Текстовые задачи на ЕГЭ ГИА

Текстовые задачи на ЕГЭ ГИА
К текстовым задачам относятся задачи на движение, на работу, на целые числа, на смеси, растворы и
сплавы. Текстовые задачи традиционно считаются одними из самых сложных заданий. Самым сложным
этапом считается составление математической модели – уравнения, неравенства или системы.
Необходимо выявить зависимости между данными и неизвестными и записать их на математическом
языке.
Решив уравнение, неравенство или систему, необходимо проверить найденное значение неизвестного,
подходит ли оно по смыслу задачи.
Выделяют 3 этапа решения задачи.

Вводят переменную, выполняют перевод на математический язык, создают математическую
модель.
Работа с математической моделью.
Ответ на вопрос задачи.


К каждой группе задач приведём решённые примеры и задачи, которые необходимо решить
самостоятельно в виду ограниченности во времени на семинаре.
Текстовые задачи на движение.
Задача 1.
Поезд со скоростью 30
км
ч
проезжает мимо наблюдателя за 36 секунд. Определить длину поезда в метрах.
Решение.
км
1) 30
2)
ч
300
36с
=30 ∙
1000м
3600с
=
300м
36с
∙ 36с =300 (м – длина поезда)
Ответ. 300м.
Задача 2. Турист проехал расстояние от посёлка до города на велосипеде за 4 часа. Чтобы проехать за то же
время расстояние от посёлка до турбазы, которое на 20 км больше, он должен проезжать каждый километр
на минуту быстрее. Чему равна скорость велосипедиста на участке пути от посёлка до турбазы?
Решение.
Пусть 𝑥 км – путь от посёлка до города, тогда
𝑣1 =
𝑥 км
ч
4
𝑡1 =
1
1
𝑥
- скорость движения туриста,
4
= ч – время, за которое турист проходит каждый км.
𝑥
Т.к. по условию задачи каждый км на участке пути от посёлка до турбазы велосипедист проезжает на 1
минуту быстрее, чем на предыдущем участке, то
км
1
𝑣2
4
1
𝑥
60
= −
=
240−𝑥
60𝑥
( )
ч
Найдём время движения на участке пути от посёлка до турбазы:
𝑥+20
60𝑥
240−𝑥
=
(𝑥+20)(240−𝑥)
60𝑥
(ч).
, где 𝑣2 - его новая скорость. 𝑣2 =
60𝑥
240−𝑥
Зная, что время движения на участках посёлок – город и посёлок – турбаза одинаково, составим уравнение.
(𝑥+20)(240−𝑥)
= 4, где 𝑥 ≠ 0.
60𝑥
(𝑥 + 20)(240 − 𝑥) = 240𝑥 ,
𝑥 2 + 20𝑥 − 4800 = 0,
𝑥2 = −80 − не удовлетворяет условию задачи.
𝑥1 = 60,
1) 60 км – расстояние от посёлка до города.
60∙60
2)
240−60
=
3600
180
км
= 20 (
ч
- скорость движения велосипедиста)
км
Ответ. 20
ч
.
Задача 3. Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трёхчасовой стоянки вернулась
км
обратно, затратив на весь путь 12 часов. Скорость течения реки равна 2 . Найдите собственную скорость
ч
лодки.
Решение.
Пусть 𝑥
км
ч
- собственная скорость лодки, тогда (𝑥 + 2)
км
ч
− скорость лодки по течению, (𝑥 − 2)
км
ч
−
скорость лодки против течения.
80
𝑥+2
ч – время движения по течению,
80
𝑥−2
ч – время движения против течения.
Зная, что потрачено на движение по течению и против течения всего 12 – 3= 9(ч), составим уравнение.
80
𝑥+2
+
80
𝑥−2
=9
80(𝑥 − 2) + 80(𝑥 + 2) = 9(𝑥 − 2) (𝑥 + 2) , где 𝑥 ≠ ±2
9𝑥 2 - 160 𝑥 – 36 = 0
D = 26896
1
𝑥1 = 18, 𝑥2 = - – не удовлетворяет условию задачи.
9
1).18
км
ч
− собственная скорость лодки.
Ответ. 18
км
ч
.
Задача 4.
На путь из А в В машина затратила 3 ч. Если она будет на каждый км пути тратить на 1 минуту меньше, то
за то же самое время пройдёт расстояние на 30 км больше. Найдите расстояние между А и В.
