)
Из рисунка видно, что модули комплексно сопряженных чисел равны, то есть:
| z || z | . Комплексные числа, имеющие одно и то же значение модуля, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенных на окружности радиуса
R | z | с центром в начале координат. Если | z | 0 , то существует бесконечно
много комплексных чисел с данным модулем. Модуль, равный нулю, имеет
только одно число, а именно: z  0 .
Геометрически очевидно, что комплексное число z  0 будет задано, если, кроме
модуля | z | , указать ещё и угол  между положительным направлением действительной оси и модулем. Этот угол отсчитывается в направлении против хода часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа Z и обозначается как
arg z . Из рисунка ясно, что:
y
y
(6)   arg z  arctg , tg  , x  0 .
x
x
Ограничение x  0 можно снять, учитывая, что arctg () стремится к величине,

 
равной , а arctg () стремится к величине, равной    .
2
 2
Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Для
числа z  0 аргумент не определён; в этом случае число задаётся только модулем.
Аргумент комплексного числа z  0 определяется неоднозначно: любые два аргумента одного и того же комплексного числа отличаются на число, кратное 2 .
Множество всех аргументов комплексного числа z  x  iy обозначается через
Arg z . Значение Arg z , удовлетворяющее условию: 0  Arg z  2 , называется
главным значением аргумента и обозначается как arg z   . Таким образом:
(7) Arg z  arg z  2k    2k , k  Z .
5
Как следует из рисунка, действительная и мнимая части комплексного числа
z  x  iy выражаются через его модуль | z | и аргумент  с помощью соотношений:
(8) x | z | cos  , y | z | sin  .
Из приведённых соотношений следует система уравнений для определения угла
:
x

;
cos  
x2  y2

(9)

y
 sin  
.

x2  y2
y

Полученная система не равносильна уравнению (6)  tg   при определении
x

угла  : уравнение (6) имеет больше решений, но отбор нужного решения не
представляет труда, так как из алгебраической формы записи комплексного числа
видно, в каком квадранте комплексной плоскости расположен искомый угол  .
Например,
найти
модули
и
аргументы
комплексных
чисел:
z1  i, z 2  1, z 3  1  i .
Решение:
по
формуле
(5)
имеем:
| z1 | 1, | z 2 | 1, | z3 | 1  1  2 ; по формуле (6) имеем соответствующие глав1
3
0
 arctg ()   , arg z 2  arctg  0 ,
ные значения аргументов: arg z1  arctg
0
2
1
угол
находится
во
 3
1
arg z 3  arctg

   arctg 1     
.
4
4
 1 втором квадранте
С учётом формул (8) можно из алгебраической формы записи комплексного числа
(2) получить тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z  x  iy | z | cos   i | z | sin  | z | (cos   i sin  ) .
(10)
Для того, чтобы перейти от алгебраической формы к тригонометрической
форме, достаточно найти модуль комплексного числа и главное значение его аргумента.
Например, запишем числа z1  1  i, z 2  2, и z 3  i в тригонометрической форме.
Решение: 1) находим модули соответствующих чисел:
| z1 | 2 , | z 2 | 2, | z3 | 1 ; 2) определяем главные значения аргументов данных
чисел:
0
 7
 1 угол 1 находится в
 2  arctg 
,
1  arctg

 2  arctg1  2  
2
4 4
 1 четвертой четверти
1

   arctg 0   ,  3  arctg  arctg ()  ; 3) учитывая формулу (10), имеем:
0
2
7
7 



z1  1  i  2  cos
 i sin
, z 2  2  2(cos   i sin  ), z 3  i  cos  i sin .
4
4 
2
2

Условие равенства комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме,
можно трактовать так: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда
их модули одинаковы, а аргументы отличаются на числа, равные 2k , где k  Z ,
то есть:
(11)
z1  z 2 , если | z1 || z 2 | и 1   2  2k , k  Z ;
где z1 | z1 | (cos 1  i sin 1 ) и z 2 | z 2 | (cos  2  i sin  2 ) .
6
На комплексной плоскости Z можно получать геометрические образы, определяемыми условиями, записанными в алгебраической или тригонометрической
формах.
Пример 5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:

а) | z | 3; б) arg z  ; в) Re z  2; г) Im z  3; д) 2 | z | 3 .
3
Ответы: а) окружность радиуса, равного 3, с центром в начале координат; б)луч,
исходящий от начала координат, расположенный в первом квадранте, составляю
щий с положительным направлением действительной оси угол, равный
;
3
в) часть плоскости, расположенная правее прямой x  2 и включающая эту
прямую; г) прямая y  3 ;
д) внутренность между концентрическими
окружностями с радиусами, равными 2 и 3, с центрами в начале координат.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел оказывается
удобной при умножении и делении комплексных чисел. Пусть:
z1 | z1 | (cos 1  i sin 1 ) и z 2 | z 2 | (cos  2  i sin  2 ) . Тогда:
z1  z 2 | z1 |  | z 2 | (cos 1  cos  2  sin 1 sin  2  i(sin 1 cos  2  cos 1 sin  2 )) 
| z1 |  | z 2 | (cos(1   2 )  i sin( 1   2 )) , то есть:
(12)
z1  z 2 | z1 |  | z 2 | (cos(1   2 )  i sin( 1   2 )) .
Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения этих чисел. Например, пусть:
11
11


z1  2 (cos
 i sin
), z 2  2 2 (cos  i sin ) ;
14
14
7
7
13
13
z1  z 2  4(cos
 i sin
).
тогда
14
14
Рассмотрим частное от деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме.
z1 | z1 | (cos  1  i sin  1 ) cos  2  i sin  2



z 2 | z 2 | (cos  2  i sin  2 ) cos  2  i sin  2

| z1 | cos  1  cos  2  sin  1  sin  2  i (sin  1  cos  2  cos  1  sin  2 )


| z2 |
cos 2  2  sin 2  2
| z1 |
 (cos(1   2 )  i sin( 1   2 )) , то есть:
| z2 |
z1 z 1
(13)

 (cos( 1   2 )  i sin(  1   2 )) .
z2 z2
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом
частного. Например, пусть:







 
z1  6 cos  i sin , z 2  2 cos  i sin  ; тогда z1 : z 2  3 cos  i sin  .
2
2
6
6
3
3



Формула произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на
случай “n” сомножителей: модуль произведения “n” комплексных чисел равен
произведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов всех сомножителей является аргументом их произведения. Отсюда, как частный случай, получается формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

7
(14)
z n  (| z | (cos   i sin  )) n | z | n (cos( n )  i sin( n )) .
Таким образом, при возведении комплексного числа в натуральную степень достаточно возвести в эту степень модуль числа, а аргумент умножить на показатель
степени.
Например, пусть надо вычислить z 13  ( 3  i ) 13 .
Решение: 1) представляем основание степени в тригонометрической форме:
1
| z | 3  1  2 , arg z    arctg
 аргумент лежит во второй четверти 
 3
1
 5
   arctg
  
; 2) используя формулу (14), имеем:
6
6
3
65
65  13 
5
5  13 
3 i

z 13  213  cos
 i sin
 i sin
   212 3  212 i.
  2  cos
  2  
6
6 
6
6 


 2 2
Ответ: ( 3  i )13  212 ( 3  i ) .
Если модуль комплексного числа равен единице, то из соотношения (14)
получаем так называемую форму Муавра:
(15)
(cos   i sin  ) n  cos(n )  i sin( n ) .
Используем формулу Муавра для получения формул тройного угла. Пусть в соотношении (15) n  3 . Тогда имеем: (cos   i sin  ) 3  cos 3  i sin 3 . Преобразуем
левую часть равенства:
(cos   i sin  ) 3  cos 3   3 cos 2   i sin   3 cos   i 2 sin 2   i 3 sin 3  
 cos 3   3 cos   sin 2   i (3 cos 2   sin   sin 3  ) 
 cos 3   3 cos  (1  cos 2  )  i (3 sin  (1  sin 2  )  sin 3  ) 
 cos 3   3 cos   3 cos 3   i (3 sin   3 sin 3   sin 3  ) 
 4 cos 3   3 cos   i (3 sin   4 sin 3  ).
Так как 4 cos 3   3 cos   i(3 sin   4 sin 3  )  cos 3  i sin 3 , то, приравнивая
действительные и мнимые части, получим известные формулы тройного угла:
(16)
cos 3  4 cos 3   3 cos  ; sin 3  3 sin   4 sin 3  .
Число z называется корнем степени “n” из комплексного числа z * , то есть:
z  n z * , если выполняется соотношение: z n  z * . Если z *  0 , то при любом “n”
уравнение z n  z * имеет одно и только одно решение: z  0 . Если же z *  0 , то и
z  0 , и тогда эти числа можно подставить в тригонометрической форме:
z | z | (cos   i sin  ) , z * | z * | (cos  *  i sin  * ) . При этом уравнение z n  z *
принимает вид: | z | n (cos( n )  i sin( n ) | z * | (cos  *  i sin  * ) . Из условия равенства комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (11)), следует, что: | z | n | z * | и n   *  2k , k  Z , или | z | n | z * | и

