Расчетно-графическая работа по ИОПР для студентов заочной формы обучения по специальности прикладная

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
Расчетно-графическая работа по ИОПР
для студентов заочной формы обучения
по специальности прикладная
информатика в экономике
(ПРЕПОДАВАТЕЛЬ – Шапошникова Ольга Ивановна)
Вариант заданий выбирается по последней цифре номера зачетной книжке.
Черкесск 2013г
1
ЗАДАНИЕ 1
Задача инвестора: Рассматриваются
пронумерованных
индексом
инвестируемых объектов,
n
i  1,2, , n .
Ti
продолжительность
-
инвестиционного периода для i-го объекта,  i - ожидаемая прибыль за
единицу времени от i-го объекта после сдачи его в эксплуатацию, Di –
директивный срок, после истечения которого за каждую просроченную
единицу времени начисляется штраф в количестве  i единиц.
Найти оптимальное расписание инвестирования объектов, используя
известные решающие правила:
1. для случая, когда качество решения оценивается критерием
MINSUM и
Di =0;
2. для случая, когда качество решения оценивается критерием
MINMAX и
Di >0;
1
2
Di i
3
Ti
1
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
2
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
3
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
4
1
3
5
7
9
2
4
6
8
5
2
4
6
8
1
3
5
7
6
4
3
2
5
4
3
6
5
Ti
Di i
5
i
Ti
Di i
4
Ti
Di i
Ti
Di
7
8
9
6
7
7
8
3
4
5
6
7
1
3
5
7
9
5
9
2
3
4
5
6
7
4
7
6
5
8
7
6
2
6
7
Di i
8
Ti
1
6
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
2
7
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
3
7
3
4
5
6
7
8
9
11
2
4
8
3
15
7
19
2
4
6
8
5
9
4
6
8
1
3
5
7
6
5
13
2
5
4
3
6
5
11
12
Di i
Ti
Di i
10
i
Ti
Di i
9
Di
7
8
9
6
7
7
8
3
4
5
16
7
11
3
5
7
9
15
9
2
3
4
15
16
7
4
7
6
5
8
7
6
14
Ti
1
7
4
5
9
7
8
6
2
3
7
5
6
2
6
5
6
6
8
9
8
2
3
8
5
3
5
3
4
4
6
7
4
9
1
9
4
4
3
5
8
9
2
9
6
8
5
3
4
6
7
1
3
8
7
6
2
3
2
4
4
3
6
5
16
17
Ti
Di i
15
i
Ti
Di i
Di i
Ti
13
Ti
Di i
Ti
Di
1
8
9
6
7
7
8
3
4
4
6
7
6
3
5
7
9
5
9
5
3
4
3
6
7
4
4
6
5
8
7
6
18
Ti
19
20
i
Ti
Di
i
Ti
Di
i
Ti
Di
i
Ti
Di
i
Ti
Di
1
13
4
5
4
7
8
1
2
3
8
5
6
6
8
9
2
14
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
7
8
3
12
3
4
9
6
7
9
9
1
3
3
4
7
6
7
4
11
3
5
7
9
2
4
6
8
1
3
5
7
9
5
5
12
4
6
7
1
3
5
7
9
7
3
4
8
6
7
6
14
3
2
5
4
3
6
5
4
7
6
5
8
7
6
3
ЗАДАНИЕ 2
Задача Джонсона. Общая формулировка. Имеющиеся n работ (деталей)
i  1,2,, n должны быть выполнены (обработаны) на m машинах j  1,2,  , m .
Причем, порядок прохождения работ (деталей) через машины (станки) для
них один и тот же, т. е. в порядке нумерации j  1,2,  , m . Задача построения
расписания состоит в указании порядка, в котором должны выполняться
работы, чтобы суммарное время простоя всех машин было минимальным,
используя известное решающее правило. Построить графики Ганта для
оптимальной и данной последовательности.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
7
8
3
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
4
3
5
7
9
2
4
6
8
1
3
5
7
9
5
5
4
6
8
1
3
5
7
9
2
3
4
5
6
7
6
3
2
5
4
3
6
5
4
7
6
5
8
7
6
8
1
9
2
1
10
2
1
11
2
1
12
2
1
13
2
1
14
2
1
2
1
6
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
2
7
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
7
3
7
3
4
5
6
7
8
9
11
2
3
4
5
16
4
8
3
15
7
19
2
4
6
8
11
3
5
7
9
5
5
13
2
5
4
3
6
5
4
7
6
5
8
7
4
15
16
17
18
19
20
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
7
4
5
9
7
8
6
2
3
7
5
6
2
6
5
6
6
8
9
8
2
3
8
5
6
3
5
3
4
4
6
7
4
9
1
9
3
4
4
4
3
5
8
9
2
9
6
8
6
3
5
5
3
4
6
7
1
3
8
7
9
5
3
4
6
2
3
2
4
4
3
6
5
4
4
6
5
ЗАДАНИЕ 3
Рассматривается задача о заменах автомобиля (ЗА). Её математическая
постановка должна учитывать следующие факторы:
- возрастание эксплуатационных расходов стареющего автомобиля;
- изменение стоимости ожидаемых новых марок автомобиля;
- снижение ликвидационной цены автомобиля с ростом срока его
эксплуатации;
- ограничение сверху срока эксплуатации автомобиля.
Для представления математической модели (ММ) задачи ЗА вводятся
следующие обозначения
T -протяженность планового периода, единицей измерения которого
является единичный отрезок (год, полугодие и т.д.);
i  1,2,...,n - индекс, которым занумерованы начала этих отрезков, n  T  1;
решение о замене, т.е. продаже старого и покупка нового автомобиля принимается в
календарные моменты t  i , i  1, n ;
 - ограничение сверху на срок эксплуатации автомобиля, т.е. если
автомобиль куплен в момент t  i , то он заменяется на новый не позже, чем в
момент времени t  i   ;
Pi - стоимость нового автомобиля в начале i-го года, точнее, в начале i-го
единичного отрезка времени;
m k - эксплуатационные расходы в течение k-го года, 10 % от стоимости
нового автомобиля
S ij - ликвидационная стоимость автомобиля в начале j-го года при условии,
что он куплен в начале i-го года, например, S ij может вычисляться по формуле:
C ij - суммарные затраты на покупку, содержание и ликвидацию автомобиля
в случае, если он покупается в начале года i и ликвидируется в начале года
j  i  1.
Используя метод Дийкстры найти оптимальный план замены автомобиля.
5
m k - эксплуатационные расходы в течение k-го года, 10 % от стоимости
нового автомобиля,
Pi - стоимость нового автомобиля в начале i-го года, точнее, в начале i-го
единичного отрезка времени, данные в таблице номер строки – номер варианта.
Т=8, =4 - для всех вариантов.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
7
4
5
9
7
8
6
2
2
6
5
6
6
8
9
8
2
3
5
3
4
4
6
7
4
9
4
4
3
5
8
9
2
9
6
5
3
4
6
7
1
3
8
7
6
2
3
2
4
4
3
6
5
7
4
5
6
7
8
9
2
3
8
5
6
7
8
9
1
2
3
9
3
4
5
6
7
8
9
1
10
3
5
7
9
2
4
6
8
11
4
6
8
1
3
5
7
9
12
3
2
5
4
3
6
5
4
13
9
2
3
4
5
6
7
8
14
1
2
3
4
5
6
7
7
15
8
9
11
2
3
4
5
16
16
4
6
8
11
3
5
7
9
17
6
5
4
7
6
5
8
7
18
4
5
6
7
3
4
5
6
19
2
3
4
5
11
2
3
4
20
11
3
5
7
8
11
3
5
6
ЗАДАНИЕ 4
Пусть имеется склад (сколь угодно большой вместимости),
предназначенный для деталей одного типа. В единицу времени (сутки) со
склада в цех поступает h деталей. Иначе говоря, со склада они расходуются
со скоростью h деталей в сутки. Обусловлено, что на склад детали поступают
