Задачи по теме Определение линейного пространства

Определение линейного пространства
Пусть L – некоторое множество, элементы которого называются векторами, причём
любой упорядоченной паре векторов x, y  L сопоставлен единственный вектор z  L,
который называется суммой векторов x и y и обозначается x+y. Пусть также Р – некоторое
поле, элементы которого называются скалярами и для любого скаляра k  P и любого
вектора x  L определён единственный вектор d  L, который называется произведением
скаляра k на вектор х, или произведением вектора х на скаляр k, обозначается kx.
Множество L называется линейным пространством над полем Р, если выполняются
следующие аксиомы:
1). Для любых элементов x, y  L имеет место равенство x+y=y+x (коммутативный закон
сложения).
2). Для любых x, y, z  L имеет место равенство (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный закон
сложения элементов из L).
3). В множестве L найдется такой элемент (обозначим его символом 0 и назовем нулевым
элементом), что для любого элемента x  L имеет место равенство x+0=x (особая роль
нулевого элемента).
4). Для любого элемента x  L найдется в этом множестве элемент (обозначим его
символом –x и назовем его противоположным элементом x), что x+(–x)=0.
5). Для любого элемента x  L и числа 1  P имеет место равенство 1∙x=x (особая роль
числа 1).
6). Для любых чисел α и β  P и любого элемента x  L имеет место равенство
(αβ)x=α(βx) (ассоциативный закон умножения элементов поля Р).
7). Для любых чисел α и β  P и любого элемента x  L имеет место равенство
(α+β)x=αx+βx (дистрибутивный закон относительно суммы элементов поля Р).
8). Для любого числа α  P и любых элементов x, y  L имеет место равенство
α(x+y)=αx+αy (дистрибутивный закон относительно суммы элементов из L).
Чаще всего в качестве поля P рассматривают поле действительных чисел R (и тогда
L называют вещественным векторным пространством, или просто векторным
пространством), или поле С комплексных чисел (в этом случае L – комплексное
векторное пространство). Независимо от природы линейного пространства всякий его
элемент называют вектором.
Приведем примеры линейных пространств. Если для множеств не указаны в тексте
правила сложения элементов и умножения элементов на число, то их следует задавать так,
как это было сделано в изучаемых ранее разделах курсов «Алгебра» и «Аналитическая
геометрия», где эти множества были определены и изучены.
Пример 1. Является ли множество L всех векторов в трёхмерном пространстве
действительным линейным пространством?
Решение.
Если векторы x , y  L , то вектор суммы x  y  L , определён для взятых x и y
однозначно.
Если  – действительное число, вектор x  L , то  x  L . Таким образом,
требования замкнутости операций сложения элементов из множества L и умножения
элементов из множества L на действительное число из поля Р определения линейного
пространства для множества L выполняются.
Выполнение всех аксиом, кроме 5, было установлено в курсе «Аналитическая
геометрия». Рассмотрим вектор 1 x . Согласно определению умножения вектора на число,
1
вектор 1 x сонаправлен с вектором x . Его длина 1  x  1  x  1  x  x равна длине
вектора x . Следовательно, векторы 1 x и x равны, т.е. 1 x = x , следовательно, аксиома 5
имеет место для векторов множества L .
Итак, для множества L и поля P действительных чисел выполняются все
требования определения линейного пространства, поэтому L является действительным
линейным пространством.
Пример 2. Пусть An – множество всех упорядоченных систем n произвольных