 *  2k
n
. Таким образом, все решения уравнения zn = z* могут быть записаны
в виде:

 *  2k
 *  2k 

, k  Z .
(17)
z k  | z |  cos
 i sin
n
n


Легко видеть, что все числа, получаемые при k  0,1,2,..., n  1 различны. Если
брать k  n , то других комплексных чисел, отличных от z o , z1 ,..., z n 1 , не получится. Например, при k  n будем иметь:
n
*
8
z n  n | z * | (cos( 2 
*
)  i sin( 2 
*
))  n | z * | (cos
*
 i sin
*
))  z 0 .
n
n
n
n
Стало быть, если z *  0 , то существует ровно “n” корней степени “n” из числа z *
и все они получаются из формулы (17). Из этой формулы (17) видно, что все
корни степени “n” из числа z * имеют один и тот же модуль, но разные аргу2
k , k  Z . Отсюда
менты, отличающиеся друг от друга на величину, равную
n
следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени “n” из комплексного числа z * , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенных в
вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса n | z * | с
центром в начале координат.
Пример 6. Найти все корни из числа 6  64 .
Решение: 1) запишем число z *  64 в тригонометрической форме:
 64  64(cos   i sin  ) ; 2) применяя формулу (17), имеем:
  2k
  2k
z k  6 64 (cos
 i sin
), k  0,1,2,3,4,5 . Следовательно:
6
6



y
z 0  2 cos  i sin   3  i,
6
6

Z
Z1



z1  2 cos  i sin   2i,
2
2

Z2
Z0
5
5 

z 2  2 cos
 i sin
   3  i,
x
6
6 

7
7 

z 3  2 cos
 i sin
   3  i,
6
6


Z5
Z3
3
3 

z 4  2 cos
 i sin
  2i,
Z4
2
2 

11
11 

z 5  2 cos
 i sin
  3  i.
Рис. 2
6
6 

На рисунке 2 показаны точки, соответствующие числам z k , расположенных в
вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с
центром в начале координат.
9
Контрольные вопросы
Какие операции остаются незамкнутыми во множестве натуральных чисел?
Какие операции остаются незамкнутыми во множестве целых чисел?
Какие операции остаются незамкнутыми во множестве рациональных чисел?
Какие операции остаются незамкнутыми во множестве действительных (вещественных) чисел?
5) Что называется мнимой единицей?
6) Приведите примеры “мостиков” между действительными и мнимыми числами.
7) Как понижается степень мнимой единицы?
8) Является ли мнимая часть комплексного числа мнимым числом?
9) В чём состоит условие равенства комплексных чисел, заданных в алгебраической форме?
10) Чем интересны комплексно сопряженные числа?
11) Как производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления с
комплексными числами, заданными в алгебраической форме?
12) Как определяются модуль и аргумент комплексного числа?
13) Что называется главным значением аргумента комплексного числа?
14) В чём состоит условие равенства комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме?
15) Как производятся операции умножения, деления и возведения в натуральную
степень с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме?
16) Запишите формулу Муавра.
17) Как определяется натуральная степень из комплексного числа?
1)
2)
3)
4)
10
Упражнения
I). Найти z1 + z2; z1  z2; z1 - z2; z1 : z2; если:
a). z1 = 2 + 5i, z2 = 1-7i; b). z1 = 2 - i 3 , z2= z1 .
II). Записать данные комплексные выражения в стандартной алгебраической
форме
(z = x -iy):
 41  63i 6i  1
13  12i
(2i  1) 2
a). z =
; b). z =
+
.
50
1  7i
6i  8
i2
III).
Вычислить:
a). i + i11 + i21 + i31 + i41; b). i  i2  i3  i4; c).
1
1
1
 23  33 .
13
i
i
i
IV). Найти действительные числа x и y из условия равенства комплексных чисел:
8i
10
y  ix 4  1
 iy  2  7i   y ; c).
a). (1- i)x + (1 - i)y = 3 - i; b).
.