партиями в тот момент, как склад становится пустым. Дано также, что затраты
на доставку одной партии на склад равны величине С , не зависящей от
размера партии y ; затраты на хранение одной детали в единицу времени
(сутки) равны d . В предположении, что все партии одинакового размера,
требуется найти такое y , при котором суммарные затраты S на создание и
хранение запаса из N деталей были минимальны. Построить графики и
указать точки заказа для случаев, когда заказ выполняется мгновенно и
случая, когда для выполнения заказа требуется L =22 единицы времени.
1
2
3
4
5
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
112
114
0.05
116
117
0.08
119
112
0.03
114
115
0.06
117
118
0.09
6
7
8
9
10
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
116
114
0.05
116
117
0.08
119
112
0.03
114
115
0.06
117
118
0.09
11
12
13
14
15
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
117
114
0.05
119
117
0.08
116
112
0.03
117
115
0.06
111
118
0.09
16
17
18
19
20
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
h
C
d
113
114
0.05
114
117
0.08
111
112
0.03
118
115
0.06
116
118
0.09
7
ЗАДАНИЕ 5
Найти седловую точку
1.
4 3 6
2 2 7
3 1 5
6.
4 3 6
12 12 7
3 1 5
2.
7.
10.
4 6 6
2 2 7
3 1 5
14.
14 3 6
12 12 17
3 1 15
18.
6 3 6
8 5 7
3 1 5
11.
4 3 6
13 12 17
3 1 5
4 3 6
8 8 7
3 1 5
8.
19.
4.
4 3 6
9 12 17
3 1 5
6 3 16
18 15 17
13 1 5
12.
16.
6 3 16
18 5 7
3 11 51
13.
4 3 63
2 21 7
32 1 5
20.
5.
4 3 6
2 8 7
13 11 15
4 3 6
2 2 7
9 11 15
9.
14 13 16
12 12 17
13 11 15
4 13 6
21 2 7
3 1 52
15.
4 3 61
2 12 7
31 1 15
3.
8 3 3
2 2 7
7 6 5
16 13 16
16 15 17
13 11 51
17.
4 32 6
26 2 7
3 15 5
14 3 16
2 21 7
31 1 15
ЗАДАНИЕ 6
Решить игру графическим методом:
1.
4 3
3 7
6.
4 13
13 7
11.
14 3
3 17
16.
8 3
3 7
7 4
3 7
2.
7.
12 5
4 11
7 14
13 7
12.
17.
3.
17 4
3 17
7 4
3 17
8.
4.
12 5
4 11
13.
18.
4 23
33 3
9.
12 15
14 11
12 4
4 11
5.
14 23
33 13
14.
19.
4 15
21 4
10.
14 23
33 13
4 21
33 3
14 15
21 14
15.
20.
4 8
9 4
4 15
21 14
8
Методические указания по выполнению контрольной работы по
дисциплине «Исследование операций и принятие решений»
Комбинаторные задачи теории расписаний
Теория расписаний (ТР) - это раздел ИСО, в котором строятся и
анализируются математические модели календарного планирования (т. е.
упорядочения во времени различных видов целенаправленных действий). В
качестве примером можно говорить о составлении расписаний учебных
занятий, о разработке графиков движения транспорта и т. д.. При том
расписание, т. е. календарный план должен удовлетворять, во - первых,
технологическим требованиям и, во - вторых, наличным ресурсам. Термин
«ресурсы» означает машины, материалы, живых исполнителей и т. д..
Большинство задач ТР - это задачи дискретного программирования. Эти
задачи формулируются по следующей схеме. Пусть S - некая система,
состоящая из приборов i  1,2,, m . На вход системы S поступают требования
прибором i .
k  1,2,, n ;  i - длительность обслуживания требования k
Обычно предполагается, что каждый прибор одновременно обслуживает не
более одного требования и каждое требование одновременно обслуживается
не более, чем одним прибором. Прерывания в обслуживании требований в
одних постановках могут допускаться, в других - запрещаться. Если
требование должно получить обслуживание несколькими приборами, то
оговаривается технологический порядок прохождения через эти приборы.
Каждому требованию k сопоставлена неубывающая действительная функция
 k  t  , характеризующая «штраф», который необходимо «заплатить», если
обслуживание этого требования завершится в момент времени t .
k
Постановка задачи инвестора
Многокритериальная постановка этой задачи состоит в следующем.
Рассматриваются n инвестируемых объектов, пронумерованных индексом
i  1,2, , n . Ti - продолжительность инвестиционного периода для i-го объекта,
 i - ожидаемая прибыль за единицу времени от i-го объекта после сдачи его в
эксплуатацию, Di – директивный срок, после истечения которого за каждую
просроченную единицу времени начисляется штраф в количестве  i единиц.
Всякое допустимое решение представляет собой одну из n!
перестановок x  i1 , i2 ,  , in  чисел 1,2,, n . X   x - множество допустимых
решений (МДР) этой задачи. На множестве X   x всех n! перестановок
x  i1 , i 2 ,  , i n  определена векторная целевая функция (ВЦФ)
F  x   F1  x, F2  x,  , F  x,  , FN  x ,
(3)
состоящая из минимизируемых критериев, т.е. частных целевых функций:
F  x   x ,  x ,  x ,  x ,
  1, N , где каждый из критериев может иметь вид
9
  x     i max t i  Di ,0  min
n
k 1
k
k
(4)
k
k
где t i   Ti ;
k
s1
s
  x     i max Di  t i ,0  min ,
(5)
  x   max   max t i  Di ,0  min ,
(6)
n
k 1
k
k
1k n
ik
1k n
ik
k
k
k
  x   max   max Di  t i ,0  min ,
k
k
(7)
Критерии (4), (5) – критерии вида MINSUM;
критерии (6), (7) – критерии вида MINMAX.
Содержательный смысл (4) состоит в минимизации суммарного
инвестора, (6) – минимизация наихудшего исхода (наибольшего штрафа), (5),
(7) – имеют экономический смысл: чем позже вводится в эксплуатацию
объект i k , тем меньший “штраф” начисляется этому объекту.
Социально- экономическая суть критериев:
(2) – оптимизирует эффект инвестора, т.е. это ЦФ инвестора;
(4) – организует финансово - экономические гарантии, которые инвестор
может дать клиенту, т.е. это ЦФ клиента.
В реальных условиях возникает проблема нахождения такой политики
инвестирования, которая учитывала бы одновременно и взаимосвязано
экономические цели всех сторон – инвесторов, клиентов - заемщиков и
природной среды.
Теорема 1. Двукритериальная задача инвестора с критериями вида
MINSUM обладает свойством полноты.
Теорема 2. Алгоритмическая проблема нахождения паретовского
множества альтернатив (ПМА) для критериев вида MINSUM является трудно
решаемой в силу того, что мощность X  искомого ПМА может расти
экспоненциально от размерности задачи n .
Рассмотрим 2-критериальную модель с ВЦФ вида «инвестор заемщики»:
(8)
F  x   F1  x , F2  x   ,
где критерий инвестора F1  x имеет вид MINSUM,
а критерий заемщиков F2  x - вид MINMAX:
n
F1  x    x     ik z ik  min ,
(9)
F2  x    x   max  ik z ik  min ,
(10)
k 1
где