действительных чисел ( x1 , x2 , .., xn )  x , т.е An  x  х1 , х2 ,..., хn  xi  R, i  1, n Два
элемента х  ( x1 , x2 , .., xn ) , y  ( y1 , y 2 , .., y n ) из An называются равными, если
xi  yi , i  1, n . Числа x1 , .., xn называют компонентами x . Суммой элементов х и у
назовем элемент ( x1  y1 ,.., xn  yn ) и обозначим x  y . Произведением действительного
числа  на элемент x назовем элемент (x1 ,.., xn ) и обозначим его x . Покажем, что An
является действительным линейным пространством относительно введённых операций.
Решение.
Согласно условию примера требования замкнутости операций сложения элементов
множества An и умножения элементов множества An на действительное число из поля Р
в определении линейного пространства для множества An выполняются.
Осталось проверить выполнение 8 аксиом.
y  ( y1 ,.., yn ) .
x  ( x1 ,.., xn ) ,
1. Пусть
Тогда
и
x  y = ( x1  y1 ,.., xn  yn )
y  x = ( y1  x1 ,.., yn  xn ) . Так как сложение действительных чисел подчиняется закону
2.
3.
4.
5.
6.
коммутативности поэтому xi  yi  yi  xi , i  1, n , значит x  y  y  x .
Выполнение второй аксиомы проверяется аналогично с использованием
ассоциативного закона для сложения действительных чисел.
Роль нулевого элемента в An играет элемент 0=(0,..,0). Действительно,
x  0  ( x1  0,.., xn  0)  ( x1 ,.., xn )  x
Для элемента x  ( x1 ,.., xn ) противоположным элементом является  x  ( x1 ,.., xn ) ,
так как x  ( x)  ( x1  ( x1 ),.., x n  ( x n ))  (0,..,0)  0
Поскольку 1  x  (1 x1 ,..,1  xn )  ( x1 ,.., xn )  x , то 1 x  x .
Если  ,  – любые действительные числа, то
(   ) x  ((   ) x1 ,.., (   ) xn )  (x1  x1 ,.., xn  xn ) 
(x1 ,.., xn )  ( x1 ,.., xn )   ( x1 ,.., xn )   ( x1 ,.., xn )  x  x
7. Пусть  ,  – любые действительные числа, тогда
( ) x  (( ) x1,.., ( ) xn )  ( (x1 ),..,  (xn ))   (x1,.., xn )   (x).
Следовательно, ( ) x   ( x) .
8. Если  – любое действительное число, то
 ( x  y )   ( x1  y1 ,.., x n  y n )  ( ( x1  y1 ),..,  ( x1  y1 ))  (x1  y1 ,.., x n  y n ) 
 (x1 ,.., x n )  (y1 ,.., y n )   ( x1 ,.., x n )   ( y1 ,.., y n )  x  y,
т.е.  ( x  y )  x  y .
Таким образом, для множества An и поля P действительных чисел выполняются все
требования определения, и поэтому An является линейным действительным
пространством. An называют арифметическим n-мерным пространством.
2
Пример 3. Является ли действительным линейным пространством множество L всех
векторов из An , компоненты которых удовлетворяют условию x1  ..  xn  1 , если
операции сложения векторов и умножения векторов на число определить так же, как и в
примере 2?
Решение.
Пусть x  ( x1 ,.., xn ) , y  ( y1 ,.., yn ) – любые два вектора из L . Тогда x1  ..  xn  1 ,
рассмотрим
вектор
Так
как
y1  ..  yn  1 ,
x  y = ( x1  y1 ,.., xn  yn ) .
( x1  y1 )  ...  ( xn  y n )  ( х1  х2    хn )  ( y1  y 2    y n ) =2  1 , то вектор x  y 
L . Таким образом, для множества L не выполняется требование замкнутости операции
сложения элементов множества L в определении линейного пространства, поэтому это
множество не является линейным пространством.
Пример 4. Проверить, является ли линейным действительным пространством множество
M всех векторов плоскости, образующих с данным ненулевым вектором a угол  ,

0≤  ≤ .
2
Решение.
x  M образует угол φ с вектором a , а вектор – x угол      . Множество M не
является линейным пространством, так как  x  M.
Пример 5. В множестве R+ положительных действительных чисел определены
следующие операции:
а) x  y  xy ;
б) x  x .
Показать, что множество R+ относительно указанных операций является действительным
линейным пространством.
Решение. В условии задачи определены операции сложения элементов множества R+ и
умножения элементов множества R+ на число из поля Р. Проверим выполнение 8 аксиом:
x  y  xy , y  x  yx . Так как xy=yx, поскольку x, y  R+, то x  y  y  x .
1.
( x  y )  z  ( xy) z , x  ( y  z )  x  ( yz )  x( yz ) . Но (xy)z=x(yz), поскольку x, y, z
2.
 R+, поэтому ( x  y )  z  x  ( y  z ) .
3.
1  x  1 x  x , т.е. нулевым элементом является число 1.
x  x 1  xx1  1 , поэтому число x 1 играет роль противоположного элемента для x .
4.
Так как R+не содержит числа 0, то всякий элемент из R имеет противоположный ему
элемент.
  ( x  y)   ( xy)  ( xy)  x y  x  y .
5.
(   )  x  x    x  x   (  x)  (   x) .
6.
  (  x)    ( x  )  ( x  )  x   ( ) x .
7.
1  x  x1  x .
8.
Таким образом, все требования определения линейного пространства для R+
выполнены, и поэтому R+ является действительным линейным пространством.
3
Устные задачи
1-4. Проверить, является ли следующее множество векторов плоскости действительным
линейным пространством:
1. множество R всех векторов плоскости;
2. множество S всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной декартовой
системы координат;
3. множество T всех радиус-векторов точек плоскости, составляющих данную прямую;
4. множество всех векторов плоскости за исключением векторов, параллельных данной
прямой.
5. Доказать, что множество S матриц порядка n с действительными элементами
составляет действительное линейное пространство.
6. Является ли множество M n симметрических матриц порядка n c действительными
элементами действительным линейным пространством?
7. Является ли множество M m n всех матриц размера m n c элементами из R
относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на число
действительным линейным пространством?
8. Является ли множество чисел из отрезка [0;1] числовой прямой относительно обычных
операций сложения и умножения чисел линейным пространством над полем R?
9. Является ли множество векторов плоскости (пространства) с рациональными
координатами относительно обычных операций сложения и умножения векторов на
число линейным пространством над полем R?
10. Является ли множество монотонно возрастающих на числовой оси функций
относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число
линейным пространством над полем R?
11. Является ли линейным пространством над полем Q рациональных чисел множество
чисел вида a+b 2 , где a и b – рациональные числа?
12. Является ли линейным пространством над R множество отрицательных
действительных чисел?
13. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости,
исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx?
14. Является ли линейным пространством над R множество векторов плоскости,
исходящих из начала координат с концами на прямой y=kx+b, где b  0?
15. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени ≤ n
(включая нулевой многочлен) с действительными коэффициентами?
16. Является ли линейным пространством над R множество многочленов степени n с
действительными коэффициентами?
4