Задачи на работу (совместную работу).
Как правило, в текстовых задачах на работу в качестве неизвестных берут производительность. Её роль
аналогична роли скорости в задачах на движение. Иногда удобнее всю работу принять за единицу. Задачи на
трубы, из которых что– то льётся, - это тоже задачи на работу.
Задача 1.
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить всю работу за 16 дней. После 4 дней совместной работы
первый рабочий заболел. Следующие 36 дней второй рабочий трудился один. Работа была сделана.
Определите, за сколько дней смог бы выполнить эту работу один первый рабочий.
Решение.
Примем всю работу за 1.
Работая раздельно:
За 1 день
1 рабочий
Всего дней
1
𝑥
1
𝑦
2 рабочий
𝑥
Вся работа
1
𝑦
1
Работая совместно:
За 1 день
1 рабочий
1
𝑥
1
𝑦
2 рабочий
Всего дней
16
Вся работа
1
16
1
1
1
𝑥
𝑦
За 16 дней совместной работы выполнят всю работу, тогда ( + )∙ 16 = 1- это первое уравнение.
1
1
𝑥
𝑦
За 4 дня совместной работы выполнят ( + )∙ 4 всей работы.
36
𝑦
выполнит второй рабочий за 36 дней.
1
1
36
𝑥
𝑦
𝑦
Тогда ( + )∙ 4 +
= 1 – второе уравнение.
Зная, что для двух уравнений решение общее, составим систему.
1
1
𝑥
𝑦
( + ) ∙ 16 = 1,
{
1
1
36
𝑥
𝑦
𝑦
( + )∙4 +
= 1.
1
1
1
𝑥
1
𝑦
𝑥
( + ) ∙ 16 = 1,
{ 1
( + ) ∙ 16 +
𝑥
𝑦
Тогда
1
𝑥
1
𝑥
=
=
1
16
1
24
144
−
𝑦
144
𝑦
= 4.
=3, то 𝑦 =48
1
48
, то 𝑥 = 24
1)За 24 дня выполнит работу один первый рабочий.
Ответ. 24 дня.
{
1
1
𝑦
144
16
+ =
1+
𝑦
,
=4.
Задача 2.
Бассейн наполняется четырьмя трубами за 8 часов. Первая, вторая и четвёртая трубы, работая
одновременно, заполнят бассейн за 12 часов; вторая, третья и четвёртая – за 10 часов. За сколько времени
заполнят бассейн первая и третья трубы?
Решение.
Пусть 𝑉– объём бассейна, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 − производительность первой, второй, третьей, четвёртой труб
соответственно.
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ∙ 8 = 𝑉 – первое уравнение по условию задачи,
(𝑎 + 𝑏 + 𝑑) ∙ 12 = 𝑉 – второе уравнение по условию задачи,
(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ∙ 10 = 𝑉 - третье уравнение по условию задачи.
Зная, что для трёх уравнений решение общее, составим систему.
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ∙ 8 = 𝑉,
{ (𝑎 + 𝑏 + 𝑑) ∙ 12 = 𝑉,
(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ∙ 10 = 𝑉.
Надо найти
𝑎
𝑉
𝑏
𝑐
𝑑
𝑉
𝑉
𝑉
1
+ + + = ,
𝑎
𝑉
𝑏
{
𝑉
𝑎+𝑐
𝑉
8
𝑏
𝑑
1
𝑉
𝑐
𝑉
𝑑
12
1
𝑉
𝑉
10
+ + =
+ + =
,
.
Из первого уравнения вычтем второе. Получим:
Из первого уравнения вычтем третье. Получим:
Тогда
𝑎
𝑉
𝑎
𝑐
1
𝑉
15
+ =
𝑉
𝑎+𝑐
𝑐
1
𝑉
40
+ =
𝑉
+
1
24
𝑐
𝑉
𝑎
𝑉
=
=
1
24
1
40
.
.
.
= 15
За 15 часов заполнят первая и третья трубы бассейн.
Ответ. 15ч.
Задача 3.
Двое рабочих изготовили за месяц 220 деталей. В следующем месяце производительность рабочих возросла:
первого - на 15%, а второго – на 10%. Поэтому за месяц они изготовили 247 деталей. Определите, сколько
деталей изготовил каждый рабочий за второй месяц.
Задачи на смеси, растворы и сплавы.
