Многомерные модели волатильности

Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Многомерные модели
волатильности:
некоторые приложения к
анализу российского
финансового рынка
Т.Е. Овчинникова
О.В. Польдин
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Волатильность


— это статистический показатель,
характеризующий изменчивость цены
Волатильность является важнейшим
финансовым показателем в управлении
финансовыми рисками, где представляет
собой меру риска использования
финансового инструмента за заданный
промежуток времени
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Волатильность определяется







политическими событиями
макроэкономической ситуацией
поведением инвесторов
показателями промышленного пр-ва
процентными ставками
темпами роста денег
здоровьем экономики вцелом
...
Дата
1.
2
1.
2
9.
2
7.
2
5.
2
4.
2
2.
2
2.
2
0.
2
8.
2
6.
2
4.
2
3.
2
1.
2
1.
2
01
0
00
9
00
9
00
9
00
9
00
9
00
9
00
8
00
8
00
8
00
8
00
8
00
8
00
8
00
7
>
AT
E
0
08
.0
13
.1
23
.0
29
.0
28
.0
03
.0
12
.0
17
.1
14
.1
10
.0
16
.0
27
.0
06
.0
10
.0
13
.1
<D
USD/RUB
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Кластеризация волатильности
8
6
4
2
Ряд1
-2
-4
-6
-8
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модели с условной авторегрессионной
гетероскедастичностью

ARCH - Engle, 1982 год

Была создана для определения существования
волатильности в инфляции

Позже было выявлено, что модель ARCH подходит ко
многим финансовым временным рядам
Нобелевская премия в 2003 году
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
ARCH
rt     t

t  h t Z
ARCH-модель моделирует волатильность в виде
суммы константной базовой волатильности и
линейной функции абсолютных значений нескольких
последних изменений цен.
q
ht     a j
j 1
2
t j
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
GENERALIZED ARCH


GARCH – Bollerslev , 1986 год
На текущую волатильность влияют как предыдущие
изменения цен, так и предыдущие оценки
волатильности
p
q
ht      i ht i   a j 
i 1

2
t j
j 1
Было установлено, что даже простые модели GARCH
(1,1) позволяют объяснить около 95% волатильности
доходности
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Многомерные модели

VECH, DVECH, BEKK - Bollerslev, Engle,
Wooldridge, 1988 год

Изучение отношения между волатильностями
и совместными волатильностями различных
рынков

Построение условной дисперсии и условной
ковариации
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель VECH для двух активов
VECH ( H t )  C  A *VECH ( t 1 *  t1 )  B *VECH ( H t 1 )
 h11t h12t 
Ht  

h
h
22t 
 21t
 u1t 
  
t u 2t 
 c11 
C  c21 
c31 
 a11

A  a21
 a31
b11
B  b21
b31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
b12 b13 
b22 b23 
b32 b33 
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель VECH для двух активов

Матричный оператор VECH берет верхнетреугольную часть матрицы и складывает
ее элементы в вектор-столбец
h 
 11t 
VECH ( H )   h12t 
t
h 
 22t 
  u1t 
VECH (   )  VECH    * u1t
t t
 u 2t 
 u 21t 
  2 
u2t    u 2t 
 u u 
 1t 2t 
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель VECH для двух активов
h11t  c11  a u
2
11 1t 1
 a12u
2
2 t 1
 a13u1t 1u2t 1  b12h22t 1
 b11h11t 1  b13h12t 1
h22t  c21  a21u 21t 1  a22u 2 2t 1  a23u1t 1u2t 1  b21h11t 1
 b22h22t 1  b23h12t 1
h12t  c31  a u
2
31 1t 1
 a32u
2
2 t 1
 a33u1t 1u2t 1  b31h11t 1
 b32h22t 1  b33h12t 1
Не гарантирует положительную полуопределенность Ht!
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель BEKK для двух активов
 BEKK- Engle, Kroner. 1995 год