k
zik  max t ik  Dik ,0 , t ik   Tis .
(11)
s1
Полагаем, что  i определяется в базовых ценах.
10
Полиномиально разрешимые случаи задачи инвестора
К настоящему времени неизвестен какой- либо эффективный алгоритм
нахождения хотя бы одного паретовского оптимума задачи с ВЦФ (8)-(11).
Более того, неизвестен достаточно эффективный алгоритм нахождения
решения, оптимального по критерию вида MINSUM (9). Известно лишь
простое правило нахождения этого оптимума в случае, когда все директивные
сроки совпадают с началом календарного периода, т.е. Di  0 , i  1,, n . В этом
случае критерий (9) принимает вид
n
F1  x     x     ik t ik  min ,
(9a)
k 1
k
где t i   Ti .
k
s1
s
Искомое решение оптимальное по (9а), определяет следующая
Теорема 3. Для 1-критериальной задачи инвестора искомое решение

x  i1 , i 2 , , i n  , оптимальное по критерию (9а), определяется упорядочением
инвестируемых объектов в порядке убывания значений дробей
i
1
Ti1

i
2
Ti2
 …
i
n
Tin
.
i
, i  1, n :
Ti
(12)
Ряд (12) называется решающим правилом (РП).
Рассмотрим оптимизационную задачу с критерием вида MINMAX (10)(11), действие которого направлено на оптимизацию издержек объекта,
оказавшегося в наихудшем положении по сравнению с другими объектами.
Для этого случая известен полиномиальный алгоритм. Он находит
оптимальное по критерию (10) решение
(13)
x   i1 , , i k , , i n  .
решение (13) строится с определения i n , т.е. x  строится в порядке, обратном
к последовательности (13). Для описания алгоритма нахождения x  введем
новые обозначения, в которых фигурируют индексы i k , k  1, n из (13):
I n  1,2,...i,...n,
I n1  I n \ in ,
I n2  I n \ in1 , in   I n1 \ in1 ,
…………………………….
I nk  I nk 1 \ ink 1 ,
(14)
…………………………….
I1  I 2 \ i2   i1 ;
t I nk    Ti ;
(15)
iI n  k
Ri  max 0, t I nk   Di  .
iI n  k
(16)
11
Алгоритм нахождения оптимума
вычислении следующих величин:
 i Ri I n   min  i Ri I n  ,
n
 i Ri
n 1
в
последовательном
I n1   min
 i Ri I n1  ,
iI
n 1
……………………………
 i Ri I nk   min  i Ri I nk  ,
nk
состоит
iI n
n
n 1
(13)
nk
iI n  k
(17)
…………………………….
 i Ri I 2   min  i Ri I 2  , i1   I 2 \ i2 .
2
iI 2
2
Элементы оптимального порядка инвестирования (13) определяются
индексами in , in1 ,, ink ,, i1 последовательности (17).
Пример.
Дано:
i
1
2
3 4 5 6 7
Ti
4
1
3 20 1 4 6
αi
2
2
2 4 2 2 3
di
2
4
7 4 6 8 2
где i=1,2,…,n - n объектов инвестирования, Ti – длительность строительства iтого объекта, αi – удельная прибыль от i-того объекта, т.е. прибыль за единицу
времени, di – директивный срок, после которого начинается начисление
штрафа или потерь от запаздывания ввода i-того объекта.
Для решения необходимо а) найти последовательность x   i1 , i2 ,, in 
n
оптимальную по критерию F1  x     x    i t i  min ,
k 1
k
k
k
t ik   Tis
где
s1
(di=0)
Искомое решение определяется упорядочением инвестируемых объектов в
порядке убывания значений дробей
решающим правилом.
1
2
 0,5 ,
T1 4
7 3
  0,5 .
T7 6