x
x
x  iy 4i  1
V). Найти действительные числа x, удовлетворяющие условиям:
a). Re((1 + 2xi) 3 + 47) = 0; b). Im((x + 2i) 3 + 2xi) = 0.
VI). Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих
условиям:
a). |z|= 1; b).
b). |z - 1 - i|  3;
c). |2z - 1|  2;
d). Re
z  2i
 0;
z  2i
g). 1  |z + i|  4;
e). Im
z 1
 0;
z 1
h). |z + i|>|z|;
VII). Доказать равенства:
z
|z |
a). 1  1 ;
z2 | z2 |
f). |z + 1| = |z - 1|;
i). |z + i| = |z - i|.
b). |z1  z2| = | z1|  | z2|;
z 
c). Arg z1 + Arg z2 = Arg (z1 + z2); d). Arg z1 - Arg z2 =Arg  1  .
 z2 
VIII). Записать в тригонометрической форме:
a). z = - 3 + i;
b). z = -1;
c). z = - cos


1 i 3
+ isin ; d). z =
.
12
12
2icos 60  i sin 60
11
IX). Представить в алгебраической форме:
13

3
1
a). z =  
 i  ; b). z =
2
 2
1 i 

 ; c). z =
1 i 
24

3 i

100
8
 

 
; d). z =  2 cos  i sin   .
8
8 
 
X). Найти все значения корня:
a). 4  1 ; b). 4 i ; c). 7 3  4i .
XI). Проверьте равенство:
3
2  11i  3 2  11i  4 .
XII). Решить уравнения:
a). z 2  2iz  5  0 ; b). z 5  1  i 3  0 ; c). z 4  4 z 3  7 z 2  16 z  12  0 .
*). Представить в показательной форме комплексное число z:
a). z  3i ; b). z = -1 + i; c). z = 1 - i 3 .
XIV). Вычислить значения логарифма от комплексного числа W:
1 i
a). W = Ln(-1); b). W = ln i; c). W = Ln
.
2
XV). Вычислить все значения степени W:
a).
W = (-1) 4i ;
b).
W
=
i 1i 3 ;
c).
W
=
2i .
____________________
*
Для решения примеров XIII-XV необходимо ознакомиться с материалом,
изложенным в Приложении 2 (показательная форма записи комплексных
чисел).
12
Приложение 1: Формальное введение комплексных чисел.
Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные
пары действительных чисел. Пара чисел является упорядоченной, если указано,
какое число из пары является первым, а какое - вторым. Элемент рассматриваемого множества будем обозначать (a; b) ; на первом месте будем записывать
первое число, на втором - второе число пары. Элементы (a; b) и (b; a) считаются различными, если a  b . Элементы (a1 ; b1 ) и (a2 ; b2 ) считаются равными
тогда и только тогда, когда a1  b2 , b1  b2 .
Суммой элементов (a1 ; b1 ) и (a2 ; b2 ) называется элемент (a1  a2 ; b1  b2 ) .
Произведением элементов
и
называется элемент
(a1 ; b1 )
(a2 ; b2 )
(a1a2  b1b2 ; a1b2  b1a2 ) .
Таким образом, введенные операции сложения и умножения элементов множества определяются равенствами:
(1)
(a1 ; b1 )  (a2 ; b2 )  (a1  a2 ; b1  b2 );
(2)
(a1 ; b1 )  (a2 ; b2 )  (a1a2  b1b2 ; a1b2  b1a2 ) .
Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых операции сложения и умножения определены в соответствии с формулами (1) и (2). Комплексные числа обозначают одной буквой
Z
и записывают так: Z  (a; b) . Комплексное число Z  (a; b) равно
нулю ( Z  0) тогда и только тогда, когда a  b  0 .
Введенные операции сложения и умножения обладают следующими
свойствами:
1. Z1  Z 2  Z 2  Z1 (коммутативность сложения).
2. ( Z1  Z 2 )  Z 3  Z1  ( Z 2  Z 3 ) (ассоциативность сложения).
3. Для любых комплексных чисел Z 1 и Z 2 существует комплексное
число Z такое, что Z1  Z  Z 2 . Это число называется разностью чисел Z 1 и Z 2 и обозначается как Z 2  Z1 .
4. Z1 Z 2  Z 2 Z1 (коммутативность умножения).
5. Z1 ( Z 2 Z 3 )  ( Z1 Z 2 ) Z 3 (ассоциативность умножения).
6. Для любых комплексных чисел Z1  0 и Z 2 существует число Z такое, что Z1 Z  Z 2 . Это число называется частным комплексных чисел
Z
Z 1 и Z 2 и обозначается как Z 2 : Z1 или 2 .
Z1
7. Z1 ( Z 2  Z 3 )  Z1 Z 2  Z1 Z 3 .
Все перечисленные свойства операций сложения и умножения вытекают
из
формул
(1)
и
(2).
Докажем
свойство
3.
Пусть
Z