Модель BEKK убирает недостаток
VECH, гарантируя, что матрица Н
всегда положительно полуопределена.
H t  CC  A( t 1 t1 ) A  BH t 1B
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель BEKK для двух активов
 h11, t
h
 21, t
h12, t   c11


h 22, t  c12
 a11

a12
a 21   u 21, t 1


a 22  u 2, t 1u1, t 1
 b11

b12
b 21   h11, t 1
h

b 22   21, t 1
c 21   c11
c 22  c 21
c12 
c 22 
u1, t 1u 2, t 1   a11

2
u 2, t 1  a 21
h12, t 1   b11

h 22, t 1  b 21
b12 
b 22 
a12 
a 22 
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель BEKK для двух активов
h 11t  с11с11  с 21с 21  a 11a 11u 21,t 1  a 11a 21u 2,t 1u 1,t 1  a 11a 21u 1,t 1u 2,t 1  a 21a 21u 2 2,t 1
 b11b11h 11,t 1  b11b 21h 21,t 1  b11b 21h 12,t 1  b 21b 21h 22,t 1
h 21t  с11с12  с 21с 22  a 11a 12 u 21,t 1  a 11a 22 u 2,t 1u 1,t 1  a 12a 21u 1,t 1u 2,t 1  a 21a 22 u 2 2,t 1
 b11b12 h 11,t 1  b11b 22 h 21,t 1  b12 b 21h 12,t 1  b 21b 22 h 22,t 1
h 12t  с12с12  с 22с 22  a 12a 12 u 21,t 1  a 12a 22 u 2,t 1u 1,t 1  a 12a 22 u 1,t 1u 2,t 1  a 22a 22 u 2 2,t 1
 b12 b12 h 11,t 1  b12 b 22 h 21,t 1  b12 b 22 h 12,t 1  b 22 b 22 h 22,t 1
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Модель BEKK, недостатки
Параметры в матрицах А, В и С не
имеют прямой интерпретации
 Большое число параметров для оценки.
Параметры на практике часто бывают
незначимы

Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Приложение: Эмпирическая оценка
многомерной волатильности с помощью
моделей DVECH и ВЕКК для индекса
РТС и нефти марки Brent
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Совместная волатильность
индекса РТС и нефти марки Brent

Brent (Brent Crude) — эталонная марка нефти,
добываемой в Северном море. Цена нефти Brent с
1971 года является основой для ценообразования
около 40 % всех мировых сортов нефти, в частности,
российской нефти Urals

Индекс РТС - основного индикатора фондового рынка
России, расчет которого начался 1 сентября 1995
года. Расчет индекса РТС производится на основе 50
ценных бумаг наиболее капитализированных
российских компаний в долларах США