2
T2

2
 2,
1
3
T3

2
 0,67 ,
3
i
i
, i  1, n :
Ti
4
T4

1
Ti1
5
4
 0,2 ,
20
T5


i
2
Ti2
2
 2,
1
 …
6
T6

i
n
Tin
-
2
 0,5 ,
4
 
x 0  2,5,3,1,6,7,4 , значение целевой функции F1 x 0  283 ;
б) найти последовательность
F2  x    x   max  ik z ik  min , где
x*  (i1 , i2 ,..., in )

оптимальную по критерию

k
zik  max t ik  Dik ,0 , t ik   Tis (di>0).
s1
n
Время окончания строительства всех семи объектов T   Ti  39 .
i 1
12
z1  max( 39  2, 0)  37
z 2  max( 39  4, 0)  35
z3  max( 39  7, 0)  32
z 4  max( 39  4, 0)  35
z5  max( 39  6, 0)  33
z6  max( 39  8, 0)  31
z7  max( 39  2, 0)  37
1 z1  37  2  74
 2 z 2  35  2  70
 3 z3  32  2  64
 4 z 4  35  4  140
 5 z5  33  2  66
 6 z6  31  2  62
1 z1  37  3  111
Последним будет проинвестирован шестой объект i7  6 .
T  T  T6  39  4  35 ;
z1  max( 35  2, 0)  33
z 2  max( 35  4, 0)  31
z3  max( 35  7, 0)  28
z 4  max( 35  4, 0)  31
z5  max( 35  6, 0)  29
z7  max( 35  2, 0)  33
1 z1  33  2  66
 2 z 2  31  2  62
 3 z3  28  2  56
 4 z 4  31  4  124
 5 z5  29  2  58
1 z1  33  3  99
Вторым с конца будет проинвестирован третий объект i6  3 .
T  T  T3  35  3  32 .
z1  max( 32  2, 0)  30
z 2  max( 32  4, 0)  28
z 4  max( 32  4, 0)  28
z5  max( 32  6, 0)  26
z7  max( 32  2, 0)  30
1 z1  30  2  60
 2 z 2  28  2  56
 4 z 4  28  4  112
 5 z5  26  2  52
1 z1  30  3  90
Третим с конца будет проинвестирован пятый объект i5  5 .
T  T  T5  32  1  31
z1  max( 31  2, 0)  29
z 2  max( 31  4, 0)  27
z 4  max( 31  4, 0)  27
z7  max( 31  2, 0)  29
1 z1  29  2  58
 2 z 2  27  2  54
 4 z 4  27  4  108
1 z1  29  3  87
Четвертым с конца будет проинвестирован второй объект i4  2 .
T  T  T2  31  1  30
z1  max( 30  2, 0)  28
z 4  max( 30  4, 0)  26
z7  max( 30  2, 0)  28
1 z1  28  2  56
 4 z 4  26  4  104
1 z1  29  3  84
Пятым с конца будет проинвестирован первый объект i3  1 .
T  T  T1  30  4  26
z 4  max( 26  4, 0)  22
z7  max( 26  2, 0)  24
 4 z4  22  4  88
1 z1  24  3  72
Шестым с конца будет проинвестирован седьмой объект i2  7 .
Седьмым с конца или первым будет проинвестирован четвертый объект i1  4 .
13
Значение целевой функции F2 x*   140 .
Задача Джонсона
Общая формулировка. Имеющиеся n работ (деталей) i  1,2,, n должны
быть выполнены (обработаны) на m машинах j  1,2,  , m . Причем, порядок
прохождения работ (деталей) через машины (станки) для них один и тот же, т.
е. в порядке нумерации j  1,2,  , m . Задача построения расписания состоит в
указании порядка, в котором должны выполняться работы, чтобы суммарное
время простоя всех машин было минимальным.
Примечание. Минимум простоя машин означает достижение
наименьшей длины расписания, т. е. наименьший отрезок времени от начала
выполнения работ до их завершения.
Приведем ограничительные условия, которые определяют собой МДР
X   x , т. е. множество допустимых расписаний:
1) в любой момент времени на машине не может выполняться больше одной
работы;
2) одна работа в фиксированный момент времени может занимать только
одну машину.
К настоящему времени эффективный метод решения задачи Джонсона
разработан лишь для частного случая 2-х машин ( m  2 ). Для этого случая
Джонсоном разработан следующий алгоритм.
В задаче двух станков требуется за минимальное время закончить
обработку n деталей. Каждая деталь j обрабатывается сначала на первом
станке (первая операция), длительность обработки равна a j , затем
обрабатывается на втором станке (вторая операция) длительность обработки
bj .
Для построения оптимального расписания используем следующее
решающее правило: пусть имеется k таких деталей j , что a j  b j . Тогда если
a j  b j , для l  k , и, кроме того a j  a j при l  k и, a j  b j для l  k и, кроме
того, b j  b j при l  k , то  n   j1 , , jl , jl 1 , , jn  оптимальна.
Иными словами - сначала выбираем детали j , у которых первая
операция a j короче b j . Эти детали упорядочиваем в порядке возрастания a j .
Остальные детали обрабатываются в порядке убывания b j .
Пример.
Построить оптимальное расписание   обработки 9 деталей на двух
станках (данные в таблице на рисунке 1).
Рис.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j
a
8
3
3
8
9
12
1
11
4
b
8
4
2
6
7
2
4
1
2
l
l
l
l
l 1
l
l
l 1
14
Решение:
1. Отмечаем значком (  ) детали j , для которых a j  b j .
2. Упорядочиваем их в порядке возрастания a j
3. Отмечаем значком (  ) детали j , для которых b j  a j .
4. Упорядочиваем их в порядке убывания b j .
j
a
b
1
80
8
2
30
4
3
3
2*
4
8
6*
5
9
7*
6
12
2*
7
10
4
8
11
1*
9
4
2*
Получаем оптимальное расписание    i1 , i2 ,  , i9  ;     7,2,1,5,4,3,6,9,8 .
Модели ремонта и замены оборудования
Основными задачами теории замен являются прогноз затрат,
связанных с обновлением оборудования, и выработка наиболее экономичной
стратегии замен. При выработке этой стратегии учитываются следующие
противоречивые требования. С одной стороны эксплуатация устаревшего
оборудования связана с ростом производственных затрат и низкой
производительностью. С другой стороны замена старого оборудования более
производительным новым также сопряжена со значительными расходами.
Возникает задача: выявить срок службы, после которого замена устаревшего
оборудования новым целесообразна. Начиная с момента замены экономия за
счет более рентабельного нового оборудования должна перекрывать
компенсацию затрат на него.
В настоящем разделе будем рассматривать вопросы принятия решений о
замене, ремонте и обслуживании оборудования, т.к. в реальных условиях эти
задачи переплетаются (пересекаются). Так, например, установка нового
генератора на автомашине представляет собой замену этого узла, но если
рассматривать машину в целом, то эту операцию естественно отнести к
разряду ремонтных.
Различают три типа задач ЗО:
Задачи ремонта и замены, связанные с работой оборудования
длительного
пользования,
которое
эксплуатируется
в
течение
неопределенного долгого времени, но на счет неуклонно возрастающих с
увеличением срока использования затрат.
Задачи ЗО с целью предупреждения его полного выхода из строя
(отказа), когда вероятность отказа возрастает с увеличением срока службы
(возраста).
Задачи выбора некоторого плана предупредительного ремонта и
профилактического обслуживания с целью уменьшения вероятности отказа.
15
Решение задачи о замене оборудования на примере задачи замены
автомобиля
При решении вопроса о том, когда следует производить покупку
нового автомобиля, необходимо учитывать его стоимость и возрастающие
эксплуатационные расходы. Воспользуемся алгоритмом поиска кратчайшей
цепи для решения задачи, в которой требуется определить политику замен
старого автомобиля на новый в течение восьмилетнего периода Т лет так,
чтобы минимизировать при этом общие затраты. Предполагается, что
решение о покупке нового автомобиля может приниматься в начале каждого
нового года, исходя из затрат на его приобретение, эксплуатационных
расходов на период в течение которого автомобиль может использоваться, и
ликвидационной стоимости машины в момент, когда она заменяется на
новую.
Предположим, что в начальный момент человек не имеет автомобиля и
что он собирается покупать новый автомобиль, по крайней мере, каждые 4
года -   4 , т.е. вводится ограничение или условие, что автомобиль может
находиться в эксплуатации не более  лет. Протяженность планового периода
эксплуатации автомобиля равна 8 лет, T  8 . Известна стоимость Pi нового
автомобиля в начале i-гo года (см. табл.1), которая растет с каждым годом
т.е. P1  P2  ...  PT .
Известны эксплутационные m k расходы в течение k-го года (см.
табл.2), которые увеличиваются с возрастом стареющего автомобиля, т.е.
имеет место условие m1  m2  ...  mT .
На
рис.1.
изображена
сеть
для
рассматриваемой
задачи.
Математическая модель задачи покупки и замены автомобиля базируется
на 9-вершинном орграфе G  V , E  , V  1,2,..., i,..., n, где n  T  1 , в котором
множество дуг E  e определяется следующим образом:
если покупка автомобиля производится в начале i - го года, а в начале
j - го года автомобиль заменяется на новый, то данному варианту замены
соответствует дуга i, j  . Пусть общие затраты в данном случае равны Сij .
Тогда значение параметра (т.е. веса) дуги i, j  вычисляется по формуле:
j 1
Сij  Pi   mk  S ij ,
(5)
k 1
где Pi - стоимость автомобиля в начале i-гo года; m k - эксплуатационные
расходы в течение k-го года; S ij - ликвидационная стоимость автомобиля в
начале j -гo года при условии, что он куплен в начале i -гo года и
вычисляется по формуле (6)
  j  i 
S ij  Pi 1 
.
T 