(
x
;
y
)
;
;
;
Тогда
равенство
имеет
вид:
Z1  (a1 ; b1 ) Z 2  (a2 ; b2 )
Z1  Z  Z 2
(a1 ; b1 )  ( x; y)  (a2 ; b2 ) . Сложив комплексные числа в левой части равенства,
получим: (a1  x; b1  y)  (a2 ; b2 ) . Из определения равенства упорядоченных
пар действительных чисел следует, что x и y удовлетворяют системе двух
уравнений:
13
a1  x  a 2 ,

 b1  y  b2 .
Система имеет единственное решение: x  a2  a1 , y  b2  b1 . Это означает, что
разность Z 2  Z1 всегда существует, причем:
(3)
Z  Z 2  Z1  (a2 ; b2 )  (a1 ; b1 )  (a2  a1 ; b2  b1 ) .
Формула (3) дает правило вычитания комплексных чисел. Докажем свойство 6.
Пусть Z1  (a1 ; b1 ) , Z 2  (a2 ; b2 ) , Z  ( x; y ) , при этом Z1  0 . Тогда равенство
Z1 Z  Z 2 имеет вид: (a1 ; b1 )( x; y)  (a2 ; b2 ) . Перемножив комплексные числа в
левой
части
в
соответствии
с
формулой
(2),
получим:
(a1 x  b1 y; a1 y  b1 x)  (a2 ; b2 ) . Из определения равенства пар следует, что x и
y удовлетворяют системе двух линейных уравнений:
ab a b
a a bb
a1 x  b1 y  a 2 ,
x  1 22 12 2 , y  1 22 22 1 .
Откуда:

a1  b1
a1  b1
 b1 x  a1 y  b2 .
Таким образом, частное двух комплексных чисел при условии, что делитель отличен от нуля, всегда существует. При этом:
Z
(a ; b )  a a  b1b2 a1b2  a 2 b1 
.
Z  2  2 2   1 22
;
(4)
2
2
Z 1 (a1 ; b1 )  a1  b1 2
a1  b1 
Формула (4) дает правило деления комплексных чисел. Введенные операции
сложения и умножения позволяют рассматривать комплексные числа, как
обобщение действительных чисел, а действительные числа рассматривать как
частный случай комплексных чисел. Действительно, рассмотрим комплексные
числа вида (a, 0) . Из формул сложения , умножения, вычитания и деления следует, что в результате этих операций всегда получаются числа такого же вида.
Кроме того, правила действий с комплексными числами вида (a, 0) полностью
совпадают с соответствующими правилами действий с действительными числами. В связи с этим комплексное число (a, 0) отожествляют с действительным
числом a и принимают a  (a, 0) . Множество действительных чисел становится при этом подмножеством множества комплексных чисел.
Комплексные числа вида (0; b) называют мнимыми. Число (0;1) называют мнимой единицей и его обозначают как i , то есть i  (0;1) . Используя
формулу умножения, легко получить, что произвольное мнимое число (0, b)
представимо в виде произведения чисел (0; b) и (0;1) , то есть:
(0; b)  (b;0)  (0;1) , но так как (0; b)  b и (0;1)  i , то мнимое число (0; b) записывают в виде bi .
Каждое комплексное число Z  (a; b) можно представить в виде:
Z  (a; b)  (a;0)  (0; b)  (a;0)  (b;0)(0;1) . Учитывая, что (a;0)  a, (b;0)  b, (0,1)  i ,
получаем:
Z  (a; b)  a  bi .
(5)
Выражение (5) называется алгебраической формулой записи комплексного
числа Z .
14
Приложение 2: Показательная форма записи комплексных чисел. Логарифм комплексного числа.
Пусть  - произвольное действительное число (   R ). Обозначим комплексное
число cos   i sin  символом ei , где i есть мнимая единица ( i   1 ), то есть:
(II-1)
cos   i sin   ei ,
что является по определению так называемой формулой Эйлера. С учётом этой
формулы Эйлера комплексные числа можно представлять в показательной
форме записи, а именно: z  x  iy | z | (cos   i sin  ) | z | e i , то есть:
(II-2)
z | z | ei ,
где | z | и  соответственно являются модулем и аргументом комплексного
числа, а i - мнимая единица. Если в формуле (II-2)  заменить на (   ), то получим: | z | e i | z | (cos(  )  i sin(  )) | z | (cos   i sin  )  z , то есть:
z | z | e  i .
(II-3)
Пример 1. Представить в показательной форме комплексное число z  3  4i .
4
Решение: | z | 5;   arctg
(угол находится в третьей четверти тригономет4
4
рического круга),     arctg ; тогда
3

4
i    arctg 

4
4 

3
(*). В самом деле,
 3  4i  5 cos   arctg   i sin    arctg    5e 
3
3 


4

i    arctg 
3

4
4 
4
4  



 5 cos   arctg   i sin   arctg    5  cos arctg   i sin  arctg   ;
3
3 
3
3  




4
4
1
пусть arctg   , тогда tg  ; так как 1  tg 2 
, то
3
3
cos 2 
1
16 25
3
1

и cos   , поскольку угол  находится в первой чет2
cos 
9
9
5
4
4
 3
верти; по этой же причине sin   ; далее имеем: 5   i   3  4i , что до5
5
 5
казывает справедливость представления (*).
Пусть z  0 , тогда логарифм комплексного числа z определяется следующим образом:
Ln z  Ln | z | ei   Ln | z | Ln ei  ln | z | i  Ln e  ln | z | i , то есть:
Ln z  ln | z | i ,
(II-4)
где " Ln" принятый символ для обозначения логарифма из комплексного числа;
| z | R , а потому логарифм при модуле комплексного числа пишем обычным
символом логарифма ( ln );  - главное значение аргумента комплексного числа;
если учитывать многозначность аргумента, то и логарифм от комплексного
числа будет многозначный. Итак, имеем:
(II-5)
Ln z  ln | z | iarg z  2k , k  Z .
Значение логарифма при k  0 называется его главным значением и обозначается как ln z , то есть:
5e 
15
ln z  ln | z | i arg z  ln | z | i .
(II-6)
Пример 2. Вычислить: Ln (2  3i ) и его главное значение.
3
3
 arctg ; угол находится в четвёртой четРешение: | z | 13 ,   arctg
2
2
3
верти, а потому   2  arctg ; следовательно,
2
3
Ln (2  3i)  ln 13  i (2  arctg  2k ) , k  Z ;
2
ln( 2  3i )  ln 13  i (2  arctg1,5) .
Пусть z  0 ; тогда степень комплексного числа z  , где   C ,
определяется соотношением:
z   eLn z .
(II-6)
Величина z   e ln z называется главным значением степени комплексного
числа.
1i
1 i 
Пример 3. Вычислить 
 и найти главное значение степени.
 2
Решение: по формуле (II-7) имеем:
1i
1 i 