В работе использована дневная доходность активов с
1 сентября 1995 года по 31 декабря 2009 года. Всего
3533 наблюдения
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
1
9.
1
9.
1
9.
1
9.
1
00
9
00
8
00
7
00
6
00
5
00
4
00
3
00
2
00
1
00
0
99
9
99
8
99
7
99
6
99
5
160
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
BRENT
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
2
9.
1
9.
1
9.
1
9.
1
9.
1
00
9
00
8
00
7
00
6
00
5
00
4
00
3
00
2
00
1
00
0
99
9
99
8
99
7
99
6
99
5
RTSI
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Графики исследуемых активов
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
Дата
140
120
100
80
60
40
20
0
.1
.0
.0
.0
.0
.0
.1
.0
1.
0
1.
0
3.
0
5.
0
7.
0
9.
0
1.
0
1.
0
3.
0
5.
0
7.
0
9.
0
1.
9
1.
9
3.
9
5.
9
9
9
8
7
6
5
4
4
3
2
1
0
9
9
8
7
6
5
10
.0
.0
.0
.0
.1
.0
.0
.0
7.
9
9.
9
01
.1
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.1
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.1
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
01
.0
1.
0
1.
0
3.
0
5.
0
7.
0
9.
0
1.
0
1.
0
3.
0
5.
0
7.
0
9.
0
1.
9
1.
9
3.
9
5.
9
7.
9
9.
9
9
9
8
7
6
5
4
4
3
2
1
0
9
9
8
7
6
5
15
.0
.0
LnBrent
LnRTSI
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Графики логарифмической доходности
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
20
-20
-25
Дата
5
0
-5
-10
-15
-20
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Статистические характеристики
РТС
Brent
1,600
Series: LN
Sample 9/0
Observatio
1,400
1,200
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
1,000
800
600
400
Jarque-Be
Probability
200
0
-20
-10
0
10
20
Среднее
значение
Минимум
Максимум
Стандартное
отклонение
Асимметрия
Эксцесс
Brent
0.044148
-16.63447
15.24168
2.482780
-0.136607
6.500115
РТС
0.075585
-21.1994
20.20392
2.887899
-0.365264
9.535264
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Выбор временного лага для
модели DVECH
DVECH (1,1)
Coeff
DVECH (2,1)
Prob.
Coeff
DVECH (1,2)
Prob.
Coeff
DVECH (2,2)
Prob.
Coeff
Prob.
С(1,1)
0.063991
0.0000
0.056794
0.0000
0.096636
0.0000
0.062574
0.0016
С(1,2)
0.002886
0.0251
0.042147
0.0307
0.004214
0.0257
0.003172
0.1770
С(2,2)
0.162617
0.0000
0.171300
0.0000
0.193896
0.0000
0.162663
0.7494
A1(1,1)
0.041033
0.0000
0.044767
0.0000
0.063321
0.0000
0.040546
0.0000
A1(1,2)
0.004957
0.0077
0.026758
0.0540
0.007293
0.0084
0.005461
0.7470
A1(2,2)
0.160198
0.0000
0.174421
0.0000
0.191424
0.0000
0.161628
0.0000
A2(1,1)
3.82E-08
1.0000
6.06E-07
0.9999
A2(1,2)
-2.73E-07
1.0000
6.91E-06
0.9997
A2(2,2)
1.95E-06
0.9999
7.88E-05
0.9999
B1(1,1)
0.948819
0.0000
0.947194
0.0000
0.346641
0.0223
0.943641
0.0006
B1(1,2)
0.990638
0.0000
0.911145
0.0000
0.607848
0.0000
0.977017
0.1019
B1(2,2)
0.828743
0.0000
0.817625
0.0000
0.545397
0.0000
0.799586
0.8029
B2(1,1)
0.574691
0.0001
0.005895
0.9820
B2(1,2)
0.378432
0.0000
0.012763
0.9828
B2(2,2)
0.249196
0.0009
0.027634
0.9917
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Выбор временного лага для
модели DVECH


Для данных активов все коэффициенты значимы
только для моделей DVECH (1,1) и DVECH (1,2)
Сравним суммы модулей отклонений прогнозируемой
волатильности от реализованной:
DVECH (1,1)
DVECH (1,2)
Brent
2.36134762518790e+004 2.36368218007179e+004
РТС
3.16702645219295e+004 3.16828520293715e+004