(6)
Оптимальному решению данной задачи соответствует кратчайший
путь x  [1, i2 , i3 ,..., is , n]  Vx , E x , s  9 из узла (вершины) s  1 в узел T  9 на
16
графе G  V , E , Vx  V , E x  E . При этом считается, что первая покупка
автомобиля была в начале года i1  1. Эту цепь можно рассматривать как
цепь, минимизирующую стоимость единицы потока из узла 1 в узел 9 при
условии, что стоимость единицы потока по дуге i, j  равна Сij .
С ij составляет планируемые суммарные затраты на покупку, содержание
и ликвидацию автомобиля в случае, если он покупается в начале i года и
ликвидируется в начале j  i  1 года, и вычисляется по формуле (5).
При решении задачи необходимо:
1. Вычислить ликвидационную стоимость S ij автомобиля в начале j-гo
года по формуле (6), учитывая фактор снижения ликвидационной цены
автомобиля с ростом срока его эксплуатации и построить матрицу
ликвидных стоимостей.
2. Вычислить суммарные затраты Сij по формуле (5) для всех пар i, j
таких, что i  j и j  1  4 , и результаты представить в виде матрицы
суммарных затрат.
3. Построить 9-ти вершинный орграф G  V , E  , приписав его дугам e  i, j 
соответственно веса Сij .
4. Применив алгоритм Дейкстры, найти оптимальный план покупок и
замены автомобиля (затраты берутся в у.е.) и при этом определить
значение целевой функции.
Исходные данные задачи представлены соответственно в табл.1 и 2.
Таблица 1– Значения стоимости Pi нового автомобиля в начале каждого
года эксплуатации
Годы
1
2
3
4
5
6
7
8
Стоимость
в
начале 480 529 595 650 770 780 850 940
каждого года, тыс.у.е.
Таблица 2 – Значения эксплуатационных расходов m k в начале каждого
года эксплуатации
Годы
1
2
3
4
5
6
7
8
Эксплуатационные расходы 48 52 59 65
77
78 85 94
в начале каждого года,
тыс.у.е.
Решение:
17
1. Рассчитываем ликвидационные стоимости в конце каждого года по
формуле: S ij  Pi 1 