В задачах на смеси, растворы и сплавы за неизвестные удобно выбирать либо весь вес или объём вещества,
которое нас интересует в смеси, либо концентрацию этого вещества (т.е. вес или объём этого вещества в
единице веса или объёма смеси). Необходимо постоянно отслеживать общее количество вещества в смеси и
количество вещества в 1 кг или 1 л смеси.
Задача 1. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Определить, сколько меди нужно
добавить к сплаву, чтобы поднять процентное содержание меди до 60%?
Решение.
Пусть надо добавить 𝑥 кг меди. В первоначальном сплаве меди было 0,45∙36=16,2 (кг). Тогда в новом
сплаве меди будет 16,2 + 𝑥 (кг), а масса нового сплава составит 36 + 𝑥 (кг).
Найдём процентное содержание меди в новом сплаве.
16,2 + 𝑥
36 + 𝑥
= 0,6
16,2 + 𝑥= 21,6 +0,6 𝑥
0,4𝑥 =5,4
𝑥 =13,5
1)Надо добавить 13,5 кг меди.
Ответ. 13,5 кг.
Задача 2.
Смешали 8 кг 12% раствора и 12 кг 8% раствора серной кислоты. Определить процентное содержание
серной кислоты в полученном растворе. Ответ округлить до целых.
Решение.
Масса раствора
Масса кислоты
Процентное содержание кислоты
1 раствор
8 кг
8∙0,12 кг
12%
2 раствор
12 кг
12∙0,08 кг
8%
Смесь
20 кг
20∙0,01 кг
𝑥%
Зная, что масса кислоты в первом и во втором растворах вместе такая же, как в последней смеси, составим
уравнение.
0.96 + 0,96 = 0,2 𝑥
𝑥 = 9.6
1)9,6%≈ 10% - содержание серной кислоты в полученном растворе.
Ответ. 10%.
Задача 3. Первый раствор содержит цемента и песка в пропорции 3 : 4, а второй – в отношении 1 : 2.
Определите, в каком соотношении надо взять эти растворы, чтобы получить раствор в пропорции 15 : 22.
Текстовые задачи на целые числа.
Текстовые задачи, в которых используются свойства целых чисел, всегда являются достаточно сложными.
Здесь на помощь могут прийти свойства целых чисел.
Задача 1.
В первой коробке были только красные шары, а во второй - только синие шары. Число красных шаров
составляло
15
19
3
2
7
5
от числа синих шаров. Когда из коробок удалили соответственно и бывших там шаров, то в
первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй – более 1000 шаров. Определите, сколько шаров
было в каждой коробке первоначально.
Решение.
Пусть 𝑥 синих шаров было во второй коробке. Тогда в первой коробке было
3
4
7
7
В первой коробке осталось 1 - = от первоначального числа шаров, то есть
15
19
𝑥 красных шаров.
4
7
∙
15
19
𝑥 шаров. Это число меньше 1000.
2
3
5
5
Во второй коробке осталось 1 - =
3
5
от первоначального числа шаров, то есть
3
∙ 𝑥 = 𝑥 шаров. Это число больше 1000.
5
Получаем систему неравенств:
4
{
7
∙
3
5
15
19
𝑥 < 1000,
𝑥 > 1000,
тогда 1667≤ 𝑥 ≤ 2216.
Число 𝑥 делится на 5, 7 и 19. Поэтому число 𝑥 заканчивается на 5 и делится на 7 ∙ 19 = 133 (т.к. 7 и 19
взаимно простые).
Из промежутка 1667≤ 𝑥 ≤ 2216 этим условиям удовлетворяет только 𝑥 = 1995. Тогда
15
19
𝑥 = 15∙
1995
19
=1575.
В первой коробке было 1575 красных шаров, а во второй - 1995 синих шаров.
Ответ. 1575шаров, 1995 шаров.
Задача 2.
На заводе было несколько одинаковых станков. Завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции
все станки заменили более производительными, но также одинаковыми станками. Общее число станков
увеличилось на три, а выпуск деталей возрос до 11200 деталей в день. Определите, сколько станков было на
заводе первоначально.
Литература.
1). ЕГЭ 2010. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова, И.В.Ященко.
М., МЦНМО, 2009г.
2).Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 г. Методические
указания. М., МЦНМО, 2009 г.
3)А.Г.Мордкович. Алгебра, части 1,2; 8 кл., М., Мнемозина, 2009г.