В обоих случаях модель DVECH (1,1) показывает хоть
и незначительно, но лучшие результаты.
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Результаты построения модели
DVECH
h11t  С11  А11u 21t 1  В11h11t 1
Coefficient Prob.
С(1,1)
0.063991
0.0000
С(1,2)
0.002886
0.0251
С(2,2)
0.162617
0.0000
A(1,1)
0.041033
0.0000
A(1,2)
0.004957
0.0077
A(2,2)
0.160198
0.0000
B(1,1)
0.948819
0.0000
B(1,2)
0.990638
0.0000
B(2,2)
0.828743
0.0000
h22t  С22  А22u 2 2t 1  В22 h22t 1
h12t  С12  А32u 2t 1u1t 1  В12 h12t 1
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Результаты построения модели
DVECH
VARBR
VARRTS
35
120
30
100
25
80
20
60
15
40
10
20
5
0
0
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
CORR
COV
.7
5
.6
4
.5
3
.4
.3
2
.2
1
.1
0
.0
-1
-.1
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Результаты построения
модели ВЕКК
Coefficient
Std. Err
С(1,1)
0,4163
0,004
С(1,2)
0
0
С(2,1)
0,1918
0,0036
С(2,2)
0,1927
0,0019
A(1,1)
0,396
0,0017
A(1,2)
0,002
0,0001
A(2,1)
0,0359
0,0002
A(2,2)
0,168
0,0003
B(1,1)
0,9121
0,0003
B(1,2)
-0,004
0
B(2,1)
-0,0187
0
B(2,2)
0,9802
0
 h11, t
h
 21, t
h12, t   c11

h 22, t  c12
a
  11
a12
a 21   u 21, t 1

a 22  u 2, t 1u1, t 1
 b11

b12
b 21   h11, t 1

b 22  h 21, t 1
c 21   c11
c 22  c 21
c12 
c 22 
u1, t 1u 2, t 1   a11

u 2 2, t 1  a 21
h12, t 1   b11
h 22, t 1  b 21
b12 
b 22 
a12 
a 22 
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Результаты построения модели
ВЕКК
120
Var Brent
Var RTS
25
100
20
80
15
60
10
40
5
20
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
3000
3500
4000
1
25
Cov Brent RTS
20
Corr Brent RTS
0.8
0.6
15
10
0.4
5
0.2
0
0
-5
-0.2
-10
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
-0.4
0
500
1000
1500
2000
2500
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Сравнительный анализ
моделей DVECH и ВЕКК
DVECH
300
500
450
250
400
350
200
300
150
250
200
100
150
100
50
50
0
0
500
1000
1500
2000
Brent
2500
3000
3500
4000
0
0
500
1000
1500
2000
РТС
2500
3000
3500
4000
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Сравнительный анализ
моделей DVECH и ВЕКК
ВЕКК
500
300
450
250
400
350
200
300
250
150
200
100
150
100
50
50
0
0
0
500
1000
1500
Brent
2000
2500
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
РТС
2500
3000
3500
4000
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Сравнительный анализ
моделей DVECH и ВЕКК

Отклонения прогнозируемой волатильности от
реализованной
DVECH (1,1)
ВЕКК
Brent
2.361347625187905e+004
2.375623131259052e+004
РТС
3.167026452192953e+004
3.179569946919395e+004

Отношение суммы прогнозируемой и суммы
реализованной волатильности
DVECH (1,1)
ВЕКК
Brent
1.0029
1.0076
РТС
1.0502
1.0557
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Выводы:



Индекс РТС очевидно является более
волатильным, чем Brent
Оба актива демонстрируют резкое
увеличение волатильности с началом
экономического кризиса 2008 года, в этот
период также резко возрос показатель
условной корреляции
Стабилизация мировой экономики позволяет
показателям волатильности постепенно
снижаться.
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Совместная волатильность
валютных пар EUR/USD и JPY/USD