 j  i 
T


7
 2 1
S12  480  1 
  480   420 у.е.
8 
8

6
 3 1
S13  480  1 
  480   360 у.е.
8 
8

5
 4 1
S14  480  1 
  480   300 у.е.
8 
8

4
 5 1
S15  480  1 
  480   240 у.е.
8 
8

7
 32
S 23  529  1 
  529   463 у.е.
8 
8

6
 42
S 24  529  1 
  529   397 у.е.
8 
8

5
 52
S 25  529  1 
  529   330 у.е.
8 
8

4
 62
S 26  529  1 
  529   265 у.е.
8 
8

7
 4  3
S 34  595  1 
  595   521у.е.
8 
8

6
 5 3
S 35  595  1 
  595   446 у.е.
8 
8

5
 6  3
S 36  595  1 
  595   372 у.е.
8 
8

4
 7  3
S 37  595  1 
  595   298 у.е.
8 
8

7
 54
S 45  650  1 
  650   569 у.е.
8 
8

6
 64
S 46  650  1 
  650   488 у.е.
8 
8

5
 74
S 47  650  1 
  650   406 у.е.
8 
8

4
 84
S 48  650  1 
  650   325 у.е.
8 
8

7
 65
S 56  770  1 
  770   674 у.е.
8 
8

6
 7 5
S 57  770  1 
  770   578 у.е.
8 
8

5
 85
S 58  770  1 
  770   481у.е.
8 
8

18
4
 95
S 59  770  1 
  770   385 у.е.
8 
8

7
 76
S 67  780  1 
  780   683 у.е.
8 
8

6
 86
S 68  780  1 
  780   585 у.е.
8 
8

5
 96
S 69  780  1 
  780   488 у.е.
8 
8

7
 87
S 78  850  1 
  850   744 у.е.
8 
8

6
 97
S 79  850  1 
  850   638 у.е.
8 
8

7
 9 8
S 89  940  1 
  940   823 у.е.
8 
8

Результаты расчета представим в виде матрицы ликвидных стоимостей:
i j 2
3
4
5
6
7
8
9
1 420 360 300 240 



2
 463 397 330 265 


3

 521 446 372 298 

4


 569 488 406 325 
5



 674 578 481 385
6




 683 585 488
7





 744 638
8






 823
2. Рассчитываем суммарные затраты на покупку, эксплуатацию и
j 1
ликвидацию автомобиля по формуле: Сij  Pi   mk  S ij
k 1
C12
C13
C14
C15
 480  48  420  108 у.е.
 480  48  52  360  220 у.е.
 480  48  52  59  300  339 у.е.
 480  48  52  59  65  240  464 у.е.
C23  529  52  463  118 у.е.
C24  529  52  59  397  243 у.е.
C25  529  52  59  65  330  375 у.е.
19
C26  529  52  59  65  77  265  517 у.е.
C34  595  59  521  133 у.е.
C35  595  59  65  446  273 у.е.
C36  595  59  65  77  372  424 у.е.
C37  595  59  65  77  78  298  576 у.е.
C45  650  65  569  146 у.е.
C46  650  65  77  488  314 у.е.
C47  650  65  77  78  406  464 у.е.
C48  650  65  77  78  85  325  552 у.е.
C56  770  77  674  173 у.е.
C57  770  77  78  578  347 у.е.
C58  770  77  78  85  481  529 у.е.
C59  770  77  78  85  94  385  720 у.е.
C67  780  78  683  175 у.е.
C68  780  78  85  585  358 у.е.
C69  780  78  85  94  488  549 у.е.
C78  850  85  744  191у.е.
C79  850  85  94  638  391у.е.
C89  940  94  823  211у.е.
Результаты расчета представляем в виде матрицы суммарных затрат:
i j 2
3
4
5
6
7
8
9
1 108 220 339 464 



