Лекция 8. Анализ деформированного состояния. Физические

Лекция 8. Анализ деформированного
состояния. Физические уравнения упругости
Тензору напряжений соответствует тензор деформаций, который
образован тремя линейными и шестью угловыми деформации.
Тензор деформации также приводится к диагональному виду

x
1
 yx
2
1
 xy
2
1
 xz
2
y
1
 yz
2
1
 zx
2
1 0 0
1
 zy  0  2 0
2
0 0 3
z
Здесь 1 ,  2 и  3 - главные деформации. Они направлены
по трем главным осям, сдвиги между которыми равны нулю.
Дифференциальные зависимости между
компонентами перемещений и компонентами
относительных деформаций
U
x 
;
x
V U
 xy 

x y
;
V
y 
;
y
W V
 yz 

y z
;
W
z 
;
z
U W
 zx 

z
x
.
Закон Гука для трехосного НС
Напряженное
состояние
задано
главными
напряжениями. Применим принцип независимости
действия сил .
1 
2 
3 
1
E

 1
E

1
E

 2
E
2
E

2
E

 3
E

 3
E
3
E
Закон Гука для трехосного НС (продолжение)
E
1  1    2   3 
1
1
 2   2    3  1 
E
1
 3   3   1   2 
E
Обобщенный закон Гука


1
 x   x    y  z
E


 xy 
;
;
1
 y   y    z   x 
E


1
 z   z    x  y
E

;
 xy
 xz 
 yz 
;
G
 xz
G
 yz
G
.
;
Относительное изменение объема
V1  V
V 
V

V   x   y   z

1  2
1  2
1   2   3 
V 
 x  y  z 
E
E
Удельная потенциальная энергия при
одноосном растяжении
L
L EF
EF L2 PL
A   PL d L   
Ld L  

L 2
2
0
0 L
 x2 E x2
A PL 1 P L 1
a


  x x 

LF 2 LF 2 F L 2
2E
2
Удельная потенциальная энергия при
чистом сдвиге
Axy 
a xy 
 xy dFds  xy ds
2dFdy

2 dy

 xy xy
2
 xy dFds

2
2
 xy
2G

2
G xy
2
Удельная потенциальная энергия при
трехосном напряженном состоянии
Каждая составляющая тензора напряжений производит работу только
на
своем
перемещении
(деформации).
Поэтому,
в
общем
случае

1
a xyz   x x   y  y   z  z   xy xy   xz  xz   yz  yz
2

Если все напряжения - главные, то удельная потенциальная энергия
равна


1 2
a123 
 1   22   32  2  1 2   1 3   2 3  .
2E
Удельная потенциальная энергия изменения
объема и удельная потенциальная энергия
изменения формы
a  a0  aф

1  1  p ;

2  2  p

;
3  3  p
Удельная потенциальная энергия изменения
объема
Чтобы изменение объема в дополнительном НС


1  2 

V 
1   2   3  0
E
необходимо, чтобы
 1   2   3  0


1   2   3   1   2   3
1
p  1   2   3    ср
3

 3 p
1
p
   p    p  p   1  2 
E
E
3
31  2  p 2
a0  p 
2
2
E
Удельная потенциальная энергия изменения
формы
1  2
2
1   2   3 
a0 
6E
aф  a  a0


1 2
2
2
a
1   2   3  2 1 2  1 3   2 3 
2E

1 
1   2 2  1   3 2   2   3 2
aф 
6E

Связь между константами упругости E, G и μ
axy 
 xy2
2G
1   3
2
1

a13 
12   32  2 1 3   1 1   
2E
E
E
G
axy  a13
21   