Котируемыми валютами являются японская
йена и евро, а базовой - доллар США, что
позволяет сделать предположение о том, что
в отдельные периоды времени они могут
двигаться сонаправленно под действием
изменения базовой валюты.
Исследуемый период с февраля 2001г по
январь 2010г, всего взято 2841 наблюдение.
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Графики исследуемых активов
EUR/USD
1,8
1,6
1,4
EUR/USD
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
16.02.01
16.02.02
16.02.03
16.02.04
16.02.05
16.02.06
16.02.07
16.02.08
16.02.09
DATE
JPY/USD
0,014
0,012
JPY/USD
0,01
0,008
0,006
0,004
0,002
0
16.02.01
16.01.02
16.12.02
16.11.03
16.10.04
16.09.05
16.08.06
16.07.07
16.06.08
16.05.09
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Результаты построения модели
DVECH
h11t  С11  А11u 21t 1  В11h11t 1
Coefficient
Prob.
M(1,1)
1.24E-07
0.0002
M(1,2)
2.39E-07
0.0000
M(2,2)
7.63E-07
0.0000
A(1,1)
0.026822
0.0000
A(1,2)
0.036251
0.0000
A(2,2)
0.049770
0.0000
B(1,1)
0.969829
0.0000
B(1,2)
0.950230
0.0000
B(2,2)
0.930562
0.0000
h22t  С22  А22u 2 2t 1  В22 h22t 1
h12t  С12  А32u 2t 1u1t 1  В12 h12t 1
1.6
1.0
0.6
0.0
.6
.8
CORR
.4
.6
.2
.4
.0
.2
-.2
.0
-.4
-.2
-.6
-.4
-.8
-.6
2/16/01
7/24/01
12/19/01
6/18/02
11/25/02
5/01/03
9/30/03
2/28/04
7/27/04
12/25/04
5/27/05
10/24/05
3/23/06
8/19/06
1/16/07
6/23/07
11/11/07
3/19/08
7/25/08
12/01/08
4/08/09
8/15/09
12/21/09
VAREUR
2/16/01
7/24/01
12/19/01
6/18/02
11/25/02
5/01/03
9/30/03
2/28/04
7/27/04
12/25/04
5/27/05
10/24/05
3/23/06
8/19/06
1/16/07
6/23/07
11/11/07
3/19/08
7/25/08
12/01/08
4/08/09
8/15/09
12/21/09
COV
2/16/01
7/24/01
12/19/01
6/18/02
11/25/02
5/01/03
9/30/03
2/28/04
7/27/04
12/25/04
5/27/05
10/24/05
3/23/06
8/19/06
1/16/07
6/23/07
11/11/07
3/19/08
7/25/08
12/01/08
4/08/09
8/15/09
12/21/09
0.0
2/16/01
7/24/01
12/19/01
6/18/02
11/25/02
5/01/03
9/30/03
2/28/04
7/27/04
12/25/04
5/27/05
10/24/05
3/23/06
8/19/06
1/16/07
6/23/07
11/11/07
3/19/08
7/25/08
12/01/08
4/08/09
8/15/09
12/21/09
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Результаты построения модели
DVECH
VARJPY
2.5
1.4
1.2
2.0
0.8
1.5
1.0
0.4
0.2
0.5
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Выводы:




JPY/USD чуть более волатильна, чем EUR/USD,
Наблюдается один резкой всплеск волатильности в
период кризиса в конце 2008 года
Корреляция этих валютных пар довольно высока и
положительна, однако на графике наблюдаются
несколько отрицательных выбросов, что может
объясняться выходом новостей, имеющих
разнонаправленное воздействие на EUR и JPY
Самый сильный отрицательный выброс корреляции
наблюдается в конце 2008 года, когда наблюдалось
длительное разнонаправленное движение котировок
исследуемых валютных пар
Лаборатория
количественного анализа
и моделирования экономики
Литература:






1. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance. Cambridge
University Press, New York, 2008.
2 .Poon S.-H. A practical guide to forecasting financial market
volatility. Wiley, 2005. P. 10-39.
3. Tsay R. Analysis of Financial Time Series. Wiley, 2005
4. Palm F. C. GARCH Models of Volatility // G. S. Maddala and C. R.
Rao, eds., Handbook of Statistics, Vol. 14. Elsevier Science B. V.
1996
5. Silvennoinen A., Teräsvirta T. Multivariate GARCH Models // T.G.
Anderson et al., Handbook of Financial Time Series. Springer, 2009
6.Bauwens L., Laurent S., Rombouts J.. Multivariate GARCH
Models: A Survey. // Journal of Applied Econometrics 21, 2006, pp.
79–109.