2
 118 243 375 517 


3

 133 273 424 576 

4


 146 314 464 552 
5



 173 347 529 720
6




 175 358 549
7





 191 391
8






 211
3. Множество всех планов замены автомобиля (т.е. МДР Х ) за T лет
представлено совокупностью цепей сети, изображенной на рис.2.
Применив алгоритм Дейкстры определяем оптимальный путь
x  [1, i2 , i3 ,..., is , n]  Vx , E x , s  9 замены автомобиля.
20
Из графа на рис. 2. видно, что каждый узел сети (вершина) соответствует
началу планируемого периода, а узел 9 соответствует концу планируемого
периода. Каждая ориентированная цепь из узла 1 в узел 5 представляет собой
план замены оборудования на четырехлетний период.
Результаты алгоритма Дейкстры сведены в табл. 3.
552
517
375
243
1
108
2
118
220
339
464
3
133
549
464
358
314
4
146
273
424
576
5
173
6
175
7
347
191
8
211
9
391
529
720
Рисунок 2 – Представленная на графе математическая модель
замены автомобиля
21
Таблица 3 – Результаты вычислений алгоритма Дейкстры
l1  0
l3  l1  c13  0  220  220
l3  l 2  c23  108  118  226
l2
l4
l4
l4
 l1  C12  0  108  108  min
 l1  c14  0  339  339
 l2  c24  108  243  351
 l3  c34  220  133  353
l3  min 220,226
l3  min 339,351,353
l5  l1  c15  0  464  464
l6  l 2  c26  226  517  743
l5  l 2  c25  108  375  483
l6  l3  c36  220  424  644
l5  l3  c35  220  273  493
l6  l 4  c46  339  314  653
l5  l 4  c45  339  146  485
l6  l5  c56  464  173  637
l5  min 464,483,493,485
l6  min 743,644,635,637
l7  l3  c37  220  576  796
l8  l 4  c48  339  552  891
l7  l 4  c47  339  464  803
l8  l5  c58  464  529  993
l7  l5  c57  464  347  811
l8  l6  c68  637  358  995
l7  l6  c67  637  175  812
l8  l7  c78  803  191  994
l7  min 796,803,811,812
l8  min 891,993,995,994
l9  l5  c59  464  720  1184
l9  l6  c69  637  549  1186
l9  l7  c79  803  391  1194
l9  l8  c89  891  211  1102
l9  min 1184,1186,1194,1102
Цепь (1,4), (4,8), (8,9) соответствует закупке оборудования в начале
первого периода, его содержании в течение трех лет и его продаже в конце
третьего периода.
Таким образом, результаты расчета, представленные в таблице 3 выдали
кратчайший путь L0  1,4,8,9 . Он выделен на графе G  V , E  жирной линией.
Численное значение ЦФ вида MINSUM (1) для такой цепи 1 – 4 – 8 – 9
равна:
F x  
 we  min  339  552  211  1102 у.е.
eE x
Суммируются веса дуг множества E x , составляющих путь x  1,4,8,9 .
Выводы:
Для минимизации общих затрат - покупку автомобиля следует
производить в начале первого, четвертого, восьмого и девятого годов. Общие
минимальные затраты при этом составляют 1102 у.е.
22
Управление запасами
Всякое производство снабжается сырьем, полуфабрикатами, и т.д.
Чтобы застраховаться от остановки производства в случае нехватки
материалов, предприятия создают запасы на своих складах. Чем больше запас,
тем надежнее застраховано предприятие от недопоставок своим
потребителям, т.е. тем надежнее обеспечен спрос на продукцию предприятия.
Но в то же время, чем больше запас, тем больше расходы на его хранение и
тем больше материальных ценностей исключается из оборота. Последнее
тяжелым грузом ложиться на госбюджет и к тому же приводит к недостатку
очень нужных товаров.
Т.о. при планировании объема запаса сталкиваемся с противоречивыми
требованиями: с одной стороны стремимся сократить расходы на хранение, и
с другой стороны - стремимся надежно обеспечить спрос. Чтобы установить
наивыгоднейший компромисс между этими требованиями требуется
тщательный количественный анализ. Методы такого анализа и составляют
предмет теории управления запасами (УЗ).
Управление запасами (УЗ) заключается в установлении моментов и
объемов заказа на восполнение этих запасов.
Оптимальным считается такое УЗ, при котором затраты на
возобновление запасов и затраты, связанные с последствиями
неудовлетворения спроса (штрафы), минимально возможные.
Замечание: в теории УЗ не принято использовать такой критерий
оптимизации как «максимизация дохода».
Затраты на возобновление и хранение запасов включают в себя:
а) стоимость поставки;
б) оплата склада и его персонала и техники;
в) потери от естественной убыли хранимого запаса. Чаще всего
считают вследствие порчи запаса y (t ) изменяется по экспоненте: y (t )  y0  e t ;
г) убытки от снижения потребительских качеств (моральное старение);
д) потери от омертвления денежных средств, вложенных в запас (как
правила потерянный доход оценивается нормой эффективности 10-15%).
О штрафах связанных с неудовлетворением спроса.
Заметим, что оценивать штраф, т.е. ущерб, причиненный потребителям
несвоевременным обеспечением их, очень сложно. И это является одним из
основных препятствий на пути внедрения теории УЗ в практику. Приведем
примеры установления цены штрафа.
Однопродуктовая статическая модель управления запасами
Условие задачи. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет ρ
ед. Затраты на размещение одного разового заказа составляют k$. Ежедневные
затраты на хранение единицы продукции составляют h$. Необходимо
вычислить оптимальный размер партии и точки заказа для двух случаев:
23
а) заказ выполняется мгновенно;
б) срок выполнения заказа α*0.
t0 
y* 
y

- продолжительность цикла движения запасов.
2k
- оптимальный размер партии.
h
Пусть ρ=100 ед/день – интенсивность спроса, k=100$ - затраты на
размещение и оформление разового заказа, h=0,02$ - затраты на хранение
единицы продукции. Тогда а) t 0  10 дней , y *  1000ед .
1000
0
10
20
30

t
Рис.1
б) α*=12 – срок выполнения заказа. Оптимальный размер партии
остается прежним. Т.к. срок выполнения заказа равен 12 дням и
продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа
происходит, колда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на
12-10=2 дня. Т.о., заказ оформляется, когда уровень запаса достаточен на 2
дня и равен 2×100=200ед.
Теория игр
При решении ряда практических задач исследования операций в
области экономики, военного дела и т.д. приходится анализировать ситуации,
в которых две (или более) враждующие стороны преследуют различные цели.
При этом результат от принятого решения каждой из сторон зависит от того,
какой образ действий выберет противник. Такие ситуации принято называть
конфликтными. Теория игр есть математическая теория конфликтных
ситуаций.
Основная задача этой теории - выработка рекомендаций по
рациональному образу действий участников конфликта.
Игрой называем математическую модель конфликта. От реальной
конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне
определенным правилам.
Рассмотрим игру m  n с матрицей платежей a ij . Предположим, что мы
решили не пользоваться смешанными стратегиями и будем искать решение
для себя только в виде чистых стратегий. Последнее означает, что мы
24
выберем некоторую стратегию и будем ее применять на каждом ходе.
Предполагаем при этом также, что противник располагает о наших
намерениях полной информацией и, таким образом, на любой наш ход
ответит наихудшим для нас (и наилучшим для себя) ходом. Следовательно,
выбирая любую стратегию i , 1  i  m , будем иметь выигрыш  i  min aij .
1 j  n
В этих условиях нам естественно придерживаться такой стратегии i  ,
для которой справедливо соотношение
 i    max  i  max min aij
(1)
1im
i
j
Величина α называется нижней ценой игры или максимином, а
стратегия i  - максимальной стратегией. Здесь α - гарантированный
минимум, который мы в состоянии обеспечить, для чего достаточно
придерживаться "перестраховочной" стратегии i  .
В свою очередь противник (сторона B ) заинтересован в том, чтобы
обратить наш выигрыш в минимум. Просматривая каждую из своих стратегий
j  1,2,..., n , он выделяет в каждой из них самое худшее, что ему грозит, если
он будет придерживаться j , т.е., он выделяет максимальное значение нашего
выигрыша  j  max a ij .
1im
Стремясь уменьшить свой проигрыш путем выбора одной наиболее
осторожной стратегии j * , наш противник может гарантировать, что
проиграет не более, чем
   j  min  j min max aij
(2)
1 j n
Величина