 2
 1i 
(1i )Ln

 2
1 i
1 i
(1)  2
1
 1 ; arg
 arctg
 arctg
 arctg 1 ;
1
2
2
2 1
 7
угол находится в четвёртой четверти; стало быть,   arg z  2  
; сле4
4
довательно,
1 i
 1i 
(1 i )Ln 


 1 i
1  i 
1 i 


 2
 

e
 exp (1  i ) ln
 iArg



2
2 
 2






 7
 
 7

 exp (1  i ) ln 1  i
 2k    exp (1  i )i
 2k  
 4
 
 4






 7

 

 exp (1  i )
 2k   exp (1  i )   2  2k  
 4

 4



e
;


 



 exp (1  i )   2 (1  k )   exp   2 (1  k )  i  2i (1  k ) 
4
 4

4




 

 exp   2 (1  k )(i  1)  i   exp  (i  1)  2 (1  k )(i  1) 
4
4
 4


 

 exp (i  1)   2 (1  k ) ;
 4


1 i 
главное значение степени суть: 

 2
1 i
e
 7 
( i 1) 

 4 
e

7
4
7
7 

 i sin
 cos
.
4
4 

16
Ответы к упражнениям
II).
III).
a). z1 + z2 = 3 – 2i; z1  z2 = 37 -9i; z 1– z2 = 1 + 12i; z1 : z2 = 74 + 0,38i.
b). z1 + z2 = 2 2 ; z1  z2 = 5; z1 – z2 = - 2 3  i; z1 : z2 = - 0,2 - 0,4 6  i.
a). z = i; b). z= - 0,72 + 0,46i.
a). i; b). – 1; c). – i.
IV).
a). {1;2}; b). {2;3}; c). x  R, y  R, 
V).
a). | x | = 2; b). x1 = -
VI).
a). Окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
b). Множество всех внутренних точек окружности и сама окружность
радиуса, равного 3, с центром в точке z = 1 + i.
c). Множество всех внешних точек окружности единичного радиуса с
1
центром в точке z = .
2
d). Окружность радиуса, равного 2, с центром в начале координат, кроме
точки z = 2i.
e). Прямая y - x - 1 = 0, кроме точки z = i.
f). Мнимая ось.
g). Множество всех точек, лежащих внутри кольца, ограниченного
концентрическими окружностями с радиусами, равными соответственно 1 и 4 (включая точки окружности), с центром в точке z = - i.
1
h). Полуплоскость, лежащая выше прямой y = - .
2
i). Действительная ось.
I).
x  0
.
y  0
4
; x2 = 1.
3
5
5 

11
11
 i sin
VIII). a). z = 2  cos
+ isin
;
 ; c). z = cos
12
6
6 
12

3
3
b). z = cos  + isin  ;
d). z = cos  + isin  .
2
2
i
3
IX).
a). z = + ; c). - 299 (1 + i 3 );
2
2
b). i;
d). -256.
X).
a). z1 =
1
(1 + i); z2 =
2


b). z1 = cos
8
z3 = cos 9
8
+ isin
+ isin
8
1
(-1 + i); z3 =
2
1
2
(-1 - i); z4 =
1
(1 - i);
2
; z2 = cos 5 + isin 5 ;
9
8
;
8
z4 = cos 13
8
8
+ isin 13 .
8
4
4




7 1
c). zk = 5  cos arctg  2k   i sin  arctg  2k   , k = 0,1,2,3,4,5,6 .
3
3



7 
XII).
a). i  2; b). zk =
5


5  6k   i sin   5  6k   , k = 0,1,2,3,4 .
 15

 15

2  cos

c). z1 = 1, z2 = 3, z3,4 =  2i.
17
XIII). a). z = 3ei
XIV).
XV).

2
; b). z = 2 e i
3
4

; c). z = 2 -i 3 .
a). W =  i(2k + 1), k  Z; b). W = i

1

; c). W =  i  2k   , k  Z.
2
4

a). W = e  4 (2k  1) , k  Z; b). W = iec). W = (cos(ln2) + isin(ln2))e-2 k , k  Z.



2

k


3
2
 ; k  Z.
18