i
j
называется верхней ценой игры, или минимаксом.
Стратегия j * называется минимаксной стратегией.
Пример.
A1
A2
A3
max
min
B1 B2 B3 min max
0,2 0,3 0,5 0,2
0,6 0,4 0,5 0,4   0,4
0,4 0,2 0,3 0,2
0,6 0,4 0,5
  0,4
Оптимальной ценой игры
оптимальным стратегиям (А2, В2).
является
=0,4,
соответствующая
Пусть платежная матрица а ij такова, что седловой точки нет, т.е.
оптимального решения игры в чистых стратегиях не существует. Возникает
вопрос: нельзя ли гарантировать выигрыш, больший  , если применять не
одну единственную «чистую» стратегию, а чередовать случайным образом
несколько стратегий. Такие стратегии, состоящие в случайном чередовании
25
чистых стратегий, называются в теории игр смешанными. Здесь перед
каждым ходом выбор стратегии осуществляется случайно, т.е. с помощью
какого-либо механизма случайного выбора (бросание монеты или игральной
кости, таблицы случайных числе, генератор случайных чисел на ЭВМ и т.д.)
Если в платежной матрице а ij , i,j=1,2 имеется седловая точка, то, вопервых, решением является пара стратегий, пересекающихся в седловой
точке, и, во-вторых, в этой игре всегда найдется стратегия, которая может
быть отброшена, как доминируемая или дублирующая.
Рассмотрим второй случай, когда игра а ij седловой точки не имеет и
при этом нижняя цена игры не равна верхней:    .Решение игры, т.е. пара
оптимальных
смешанных
стратегий
S A*  ( P1 , P2 ), S B*  (q1 , q 2 ) находится
следующим образом.
Поскольку по условию здесь седловой точки нет, то обе стратегии
противника являются активными (иначе игра имела бы седловую точку).
Согласно теореме об активных стратегиях, если мы будем
придерживаться своего оптимума
S A* , то независимо от образа действий
противника выигрыш будет оставаться равным цене игры  . Значит,
противник может, не меняя выигрыша, применить любую из своих чистых
стратегий, откуда получим два уравнения:
a11 p1  a21 p2   

a12 p1  a22 p2   
(4)
Из (4) с учетом условия р1+р2=1 получим
p1 
a 22  a 21
,
a11  a 22  a12  a 21
a11  a12
. Цену игры  найдем, подставляя значения p1 , p 2
a11  a 22  a12  a 21
a 22 a11  a12 a 21
в любое из уравнений (4):  
.
a11  a 22  a12  a 21
p 2  1  p1 
Аналогично находим оптимальную стратегию стороны
уравнений:
B . Из
a11q1  a12 q 2   
a22  a12
, q2  1  q1
 получим q1 
a11  a22  a12  a21
a 21q1  a 22 q 2   
Опишем графический
метод
решения.
Пусть
имеется игра 22 с матрицей
а ij , i,j=1,2.
На
оси
абсцисс
рассмотрим отрезок [0,1].
Точке
0
припишем
стратегию А1, точке 1 –
стратегию А2. Всякой точке
x0 [0,1]
взаимооднозначно
соответствует
смешанная
I
a12
II
B2
B1

N
a21
M
a11
B2
B1
A1
0
p2
SA
p2
S A*
a22
A2
p1
1
x
26
стратегия S A0  ( p10 , p 20 ) , где p 20  x 0 , p10  1  x 0 .
Перпендикулярно к абсциссе в точках А1 и А2 проведем оси I-I и II-II.
На оси I-I отложим выигрыш стратегии А1: а11 и а12, на оси II-II – выигрыши
стратегии А2: а21 и а22.
Пусть противник применяет
стратегию В1. Она дает при р1=1 на
оси I-I точку а11, при р2=1 – на оси II-II
B1
B2
точку а21. Очевидно при любой
смешанной
стратегии
1
1
1
1
B2
S A  ( p1 , p2 ), p2  1  p1 , наш выигрыш
a21
выразится точкой N на прямой В1В1,
=a22
соответствующей точке S A на оси
a12
абсцисс, делящей отрезок в отношении
a11
B1
p 12 : p11 .
0
P2=1
S A*  A2
x
Рис.2.
27
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Васин, А.А. Исследование операций [Текст]: учеб. пособие для студ.
вузов/ А.А. Васин, П.С.Краснощеков, В.В.Морозов.- М.: Академия,
2008.- 464 с.
2. Горбовцов, Г.Я. Исследование операций в экономике. [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Горбовцов Г.Я., Грызина Н.Ю., Мастяева
И.Н., Семенихина О.Н..- Электрон. текстовые данные.- М.: Евразийский
открытый институт, Московский государственный университет
экономики, статистики и информатики, 2006.- 118c.- Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/10690.- ЭБС «IPRbooks», по паролю
3. Грызина, Н.Ю. Математические методы исследования операций в
экономике. [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грызина Н.Ю.,
Мастяева И.Н., Семенихина О.Н..- Электрон. текстовые данные.- М.:
Евразийский открытый институт, 2009.- 196c.- Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/10773.- ЭБС «IPRbooks», по паролю
4. Петровский, А.Б. Теория принятия решений [Текст]: учеб. пособие, /
А.Б.Петровский.- М.: Академия, 2009.- 400 с.
5. Демидова, Л.А. Принятие решений в условиях неопределенности.
[Электронный ресурс]: монография/ Демидова Л.А., Кираковский В.В.,
Пылькин А.Н..- Электрон. текстовые данные.- М.: Горячая линия Телеком, 2012.- 288c.- Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12031.ЭБС «IPRbooks», по паролю
6. Юкаева, В.С. Принятие управленческих решений. [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Юкаева В.С., Зубарева Е.В., Чувикова В.В..Электрон. текстовые данные.- М.: Дашков и К, 2012.- 324c.- Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/14084.- ЭБС «IPRbooks», по паролю
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. – М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 2003.
2. Перепелица В.А., Попова Е.В., Семенчин Е.А. Теория игр и
исследование операций. Ставрополь: СГУ, 2004. -280с.
28